TÓPICOS. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Sistemas homogéneos.

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1 Note bem: leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d bibliogrfi principl d cdeir ÓPICOS Equção liner. AUA 4 Chm-se tenção pr importânci do trblho pessol relizr pelo luno resolvendo os problems presentdos n bibliogrfi, sem consult prévi ds soluções proposts, nálise comprtiv entre s sus respost e resposts proposts, e posterior eposição junto do docente de tods s dúvids ssocids. Sistem de equções lineres. Equção mtricil. Soluções do sistem. Método de Guss-Jordn. Clssificção de sistems qunto à solução. Sistems homogéneos. 4. Sistems de Equções ineres. 4.. Equção liner. Sistem de equções lineres. Um equção liner de n vriáveis um equção d form em que,,,, n, designds por incógnits, é n n,, n e b são constntes ( R ou C ). Um sistem de equções lineres é um conjunto de equções lineres, ou sej, um conjunto de equções d form + + m + m em que ij, os coeficientes do sistem, e b k, os termos independentes, são constntes ( R ou C ), pr i, k =, m e j =, n. n n mn n n n m Prof. Isbel Mtos & José Amrl AGA A

2 4.. Equção mtricil. Um sistem liner pode ser representdo por um equção mtricil em que A = m A m é mtriz simples, ou mtriz dos coeficientes do sistem, [ ] = n é mtriz (vector) colun ds incógnits, e [ ] b = b b b m é mtriz (vector) colun dos termos independentes. Eemplos. O sistem de equções lineres + y = 5 + y = 4 pode ser escrito n form de um equção mtricil, A, 5 = y 4 sendo mtriz dos coeficientes A = o vector colun ds incógnits: = = [ y] y, e o vector colun dos termos independentes 5 b = = [ 5 4] 4 n n mn Prof. Isbel Mtos & José Amrl AGA A

3 4.3. Soluções do sistem. Método de Guss-Jordn. Um solução de um sistem é um vector colun = [ ] s s s s n, tl que s equções do sistem são tods stisfeits qundo fzemos s substituições, = s, = s,, n = sn. Se dois sistems lineres A e C = d, são tis que mtriz C d é obtid d mtriz A b em resultdo d plicção de um conjunto de operções elementres sobre linhs, então os dois sistems possuem s mesms soluções, dizendo-se sistems equivlentes. O método de Guss-Jordn de resolução de sistems consiste em plicr operções elementres às linhs d mtriz complet (ou mtriz mplid) do sistem, A b, té que mtriz dos coeficientes estej n form esclond reduzid. Eemplos. O sistem de equções lineres tem mtriz complet + y = 5 + y = 4 5 A b = 4 Por plicção do método de Guss-Jordn 5 A b = 4 5 ~ ~ 0 0 ~ = 0 C d, result o sistem CX = d, equivlente AX, 0 = 0 y, ficndo determind solução do sistem = y = 3 Prof. Isbel Mtos & José Amrl AGA A

4 4.4. Clssificção de sistems qunto à solução. Qunto o número de soluções que dmite, um sistem com n incógnits clssific-se como (dit nturez do sistem): Sistem possível e determindo, qundo tem um únic solução (sse ( ) cr( A ) = cr A b = n ). Sistem impossível, qundo não tem soluções (sse cr( ) cr ( ) A A b ). Se últim linh não nul d form esclond reduzid d mtriz complet 0 0 b com b 0 o sistem é impossível. do sistem for d form [ ] Sistem possível e indetermindo, qundo tem infinits soluções. (sse A) = cr( [ A B] ) < n cr( ); m Se o sistem tiver solução, e form esclond reduzid d mtriz complet possuir coluns sem pivots, o sistem é possível e indetermindo. As vriáveis que não estão ssocids pivots são chmds vriáveis livres ou vriáveis rbitráris, isto é, podem ssumir qulquer vlor, sendo o seu número chmdo o gru de indeterminção do sistem, g = n cr(a). As vriáveis ssocids os pivots, dits vriáveis principis, têm os seus vlores dependentes ds vriáveis livres. O conjunto de tods s soluções de um sistem possível e indetermindo é chmd solução gerl do sistem. Eemplos 3. O sistem de equções lineres + y = 5 + y = 4 que, como vimos, tem por solução = e y =, é um sistem possível e determindo. Como vimos pelo que ( ) cr( A ) = cr A b = = n. m 0 A b ~ 0 4. Do sistem de equções lineres y = 0 y = 4 result, recorrendo o método de Guss-Jordn, Prof. Isbel Mtos & José Amrl AGA A

5 0 A b = 4 0 ~ = C d Ddo que últim linh não nul d form esclond reduzid d mtriz complet 0 0 b com b = 4 0 o sistem é impossível: do sistem é d form [ ] m m y = 0 0 = 4 De modo equivlente, podemos concluir que o sistem é impossível, ddo que ( ) cr( A) = = cr A b. 5. Do sistem de equções lineres + y = y = 6 result, recorrendo o método de Guss-Jordn, 3 A b = ~ ~ = C d Ddo que form esclond reduzid d mtriz complet possui coluns sem pivots ( colun) o sistem é possível e indetermindo. O sistem considerdo é equivlente 0 = 0 y 3 0, tendo portnto como solução 3 + y = A vriável que não estão ssocid um pivot, y, é um vriável livre. endo um só vriável livre, o sistem tem um gru de indeterminção g = (tmbém dito sistem simplesmente indetermindo). O sistem tem um vriável principl (ssocid um pivot),, com um vlor dependente d vriável livre. A solução gerl do sistem é epress n form 3 = y + De modo equivlente, podemos concluir que o sistem é indetermindo, ddo que cr( A ) = cr ( A b ) = < n =, com um gru de indeterminção g = n cr( A) = =. 4 Prof. Isbel Mtos & José Amrl AGA A

6 4.5. Sistems homogéneos. Um sistem d form A = 0 é designdo por sistem homogéneo. odo o sistem homogéneo dmite pelo menos solução = 0, chmd solução trivil. Se um sistem homogéneo tiver outr solução pr lém d solução trivil então tem infinits soluções. Se A m n é tl que m < n, então o sistem homogéneo A = 0 tem soluções diferentes d solução trivil, ou sej, todo o sistem homogéneo com menos equções do que incógnits tem infinits soluções. Sendo A um sistem possível e indetermindo, = p um solução prticulr do sistem, ou sej, um qulquer ds sus soluções, e = h solução gerl do sistem homogéneo ssocido, A = 0, então = h + p é solução gerl do sistem A. Eemplos 6. Sej o sistem, A, 0 O sistem homogéneo ssocido, A = tem como solução gerl, b = b b 0, ddo que A 0 = = ~ = =, Sbendo que [ ] h b = 3 4 b p = é um solução prticulr do sistem A, então su solução gerl é d form b b = h + p = + = b 0 b Prof. Isbel Mtos & José Amrl AGA A

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