Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Luiz Fernando Satolo

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1 Mtemátic pr Economists LES Auls 5 e Mtrizes Ching Cpítulos e 5 Luiz Fernndo Stolo

2 Mtrizes Usos em economi ) Resolução sistems lineres ) Econometri ) Mtriz Insumo Produto

3 Álgebr Mtricil Conceitos Básicos Mtriz: tod tbel de números dispostos em: fils horizontis (ou linhs) verticis (ou coluns) Se tbel tiver m linhs e n coluns, dizemos que mtriz é retngulr do tipo (ou de ordem) m x n (lê-se m por n) As linhs são numerds de cim pr bixo As coluns são numerds d esquerd pr direit Os elementos de um mtriz são gerlmente representdos entre colchetes A indicção de um mtriz é feit por um letr miúscul do lfbeto.

4 Mtrizes Conceitos Básicos A Ordem: B Ordem: C Ordem: Mtriz (m x n) (x) (x) (x). Ordem d Mtriz

5 Mtrizes Conceitos Básicos ) Vetor linh: mtriz de um únic linh (m=) A = [ 5 9] (x) D = [d d... d n ] (xn) ) Vetor colun: mtriz de um únic colun (n=) c c C c c m (mx) B (x)

6 Mtrizes Conceitos Básicos ) Os elementos de um mtriz: representdos por meio de letrs minúsculs do lfbeto compost de dois índices: o primeiro indicndo linh, e o segundo, colun à qul pertence o elemento. 7 = = = = = =

7 Mtrizes Conceitos Básicos 5) Mtriz Qudrd: n = m número de linhs = número de coluns ) Digonl principl ( i = j) e Digonl secundári: i + j = n +

8 Mtrizes Conceitos Básicos 7) Mtriz Tringulr: bixo ou cim d digonl principl todos os elementos são nulos B A

9 Mtrizes Conceitos Básicos 8) Mtriz Digonl: mtriz qudrd n qul todos os elementos for d digonl principl são nulos um mtriz A é digonl se ij = pr i j

10 Mtrizes Conceitos Básicos 9) Mtriz Nul: todos os elementos são nulos é mtriz nul tipo x mtriz nul de ordem.

11 Mtrizes Conceitos Básicos ) Mtriz Identidde: mtriz qudrd cujos elementos d digonl principl vlem e os demis vlem Mtriz identidde de ordem n é indicd por In I I AI=IA=A

12 Mtrizes Conceitos Básicos Mtriz Identidde Exemplos A.I I.A : A ) ( então x A dimensão d mtriz identidde difere se estiver pré ou pós multiplicndo mtriz A É mesm se mtriz A for qudrd

13 Mtrizes Conceitos Básicos ) Mtriz Trnspost (A t ou A ): Dd mtriz A, de dimensão (mxn) mtriz trnspost de A (A t ou A ), de dimensão (nxm) é que se obtém trocndo s linhs por coluns (. Linh de A corresponde. colun de A t) A = (x) A t = (x)

14 Mtrizes Conceitos Básicos Proprieddes d Mtriz Trnspost (A t ) ) (A t ) t = A b) (A+ B) t = A t + B t c) (ABC) t = C t B t A t (desde que respeitds s comptibiliddes dimensionis) d) Cso especil: A t = A se: A é mtriz simétric ( ij = ji pr todo i j)

15 Mtrizes Conceitos Básicos A é mtriz simétric se ij = ji pr todo i j Proprieddes Simétric: A = A t A A t

16 Operções e Relções Algébrics Sejm: A = [ ij ] mxn B = [b ij ] mxn i =,,,..., m j =,,..., n ) Som e Subtrção de Mtrizes: - Operções são feits o nível de elementos - Mtrizes tem que ter mesms dimensões - A + B = C, onde C = [c ij ] mxn, tl que c ij = ij + b ij =

17 Operções e Relções Algébrics ) Som e Subtrção de Mtrizes: - Exemplos C = A + B = D = A B = 5 B A C 8 C

18 Operções e Relções Algébrics b) Multiplicção de Mtrizes: b.) Multiplicção por esclr A = A =... m... m n mn

19 Operções e Relções Algébrics b.) Multiplicção de dus mtrizes Dds dus mtrizes A e B, com dimensões (m x n ) e (m x n ), mtriz resultnte C = A.B: - Só existirá se n = m - Terá dimensão m x n A B C x 5 5 x x 7 7 x x x x x - (Vetor linh) x (vetor colun) = esclr (xn) (nx)

20 Operções e Relções Algébrics b.) Multiplicção de dus mtrizes - O elemento x ij d mtriz C será o resultdo d som dos produtos dos elementos d linh i de A pel colun j de B ) b) 9 5 B 8 A - B A

21 Operções e Relções Algébrics b.) Multiplicção de dus mtrizes - Gerlmente multiplicção de mtrizes NÃO é comuttiv: AB BA - A (x) B (x) = C (x) - B (x) A (x) : Não dá pr multiplicr - Se: A = B = AB = 7 BA = 8

22 Proprieddes ds Operções A) Proprieddes d Adição. Comuttiv: A + B = B + A. Associtiv: (A + B) + C = A + (B + C) B) Proprieddes d Multiplicção ) Associtiv: ABC = (AB)C = A(BC) ) Distributiv pel esquerd: A(B + C) = AB + AC ) Distributiv pel direit: (B + C)A = BA + CA (desde que s comptibiliddes dimensionis sejm observds)

23 Proprieddes ds Operções ) Comuttiv: NÃO (AB BA) (somente qundo um ds mtrizes for mtriz Identidde) 5) Se k é um número: (ka)b = A(kB) = k(ab). ) A A.A.A K n...a K vezes Qundo A = A : mtriz A é idempotente

24 Determinnte É um número ssocido à dd mtriz, obtido por determind regr Somente pr mtriz qudrd A regr de Crmer só é plicd n prátic em sistems com poucs equções, já que pr sistems com grnde número de equções e de incógnits são usdos métodos mis simples e práticos

25 Cálculo do Determinnte ) Mtriz de ordem Sej M Definimos determinnte de m como sendo o próprio numero isto é: det M

26 Cálculo do determinnte b) Mtriz de ordem : Sej M O determinnte de um mtriz de ordem é diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári det M

27 Cálculo do Determinnte Mtriz de ordem - Exemplos ( 8) 7 c) Mtriz de ordem Regr de Srrus ( prlelo pont )

28 + + + det M =

29 - - - det M =

30 - - - det M =

31 Cálculo do Determinnte ) Mtriz de ordem n qulquer O vlor de um determinnte de um mtriz M de ordem n qulquer pode ser obtido pel Expnsão de Lplce, prtir de qulquer linh ou colun d mtriz M Determinnte: é som dos produtos dos elementos de um fil qulquer (linh ou colun) pelos respectivos co-ftores Sej M um mtriz qudrd de ordem n e ij um elemento dest mtriz Chmmos de co-ftor de ij o produto de (-) i+j pelo determinnte d mtriz que se obtém suprimindo-se linh i e colun j de M.

32 Co-ftor ou Complemento Algébrico Sej mtriz M = M 5 O coftor de 5 é igul (-) + vezes o determinnte d mtriz suprimindo-se colun e linh do elemento 5. A = (-) +. = -

33 Sej mtriz M = 7 M O coftor de é igul (-) + vezes o determinnte d mtriz suprimindo-se colun e linh do elemento. A = (-) + ( ) = - 7

34 9 7 Expnsão pel. colun Escolher linh COM MAIOR NUMERO DE ZEROS 9) (

35 5

36 Proprieddes dos Determinntes ) det A = det A t ) Trocndo dus fils de posição, lter somente o sinl do determinnte

37 Proprieddes dos Determinntes ) Se todos os elementos de um linh ou colun forem iguis zero, o determinnte = 7 - ) Um mtriz com dus fils iguis, ou um fil igul o múltiplo d outr tem determinnte =

38 Proprieddes dos Determinntes 5) Se A é digonl ou tringulr: A ii Produtório dos elementos d digonl principl b c. b. c. d d

39 Proprieddes dos Determinntes ) Multiplicndo os elementos de um fil por α, o determinnte fic multiplicdo por α α c αb d α c b d 7) AB A.B

40 Mtriz Invers (A - ) Se pr um mtriz qudrd A nxn existir um mtriz qudrd B nxn, tl que: A.B = I = B.A Assim: Diz-se que B é mtriz invers de A. A - A = A A - = I n Sendo que A - existe se e somente se A

41 Mtriz Invers (A - ) Exemplo: Sej mtriz A / / A. A - / / A A. pois : - / / A A invers de A tem invers A I I

42 Mtriz Invers (A - ) ) A mtriz invers só é definid pr mtrizes qudrds b) Se NÃO EXISTIR A -, A é chmd de MATRIZ SINGULAR Se EXISTIR A -, A é chmd de MATRIZ NÃO SINGULAR c) Se EXISTIR A - el é únic d) (A - ) - = A e) (AB) = B - A - f) (A ) - = (A - ) (invers trnspost = trnspost invers

43 Usndo coftores Cálculo d Mtriz Invers A - A dja A cof (A) t i c ( ). M ij ij j Menor d Mtriz A É O DETERMINANTE DA MATRIZ RESULTANTE AO SE TIRAR A LINHA i E A COLUNA j

44 Cálculo d Mtriz Invers Ex: Clculr invers d Mtriz A 9

45 Cálculo d Mtriz Invers Ex: Clcule invers, se existir