1 Fórmulas de Newton-Cotes

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1 As nots de ul que se seguem são um compilção dos textos relciondos n bibliogrfi e não têm intenção de substitui o livro-texto, nem qulquer outr bibliogrfi. Integrção Numéric Exemplos de problems: ) Como determinr x e x dx? ) Como clculr f(x)dx qundo f(x) é conhecid pens em lguns pontos? Idéi: Substituir f(x) por um polinômio que proxime rzovelmente bem no intervlo de integrção considerdo e então integrr o tl polinômio. Fórmuls de Newton-Cotes Aqui trblhmos com interpolção sobre nós igulmente espçdos no intervlo [, b]. Sendo ssim: (b ) x =, x i = i +, x n = b, i =,,..., n. n e teremos o psso h = b n = x i+ x i. As fórmuls fechds de Newton-Cotes são fórmuls de integrção do tipo f(x)dx = xn x f(x)dx A f(x ) + A f(x ) + + A n f(x n ) onde fizemos x = e x n = b, e sendo os coeficientes A i determindos de cordo com o gru do polinômio interpoldor.. Regr dos Trpézios Usndo fórmul de Lgrnge pr interpolr f(x) em x e x, chmos p (x) e então f(x)dx p (x)dx = h (f(x ) + f(x )) = I T O ERRO! Sbemos que E (x) = f (α) (x x )(x x ), sendo ssim o erro cometido n! Regr dos Trpézios (E T ) será: E T (x) = f (α) (x x )(x x )dx,! que, usndo o teorem do vlor médio pr integris teremos: E T (x) = f (c)! =x =x (x x )(x x )dx = h3 f (c), onde c (x, x ) e depende de x e h. Cso o intervlo de integrção sej muito grnde, o erro tmbém será grnde. Pr se usr ess regr, será mis vntjoso dividirmos o intervlo [, b] em vários subintervlos e então plicrmos regr em cd um deles. Então n Regr do Trpézios Repetid:

2 teremos x =, x i = + h i, x n = b, h = b n, e ssim I r = h {f(x ) + [f(x ) f(x n )] + f(x n )}, e do erro será: E r = mh3 f (α), pr lgum α (, b)... Limitnte pr o erro Sendo f (x) contínu então existe M =máx f (x), x [, b] e ssim E r mh3 M = b h3 M.. Sej I = exp(x)dx. Clcule um proximção pr I usndo subintervlos e Regr dos Trpézios repetid. Estime o erro. Clcule o número de mínimo de subdivisões de modo que o erro sej inferior 3?. Sej I = 4 (x)dx. Clcule um proximção pr I usndo subintervlos e Regr dos Trpézios repetid. Estime o erro. Clcule o número de mínimo de subdivisões de modo que o erro sej inferior 3?. Regr 3 de Simpson Usndo form de Lgrnge pr encontrr o polinômio interpoldor p (x) pr x, x, x teremos: x =, x = + h, x = + h = b, h = b e ssim f(x)dx x e o erro cometido será E S = h5 9 f (iv) (c), c (x, x ). x p (x)dx = h 3 [f(x ) + 4f(x ) + f(x )] = I S D mesm form que no cso d Regr dos Trpézios, se o intervlo [,b] for grnde h = b tmbém será e o erro, que depende de h 5, será desconselhável. A lterntiv que se present, de novo, é subdivisão do intervlo [,b] e plicção d Regr 3 de Simpson em cd um deles. Teremos então : m subintervlos, sendo m pr pois Regr 3 de Simpson us intervlos de cd vez, os nós d interpolção serão x =, x i = e em cd subintervlo: xk (b ) m i +, x m = b, i =,,..., m, x k p (x)dx = h 3 [f(x k ) + 4f(x k ) + f(x k )], k =,,..., m/.

3 Então xm x f(x)dx = h 3 {[f(x ) + f(x m )] + 4[f(x ) + f(x 3 ) + + f(x m )]+ +[f(x ) + f(x 4 ) + + f(x m )]} mh5 9 f (iv) (α), α (x, x m ), e ind E r mh5 8 máx{ f (iv) (x) ; x [x, x m ]}.. Sej I = exp(x)dx. Clcule um proximção pr I usndo subintervlos e Regr dos 3 de Simpson repetid. Estime o erro. Clcule o número de mínimo de subdivisões de modo que o erro sej inferior 3?. Sej I = 4 (x)dx. Clcule um proximção pr I usndo subintervlos e Regr dos 3 de Simpson repetid. Estime o erro. Clcule o número de mínimo de subdivisões de modo que o erro sej inferior 3?.3 Regr 3 8 de Simpson Se f(x) for proximd por um polinômio interpoldor de gru 3 em x, x, x, então onde h = b. f(x)dx x3 x p 3 (x)dx = 3h 8 [f(x ) + 3f(x ) + 3f(x ) + f(x 3 )] = I 3 Exercício: Clculr 4 dx x : )pel Regr 3 8 b)pel Regr 3 c)pel Regr dos Trpézios. Verificr que proximção melhor conforme cresce o gru do polinômio interpoldor..3. Regr 3 8 de Simpson repetid 3 8 Subdividindo o intervlo [,b] em m (múltiplo de 3) subintervlos iguis e plicndo Regr de Simpson repetid cd 4 pontos, tem-se: xm x f(x)dx = 3h 8 [f(x ) + 3f(x ) + 3f(x ) + f(x 3 ) + + f(x m 3 ) + 3f(x m ) + 3f(x m ) + f( Pr Regr 3 8 de Simpson repetid o erro cometido será E 3r = Exercício: Clculr 4 ln(x3 + e x + )dx pel Regr (b )5 8m 4 f (iv) (c), c (, b). de Simpson repetid, com m = 6.

4 Comprndo s fórmuls nteriores, not-se que s fórmuls de Newton-Cotes presentm form gerl: I n = nh n c i y i d n onde os c is são os coeficientes de Cotes. Por exemplo, pr n =,,..., 8: i= n d n c c c c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c A regr dos trpézios plicd f(x) dx dá o vlor 4, e regr 3 de Simpson dá o vlor. Qul é o vlor de f()?. A fórmul de qudrtur f(x) dx = c f( )+c f()+c f() é ext pr polinômios de gru menor ou igul. Determine c, c, c. 3. Aproxime s integris bixo usndo: regr dos trpézios com n = 4; regr 3 regr 3 8 de Simpson com n = 6; de Simpson com n = 9.,5 x 4 dx,,6 x,5 x 4 dx, x ln(x) dx, π/ x sin(x) dx 4. Determine o número mínimo n de subintervlos pr proximr I = de 5 e clcule proximção. Use regr dos trpézios. Use regr 3 Use regr 3 8 dx x+4 com precisão 4

5 Qudrtur Gussin De form gerl, um fórmul de Newton-Cotes que proxim f(x) por um polinômio interpoldor em x, x,..., x n é ext pr polinômios de gru menor ou igul n. (Note que E n = Af (n+) (c) onde f (n+) (x) = se f(x) é um polinômio de gru n.) Vmos deduzir outrs fórmuls do tipo f(x)dx = n i= A n f(x i ), onde x, x,..., x n são (n + ) pontos distintos quisquer, e que são exts pr polinômio de gru menor ou igul (n + ). São chmds de Qudrtur Gussin. f(x)dx = [f(x )L (x) + + f(x n )L n (x)]dx + E n, ou sej, f(x)dx A f(x )+ +A n f(x n ) onde A i = Ln i (x)dx, i =,,..., n e Ln i (x), i =,,..., n são os polinômios de Lgrnge ssocidos os nós ddos. A título de exemplo, vmos construir fórmul d Qudrtur Gussin pr n =, ou sej, queremos determinr x, x, A e A tis que f(x)dx A f(x ) + A f(x ) sej ext pr polinômios de gru menor ou igul 3 = +. Por simplicidde fçmos [, b] = [, ]. Sej β =, t, t, t 3 um bse do espço vetoril P 3 (t), desse modo qulquer polinômio p(t) pode ser escrito como combinção liner dos elementos de β. Nosso interesse então se volt pr o cálculo dos coeficientes nesses polinômios d bse. g(t)dt = A g(t ) + A g(t ) g(t) = A + A = dt = g(t) = t A t + A t = tdt = g(t) = t A t + A t = t dt = 3 g(t) = t 3 A t 3 + A t 3 = t3 dt = Resolvendo o sistem cim teremos t = 3, t = t, A = A =, e então f(x)dx f( 3 ) + f( 3 ). No cso de um intervlo genérico devemos efetur um mudnç de vriáveis: pr t [, ] temos x [, b] qundo x = b [ + b + t(b )] e dx = dt.. Clculr um proximção pr e x dx usndo Qudrtur Gussin.. Aproxime s seguintes integris usndo: regr dos trpézios; s regrs de Simpson; qudrtur gussin com n =.,5 x 4 dx,,6 x,5 x 4 dx, x ln(x) dx, π/ x sin(x) dx 5

6 3 Extrpolção de Richrdson A extrpolção de Richrdson é um método utilizdo pr melhori do resultdo obtido n plicção ds fórmuls de integrção de Newton- Cotes e se bsei n plicção repetid de tis fórmuls. 3. Pr Regr do Trpézios O resultdo obtido n plicção d regr dos trpézios pode ser escrito d seguinte form: I = I + E, onde I é o vlor exto d integrl, I é o resultdo que se obtem de um primeir plicção d regr dos trpézios utilizndo-se n subintervlos e E é o erro cometido com esses n subintervlos. E = (b )3 n f (α). Aplicndo-se novmente regr com um novo número de subintervlos n (onde n > n ), tem-se: I = I + E, onde E é o erro cometido com esses n subintervlos. E = (b )3 n f (β). Comprndo-se os vlores de I teremos I = I + n (I n I ) que é fórmul d Extrpolção n de Richrdson pr regr dos trpézios. Exercício: Clculr o vlor d integrl I = π sin x dx plicndo regr dos trpézios, pr n = e n = 4, respectivmente. resposts: ) I =, 57. b) I =, 896. c) I =, Pr Regr de Simpson O cálculo pr determinção d fórmul de extrpolção de Richrdson pr s regrs de Simpson é feito de modo semelhnte àquele pr regr dos trpézios. Dí I = I + n n 4 (I I ). n4 Est fórmul é válid pr qulquer um ds fórmuls de Simpson, pois o erro ds fórmuls nels é inversmente proporcionl n 4. É bom observr que pr de cálculr I e I deve-se usr mesm fórmul.. Clculr o vlor d integrl I = 4 dx plicndo regr /3 de Simpson, pr (7 5x) /3 n = 4, n = 8 e extrpolção de Richrdson pr melhorr o resultdo. 6

7 . Sej função f(x) conhecid pens nos pontos tbeldos bixo: i x i y i plique regr /3 de Simpson, pr n =, n = 4 e extrpolção de Richrdson pr melhorr o resultdo. 3. Aproxime integrl I = π/ x sin(x) dx usndo: regr dos trpézios com n = e n = 4; regr 3 de Simpson com n = 4 e n = 6; regr 3 8 de Simpson com n = 6 e n = 9. Em cd cso melhore proximção usndo Extrpolção de Richrdson referente à regr. Compre com o vlor exto d integrl. Referêncis [] RUGGIERO, M.A.G. e ROCHA LOPES, V.L. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computcionis. MAKRON Books,996 [] CUNHA, M.C.C. Métodos Numéricos. Cmpins, Editor d Unicmp,. [3] CAMPOS Filho,F.F. Algorítmos Numéricos. [4] SPERANTIO,D.,MENDES,J.T.,SILVA,L.H.M. Cálculo Numérico. São Pulo, Prentice Hll, 3. [5] BURDEN,R.L.,FAIRES,J.D. Análise Numéric. São Pulo, Pioneir Thomson Lerning, 3. 7

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