PRODUTOS NOTÁVEIS. Duas vezes o produto do 1º pelo 2º. Quadrado do 1º termo

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1 PRODUTOS NOTÁVEIS QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS ( + y) = + y + y Qudrdo d som de dois termos Dus vezes o produto do º pelo º Eemplo : ) ( + y) = +..(y) + (y) = + 6y + 9y. ) (7 + ) = c) ( 5 +c) = d) m + = 4 Qudrdo do º termo Qudrdo do º termo O qudrdo d som de dois termos é igul o qudrdo do primeiro, mis dus vezes o produto do primeiro pelo segundo, mis o qudrdo do segundo. QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ( y) = y + y Eemplo : ) (7 4) = (7).(7) = ) (6 ) = ) ( y) = 4) p h = 5 Qudrdo d diferenç de dois termos Qudrdo do º termo Dus vezes o produto do º pelo º Qudrdo do º termo O qudrdo d diferenç de dois termos é igul o qudrdo do primeiro, menos dus vezes o produto do primeiro pelo segundo mis o qudrdo do segundo. PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ( + y). ( y) = y Som dos termos Diferenç dos termos Qudrdo do º termo Qudrdo do º termo O produto d som pel diferenç de dois termos é igul o qudrdo do primeiro termo menos o qudrdo do segundo termo.

2 Eemplo : ) ( + ). ( )= () () = 9. ) ( + 5p). ( 5p)= ) (0 4 ). (0 + 4 )= 4) + c. c = 5 5 Eercícios. ) Utilizndo s regrs dos produtos notáveis, clcule: ) ( + ) ) ( + ) c) (5y ) d) ( 6) e) ( + 7) f) (9 + ). (9 ) g) ( y) h) y 6 i) ( + y) j) y + 4. y 4 k) ( y y ) l) (y 5) m) (5 + 8) n) ( + ). ( ) o). + p) (0 ) q) ( + ) r) ( ). ( 4 4 ) s) t) 8 y 6

3 u) v) ( + y ). ( y ) CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS ( + y) = + y + y + y Cuo d som de dois termos Cuo do º termo Três vezes o produto do qudrdo do º pelo º Três vezes o produto do º pelo qudrdo do º Cuo do º termo O cuo d som de dois termos é igul o cuo do primeiro, mis três vezes o produto do qudrdo do primeiro pelo segundo, mis três vezes o produto do primeiro pelo qudrdo do segundo, mis o cuo do segundo. Eemplo 4: Efetue: ) ( + ) = ) ( + 4) = c) ( + y) = CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ( + y) = y + y y Cuo d diferenç de dois termos Cuo do º termo Três vezes o produto do qudrdo do º pelo º Três vezes o produto do º pelo qudrdo do º Cuo do º termo O cuo d diferenç de dois termos é igul o cuo do primeiro, menos três vezes o produto do qudrdo do primeiro pelo segundo, mis três vezes o produto do primeiro pelo qudrdo do segundo, menos o cuo do segundo. Eemplo 5: Efetue: ) ( ) = ) ( 4) = c) ( y) =

4 FATORAÇÃO Ftorr um número signific escrevê-lo como um multiplicção de dois ou mis números. Qundo todos os termos de um polinômio têm um ftor comum, podemos colocálo em evidênci. A form ftord é o produto do ftor comum pelo polinômio que se otém dividindo-se cd termo do polinômio ddo pelo ftor comum. Diferenç de Qudrdos Considere o polinômio y. Nos produtos notáveis, vimos que ess diferenç de qudrdos é o resultdo de ( + y).( y). Portnto, y = ( + y).( y). Por isso, tod diferenç de dois qudrdos pode ser ftord como cim. Eemplo 6: Ftore 5. Como 5 = 5, 5 = 5 = ( + 5)( 5). Trinômio Qudrdo Perfeito O polinômio +y + y é um trinômio qudrdo perfeito. É um trinômio porque tem três monômios; e é um qudrdo perfeito porque ele é o qudrdo de ( + y), ou sej, é o resultdo de ( + y). Outro trinômio qudrdo perfeito é y + y, que é o resultdo de ( y). Assim, temos mis dois polinômios que semos ftorr: + y + y = ( + y) y + y = ( y). Eemplo 7: ) Ftore Neste cso e 6 são qudrdos e sus ses são e 6 e, lém disso, =..6. Assim, = ( + 6). ) é um qudrdo perfeito? Or, 9 = () e 5 = 5. Ms,.().5 = 0. Logo, não é um trinômio qudrdo perfeito. c) Ftore 6 y + y. Nesse cso, 6 = ( ) e y = (y) e..y = y. Logo, 6 y + y = ( y). 4

5 Eercícios: ) Ftore s seguintes epressões: ) 4 ) y 6 c) 9 6 d) 8 64 e) y 5 f) 4 5 g) h) i) j) k) + l) + + m) 6y 4 n) 5m + 0m + 4 o) ) Oserve ftorção seguinte: 4 = ( + )( ) = ( + )( + )( ) Agor, decomponh num produto de três ftores. ) 4 c) 0 8 ) 8 4 d) ) Efetue s divisões seguintes, ftorndo o dividendo ) c) 7 (5 ) 6 ) d) ) Simplifique e efetue

6 FATOR COMUM Vmos efetur ess multiplicção: (y + z + ). (y + z + ) = y + 9z + 6. Agor, queremos ftorr y + 9z + 6. Oserve que em y + 9z + 6, o termo está presente em todos os monômios, isto é, ou sej, y + 9z + 6 = ()y + ().z + ()., y + 9z + 6 =.(y + z + ). Ao fzer isso, dizemos que foi colocdo em evidênci. Qundo todos os termos de um epressão lgéric têm um ftor comum, podemos colocá-lo em evidênci. Eemplo 8: ) Ftore O ftor comum é. Assim, colocndo em evidênci, temos: = ( + 4). ) 4y z c) y 44 y + y d) FATORANDO POR AGRUPAMENTO Vmos ftorr + y + + y. Neste cso, não temos um ftor comum tods s prcels. No entnto, é o ftor comum às dus primeirs prcels e é o ftor comum às dus últims. Por isso, podemos seprr epressão em dois grupos e, colocr em evidênci o ftor comum de cd grupo: + y + + y = ( + y) + ( + y) Agor, cd prcel do memro tem o ftor comum ( + y). Colocndo ( + y) em evidênci, otemos: + y + + y =( + y).( + ) Ftorção por Agrupmento Pr ftorr um epressão lgéric por grupmento formmos grupos com os termos d epressão; em cd grupo, colocmos os ftores comuns em evidênci; colocmos em evidênci o ftor comum todos os grupos (se eistir). 6

7 Eemplo 9: ) Vmos ftorr y + y. y + y = + y y = ( + y) (y + ) = ( + y)( ) ) y 5y + y 5 c) + y + y + d) y y + 4y e) + Colocndo o ftor comum em evidênci, ftore cd um dos seguintes polinômios: ) 6 + 6y ) + j) + + c) 4 d) 5 + 0c l) + e) y y + y 8 4 f) m) y + y g) 5 4 m + 4 m h) n) 0y + 00y 40y i) y + y o) 8mn + 0m n + 54mn Eercícios: 6) Ftore os seguintes polinômios: ) cy y + c ) c) + 4y y d) m + m + + e) + y + + y f) + y y g) y y 8 + y 4 h) i) j) 6n + n + + k) + l) m + mn + p + pn ) Ftore +. + = ( ) + ( ) Oserve que epressão ( ) é opost de ( ), isto é, = ( ). Então: ( ) + ( ) = ( ) ( ) = ( )( ) 8) Ftore: ) + y y ) c) + d) y + y 9) Simplifique s seguintes epressões: ) 4 ) 5( + ) y( + )

8 0) Vmos ver outro cso de ftorção. Primeiro oserve: ( + )( + 5) = = Então, pr ftorr procurmos dois números de som 7 e produto 0. Por tenttivs, vemos que esses números são e 5. Portnto, = ( + )( + 5) Agor, vmos ftorr: ) d) ) e) + + c) f) 6 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO º GRAU MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO: + y = 8 Eemplo : Resolver o seguinte sistem. y = 5 Resolução: psso: Isolr um incógnit. Vmos isolr incógnit n primeir equção. (você pode escolher qulquer equção e isolr qulquer incógnit) + y = 8 = 8 y psso: Sustituir incógnit isold. N segund equção sustituímos incógnit por 8 y. y = 5 (8 y) y = 5 psso: Resolver equção num só incógnit. Resolvemos equção otid: (8 y) y = 5 8 y y = 5 8 y = 5 y = 5 8 y = 46 = 8

9 4 psso: Encontrr o vlor d incógnit isold no início. Ao isolrmos, vimos que = 8 y. Sustituindo o vlor de y = em = 8 y, otemos o vlor de : = 8 y = 8 = 58 A únic solução do sistem é S = {(58,)}. 5 + y = Eemplo : Resolver o sistem. 4 y = 6 Resolução: 5 Isolndo um incógnit: y =. Sustituindo incógnit isold em outr equção: 4 y = = 6 4 Clculndo incógnit isold no início: 4 0 = =. A únic solução do sistem é S = {(, )}. 5 y = y = = = 8 5. y =. MÉTODO DA ADIÇÃO + y = 8 Eemplo : Resolver o seguinte sistem. y = 5 Resolução: Oserve que primeir equção tem o termo +y e segund equção tem o termo simétrico y. Esse fto permite-nos oter um só equção sem incógnit y, somndo s dus equções memro memro. + y = 8 y = = = 6 = 58. Agor, é só sustituir o vlor de num ds equções do sistem: + y = y = 8 y = 8 58 y = A únic solução do sistem é S = {(58,)} 9

10 5 + y = Eemplo 4: Resolver o sistem. 4 y = 6 Neste cso, seri inútil somr imeditmente s equções. Como não há termos simétricos, nenhum incógnit desprece. Ms, podemos oter termos simétricos. Pr isso, st multiplicr mos os memros d primeir equção por e multiplicr mos os memros d segund equção por. 5 + y = 0 + 6y = 4 4 y = 6 6y = 8 Agor temos os termos simétricos +6y e 6y. Por isso, vmos somr s dus equções, memro memro y = 4 6y = = + 0 = =. Agor, é só sustituir o vlor de num ds equções do sistem: 5 + y = 5. + y = y = 5 y = / y =. A únic solução do sistem é S = {(, )} Eercícios. ) Usndo o método lgérico d sustituição, determine solução de cd um dos seguintes sistems de equções: ) ) + y = 7 y = 5 + 5y = 8 = 60 y y = 5 + c) y = 8 + y = d) 4 y = y + = e) 0 = (y + ) ( + y) 5( y) = 0 f) = 5y + 0

11 ) Usndo o método lgérico d dição, determine solução de cd um dos seguintes sistems de equções: ) + y = y = 5 + 4y = ) 5 y = y = c) + y = 7 y + = e) y 7 = ( + ) (y + ) = f) y = 4 5 d) + 7y = + y = 5 EQUAÇÕES DO º GRAU Um equção do gru n vriável é tod equção d form: + + c = 0, onde, e c são os coeficientes d equção, representdo por números reis, com 0. Considere resolução ds seguintes equções do gru: ) 7 = 0. ( 7) = 0 = 0 ou 7 = 0 = 0 ou = 7. S = { ε R = 0 ou = 7}. ) 5 = 0. = 5 = ± 5. S = { ε R = 5 ou = -5}. ) = 0. ( 5) = 0 = 5. S = { ε R = 5}. 4) = = = 4 ( ) = 4 = ± = 5 ou = S = { ε R = 5 ou = }. 5) = = = = 6 ( 5) = 6 5 = ± 4 = 9 ou =. S = { ε R = 9 ou = }.

12 Agor, considere equção gerl do gru n form norml Dividindo por, tem-se: ou: ou, ind: O termo do meio, + + c = 0, com c = c + + = 0 0 c +. + = 0.., pode ser escrito como... Assim, equção ficrá: c = 0 Pr completr o qudrdo, deve ser diciondo equção. Assim, el fic: +.. ou, ind, pode ser escrit como: ou, ou, ou, = = 4 + c c = = = c 4 c 4c em mos os ldos d ou, ou, + = = = ± ± ± 4c 4c 4..c

13 A fórmul de Bhskr N equção do gru, + + c = 0, indic-se 4c por Δ. Qundo Δ < 0, equção não tem soluções reis. ± 4..c Qundo Δ 0, s soluções são otids pel fórmul: =. Eercícios: ) Resolv s seguintes equções incomplets do º gru: ) = 0 ) + = 0 c) 0 5 = 0 d) 50 = 0 ) Resolv s seguintes equções do º gru, etrindo riz qudrd: ) ( 0) = 6 ) ( + 5) = 4 c) ( ) = 49 d) ( + 5) = 6 e) ( ) = 6 f) = 4 g) + + = 8 ) Resolv s seguintes equções, usndo mesm metodologi do eercício, trnsformndo um prte dels em um trinômio qudrdo perfeito. ) 5 = 0 ) 7 + = 0 c) = 0 d) 6 = 40 e) = 0

14 f) = 0 g) = 0 h) = 0 i) = 0 4) Resolv equções do gru, usndo fórmul de Bhskr: ) = 0 ) = 0 c) = 0 d) ( + 4)( ) + = 5( ) e) ( ) + ( 5) = 6( + ) f) ( )( + 4) 0 = ( )( + ) 5) O número rel somdo com o doro de seu inverso é igul. Escrev n form norml equção do gru que se pode formr com os ddos desse prolem. n ( n ) 6)O número de digonis de um polígono pode ser otido pel fórmul d =. Se d = 5, escrev, n form norml, equção do gru n incógnit n que se pode oter. 7)Dividindo o número 05 por um certo número positivo y, o quociente otido é eto e super o número y em 8 uniddes. Escrev equção n form norml que se pode formr com os ddos desse prolem. 8)Em um retângulo de áre 9 m, medid do comprimento é epress por ( + )m enqunto medid d lrgur é epress por ( 6)m. Nesss condições, escrev n form norml equção do gru que se pode formr com esses ddos. 9) Um qudrdo cuj medid do ldo é epress por ( )cm tem mesm áre de um retângulo cujos ldos medem ( + )cm e ( + )cm. Nesss condições, escrev, n form norml, equção do gru que se pode oter com esses ddos. FATORAÇÃO DO TRINÔMIO DO º GRAU Alguns tipos de epressões lgérics tis como diferenç de qudrdos d form 49 ou trinômio qudrdo perfeito, podem ser decompostos como ( 7)( + 7) ou ( + 5). Agor, veremos como s epressões do tipo + + c = 0, com 0, que são chmds de trinômios do º gru são ftords. Pr isso, consideremos o seguinte eemplo. 4

15 Eemplo : Consideremos multiplicção de ( ) por ( 5). ( )( 5) = = O ldo esquerdo d iguldde pode ser visto como form ftord e o ldo direito form não-ftord. Assim, ( )( 5) e são epressões iguis. N epressão ( )( 5), é fácil ver o que contece qundo sustituímos = ou = 5: otém-se o resultdo zero. Por isso dizemos que e 5 são os nuldores de ( )( 5). Logo, e 5 são tmém nuldores de Ou sej, pr esses vlores de, deve-se ter = 0. Então, os números e 5 podem ser encontrdos com fórmul de Bhskr: Δ = ( 8) ( 8) ± 4 8± 4..5 = = 4; = =, isto é, = ou = 5. Oserve então ftorção de 8 + 5: = ( )( 5). Logo, generlizndo, tem-se: Todo trinômio do º gru + + c = 0, com Δ 0, pode ser ftordo ssim: + + c = ( )( ) em que e são s soluções de + + c = 0. OBS.: O trinômio de º gru + + c = 0, com Δ 0, não pode ser ftordo. Eemplo : Ftore o trinômio do º gru Solução: Inicilmente determinm-se os nuldores de Usndo fórmul de Bhskr, temos: Δ = ( 6) ( 6) ± 4 6± 4..8 = 6 = 4; = =, isto é, = 4 ou =. Então, = ( )( ) = ( 4)( ) = ( 4)( ). Você pode conferir, efetundo ( 4)( ) e verificndo se otém Eemplo : Ftore o trinômio do º gru 6 +. Solução: Inicilmente determinm-se os nuldores de 6 +. Usndo fórmul de Bhskr, temos: Δ = ( 6) ( 6) ± 0 6± = 6 6 = 0; = =, isto é, = =.. 6 Então, = ( )( ) = ( )( ) = ( ). Você pode conferir, efetundo ( ) e verificndo se otém 6 +. Eercícios. ) Ftore, qundo for possível: ) ) 0 c) + 5 d) e) + 6 f) g) 4 4 h) i) j) + + k) l) 8 5

16 ) Simplifique epressão: + 6 ) ) 5+ 4 d) e) c) f) ) Qul é o vlor d epressão 7+ 8 pr = 98? EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS Equção frcionári é tod equção que tem pelo menos um vriável no denomindor de um frção lgéric. Por eemplo, + = é um equção frcionári. 4 6 Eercícios. ) Resolv equção: ) + = ) = c) + = + 4 d) + = + e) + = + 4 f) = 6

17 g) = h) + + = i) 4 + = ( ) 8 j) + = 4 ( 4) 5 4 k) + = ( )( ) l) 4 = + ( + )( + ) + m) + = 5+ 6 n) + = 7+ FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS Função Eponencil Suponh que tulmente dívid de um certo município sej de milhão de dólres e que, prtir de hoje, cd décd, dívid dore em relção o vlor devido n décd nterior. Dess form, podemos construir tel seguir, n qul o tempo zero indic o momento tul: Tempo (em décds) Dívid (em milhões de dólres)

18 Note que, n segund colun, os vlores são potencis de, ou sej, 0,,,, 4, 5,... Assim, pr cd tempo, em décds, dívid y, em milhões de dólres, pode ser epress pel função: y =. Nest seção vmos estudr funções como desse eemplo, isto é, funções do tipo y =, em que é um constnte rel positiv e diferente de. Oserve que ness função vriável é o epoente, e por isso é chmd de função eponencil. Função eponencil é tod função f: R R* +, tl que f() =, com R* + e. Se = n, um inteiro positivo, então n = n ftores Se = 0, então 0 =, e se = n, onde n é um inteiro positivo, então n = n. Se for um número rcionl, = p/q, onde p e q são inteiros e q > 0, então = p/q = q p = q ) p (. Ms, qul o significdo de, se for um número irrcionl? Qul o significdo de ou 5 π+? Pr responder esss questões considere o gráfico d função y =. Eemplo : f() = é um função eponencil. Por meio de um tel, podemos oter lguns pontos d função e, prtir deles, esoçr o gráfico: y = - /8 - ¼ - ½ Dom(f) = R Im(f) = R* + f é crescente em todo seu domínio. 9 y 8 y = ^ Eemplo : f() = - = (/) é um função eponencil. 8

19 Por meio de um tel, podemos oter lguns pontos d função e, prtir deles, esoçr o gráfico: y = (/) ½ ¼ /8 Dom(f) = R Im(f) = R* + f é decrescente em todo seu domínio. 9 y 8 y = ^ Leis dos Epoentes. Se e forem números positivos e e y números reis quisquer, então. +y = y. y =. ( ) y = y 4. () = y Proprieddes. E. Sendo > 0 e, tem-se: = y = y. E. A função eponencil f() = é crescente em todo seu domínio se, e somente se, >. Tem-se, então: 9 8 y = ^ 7 y = y 9

20 m > n m > n,, com R e >. E. A função eponencil f() = é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0 < <. 9 y 8 y = ^- 7 y = Tem-se, então: m > n m < n,, com R e 0 < <. Eemplo. Esoce o gráfico d função y = e determine seu domínio e su imgem. Eemplo 4. Dds s funções f() = modo que: + 7 e g() = 5+ ) f() = g() ) f() < g() c) f() > g() d) f() =, determine rel de Função Logrítmic Se > 0 e, função eponencil f() = é crescente ou decrescente, el é invertível, pelo Teste d Ret Horizontl. Assim, função invers f -, chmd de função logrítmic com se denotd por log. Usndo formulção de função invers F - () = y f(y) =, teremos log = y y = Assim, se > 0, então log é o epoente o qul deve se elevr se pr se oter. Temos, então log = e log = 0. Por eemplo, log 0 0,00 = - porque 0 - = 0,00. 0

21 As equções de cncelmento vistos em funções inverss, qundo plicds f() = e f - () = log, ficm ssim: log ( ) = pr todo R log = pr todo > 0 A função logrítmic log tem o domínio (0, ) e imgem R. Seu gráfico é refleão do gráfico de y = em torno d ret y =. O gráfico io mostr o cso em que >. y y = ^ y = log y = As seguintes proprieddes ds funções logrítmics resultm ds proprieddes correspondentes ds funções eponenciis. Leis dos Logritmos. Se e y forem números positivos, então. log (y) = log + log y. log ( ) = log log y y. log ( r ) = rlog Eemplo 5. Use lei dos logritmos pr clculr log 80 log 5. Usndo lei, log 80 log 5 = log 80/5 = log 6 = log 4 = 4. Proprieddes. G. log = log y = y pr > 0, y > 0, > 0 e. G. A função logrítmic f() = log é crescente em todo seu domínio se, e somente se, >. (figur cim) Tem-se, então: log > log >, pr > 0, > 0, > 0 e.

22 G. A função logrítmic f() = log é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0 < <. (figur io). y y = ^ y = log y = Tem-se, então: log < log >, pr > 0, > 0, > 0 e. Logritmos Nturis De tods s possíveis ses pr os logritmos, escolh mis conveniente pr um se é e. Os logritmos n se e são chmdos de logritmos nturis e têm um notção especil: log e = ln Fzendo = e, e sustituindo log e por ln ns proprieddes já descrits pr logritmos, s proprieddes que definem função logritmo nturl ficm ln = y e y = ln e =, R e ln =, > 0 ln e = Eemplo 6. Epresse ln + ln como um único logritmo. Eemplo 7. Determine o domínio de cd um ds funções:

23 ) f() = log ( + ) ) g() = log ( ) Eemplo 8. Esoce o gráfico d função y = ln( ). 4 y Eercícios. ) N figur o ldo está representdo o gráfico de f() = k m, sendo k e constntes reis positivs, com. O vlor de f() é: ) /8 ) ½ c) ¾ d) / ) Em pesquis relizd, consttou-se que populção (P) de determind ctéri cresce segundo epressão P(t) = 5. t, em que t represent o tempo em hors. Pr tingir um populção de 400 ctéris, será necessário um tempo de: ) 4 hors ) hors c) hors e 0 min. d) hors e) hor ) O núncio de certo produto prece dirimente num certo horário n televisão. Após t dis do início d presentção desse núncio, o número y de pessos que ficm conhecendo o produto é ddo por y = (0,8) t, em que y represent o número de pessos, em milhões. Pr que vlores de t temos etmente,08 milhão de pessos conhecendo o produto? 4) Os gráficos de f() =, com R* + e, e g() = se interceptm em um ponto de sciss. O vlor de é: ) ) c) 4 d) 8 e) 9 5) Fç num mesmo sistem de coordend os gráficos ds funções: y =, y = e, y = 5, y = 0. Como estão relciondos esses gráficos? 6) Epresse quntidde dd como um único logritmo. ) log 64 ) log 6 6 c) log 8 d) ln e e) log 0,5 + log 0 80 f) log log 5 0 log 5 7) Epresse quntidde dd como um único logritmo. ) ln 4 ln ) ln + ln y ln z

24 8) Encontre o domínio e imgem d função g() = ln(4 ). 9) Clssifique como crescente ou decrescente cd um ds funções: ) f() = log 5 ) g() = log 0, 0) Julgue verddeir ou fls cd um ds seguintes firmções, onde > 0 e > 0. ( ) ) log = log 5 = 5. ( ) ) log > log >. ( ) c) log > log >. ( ) d) log 0,7 > log 0,7 >. ( ) e) log, 5 log, 5. ) Determine o domínio ds seguintes funções: ) f() = log 8 (5 5) ) g() = log 5 ( ) c) h() = log (6 ) d) f() = log ( ) 0 e) g() = log ( ) (5 ) f) h() = log ( ) (6 ) ) Determine os vlores reis de tis que: ) y = log ( ) é crescente. ) y = log ( ) é crescente. c) y = log é crescente. ( ) ) Dd função f() = +, determine: ) f(9) ) f( ) c) o vlor de pr que se tenh f() = 8. 4) Determine o vlor de k de modo que o ponto (8,k) pertenç o gráfico d função f() = + log. 4

25 Funções Trigonométrics. A Origem d Trigonometri As dimensões do Universo sempre fscinrm os cientists. O strônomo grego Aristrco de Smos (0.C. 0.C.) foi um dos primeiros clculr s distâncis que seprm Terr, Lu e o Sol; pr isso ele usou relções entre s medids dos ldos e s medids dos ângulos internos de triângulos retângulos. Pr eemplificr, mostrremos um mneir de clculr distânci entre Terr e Lu e medid do rio desse stélite. Suponhmos que em um oservtório stronômico A, Lu é vist no zênite, isto é, n verticl; no oservtório B, Lu é vist n linh do horizonte, conforme figur. Lu L Conhecendo-se medid R do rio d Terr e medid α do ângulo centrl AÔB, que é igul à medid do rco AB, pode-se oter distânci AL d seguinte mneir: B A R α R O Terr cosα = R AL AL = + R R R cosα Pr o cálculo d medid r do rio d Lu, inicilmente, mede-se o ângulo formdo pels dus rets tngentes AT e AT um círculo máimo do stélite, conforme figur seguir: T Terr A β d L r r C Lu m(tât ) = β T Conhecendo-se distânci d entre os pontos A e L, otém-se: β r c.sen sen = r = β d + r sen A prte d mtemátic que estud esss relções recee o nome de Trigonometri, do grego trigono (triângulo) e metri (medid), e surgiu d necessidde de medir distâncis incessíveis. β 5

26 . Seno, Co-seno e Tngente de um Ângulo Agudo Sejm todos os triângulos retângulos com um ângulo interno gudo de medid α. As rzões entre ldos correspondentes são iguis: A C E G O α BA OA OB OA BA OB B D F H DC FE HG = = = = r ; OC OE OG OD OF OH = = = = r ; OC OE OG DC FE HG = = = = r. OD OF OH As rzões (trigonométrics) r, r e r, são chmds, respectivmente de: seno do ângulo α (sen α), co-seno do ângulo α (cos α) e tngente do ângulo α (tg α). Em resumo, temos: α c Cteto oposto sen α = = Hipotenus cos α = Cteto djcente Hipotenus = c tg α = Cteto oposto Cteto djcente = c Eemplo : Um engenheiro deve medir lrgur de um rio. Pr isso, fi um ponto A n mrgem em que está e um ponto B n mrgem opost (conforme figur). A seguir desloc-se 40m perpendiculrmente à ret AB té o ponto C e mede o ângulo AĈB, otendo 44. Clcule lrgur do rio. Ddos: sen44 = 0,69; cos44 = 0,7; tg44 = 0,96. rio A B 40m 44 C 6

27 . Relção entre o seno, o cosseno e tngente de um ângulo gudo Construindo um ângulo gudo de medid α e trçndo um perpendiculr um dos ldos do ângulo (conforme figur), temos: α B α c C A senα Clculndo senα e cosα, e efetundo = cosα c = = tg α. c Ddo um ângulo gudo de medid α, tem-se: senα tgα = cosα Eemplo : Ddos sen 40 = 0,64 e cos 40 = 0,76, determinr o vlor de n figur: 0m 40 C.4 Ângulos Complementres Construindo um ângulo gudo de α α B medid α e trçndo um perpendiculr c A um dos ldos do ângulo, temos: Oserve que o ângulo C ˆ é o complementr de B ˆ, pois α + med( Ĉ ) = 90 med(c ˆ ) = 90 α. Assim, temos: senα = C cos(90 α) = B 90 - α α c A c cosα = c sen(90 α) = senα = cos(90 α) cosα = sen(90 α) Se α é medid de um ângulo gudo, então: sen α = cos (90 α) e cos α = sen (90 α). 7

28 Eemplo : Sendo que cos = 0,9, clculr o vlor d epressão: sen + cos67 E =. 4.tg.5 Ângulos Notáveis Em termos práticos, convém conhecermos o seno, o co-seno e tngente de lguns ângulos. Escolhemos pel fcilidde ds demonstrções, os ângulos de 0, 45 e 60, que chmremos de ângulos notáveis. Ângulo de 45 A medid de cd digonl de um qudrdo de ldo é, e cd ângulo interno do qudrdo é dividido por um digonl em dois ngulos de 45. Assim, temos: sen 45 = cos 45 = = = tg 45 = =. = = 45 Ângulos de 0 e 60 A medid de cd ltur de um triângulo eqüilátero de ldo é. Cd ltur desse tipo de triângulo tmém é issetriz intern e medin. Como cd ângulo interno do triângulo eqüilátero mede 60, temos: 0 60 / sen 0 = cos 0 = tg 0 = = = = = sen 60 = cos 0 = cos 60 = sen 0 = tg 60 = sen60 cos60 = = 8

29 Tel dos ângulos notáveis sen cos tg Eemplo 4: Determinr o vlor de n figur: C B 0 0m D 60 A.6 O Rdino, Unidde de Medid de Arco e de Ângulo Neste cpítulo, estudremos um outr unidde pr medir ângulo e rco: o rdino, definido seguir: A consideremos um rco AB, contido num circunferênci de rio r, tl que o comprimento do rco AB sej igul r. Dizemos que medid do rco AB é rdino ( rd). r O rd r B Definição Um rdino ( rd) é um rco cujo comprimento é igul o do rio d circunferênci que o contém. A medid d circunferênci em rdinos Semos que um circunferênci mede 60. Qul será su medid em rdinos? Consideremos um circunferênci cujo rio tenh medid r. Como o comprimento dess circunferênci é πr, podemos oter su medid, em rdinos, por meio de um regr de três: 9

30 Logo: = Medid em rd Comprimento r πr πr rd = π rd. Assim, concluímos que: r A medid de um circunferênci é π rd. Trnsformções de uniddes Dizemos que um medid em rdinos é equivlente um medid em grus se são medids de um mesmo rco; por eemplo, π rd é equivlente 60, pois ms são medids de um rco de um volt complet. Conseqüentemente, temos: π rd é equivlente 80 Ess equivlênci nos permite trnsformr uniddes, ou sej, dd medid de um rco em grus, podemos oter medid desse rco em rdinos e vice-vers..7 Circunferênci Trigonométric As rzões trigonométrics seno, co-seno e tngente de um ângulo gudo em um triângulo retângulo não dependem do tmnho do triângulo, ms, sim, d medid do ângulo. Desse modo, pr construir um tel com esss rzões pr vários ângulos, podemos considerr triângulos retângulos que tenhm hipotenuss de mesm medid e fzer vrir os ângulos gudos. Assim, teremos tntos triângulos retângulos qunto quisermos. N figur seguinte estão representdos lguns desses triângulos. Note que: Os vértices B, C, D e E pertencem um mesm circunferênci, pois s hipotenuss dos triângulos OBB, OCC, ODD e OEE têm tods mesm medid. Se dotrmos medid d hipotenus como unidde, o seno, o co-seno de um ângulo gudo de vértice O serão, respectivmente, medid do cteto oposto e medid do cteto djcente esse ângulo. O F E C E D D C B B A Esss idéis levrm os mtemáticos definir s rzões trigonométrics em um circunferênci, chmd circunferênci trigonométric (construíd seguir), n qul os conceitos de seno, co-seno e tngente são estendidos tmém pr ângulos não-gudos. 0

31 Construção Consideremos um circunferênci de rio unitário (r = ), cujo centro coincid com origem de um sistem crtesino ortogonl. Ess estrutur, com s convenções seguir, constitui circunferênci trigonométric. O ponto A(,0) é origem de todos os rcos serem medidos n circunferênci. Se um rco for medido no sentido horário, então ess medid será triuído o sinl negtivo ( ). Se um rco for medido no sentido nti-horário, então ess medid será triuído o sinl positivo (+). Os eios coordendos dividem o plno crtesino em qutro regiões, chmds de qudrntes (Q); esses qudrntes são numerds no sentido nti-horário, prtir do ponto A. y II Q III Q O IQ IV Q A origem dos rcos.8 Seno de um Arco Trigonométrico y Consideremos n circunferênci trigonométric um rco AM de medid α, com 0 < α < 90. No triângulo retângulo OMP, temos: O α P M(α) A sen α = MP = MP Note que medid MP é ordend do ponto M. Veremos seguir, como mplir o conceito de seno de um ângulo pr qulquer rco trigonométrico. y B Definição: Ddo um rco trigonométrico AM de M( M,y M ) medid α, chm-se seno de α ordend do ponto sen α α M. A O A sen α = ordend de M = y M B

32 A função seno Definimos função seno como: f: R R tl que f() = sen. Prtindo do ponto A, vmos dr um volt complet no ciclo. Dess form, oservndo s ordends dos pontos A, B, A e B, podemos informr os vlores d função seno pr lguns rcos. Vej: Medid do rco Etremidde do Ordend do em rdinos rco está no ponto: ponto é: O vlor de sen é: 0 A(,0) 0 sen 0 = 0 π/ B(0,) sen (π/) = π A (-,0) 0 sen π = 0 π/ B (0,-) - sen (π/) = - π A(,0) 0 sen (π) = 0 O domínio d função f() = sen é dom f = R. A imgem d função f() = sen é Im f = [-,]. A função é periódic com período π. Vrição de sinl do seno O seno de um rco é ordend d etremidde desse rco. Como os pontos de ordends positivs são os do e do qudrnte, e os pontos de ordends negtivs são os do e os do 4 qudrnte, temos o seguinte qudro de sinis pr o seno: + Seno + Gráfico d Função y = sen

33 Resumindo, temos: ) Função y = sen ou f() = sen. 6) A função é ímpr ) O domínio é dom f = R. 7) A função ) A imgem é Im f = [-,]. - crescente no e no 4 qudrnte; 4) A função é periódic, de período π. - decrescente no e no qudrnte. 5) O sinl d função é: Positivo no e no qudrnte; Negtivo no e no 4 qudrnte. Eemplo 5: Determinr o domínio, imgem, o gráfico e o período ds funções definids por: ) f() = sen ) y = + sen y.9 Co-seno de um Arco Trigonométrico Consideremos n circunferênci trigonométric um rco AM de medid α, com 0 < α < 90. No triângulo retângulo OMP, temos: O α P M(α) A OP cos α = = OP Note que medid OP é sciss do ponto M. Veremos seguir, como mplir o conceito de co-seno de um ângulo pr qulquer rco trigonométrico. y Definição: Ddo um rco trigonométrico AM de medid α, chm-se co-seno de α sciss do ponto M. cos α = sciss de M = M A B O cos α M( M,y M ) α A A função co-seno Definimos função co-seno como: B f: R R tl que f() = cos. Prtindo do ponto A, vmos dr um volt complet no ciclo. Dess form, oservndo s scisss dos pontos A, B, A e B, podemos informr os vlores d função co-seno pr lguns rcos. Vej:

34 Medid do rco Etremidde do Asciss do em rdinos rco está no ponto: ponto é: O vlor de cos é: 0 A(,0) cos 0 = π/ B(0,) 0 cos (π/) = 0 π A (-,0) - cos π = - π/ B (0,-) 0 cos (π/) = 0 π A(,0) cos (π) = O domínio d função f() = cos é dom f = R. A imgem d função f() = cos é Im f = [-,]. A função é periódic com período π. Vrição de sinl do co-seno O co-seno de um rco é sciss d etremidde desse rco. Como os pontos de scisss positivs são os do e os do 4 qudrnte e os pontos de scisss negtivs são os do e os do qudrnte, temos o seguinte qudro de sinis pr o co-seno: + + Co-seno Gráfico d Função y = cos Resumindo, temos: ) Função y = cos ou f() = cos. 6) A função é pr ) O domínio é dom f = R. 7) A função ) A imgem é Im f = [-,]. - crescente no e no 4 qudrnte; 4) A função é periódic, de período π. - decrescente no e no qudrnte. 5) O sinl d função é: Positivo no e no 4 qudrnte; Negtivo no e no qudrnte. 4

35 Eemplo 6: Determinr o domínio, imgem, o gráfico e o período ds funções definids por: ) f() = cos ) y = + cos.0 Tngente de um Arco Trigonométrico Podemos estender o conceito de tngente pr ângulos não-gudos. Pr isso consideremos um eio rel t, tngente à circunferênci trigonométric no ponto A(,0), com origem A e com mesm orientção do eio Oy. Assim, dd medid de um rco AM no qudrnte (por eemplo, 0 ), podemos representr tngente desse rco no eio t, prolongndo o rio OM té intersecção T com o eio t. B O 0 t M T A 0 AT No tringulo AOT, temos: tg 0 =. Como OA =, concluímos que: OA tg 0 = AT tg 0 = AT. Note, portnto, que tngente de 0 é medid de um segmento contido no eio rel t, que será chmdo, de gor em dinte, de eio ds tngentes. Estendendo ess idéi pr rcos com etremidde for do qudrnte, temos: Definição: Ddo um rco trigonométrico AM de medid α, com M não-pertencente o eio ds ordends, chm-se tngente de α (tg α) ordend do ponto T otido pel intersecção do prolongmento do rio OM com o eio ds tngentes. A B O t M T α tg α = AT A Eio ds tngentes Oserve que o ponto M não pode coincidir com B nem com B, pois os prolongmentos dos rios OB e OB não interceptm o eio ds tngentes. Por isso dizemos que não eiste tngente de um rco com etremidde em B ou B. B 5

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