Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba MATEMÁTICA BÁSICA NOTAS DE AULA

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1 Ministério d Educção Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curitib MATEMÁTICA BÁSICA NOTAS DE AULA

2 SUMÁRIO. FRAÇÕES.... Adição e Subtrção.... Multiplicção.... Divisão.... Número Misto.... Conversão de Número Decimis em Frção....6 TESTES POTENCIAÇÃO.... Regr de sinis:.... Csos Prticulres:.... Proprieddes.... Eercícios de sl:.... TESTES.... RADICIAÇÃO Propriedde dos rdicis: RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES.... Eercícios de sl:.... TESTES:.... FATORAÇÃO Ftor Comum Agrupmento Diferenç de dois Qudrdos Trinômio Qudrdo Perfeito Trinômio qudrdo d form b c Principis Produtos Notáveis Eercícios....7 TESTES... 6

3 . PÔLINÔMIOS Função Polinomil: Definição: Polinômio Idêntico Zero ou Identicmente Nulo: Polinômios Idênticos: Vlor Numérico de um Polinômio:.... Adição e Subtrção de Polinômios:..... Adição:..... Subtrção:....6 Multiplicção de Polinômios:....7 Divisão de Polinômios: Método dos Coeficientes Determinr Método de Descrtes Divisão de Polinômio por Binômios do o Gru: Divisão de P () por ( b), Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: Equções Polinomiis: Decomposição de um polinômio em ftores do o gru: Rízes Múltipls: Teorem ds Rízes Rcionis:....9 Eercícios TRIGONOMETRIA Trigonometri Básic Tbels QUADRANTES Relções Trigonométrics Fundmentis Eercicios de Sl Operção com Arcos Adição e Subtrção: Arco Duplo Arco Metde Trnsformção em produto LOGARITMOS... 7

4 7. Logritmo deciml ( bse 0 ) : Logritmo neperino ( bse e ) : Consequêncis d Definição: Proprieddes: Mudnç d bse pr bse b : Eercícios de Sl... 76

5 . FRAÇÕES. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 8. MULTIPLICAÇÃO 7. DIVISÃO 7 =. NÚMERO MISTO. CONVERSÃO DE NÚMERO DECIMAIS EM FRAÇÃO 0, =, = 0, =

6 .6 TESTES ) ) é igul : b) 6 c) 6 d) 8 e) n.d.. ) Efetundo 9 ) b) c) 9 d) 0, 9 obtém: e) n.d.. ) (MARÍLIA) - Os ftores primos de 008 são: ),,,, 7, 9 b),,, 7 c),, 7 d),, 7 6

7 ) A frção equivlente 6 9 que tem numerdor é: ) 6 b) 96 c) 66 d) 6 e) n.d.. ) (PUC) O vlor d epressão ) é: b) 6 c) 8 d) e) n.d.. 6) Efetundo-se ) obtém-se: b) c) d) e)

8 7) (FMU) - O vlor de 7 ) 0 é: b) 0 c) 0 7 d) e) n.d.. 8) Clculndo-se ) b) c) 7 7 d) 7 e) n.d.. encontr-se: 9) (FMU) Efetundo-se ) tem-se: 7 b) 6 c) d) e) 6 8

9 0) (PUC) Um firm gst menslmente reis com mteril de escritório, dess qunti com serviços de terceiros e del com trnsporte. O gsto em reis mensl em conjunto nesses três itens é: ) b).00 c).000 d).000 e) {8 [ ( ) Se )]} então o vlor de é igul : ) 0 b) c) d) e) não eiste ) (BRASÍLIA) A epressão ) b) c) d) n.d.. é equivlente : 9

10 7 ) Resolvendo 9 ) temos resultdo igul : b) c) d) e) ) é igul : ) 0 b) 0 c) 0 d) e) n.d.. Gbrito c d c b b b b b e b e c c

11 . POTENCIAÇÃO. REGRA DE SINAIS: = ( ) = = ( ) =. CASOS PARTICULARES: 0 = 0 =. PROPRIEDADES Produto de potêncis de mesm bse: mntém bse e somm-se os epoentes y y Divisão de potêncis de mesm bse: mntém bse e subtri-se os epoentes. 7

12 Produto elevdo um potênci: elev-se cd ftor ess potênci. ( ) ( y ) Potênci elevd outr potênci: tem por epoente o produto dos epoentes. ( ) (( ) ) ( y ) Potênci de frção: elev-se, seprdmente, o numerdor e o denomindor à potênci. y Potêncis de 0: As potêncis de bse 0 são formds pelo lgrismo seguido de zeros d quntidde do número do epoente. Se tivermos o epoente negtivo, bst que coloquemos esse resultdo no denomindor de um potênci cujo numerdor é o. Podemos ind escrevê-lo n form deciml, sendo que o número do epoente indic quntidde de dígitos pós vírgul ,000

13 Potêncis de ordem superior: Cuiddo, potênci de ordem superior é diferente de potênci elevd outr potênci. Potêncis de números decimis: (,) ( 0,) ( 0,0) ( 0,00) ( 0,0) ( 0,) Qunts css decimis terá 60 (,)?. EXERCÍCIOS DE SALA: ) ) ) ( ) ) ( ) ) ) 6) ( 7) ( ) 8),0 0

14 9) ( 0,0) 0) Achr metde de. TESTES ) 0 é igul : ) b) c) d) 0 e) n.d. ) ( ) é igul : ) 8 b) c) 6 d) e) n.d. ) A epressão ) b) c) d) e) ¼ 6 0 é igul : ) 0,008 pode ser representdo por: ) 8. 0 b),8. 0 c) 8. 0 d),8. 0 e) n.d. ) (. ).(. ) é igul : 8. ) b) 8. 6 c). d) 6 e) n.d.

15 6) ( ) é igul : ) b) c) d) e) n.d. 7 7) y y é igul : ) y b) y c) 0 y 6 d) y e) n.d. 8) ( ).( ) é igul : ) b) c) d) 0 e).( ) 9) ( y ) : [ (y ) ] vle: ) y b) y c) y d) 7 y e) n.d. 0) (PUC) - O vlor de ) 0 7 b) 0 7 c) 0 d) 0 e) n.d. 0 0 é: ) é igul : ) 6 b) 6 c) 8 d) e) n.d.

16 ) O vlor de 0,0 dividido por 0 é: ), b), c) d) 0, e) n.d. ) (LONDRINA) O vlor d epressão ) b) c) d) e) é: ) Simplificndo ( ) ( 8 ), obtém-se: ) b) c) d) e) ) [ ( ) ( ) ] é igul : ) 6 b) c) d) e) n.d. 6

17 6) ) b) c) 0 0 ( ) : é igul : d) 8 e) 6 7) (S.CARLOS) A epressão ) b) c) b b b b ( b ) b d) b b b é equivlente : Questões berts: 8) A epressão 6 : 8 vle: 0 9) o vlor de é: 0) vle: 7

18 ) (LONDRINA) Se, então 7 é: ) 7 vle: ) Assinle cd questão com V ou F ( ) 0,00 =,. 0 ( ) ( ) = 8 ( ) (0,) = 0,008 ( ) (0,) = ( ) (- ) = ( ) ( ) = 6 Gbrito C D B B B B A A B B C C C E D A B ) V F V V V F F 8

19 . RADICIAÇÃO. PROPRIEDADE DOS RADICAIS: n b n n b n b n n b n n n n m n m b b m. n m n m n m. n q p p q ) 6 ) 8 ) 9 ) ) 6 6) 8 7) 8) 9) 0) ) 7 ) ) ) 9

20 6 ) 6) 8 8 7) 8) 9) 0) ) ) ) 7 ) ) 7 = 6) 7) 8) = 9) = 0

21 . RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES Rcionlizr um denomindor irrcionl é fzer com que não tenh rdicl, nem epoente frcionário. y Denomindor monômio: Multiplic-se e divide-se por y, y y denomindo ftor de rcionlizção. Qundo o índice é mior que : q q p y q p p q y y q p N N b Denomindor Binômio: b b b Multiplic-se e divide-se pelo conjugdo do denomindor, ftor de rcionlizção : N b b ) ) ) ) ) 0 7 6)

22 7) 6 8) 9). EXERCÍCIOS DE SALA: ) = ) ) = ) ) 6) 7)

23 . TESTES: Associr cd um ds operções à direit um resultdo d esquerd (0 0) ) ). ) 8 6 b) ) 8 c) ) 9 d) ) 6 e) 6) (FMU) O vlor d epressão ) b) c) 0 d) e) 0 6 é: 7) ) b) c) d) e) 6 é igul :

24 8) 8 vle: ) b) 8 8 c) d) 8 6 e) n.d. 9) é igul : ) b) c) d) e) 6 0) 8 6 é igul : ) b) 8 c) 6 d) 8 8 e) 7 ) (CEFET-PR) -, número rel positivo, é o mesmo que: ) b) 6 c) ( 6 ) d) ) 7 é equivlente : 7 ) b) 7 c) d) 7

25 ) O vlor de ) b) c) d) 6 é: ) ) b) c) d) 8 pode ser escrito: b ) b pode ser escrito: ) b b b) c) b d) b 6) ) b) c) d) e) n.d. é igul :

26 6 7) pode ser escrito: 9 b ) b) c) d) b b b 8) Rcionlizndo ) b) c) d) temos: 9) O vlor de 7 é: ) b) c) d) impossível 0) Efetundo-se ) 8 7 b) c) 8 d) 8 result: ) (CEFET-PR) Clculndo-se ) b) 9 c) 7 d) 7 e) 9 ( ), obtém-se: 6

27 ) (SERGIPE) O vlor d epressão 78 9 é: ) 8 b) 7 c) d) 6 ) Relciondo temos: ) b) c) d) 8 ) Rcionlizndo temos: 7 ) b) 7 6 c) d) ) (LONDRINA) O vlor d epressão, 0, 9 é: 0 ) 8 b) 8 c) d) e) 6) equivle : ) b) c) d)

28 Questões berts: 9 é: 6 7) O resultdo de = 8) (FEI) 9) O vlor d epressão é igul : Gbrito C A A B E D D C D E B B C D B D C B C D C B A B C B 0 8

29 . FATORAÇÃO. FATOR COMUM y ( y). AGRUPAMENTO m my n ny ( m n)( y). DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS y ( y)( y). TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO b b ( b) e b b ( b) b.. Trinômio qudrdo d form c Supondo sejm e s rízes reis do trinômio b c ( 0), então: b c ( )( ). PRINCIPAIS PRODUTOS NOTÁVEIS ) b) c) d) e) f) g) ( b)( b) b ( b)( b) ( b) b b ( b)( b) ( b) b b ( b) b b b ( b) b b b ( b)( b b ) b ( b)( b b ) b 9

30 Eemplos: Ftorr ou simplificr s epressões bio: ) ( h) ) h ) 6 ) 0 t t ) t t 6 y y y y 6) 0

31 Desenvolv os produtos notáveis e reduz os termos semelhntes: 7) ( z ) ( 0z) 8) ( ) ( ) 9) ( ) ( ) ( )( ) ( y) 0) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )( ) ( ) ) Ftore cd um ds epressões lgébrics: ) z ( ) b( ) ) b cz dz 6) 7) bd cd d c b 8) z 6z 69

32 .6 EXERCÍCIOS ) Ftorr ou Simplificr: ) b) c) d) 6 e) f) g) 9 h) 6 i) ) )( ( 9) )( ( j)

33 k) t t 6 ) ( l) 6 m) 6 6 y y n) o) ) Simplififque s epressões: ) t t t t b) 9

34 ) Rcionlize o numerdor ou denomindor ou mbos, multiplicndo pelo seu conjugdo e se possível simplifique. ) b) c) ( ) ( ) d) e) t f) t h g) h

35 ( h 8) h h h) i) j) k) l) m) 6 bt n) t

36 o).7 TESTES ) ) b) c) d) e) é igul : ) (FUVEST) Qul o vlor d epressão ) b) c) d) e) : 6) (F.M. SANTA CASA SP) A som ( ) ( ) ( ) equivle : ) b) c) d) e) 6 6 6

37 7) (F.G.V. SP) A epressão ) b) c) d) 6 e) E tem como vlor: 8) (UFGO) Simplificndo ) ( y) y b) y y c) y d) y e) y y ( y) y( y ) y temos: 9) (F.G.V. SP) Simplificndo epressão obtêm-se: ( )( ) ( ) ( ) 6 ( ), ) b) c) d) e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7

38 0) (MED JUNDIAÍ) O vlor numérico d epressão b b b pr e 9 ) b) 9 c) 8 d). e) b é: ) Ftorr ou Simplificr: ) b) h) o) i) j) Gbrito c) d) e) ) Simplifique s epressões; ) k) 8 t l) t ( t ) ( t ) f) m) y 6 b) n) g) ) Rcionlize o numerdor ou denomindor ou mbos, multiplicndo pelo seu conjugdo e se possível simplifique. ) ( )( ) b) ( ) c) d) h e) f) g) h) t h ( h 8) h i) ( )( ) j) l) ( ) m) ( 6 ) k) n) b bt o) ( ) A B C D C D E 8

39 . PÔLINÔMIOS. FUNÇÃO POLINOMIAL:.. Definição: Ddos os números reis,,,,, n n chmmos de polinômio n vriável tod epressão d form:, o n n n P( )..., n N 0 0 Onde n, n,, n n e 0 os coeficientes do polinômio. Observções: são os termos e,,,, n n e 0 são gr( P) Se 0, o epoente máimo n é dito gru do polinômio e indicmos n n Se P ( ) 0, não se define o gru do polinômio. Eemplos: ) Assinle s epressões que representm polinômios? ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) polinômio: ) Em função ds vriáveis k, m ou, determinr os grus dos seguintes P ( ) k. 7 9

40 P ( ) k m 6 b. P( ) ( ) ( ) c.. POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO: P n n n ( ) É qulquer polinômio 0 os coeficientes são nulos P ) 0 0, 0,..., 0 e 0 n ( n 0 em que todos P ( ) Notção: 0. POLINÔMIOS IDÊNTICOS: P... n n n ( ) Ddos os polinômios 0 0 P... n n n ( ) b b b b b 0 0 e somente se, b, b,, b e b. n n n n 0 0, dizemos que P ( ) é idêntico P ( ) se, e Assim: ( ) P ( ) b, b,..., b e b n n n n 0 0 P Eemplos: 0

41 ) Determinr e b pr que o polinômio P( ) ( ). ( ). b sej identicmente nulo. ) Determinr n m, e p pr que P( ) ( m n ). ( m n ). n p sej identicmente nulo. ) Clculr os vlores de m e n, de modo que ( m n). ( m n)

42 . VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO: P... n n n ( ) O vlor numérico do polinômio, pr 0 0 n n igul um número qulquer é: P( ).... n n 0 Observções: N prátic, pr obter P ( ), bst substituir por em () Qundo 0 P ( ), é riz de () P. P. Eemplo: Verifique se os números e são rízes de P ( ) 6 Como n ( ), n, P () é som dos coeficientes de () P ( ), então P () Eemplo: Se som dos coeficientes de P (). P. é P (0) é igul o termo independente de P (). Eemplo: Sendo P( ) c e ( 0) 7 sej riz de P (). P, determine pr que

43 . ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:.. Adição: Q P n n n ( ) Ddos os polinômios 0 n n n ( ) b b... b b b , som de () P com Q() é dd por: e n n P( ) Q( ) ( b ) ( b )... ( b ) ( b ) n n n n Subtrção: Q P n n n ( ) Ddos os polinômios 0 n n n ( ) b b... b b b , diferenç entre () P e () e Q é dd por: n n P( ) Q( ) ( b ) ( b )... ( b ) ( b ) n n n n 0 0 Observção: Os polinômios P () e () Q não precism ser necessrimente do mesmo gru. Eemplos: P ( ) 7 e Q ( ) 6 7 ) Ddo os polinômios 8 P( ) Q( ), determine ) Clssificr em verddeir (V) ou fls (F) s firmções: ( ) Se P () e Q () são polinômios de mesmo gru, então P( ) Q( ) tem sempre gru. ( ) Se P () e Q () são polinômios de mesmo gru, então P( ) Q( ) e tem sempre gru. ( ) Se P () tem gru e Q () e tem gru, então P( ) Q( ) tem gru

44 .6 MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS: O produto dos polinômios P () e Q () é o polinômio P ( ). Q( ) multiplicndo-se cd termo de P () por todos os termos de () dos termos semelhntes. Eemplos: P( ) e Q ( ), então P ( ). Q( ) ) Se, obtido Q e efetundo redução P e Q ) b ) Ddos ( ) P ( ). Q( ) ( determine e b pr que ( ) P e Q( ) b, determinr e b, sendo ( 0). Q(0) ) Ddos Q. ( ) P e

45 .7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS: Ddos os polinômios A() e B(), não identicmente nulos, dividir A() por B() é obter os polinômios Q() e R() que stisfçm s seguintes condições: A() B(). R() Q() A() B().Q() + R() e R() 0 ou gr(r) < gr(b) Observções: A() é o dividendo B() é o divisor Q() é o quociente R() é o resto Qundo R() = 0, dizemos que A() é divisível por B(), ou que divisão é et Temos sempre gr(q) = gr(a) gr(b) Eemplo: Usndo o Método d Chve, determine o quociente e o resto d divisão de A ( ) por B ( ).7. Método dos Coeficientes Determinr Método de Descrtes Já vimos que, n divisão A() por B(): A() B(). R() Q() Temos: A( ) B( ). Q( ) R( ) gr( Q) gr( A) gr( B) gr( R) gr( B) Esss relções podem ser usds como recursos pr determinr os coeficientes de um polinômio em um divisão.

46 Eemplos: ) Determinr o quociente e o resto d divisão de A ( ) por B ( ) Temos: O quociente é um polinômio do primeiro gru, pois: gr ( Q) gr( A) gr( B) Logo: Q() = gr( R) gr( B, sendo o divisor B ( ), então gr (B) Como ) gr, isto é, o resto tem, no máimo, gru : (R) R () e A( ) B( ) Q( ) R( Como ), podemos escrever: Comprndo mbos os membros, temos: Logo: Q () e () R ) Determinr k, de modo que k sej divisível por 6

47 ) Determinr k e m de modo que m k sej divisível por.7. Divisão de Polinômio por Binômios do o Gru:.7.. Teorem do Resto: O resto d divisão de P() por ( ) é P(): P() = ( ).Q() + R Fzendo =, vem: P() = ( ). Q() + R P() R.7.. Teorem de D Alembert Um polinômio P() é divisível por ( ) se, e somente se, P() = 0 P() = ( ).Q() + 0 Fzendo =, vem: P() = ( ). Q() + o P() = 0 Eemplos: P ( ) k por ) Determinr k, de modo que o resto d divisão de sej 0. 7

48 P( ) ) Clculr e b, de modo que os polinômios b e Q( ) b sejm divisíveis por.7. Divisão de P () por ( b), 0 Temos: P() R + b Q() Como + b é de gru, R é de gru 0, e, portnto, um constnte. Fzendo b em P ) ( b). Q( ) R (, vem: b b b P b Q R b P R 8

49 Eemplo: b Logo, o resto d divisão de P () por ( b) é R P Determinr k, de modo que P ( ) k sej divisível por.7. Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é utilizdo pr determinr o quociente e o resto d divisão de um polinômio P() pelo binômio ( ) Eemplos: ) Obter o quociente e o resto d divisão de P ( ) 7 por ( ) vlor de Coeficiente de P() Repetir o primeiro coeficiente R () Q()= e R()= 9

50 P ( ) por ( ) ) Determinr o quociente e o resto d divisão de Obs.: Qundo escrever os coeficientes de P(), não esquecer dos coeficiente nulos.. Q()= e R() =.8 EQUAÇÕES POLINOMIAIS: Equção polinomil ou lgébric é tod equção redutível form: n n... 0 n n Chmmos de zero ou riz de um equção polinomil ( ) 0 tl que P ( ) 0. 0 P todo o número.8. Decomposição de um polinômio em ftores do o gru: P ( ) é de gru n ( ) Se 0 decomposto em n ftores do o gru, sendo n ( n n e tem rízes,,...,, então P () pode ser n ) o ftor em evidênci: n n... ( )( )...( ) 0 n n n n.8. Rízes Múltipls: As rízes de um equção lgébric podem ser tods distints ou não. Se um equção lgébric tiver dus rízes iguis, riz terá multiplicidde, isto é, será um riz dupl; se tiver três rízes iguis, riz terá multiplicidde, isto é, será um riz tripl e ssim sucessivmente. Se o número for um só vez riz de um equção lgébric ele será chmdo riz simples ou riz de multiplicidde. 0

51 Eemplos: ) Determinr multiplicidde ds rízes, e n equção Teorem ds Rízes Rcionis: Dd equção polinomil com coeficientes inteiros n n p... 0 n n 0 se o número rcionl (com p Z * e q Z, q p e q primos entre si), então p é diviso r de 0 e q é divisor de n Eemplos: ) Resolver equção 6 0 N equção, temos: n = e 0 = Se p, é divisor de 0, então p { } Se q, é divisor de n, então q { } Os possíveis vlores ds rízes rcionis são ddos pel rzão q p, logo: p { } q Se eistirem rízes rcionis n equção dd, els pertencem o conjunto cim.

52 ) Resolver equção 6 0

53 .9 EXERCÍCIOS ) Clcule m R de modo que o polinômio P ( ) ( m ). ( m ). 7 sej do o gru em relção. ) Determine m R, pr que o polinômio P ( ) ( m 6). ( m ). sej de gru. ) Clcule os vlores de m, n e l pr os quis P( ) sej identicmente nulo. (m ). (n ). ( l) A( ) ( ). ( b ). ) Ddos c que A() + B() 0 e B( ) b c, clcule, b e c pr

54 ) Determine os vlores de m, n e p, de modo que os polinômios bio sejm idênticos P ( ) ( m n p) ( p ) m ( n p) n P ( ) m (p 7) m m 6) Determine os vlores de, b, c e d pr que o polinômio ( c) b( d) sej 6 idêntico o polinômio 7) Ddo o polinômio P ( ), clcule: ) P( ) b) P() P( ) P(0)

55 c) P P(0) P 8) Ache o polinômio P () do segundo gru em, sbendo que dmite como riz e P( ) e P ( ).

56 6 9) Se P ( ) 8, então P () é igul : 0) Ddos os polinômios P ( ) m n e P ( ), se P ( ) é divisível por P ( ), então m n é igul : ) Dividindo um polinômio ) P?. Qul é () P ( por ( ), result um resto 7 e um quociente de P ( por ( ) fornece quociente ( ) P. Sbendo-se que P ( 0), o vlor de é: ) A divisão do polinômio ) resto ( ) Q e 6

57 ) Ddos os polinômios P( ) ( m ) m e Q ( ) ( m) ( m ) (m ), determine P ( ). Q( ) de modo que gr ( P Q). ) Sbendo-se que A B 0, clculr A e B. ) Se A B 6, então A + B é igul : 7

58 6) Efetue decomposição d frção, em som de frções com denomindores do o gru. ) 6 b) 9 6 8

59 7) Um polinômio P( ) b c que stisfz s condições: P ( ) 0 ; P ( ) P( ), qulquer que sej rel. Qul o vlor de P ()? 0 8) O resto d divisão do polinômio P( ), por é:

60 9) Ddos os polinômios A ( ) 0, B ( ), C ( ) e D A( ) b( ), determine o vlor de: ( ) C( ) D( ) 0) Determine o vlor de pr que o resto d divisão do polinômio P ( ) por ( ) sej. ) Qul é o número rel que se deve dicionr P( ), pr se obter um polinômio divisível por? ) Aplicndo o dispositivo prático de Briot-Ruffini, clcule o quociente e o resto d divisão de: ) P ( ) por ( ) 60

61 ( b) P ( ) por ) ( c) P ( ) por ) d) P ( ) por ( ) ( e) P ( ) por ) ( f) P ( ) por ) ) No esquem bio, foi plicdo o dispositivo prático de Briot-Ruffini, clcule P(): b c d e - - 6

62 ) Resolver s equções lgébrics bio: ) 0 0 b) c) 0 d) 0 e) 0 6

63 f) ( ) 0( ) 8 0 g) 8 6 h) ) Determine tods s rízes d equção P ( ) 0, sendo P ( ) Sbe-se que é divisível por ( ). 6

64 6) Um riz d equção 6 0 é igul som ds outrs dus. As rízes dess equção são: 6 7) Determine o produto ds rízes d equção 6 0 m ) ) m ) ) m ; n e l ; b e c 0 m ; n e p, b, c e d 9 ) 6) 7) ) b) c) 7 RESPOSTAS 8) P ( ) 9) 0) 8 ) 7 ) 6 6 ) 6

65 ) A = e B = ) 6) 7 0 ) b ) P ( ) 7) 6 8) 6 9) 0) ) ) ) ( ) Q e R ( ) b) Q ( ) e R ( ) 0 c) ( ) 8 Q e R ( ) 6 R ( ) d) Q ( ) e 0 R ( ) R ( ) e) Q( ) e f) ( ) P ( ) 7 { ;; b) { ; ; } c) { ; ; } d) { ; ;} e) { ;; } f) { ; } g) { } h) { 0;; ; } Q e ) 7 ) ) } ) ; ; 6) { ; ; } 7) P = 6 6

66 6. TRIGONOMETRIA 6. TRIGONOMETRIA BÁSICA m ediddo ctetooposto sen m ediddhipotenus b m ediddo ctetodjcente cos m ediddhipotenus c tg m ediddo ctetooposto m ediddo ctetodjcente b c 6.. Tbels rd 6 = 0 rd = rd = 60 rd = 90 rd = 80 sen cos tg sen cos 0-0 tg QUADRANTES 6.. Relções Trigonométrics Fundmentis sen cos sen tg cos sec cos sec tg cotg tg cosec sen cosec cotg 66

67 6. EXERCICIOS DE SALA ) Ddo o triângulo retângulo d figur, clcule: ) sen b) cos c) tg d) sen e) cos f) tg ) Clcule medid de no triângulo 67

68 ) Clcule medid de no triângulo ) Clcule medid de no triângulo ) Sbendo que cos clcule medid de 68

69 sen e Q determine: cos b) tg 6) Sbendo que 0, ) c) sec d) cosec = e) cotg 7) Complete tbel: Grus Rdinos 0 0 Qudrnte 69

70 8) Clcule o vlor d epressão: sen.sen y cos.cos 6 9) Clcule o vlor d epressão: sen.cos y tg.cot g 6 0) Clcule o vlor d epressão: sen y tg.sec 6 ) Clcule o vlor d epressão: tg.cotg y cosec.sec

71 cos cos sen ) Provr identidde sec - cossec sen. tg cos - cotg ) Provr identidde ) Provr identidde csc sen cot. cos 7

72 cos sen sen ) Provr identidde tg tgb tg. cot cotb 6) tgb 7

73 6. OPERAÇÃO COM ARCOS 6.. Adição e Subtrção: sen( b) sen.cosb senb.cos sen( b) sen.cosb- senb.cos cos( b) cos.cosb- sen.senb cos(- b) cos.cosb sen.senb tg tgb tg( b) tg. tgb tg - tgb tg( - b) tg.tgb 6.. Trnsformção em produto p q p q senp senq sen.cos p - q p q senp -senq sen.cos p q p q cosp cosq cos.cos p q p q cosp- cosq -sen. sen 6.. Arco Duplo sen sen.cos cos cos sen tg tg tg 6.. Arco Metde sen cos tg cos cos cos cos 7

74 Gbrito: Eercício : ) 0,8 b) 0,6 c), d) 0,6 e) 0,8 f) 0,7 ) 0 ) ( ) ) 6 ), 6 Eercício 6: ) b) c) d) 8) 9) e) 6 0) ) 7

75 7. LOGARITMOS 7. LOGARITMO DECIMAL ( BASE 0 ) : log n log 0 Qundo bse não estiver escrit, subentende-se que bse vle 0 7. LOGARITMO NEPERIANO ( BASE E ) : ln N log n e e,788 N ( número irrcionl ) 7. CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO: 7. PROPRIEDADES: log log log log b b b M log M log M b M b b N log N log log log b b M M b b (MN) M ( ) N log b M 7

76 7. MUDANÇA DA BASE A PARA A BASE B : log N log log b N b 7.6 EXERCÍCIOS DE SALA ) Aplicndo definição, resolv s equções : ) log 87 b) log 0, c) ln e log 0, 00 76

77 d) log 0 ln e e) log log 6 log log 6 f) 6 77

78 g) log (log 9) log (log 0,00) h) log log e ln ) Resolv s equções sbendo que log 0, 0 ) 0 0, 0 78

79 b) c) log 79

80 0, d) e)

81 log f) log.log 0, g) 8

82 log log 8 h) ) Resolver s equções : ) log b) log ( ) 8

83 c) log ( ) d) log 8 log 8 8 e) 8

84 log log f) ) Clcule o vlor de y log ( 8) qundo: ) 0 b) c) d) ) Clcule : log 8 log log log log log log

85 log 6) Clcule : ln e log0 7) Resolv equção log log 8) Resolv equção log log 8

86 9) Resolv equção log log 0) Resolv equção log log 86

87 Gbrito: Eercício : ) 7 b) 9 c) d) e) f) g) impossível h) e 0 6) 7) 6 e 8) 9) 00 0) e Eercício : ), 699 b), c), 699 d) 0, e), 0 f), 796 g), 6 h), 699 Eercício : ) 0 b) 0 c) d) 6 e) 6 8 f) Eercício : ) Impossível b) Impossível c) Impossível d) )