VE2 A lista 3 está com as respostas (19/10/2008). Lista 4 Funções: conceitos gerais (atualizada em 17/10/2008).

Transcrição

1 Mtemátic Básic 008- Coordendor: Turm A B Mrlene Dieguez Professor Denise Mrlene Básic: Dieguez Fernndez, Mrlene, Teto Mtemátic Básic: Nots de Aul 008- (UFF Deprtmento de Mtemátic Aplicd). Hefez, Abrmo, "Indução Mtemátic", Apostil 0 do Progrm de Inicição Científic d OBMEP 00. Stewrt, Jmes. Cálculo, vol (introdução e pêndices), Editor Pioneir Thomson Lerning, 5ª. Edição, 005. Complementr: S. Druck; S. Firmo; M. E. Gomes, Teto Preprção pr o Cálculo, Ripoll, Jime Bruck; Ripoll, Cdn Cvedon; Porto de Silveir, José Frncisco, Números Rcionis, Reis e Compleos, Ed. UFRGS, ª edição, 00. Moris Filho; Dniel Cordeiro, Um Convite à Mtemátic, EDUFCG, ª edição, 007. Lists de eercícios: Assunto Prov List 0 Noções de lógic e conjuntos. VE List 0 Números reis: proprieddes lgébrics e de ordem, implicções e equivlêncis. VE Resposts Por enqunto estão disponíveis s resposts dos eercícios: 0 e 8. (07/09/008) Errt, resposts do eercício : Eemplo ; substituir "<" por ">", Eemplo 5; substituir " " por " " (08/09/008) List Números reis: estimtivs. Potêncis inteirs e rcionis. VE A list está com s resposts (9/0/008). List Funções: conceitos geris (tulizd em 7/0/008). VE A list está com s resposts (/0/008). List 5 Indução Mtemátic. VE Errt no enuncido do e., o correto é: n ( n + ). Atulizdo em /0/008. A list 5 está com s resposts dos eercícios 8 (/0/008). A list 5 está com s resposts dos eercícios 9 (7/0/008). A list 5 está com tods s resposts (8/0/008) List Série geométric. VE List 7 List 8 Errt no enuncido do e. )(b), o correto é: A list está com s resposts (/0/008). Potêncis rcionis: relção de ordem. Gráfico de função de potênci rcionl (5//008) Errt nos enuncidos: -.(d) depois de "o conjunto dos números reis,", crescentr "ou o conjunto dos números reis sem o zero," -.(f) onde está escrito "função diret, d ret," substituir por "função diret, em relção à ret," A list 7 está com s resposts dos eercícios.b) (0//008) A list 7 está com tods s resposts (0//008) Função eponencil. Função logrítmic. (//008) A list 8 está com s resposts dos eercícios o (0//008) A list 8 está com tods s resposts (07//008) List 9 Números compleos. (0//008) A list 9 está com s resposts dos eercícios o.d) (07//008) A list 9 está com s resposts dos eercícios o (08//008) A respost do e. (e) divulgdo em 08/ estv com erro, foi corrigido. A list 9 está com tods s resposts (09//008) VE VE VE

2 List de Mtemátic Básic - professors Denise e Mrlene 008- Universidde Federl Fluminense EGM - Instituto de Mtemátic GMA - Deprtmento de Mtemátic Aplicd LISTA Noções de lógic e conjuntos. Dig se s fimções bio são sentençs berts ou fechds. Justifique su respost. () O número nturl 0 é divisor de 00. (b) Os divisores de 00 são, 5 e 0. (c) Os números nturis, 5 e 0 são divisores de 00. (d) O número nturl é divisor de 00. (e) 0 é divisor de 00.. Antes de inicir, lembre que qundo escrevemos ±, estmos usndo o ou elusivo, isto é, um dicotomi. Justifictiv: ± signific um e só um ds dus possibiliddes: (i) e ou (eclusivo) (ii) e Agor, vmos o eercício. Considere s firmções p : ±0 é solução de 00 pr R; q : ; r : 00 ±0. s : t : Atribu o vlor verddeiro (V) ou o vlor flso (F) cd um ds firmções: () p (b) q (c) r (d) s (e) t (f) p q (g) p r (h) q r (i) p q (j) p r (k) q r (l) p (q r) (m) (p q) r (n) p q r (o) p q r (p) p q (q) p r (r) p s (s) q s (t) p s (u) q s (v) p (q s) (w) ( p q) s () p s () p (q t) (z) ( p q) t. Antes de inicir, vmos fzer dus observções importntes: Obs Qundo estudmos relção de ordem dos números reis vimos seguinte propriedde: Ddos dois números reis e b um e só um ds três firmções é verddeir (chmmos isso de tricotomi): (i) < b ou(eclusivo) (ii) b ou(eclusivo) (iii) > b Obs Qundo escrevemos, estmos usndo o ou elusivo, isto é, um dicotomi. Justifictiv: signific um e só um ds dus possibiliddes: (i) < ou (eclusivo) (ii) Agor, vmos o eercício. Negue s firmções. () Dvid pes mis de 50 kg e mede menos do que, 55 m. (b) Suponh um número rel. Afirmção: > e (c) Ddo um número nturl, firmção: é tl que (i) > 0 ou (ii) < 5.

3 List de Mtemátic Básic - professors Denise e Mrlene Antes de inicir, vmos lembrr de lgums proprieddes dos reis que eventulmente poderão ser usds nesse eercício. Esss proproprieddes serão estudds novmente mis dinte. (P) Propriedde de fechmento dos números reis: R e b R + b R e b R. (P) Propriedde dos números reis: R, 0. (P) Propriedde dos números reis:, b R; 0 e b 0 b 0 (P) Propriedde dos números reis:, b R; 0 e b 0 + b 0 Agor, vmos o eercício. Justifique su respost. () Eiste um número nturl tl que < 0 e > 5. (b) Eiste um número nturl tl que < 0 e > 9. (c) R temos que ( + ) + ( ) 0. (d) R temos que ( + ) ( ) 0. (e), b Z; o produto b não é pr. (f) Z ; é pr e é ímpr. 5. Negue s firmções: () Eiste um número nturl tl que < 0 e > 5. (b) Eiste um número nturl tl que < 0 e > 9. (c) R temos que ( + ) + ( ) 0. (d) R temos que ( + ) ( ) 0. (e), b Z; o produto b não é pr. (f) Z ; é pr e é ímpr. Atribu um vlor verddeiro ou um vlor flso cd firmção.. Escrev s firmções bio em lingugem simbólic, usndo os quntificdores ou, conforme o cso e os símbolos dos conjuntos numéricos. () O produto de qulquer número rel por zero é zero. (b) O produto de quisquer dois números reis positivos é positivo. (c) Eiste pelo menos um vlor rel tl que o seu qudrdo é um número primo. (d) A equção + + dmite pelo menos um solução rel. (e) A equção seguir é um equção polinomil de gru n, n vriável rel. n n + n n , onde n é inteiro positivo ou nulo, i, i,..., n são números constntes reis e n 0. Afirmção: Tod equção polinomil de gru ímpr dmite pelo menos um solução rel. 7. Tods s firmções bio são verddeirs. Escrev cd firmção bio usndo p q ou p q, conforme o cso, sem lterr o seu significdo. () Se dois números inteiros são consecutivos então um é pr e outro é ímpr. (b) A som de três números inteiros consecutivos é um múltiplo de. (c) Um número inteiro é pr se e só se o seu consecutivo é ímpr. (d) Um condição suficiente pr o produto de dois números reis ser positivo é os dois números serem negtivos. (e) O produto de dois números reis ser positivo é um condição necessári pr esses dois números serem negtivos.

4 List de Mtemátic Básic - professors Denise e Mrlene 008- (f) Definição (divisor) Ddos, b Z, b 0, diz-se que b é divisor de qundo k Z; kb. (g) { R; > } temos que <. (h) Um condição suficiente pr um luno d UFF ser provdo em um disciplin é obter médi ( not finl) mior ou igul, 0 (seis) e frequênci mínim de 75% n disciplin. (i) Médi ( not finl) mior ou igul, 0 (qutro), not d VS mior ou igul, 0 (seis) e frequênci mínim de 75% é condição suficiente pr provção em disciplin d UFF. (j) Um condição necessári pr provção em disciplin d UFF é frequênci mínim de 75%. 8. A tese d firmção bio é fls. A propriedde citd entre colchetes é justifictiv d primeir implicção. Onde está o erro? 5 < < <. [, b, c R; < b + c < b + c ] 9. Em cd item bio, propriedde citd entre colchetes é justifictiv d primeir implicção. Verifique que hipótese de cd firmção é fls, isto é, hipótese d propriedde não é stisfeit, neste cso diz-se que hipótese não se verific. Verifique que no item () tese é verddeir e no item (b) tese é fls. O que você pode concluir sobre tese qundo hipótese não se verific? 5 < 0 < < b () e ( 5) < ( ) 0 < 9 e c < b d < 0 < c < d 5 < 0 < < b (b) e < 7 ( 5) < ( ) 7 0 < e 0 < c < d c < b d 0. Constru digrms de Venn pr representr visulmente cd um ds situções seguir: () A é subconjunto próprio de B. [Definição: A e B conjuntos, diz-se que A é subconjunto próprio de B qundo A B e A B] (b) A B, B A, ms A e B têm elementos em comum. (c) A B, A C e A B C. (d) (B A) C e A B C. (e) A não contém B, B está contido em C e C contém A.. Sejm A, B, e C conjuntos não vzios. Dig quis ds firmções seguir são flss e quis são verddeirs. Fç digrms de Venn pr justificr s que são flss. Use relção A pr verificr s verddeirs. () Se A B e B C então A C. (b) Se A B e B C então A C. (c) Se A B e B C então A C. (d) A B B. (e) A A B. (f) Se A B C então A B C.. Sejm A, B, C conjuntos quisquer. Mostre que iguldde A (B C) (A B) (B C) é fls. Fç isso usndo digrm de Venn.. Sejm A, B conjuntos quisquer. Mostre que:

5 List de Mtemátic Básic - professors Denise e Mrlene 008- () A e B A são disjuntos. (b) B A e B A são disjuntos. (c) A B A (B A). (d) B (B A) (B A). Sugestão: nos itens () e (b) use técnic de demonstrção por redução o bsurdo.. Sejm A, B conjuntos finitos. Use o eercício nterior pr mostrr que: () #(A B) #(A) + #(B A) (b) #(B) #(B A) + #(B A) (c) #(A B) #(A) + #(B) #(A B)

6 List de Mtemátic Básic - professors Denise e Mrlene RESPOSTAS DA LISTA. () Fechd, pois é verddeir. Verddeir porque (b) Fechd, pois é fls. Fls porque 00 tem outros divisores lém de, 5 e 0. (c) Fechd, pois é verddeir. Verddeir porque 00 50, , (d) Abert, pois dependendo do vlor que é tribuído à letr, respost pode ser verddeir ou fls. (e) Fechd, pois é verddeir. Verddeir porque () V (b) V (c) F (d) V (e) F (f) V (g) F (h) F (i) V (j) V (k) V (l) V (m) V (n) OBS (o) F (p) F (q) V (r) V (s) F (t) V (u) V (v) F (w) V () F () F (z) F OBS.: Não é possível tribuir V nem F porque ess operção não dei clro por onde começr, por (p q) ou por (q r). Em lguns csos, não fz diferenç porque os dois resultdos são iguis, como nos itens (i) e (j), os dois são verddeiros. Ms nem sempre os dois conduzem o mesmo s t u (s t) u s (t u) vlor. Um eemplo onde não são iguis é: F V V V F É interessnte comprr com s regrs ds operções som e multiplicção de números nturis, inteiros, rcionis ou reis. Por eemplo Aqui, não tivemos dúvid por onde começr porque eiste um regr que diz que multiplicções são prioritáris, isto é, devemos começr sempre pel multiplicção. Não eiste um regr nálog pr os conectivos e. Assim, qundo quisermos usr os conectivos e com três ou mis firmções será preciso colocr os prênteses pr indicr por onde começr.. () Dvid pes 50 kg ou menos de 50 kg ou mede, 55m ou mis de, 55m. (b) ou + + > 0 (c) é tl que (i) 0 e (i) 5. () Verddeiro. Um justifictiv é: eiste sim, é um número nturl, < 0 e > 5. (é clro que tem outrs justifictivs, bst substituir por 7, 8 ou 9) (b) Flso. Justifictiv: N e < 0 temos que A {,,,,, 5,, 7, 8, 9}. Ms > 9 temos que B {0,,,...}. Como A e B não têm nenhum elemento em comum, não eiste pertencente simultnemente os dois conjuntos A e B. (c) Verddeiro. N justifictiv serão citds s proprieddes do enuncido do eercício. R (P) + R (P) ( + ) 0 R (P) 0 (P) 0 ( + ) 0 e 0 (P) ( + ) + 0. (d) Flso. Contr-eemplo: qundo temos que ( + ) () 9 7 < 0. (e) Verddeiro. Eiste, por eemplo e b 5, temos que 5 5 é ímpr, isto é, não é pr. N verdde, qulquer eemplo com e b ímpres, o produto b será ímpr, porque?

7 List de Mtemátic Básic - professors Denise e Mrlene 008- (f) Flso. Pr justificr vmos provr que seguinte firmção é verddeir: Z, se é pr então é pr, isto é, Z; é pr e é ímpr. Provndo: é pr, então k pr lgum k Z. Logo k k, donde conclui-se que é pr (pois é um múltiplo de ). 5. () Não eiste um número nturl tl que < 0 e > 5. Outr respost possível: Todo número nturl é tl que 0 ou 5. (b) Não eiste um número nturl tl que < 0 e > 9. Outr respost possível: Todo número nturl é tl que 0 ou 9. (c) R; ( + ) + ( ) < 0. (d) R; ( + ) ( ) < 0. (e), b Z; o produto b não é pr. Outr respost:, b Z; o produto b é pr. (f) Z ; é pr e é ímpr. Outr respost: Z ; é ímpr ou é pr.. () R, 0 0. (b), b R, > 0 e b > 0 temos b > 0. (c) n R; n é um número primo. (d) R tl que é solução d equção + +. (e) A equção seguir é um equção polinomil de gru n, n vriável rel. n n + n n , onde n é inteiro positivo ou nulo, i, i,..., n são números constntes reis e n 0. Afirmção: R tl que é solução de um equção polinomil de gru ímpr. 7. (), b Z; e b consecutivos ( é pr e b é ímpr) ou ( é ímpr e b é pr). (b), b, c Z;, b, c são consecutivos ( + b + c) é múltiplo de. (c) Ddo Z, é pr + é ímpr. (d), b R; < 0 e b < 0 b > 0. (e), b R; < 0 e b < 0 b > 0. (f) Definição (divisor) Ddos, b Z, b 0, diz-se que b é divisor de k Z; kb. (g) { R; > } <. (h) (médi not finl, 0 (seis)) e (frequênci mínim n disciplin é de 75%) o luno d UFF é provdo em um disciplin. (i) (médi not finl, 0 (qutro)) e (not d VS, 0 (seis)) e (frequênci mínim n disciplin é de 75%) o luno d UFF é provdo em um disciplin. (j) frequênci do luno < 75% o luno é reprovdo em disciplin d UFF. Outr respost: luno provdo em disciplin d UFF frequênci 75%. 8. Não poderi ter plicdo propriedde porque neste cso hipórese ( < b) d propriedde é fls, isto é, 5 < 7 é fls. 9. Nd se pode concluir sobre tese qundo hipótese é fls, isto é, qundo hipótese é fls, tese tnto pode resultr verddeier, qunto pode resultr fls. 0. () único tipo de cso: A B

8 List de Mtemátic Básic - professors Denise e Mrlene (b) único tipo de cso: A B (c) dois tipos dos csos são: B B A C ou A C (d) idem item (c) (e) dois únicos tipos de csos são: C C A B A B. () (V) Justifictiv: B e B C C A C. (b) (F) Contr-eemplo: C A B (c) (F) Contr-eemplo: C A B (d) (V) Justifictiv: B B ou A A B B A B A B B (e) (V) Justifictiv: A A ou B A B A A B (f) (V) Justifictiv: A B C ; A e B C ; A e ( B e C) ; ( A e B) e C ; A B e C A B C.. No digrm estmos supondo: A B, B C, A C. Neste cso, vmos encontrr os conjuntos dos dois ldos d iguldde. Ldo esquerdo: A (B C) A A Ldo direito: (A B) (B C) A B Ms, como A B temos que A B A. Conclusão: A B C neste cso, o ldo esquerdo d iguldde é diferente do ldo direito d iguldde.. () Supõe, por bsurdo, que A e B A não são disjuntos. Logo A (B A) ; A e (B A) ; A e ( B e A) A e A. Absurdo!!! Logo A e B A são disjuntos. (b) Supõe, por bsurdo, que B A e B A não são disjuntos. Logo (B A) (B A) ; (B A) e (B A) ; ( B e A) e ( B e A) A e A. Absurdo!!! Logo B A e B A são disjuntos. (c) Pr mostrr que A B A (B A), vmos verificr que (A B) (A (B A)) e que (A B) (A (B A)). Primeiro, suponh (A B). Vmos considerr os três csos distintos dmissíveis: A e B A A ou (B A) (A (B A)) A e B A A ou (B A) (A (B A)) A e B (B A) (B A) ou A (A (B A))

9 List de Mtemátic Básic - professors Denise e Mrlene Assim, verificmos que (A B) (A (B A)) (A B) (A (B A)). (*) Agor, suponh (A (B A)). Como A e B A são disjuntos, vmos considerr os dois csos distintos dmissíveis: A e (B A) A A ou B (A B). A e (B A) (B A) B e A B (A B). Assim, verificmos que (A (B A)) (A B) (A (B A)) (A B). (**) Por (*) e (**), concluímos que (A B) (A (B A)). (d) Considere U, o conjunto Universo. As seguintes proprieddes serão usds qui: A A c U, B U B, B A B A c e um lei de De Morgn, P (Q R) (P Q) (P R). B (B U) B e U B e (A A c ) (B (A A c )) ((B A) (B A c )) ((B A) (B A)). Logo B (B A) (B A).. () #(A B) E.)(c) #(A (B A)). Ms, pelo e. (), A e B A são disjuntos, logo não há elementos em comum entre eles, concluímos que #(A B) #(A (B A)) #(A) + #(B A). (b) #(B) E.)(d) #((B A) (B A)). Ms, pelo e. (b), (B A) e (B A) são disjuntos, logo não há elementos em comum entre eles, concluímos que #(B) #((B A) (B A)) #(B A) + #(B A). (c) Agor, é só fzer s conts. Do item () deste eercício, #(A B) #(A) + #(B A). Do item (b) deste eercício, #(B A) #(B) #(B A). Logo #(A B) #(A) + #(B) #(B A)).

10 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise 008- Universidde Federl Fluminense EGM - Instituto de Mtemátic GMA - Deprtmento de Mtemátic Aplicd LISTA Números reis: proprieddes lgébrics proprieddes de ordem As proprieddes lgébrics form listds ns uls. Algums não form demonstrds. Nos eercícios 9 prove s proprieddes lgébrics, usndo ioms lgébricos, definições e s proprieddes lgébrics já demonstrds em ul.. Unicidde do elemento inverso: Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistênci de elemento inverso. (prove usndo pens ioms). + 0, R (prove usndo pens ioms) b c, R e 0 (prove usndo pens ioms) (, R e 0 lei-se: é o inverso de ). c + b,, b, c R, c 0 c. ( + b) b,, b R b b c d b b,, b R,, b 0 d c,, b, c, d R, b, c, d 0 9. Sejm, b R, n N. Vlem s seguintes igulddes. i) ( + b) + b + b ii) ( + b) + b + b + b iii) ( b) b + b iv) ( b) b + b b v) b ( b)( + b) vi) b ( b)( + b + b ) vii) + b ( + b)( b + b ) viii) n b n ( b)( n + n b+ +b n +b n ) As proprieddes de ordem form listds ns uls. Algums não form demonstrds. Nos eercícios 0 7 prove s proprieddes de ordem, usndo ioms lgébricos e de ordem, definições e s proprieddes lgébrics e de ordem já demonstrds em ul. 0. Ddo R, vle equivlênci: < 0 < 0. Ddos, b, c R, c < 0, vle equivlênci: < b c > bc. Ddo R, vle implicção: > 0 > 0. Ddo R, não vle recíproc d propriedde nterior, isto é, > 0 > 0. Ddo R, vle implicção: < 0 > 0 5. Ddo R, vle equivlênci: 0 > 0. Ddo R, vlem s equivlêncis: (i) > 0 > 0 (ii) < 0 < 0 7. Vle seguinte equivlênci: R 0 8. Ns firmções seguir considere, R. Esss firmções são flss. Pr cd um presente um eemplo em que implicção não se verific, isto é, um contr-eemplo que justific implicção ser fls.

11 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise 008- () ( ) ( ) (b) > ( + ) > + 9. Sejm, R. Dig se s implicções ou s equivlêncis seguir são verddeirs ou se são flss. Pr s verddeirs, redij um justifictiv. Pr s flss, presente um contr-eemplo. () 5 > 0 > 0. (b) 0 0. (c) >. (d) + > 0 > 0 e > 0. (e) > 0 > 0. (f) > 0 > 0 e > 0. (g) > 0 > 0. (h) < 0 < 0. (i) > 0, > 0. (j) 5 < 0 > 0 e < 0. (k) 0 < 0. (l) 0, 0 ou, 0. (m) (n) {} {, π}. (o) ou π. 0. Sejm, b R. Dig quis ds firmções seguir são flss e quis são verddeirs. Pr s flss, presente um contr-eemplo. Pr s verddeirs, redij justifictivs pr su respost e dig se recíproc é verddeir. () 5 < 0 < 0. (b) >. (c) 0 0. (d) b b. (e) b b. (f) b b ou b. (g) + b 0 0 b (h) (i) + b 0 > 0 ou b > 0.. Sejm, b R. Dig quis ds firmções seguir são flss e quis são verddeirs. Redij justifictivs pr sus resposts. () > 0 > 0. (b) < 0 < 0. (c) 5 > 0 > 0. (d) 0 0. (e) >. (f) b 0 b. (g) b b. (h) > b > b. (i) > b > b. (j) + b 0 0 b (k) + b 0 0 b (l) b b (m) b b (n) b ( + ) (b + ) (o) + b 0 0 b (p) + b 0 < 0 (q) + b 0 0 (r) + b 0 0 (s) + b 0 0 b. Sejm, b R. Dig quis ds firmções seguir são flss e quis são verddeirs. Redij justifictivs pr sus resposts. () 0, temos que: < b b > (b) b 0, temos que: b < b > (c) b < 0, temos que: b < b < (d) 0 + b 0 e b 0. (e) > 0 + b 0 e b 0. (f) > b b 0 (g) > b > 0 b 0 (h) 0, b 0, temos < b b < (i) > 0, b > 0, temos < b b < (j) > 0, b < 0, temos < b b >

12 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise Dê dois eemplos de firmções cuj implicção é verddeir e recíproc é fls.. Repetimos seguir definição e s principis proprieddes do módulo de um número rel que form listds e provds em Pré-Cálculo. Definição (módulo ou vlor bsoluto) se > 0 Ddo R, o módulo ou vlor bsoluto de é denotdo por e definido por 0 se 0 se < 0 Proprieddes Ddos, b R, vlem s seguintes proprieddes: (i) 0 e 0 0. (ii) b b ou b ±b (iii) b b (iv) b b, b 0 (v) Pr b > 0 temos < b b < < b (vi) Pr b > 0 temos > b > b ou < b (vii) + b + b (viii) n n, n N Usndo definição e esss proprieddes, decid se s firmções seguir são verddeirs ou flss. Prove s verddeirs e dê contr-eemplo pr s flss. Considere, b, c R. () π π (b) b b 0 (c) < b < b (d) < (e) < (f) < b < 0 > b (g) c > c > 0 (h) c >, < b e b < c c < < c (i) + b c + b c (j) Pr 0, b 0 temos < b < b 5. Ddos, b R, b > 0, verifique que < b b < < + b, R.. Ddos, b R, considere s definições seguir. O máimo entre e b, denotdo por má {, b} é definido por se > b má {, b} se b b se < b O mínimo entre e b, denotdo por mín {, b} é definido por se < b mín {, b} se b b se > b Verifique que são verddeirs: (i) má{, } (ii) mín{, } 7. Use s dus definições nteriores pr provr que são verddeirs: e, R. 8. Prove que:, R.

13 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise 008- RESPOSTAS DA LISTA Pr fcilitr consult, repetimos qui os ioms e s proprieddes lgébrics e de ordem listds em ul. À medid que s proprieddes forem usds, será citd numerção, é clro que não há necessidde de memorizr numerção ds proprieddes. Pr, b, c R dmitem-se verddeiros os ioms lgébricos descritos seguir. Aioms d Som Aioms do Produto Lei do fechmento AS : + b R AP : b R Lei ssocitiv AS : ( + b) + c + (b + c) AP : ( b) c (b c) Lei comuttiv AS : + b b + AP : b b Lei do elemento neutro AS : 0 R; + 0 AP : R; Lei do elemento simétrico AS5 :, R; + ( ) 0 (diz se : é o simétrico de ) Lei do elemento inverso AP 5 : 0, R; (diz se : é o inverso de ) Aiom d Som e Produto Lei distributiv ASP : (b + c) b + c Propriedde PA Unicidde do elemento neutro d som Enuncido: Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistênci de elemento neutro d som. Propriedde PA Unicidde do elemento neutro do produto Enuncido: Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistênci de elemento neutro do produto. Propriedde PA 0 +, R. Propriedde PA, R. Propriedde PA 5 Unicidde do elemento simétrico Enuncido: Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistênci de elemento simétrico. Propriedde PA Unicidde do elemento inverso Enuncido: Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistênci de elemento inverso. Propriedde PA 7 + 0, R. Propriedde PA 8, R e 0. Propriedde PA 9 ( ), R (lei-se: é o simétrico de ). Propriedde PA 0, R e 0 lei-se: é o inverso de. Propriedde PA (b + c) b + c,, b, c R. Propriedde PA 0 0 0, R. Propriedde PA ( ) ( ), R. Propriedde PA ( b) ( ) b ( b),, b R. Propriedde PA 5 ( ) ( b) b,, b R. b Propriedde PA b c c b,, b, c R, c 0. c Propriedde PA 7, R, 0. Propriedde PA 8 b,, b R, 0, b 0. b b Propriedde PA 9 cd b,, b, c, d R, c, d 0. c d + b Propriedde PA 0 c c + b,, b, c R, c 0. c Propriedde PA ( + b) b,, b R. Propriedde PA Propriedde PA Propriedde PA + b b c c,, b, c R, c 0. b,, b R,, b 0. b b c d b c, d, b, c, d R, b, c, d 0. Propriedde PA 5 A iguldde não se lter qundo som-se ou multiplic-se o mesmo número nos dois ldos d iguldde. Sejm, b, c R. Vlem s seguintes proprieddes: i) b + c b + c (preservção d iguldde n som) ii) b c b c (preservção d iguldde no produto) Propriedde PA Leis de cncelmento d som e do produto (implicções) Sejm, b, c R. Vlem s seguintes proprieddes: i) + c b + c b (é recíproc d preservção n som) ii) c b c e c 0 b (não é recíproc d preservção no produto) Propriedde PA 7 Lei de cncelmento d som (equivlênci) Sejm, b, c R. Temos que: b + c b + c. Propriedde PA 8 Lei de cncelmento do produto (equivlênci) Sejm, b, c R, c 0. Temos que: b c b c. Propriedde PA 9 Lei do nulmento do produto Pr, b R, temos que: b 0 0 ou b 0. Propriedde PA 0 Pr, b R vle seguinte equivlênci: c b c b ou c 0. Propriedde PA Teste d iguldde de frções. Pr, b, c, d R, b, d 0, temos que: b c d bc. d Propriedde PA Simplificções em soms de frções (redução o mesmo denomindor). Pr, b, c, d, p, q R, b, d, p, q 0, vlem s seguintes igulddes: i) b + c d d bd + bc d + bc bd bd ii) b c d d bd bc d bc bd bd iii) Qundo mbpdq, b + c d p bp + cq p + cq dq m Propriedde PA Principis produtos notáveis. Sejm, b R, n N. Vlem s seguintes igulddes. i) ( + b) + b + b ii) ( + b) + b + b + b iii) ( b) b + b iv) ( b) b + b b v) b ( b)( + b) vi) b ( b)( + b + b ) vii) + b ( + b)( b + b ) viii) n b n ( b)( n + n b + + b n + b n )

14 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise Aiom d ordem. Ddo R, um e só um ds três possibiliddes é verddeir: (i) é positivo (ii) 0 (iii) é positivo Conhecido como propriedde de tricotomi d ordem. Qundo é positivo, diz-se que é negtivo. Aiom d ordem. Ddos, b R vle s firmção: é positivo e b é positivo + b é positivo e b é positivo. Propriedde PO Ddo R, um e só um ds três possibiliddes é verddeir: (i) > 0 (ii) 0 (iii) < 0 Tmbém é conhecid por tricotomi d ordem. Propriedde PO Ddos, b, c R, vle implicção: < b + c < b + c. Conhecid como propriedde de monotonicidde d dição ou lei de preservção d ordem n dição. Propriedde PO Ddos, b, c R e c > 0, vle implicção: < b c < b c. Conhecid como propriedde de monotonicidde do produto ou lei de preservção d ordem no produto. Propriedde PO Ddos, b, c R e c < 0, vle implicção: < b c > b c. Conhecid como lei de inversão d ordem no produto. Propriedde PO 5 Ddos, b, c R, vle implicção: < b e b < c < c. Conhecid como propriedde trnsitiv d ordem. Propriedde PO Ddos, b R, um e só um ds possibiliddes é verddeir: (i) < b (ii) b (iii) > b Propriedde PO 7 Ddos, b, c R, vle equivlênci: < b + c < b + c. Propriedde PO 8 Ddo R; 0, vlem s equivlêncis: (i) > 0 > 0 (ii) < 0 < 0 Propriedde PO 9 Ddos, b, c R, c > 0, vle equivlênci: < b c < bc. Propriedde PO 0 Ddos, b, c R, c < 0, vle equivlênci: < b c > bc. Propriedde PO Ddos, b R, vlem s equivlêncis: (i) < 0 > 0 (ii) > 0 < 0 (iii) < b > b (iv) > b < b. Propriedde PO Ddos, b R, vlem s equivlêncis: (i) b > 0 ( > 0 e b > 0) ou ( < 0 e b < 0) (ii) b < 0 ( > 0 e b < 0) ou ( < 0 e b > 0) Propriedde PO Ddo R, vle implicção: > 0 > 0. Outr form de escrever ess propriedde é: pr todo R; > 0 temos que > 0. Propriedde PO Ddo R, não vle recíproc d propriedde nterior, isto é, > 0 > 0. Propriedde PO 5 Ddo R, vle implicção: < 0 > 0. Outr form de escrever ess propriedde é: pr todo R; < 0 temos que > 0. Propriedde PO Ddo R, vle equivlênci: 0 > 0. Propriedde PO 7 Ddo R, vlem s equivlêncis: (i) > 0 > 0 (ii) < 0 < 0. Propriedde PO 8 Vle seguinte implicção: R 0. Errt ns nots de ul: Ess propriedde é de implicção e não de equivlênci. Bst trocr equivlênci por implicção no teto, inclusive n observção pós propriedde. O início d observção fic ssim: Como é um implicção, podemos firmr, todo número rel tem seu qudrdo mior ou igul zero. O restnte d observção é igul.

15 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise 008- Resposts, com resolução. Cd questão pode ter muits resoluções, pois podemos escolher proprieddes diferentes em cd resolução.. Considere R, 0 e elemento inverso R; R um inverso de. Suponh, por bsurdo, que tese é fls, isto é, eiste outro AP 5 e. ( ) AP Aplicndo os ioms do produto, ( ) AP Ms e não podem ocorrer simultnemente, portnto não é possível negr tese, isto é, o elemento inverso é único.. R, temos + AS + ( ) AS 0.. R, 0, temos. R, 0, temos AP Por outro ldo, usndo o e., concluímos que. 5., b, c R, c 0, + b c AP. R AP 5 R dmite inverso ;., isto é, tmbém é inverso de divisão ( + b) c distributiv c + b c divisão ( ) AP. Pel unicidde do elemento inverso, c + b c.., b R, temos ( + b) P A ( )( + b) distributiv ( ) + ( )b P A b. 7., b R;, b 0, temos, pelo iom do inverso, b b AP5 AP 8., b, c, d R; b, c, d 0, temos que 9., b R, n N b é o inverso de AP5. Pel unicidde do elemento inverso, b c d divisão b c d E.7 b d c. b. Por outro ldo, b b b. b. divisão i) ( + b) potênci ( + b)( + b) ASP ( + b)( + b) AP ( + b) + ( + b)b PA potênci e AP + b + b + b b + b + b + b AP + b + b + b PA + ( + )b + b + b + b ii) ( + b) potênci PA i) ( + b)( + b)( + b) ( + b)( + b + b PA ) ( + b + b ) + b( + b + b ) ASP + b + b + b + b b + b b potênci, AP, AP + b + b + b + b + b AS + b + b + b + b + b ASP e AP + b + b + b iii) ( b) diferenç PA i) ( + ( b)) potênci e PA + ( b) + ( b) + ( b) + ( b)( b) diferenç e potênci + ( b) + bb b + b PA e PA5 iv) ( b) diferenç PA ii) ( + ( b)) + ( b) + ( b) potênci e PA + ( b) + ( b) + ( b)( b) + PA e PA5 ( b)( b)( b) +( PA e PA5 b)+bb+bb( b) +( diferenç e potênci b)+bb+( bbb) b + b b v) ( b)( + b) diferenç ( + ( b))( + b) ( bb) potênci, diferenç, AS5 e PA + 0 b AS b ASP, dus vezes potênci, AP e PA + b + ( b) + ( b)b + b + ( b) + vi) ( b)( + b + b ) diferenç ( + ( b))( + b + b ASP, dus vezes ) + b + b + ( b) + ( b)b + potênci, AP, AP e PA ( b)b + b + b + ( b) + ( b ) + ( bb Potênci e AS ) + b + ( b) + b + ( b ) + ( b diferenç, AS5 e AS ) b vii) ( b) potênci ( b)( b)( b) PA5 ( b)bb PA (bbb) potênci b, provmos que ( b) b, b R ( ) ( + b ) PA9 ( ( b )) (*) ( ( b) PA vi) ) ( ( b))( + ( b) + ( b) ) ( + b)( diferenç, potênci e PA5 + ( b) + ( b)( b)) ( + b)( b + b ) potênci, PA9 e PA viii) Vi ser útil plicr propriedde seguir e ind não provmos: ( b) c c bc,, b, c R ( ) Provndo ( ), ( b) c PA9 ( + ( b)) c distributiv c + ( b)c PA c + ( bc) diferenç c bc. Provndo o que foi pedido: ( b) n + n b + n b + + b n + b n n AP e (*) + b n + n b + n b + + b n + b n + b n + n b n bb n bb + bb n bb n bb n potênci n + n b + n b + + b n + b n + b n + n b n b n b + b n b n b n AS, AS e AS5 n b n n b n

16 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise Vmos provr primeiro id ( ). Ddo R e < 0 iom d ordem eistênci do inverso 0 0;. Tmbém, < 0 diferenç 0 > 0 > 0. Suponh, por bsurdo, que > 0. Assim, temos > 0 PA8 > 0, o que é um bsurdo. iom d ordem > 0 e > 0 PA ( ) > 0 Logo sbemos que 0 e não podemos supor > 0, pelo iom d tricotomi d ordem, < 0. Provndo volt ( ). Se > 0, já estmos dmitindo 0 e R. Se > 0, podemos plicr o que já provmos n id, isto é, < 0 < 0 PA0 < 0.. Sej, b, c R e c < 0. ( ) é propriedde P O já provd. ( ) c > bc e c > 0 PA8 (ii) c > bc e c < 0 PA c c < bc c AP 5 < b AP < b.. Sej R. > 0 lógic > 0 e > 0 iom definição de potênci nturl > 0 > 0.. Contr-eemplo: R. ( )( ) > 0 ssim, pr temos que hipótese p : Pr < 0, pelo iom, temos que tese q : > 0 é fls. Por lógic sbemos que p verddeir e q fls siginific que p q. > 0 é verddeir.. Sej R. < 0 PO > 0 lógic > 0 e > 0 iom ( )( ) > 0 PA5 > 0 potênci > Sej R. 0 iom PO e PO5 > 0 ou < 0 > 0 ou > 0 lógic > 0.. Sej R. (i) ( ) ( ) > 0 PO > 0 e PO (i) > 0 potênci nturl > 0 > 0. Primeiro observmos que potênci potênci. Assim, > 0 > 0 iom d ordem lei do nulmento 0 0 e 0 lógic 0 ( ) Tmbém, > 0 PO (i) > 0 ( > 0 e > 0) ou ( < 0 e < 0). Vmos verificr que ( < 0 e < 0) é fls. ( ) Por ( ) temos que 0. Ms, 0 PO iom d ordem > 0 < 0 é fls lógic ( < 0 e < 0) é fls. Assim, ( > 0 e > 0) ou ( < 0 e < 0) (ii) ( ) ( ) lógic e (**) ( > 0 e > 0) lógic > 0. < 0 PO5 < 0 e PO (ii) > 0 potênci nturl < 0 < 0. Primeiro observmos que potênci potênci. Assim, < 0 < 0 iom d ordem lei do nulmento 0 0 e 0 lógic 0 ( ) Tmbém, < 0 PO (ii) < 0 ( < 0 e > 0) ou ( > 0 e < 0). Vmos verificr que ( > 0 e < 0) é fls. ( ) Por ( ) temos que 0. Ms, 0 PO iom d ordem > 0 < 0 é fls lógic ( > 0 e < 0) é fls. Assim, ( < 0 e > 0) ou ( > 0 e < 0) lógic e (**) ( < 0 e > 0) lógic < 0. tricotomi d ordem PA9, PO e PO5 7. ( ) R 0 ou > 0 ou < 0 0 ou > 0 lógic 0. Observção: é muito importnte contr-positiv dess propriedde, isto é, se eistem números que stisfzem s proprieddes lgébrics e < 0 R. 8. () Contr-eemplo:. Testndo primeir iguldde ( ) e ( ) ( ). Logo iguldde ( ) ( ) é verddeir pr. Testndo segund iguldde,, logo iguldde é fls qundo. Logo, pr, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls.

17 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise (b) Contr-eemplo e. Testndo n primeir desiguldde: 8 > 8 e + +. > 8 < 8, verddeir, logo primeir desiguldde é verddeir nesse eemplo. Testndo n segund desiguldde: e +. Como <, segund desiguldde é fls nesse eemplo. Logo, nesse eemplo, hipótese (primeir desiguldde) é verddeir e tese (segund desiguldde) é fls, pel lógic, implicção é fls. 9. Em todos os item, R. () Verddeiro. Sbemos que 5 potênci potênci e AP. ( ) ( ) > 0 PO e PO7 > 0 e > 0 iom de ordem > 0 (*) 5 > 0. ( ) 5 > 0 (*) iom d ordem > 0 PA e 0 lógic 0 Por outro ldo, por PO 8, < 0 é flso R. Logo, por lógic, < 0 e < 0 é flso. ( ). Voltndo, 5 > 0 > 0 e > 0 ou < 0 e Lógic e (**) < 0 > 0 e PA 7 > 0 > 0 e > 0 lógic > 0. (b) Verddeir. Sbemos que potênci potênci e AP. ( ). 0 lógic PA 9 0 e 0 0 lógic 0 e lógic e PA e PA (*) 0. (c) Fls. Contr-eemplo:,. no lugr do, Testndo n primeir desiguldde:, e, > > é verddeir. no lugr do, Testndo n segund desiguldde:, e, < < PO é fls. Logo, nesse eemplo, hipótese (primeir desiguldde) é verddeir e tese (segund desiguldde) é fls, pel lógic, implicção é fls. (d) Fls. Contr-eemplo: 0;. Testndo n primeir desiguldde: e 0 + > 0 + > 0 é verddeir. iom d ordem lógic Testndo n segund desiguldde: 0 > 0 é flso > 0 e > 0 é flso. Logo, nesse eemplo, hipótese (primeir desiguldde) é verddeir e tese (segund desiguldde) é fls, pel lógic, implicção é fls. (e) Fls. Contr-eemplo: ;. Temos que ( ) + e > 0 > 0, logo hipótese é verddeir. iom d ordem Tmbém e < 0 < 0 tese > 0, é fls. Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls. (f) Fls. Contr-eemplo: ;. Hipótese verddeir, pois ( )( ) > 0. e < 0 trnsitividde lógic < 0 > 0 é fls > 0 e > 0 é fls, isto é, tese é fls. Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls. (g) Verddeir. Justifictiv. Sbemos que < 0 é fls pr todo R. ( ) > 0 PO i) > 0 e > 0 ou < 0 e < 0 (h) Verddeir. Justifictiv. Sbemos que < 0 é fls pr todo R. ( ) < 0 PO ii) > 0 e < 0 ou < 0 e > 0 (i) Fls. Contr-eemplo:,. ( ) > 0 hipótese é verddeir nesse eemplo. lógic e (*) > 0 e > 0 lógic > 0. lógic e (*) > 0 e < 0 lógic < 0. e < 0 trnsitividde iom d ordem < 0 > 0 é fls lógic tese > 0 e > 0 é fls. Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls. (j) Fls. Contr-eemplo:,. 5 ( ) () 5 ( )() e < 0 trnsitividde 5 < 0, hipórese é verddeir nesse eemplo. e < 0 trnsitividde iom d ordem lógic < 0 > 0 é fls tese > 0 e < 0 é fls. Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls.

18 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise (k) Fls. Contr-eemplo: e lógic 0 hipótese verddeir. iom d ordem 0 tese < 0 é fls. Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls. (l) Verddeir. Prov: 0, pel lógic, temos dois csos dmissíveis e distintos: (i) 0 (ii) > 0. (i) 0 (ii) > 0 Logo, 0 lei do nulmento 0 ou 0. ( ) PO i), > 0 ou, < 0. ( ) (m) Fls. Contr-eemplo:. ( ) 8 (*) e (**) 0 ou 0 ou, > 0 ou, < 0 lógic, 0 ou, 0. potênci nturl : ( ) ( ) ( ) ( ) }{{} 8 vezes PA 5 }{{} 09 vezes AP e AP. potênci nturl e AP : ( ) ( ) ( ) }{{} 09 vezes Logo, 8 ( ) 8 e > 0 trnsitividde 8 > 0 lógic 8 0 hipótese verddeir. e < 0 trnsitividde < 0 tese 0 fls. Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls. (n) Verddeir. {} (o) Verddeir. Prov: definição do conectivo ou {} ou {π} união {} {π} {, π} Prov: 0. Em todos os itens, b R. definição do conectivo ou ou π. () Verddeir. Prov: sbemos que 5 potênci potênci e AP. ( ) ( ) 5 < 0 (*) iom d ordem < 0 PA e 0 lógic 0 Por outro ldo, por PO 8, < 0 é flso R. Logo, por lógic, < 0 e > 0 é flso. ( ). Voltndo, 5 PO ii) < 0 > 0 e < 0 ou < 0 e > 0 > 0 e < 0 lógic < 0. (b) Verddeir. Prov: (c) Verddeir. Prov: > potênci : }{{} vezes conectivo lógico ou > ou lógic. (AS) }{{} }{{} 0 vezes 55 vezes 0 lógic (i) 0 ou (ii) > 0. Logo, (i) 0 (*) }{{} vezes (ii) > 0 0 iom d ordem 0 (**) 0 Lógic e (**) > 0 e PA 7 < 0 (potênci) 0 ( ) lei do nulmento } 0 ou 0 {{ ou ou 0 } vezes PO PO i) > 0 0 }{{} 55 vezes lógic 0 ( ) iom d ordem 0 < 0 é fls lógic 0 < 0 e < 0 é fls ( ) Por outro ldo, 0 > 0 (***) 0 > 0 e > 0 lógic > 0 lógic 0. PO i) 0 > 0 e > 0 ou 0 < 0 e < 0 (d) Fls. Contr-eemplo: e. e b ( ) b hipótese verddeir, b, b tese fls. Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls. (e) Verddeir. Prov: (PA 7, AS5, AS) b b 0 (PA vi)) ( b)( + b + b ) 0 > 0 lei do nulmento b 0 ou + b + b (PA 7, AS5, AS) 0 b ou + b + b 0. Pr provr que b ou +b+b 0 b, precisremos provr que +b+b 0, b R; b. Prov de que + b + b 0, b R; b:

19 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise Vmos seprr em tods s hipóteses dmissíveis e distins d posição reltiv entre e b tl que b. cso: < b < 0 (PO e PO 5) < 0 e b < 0 > 0, b > 0, b > 0 + b + b 0. cso: < b 0 < 0 e b 0 (iom d ordem ) + b + b (iom d ordem ) > 0 (PO 5 e PA ) > 0, b 0, b 0 + b + b > 0 (iom d ordem ) + b + b 0. cso: < 0 < b < 0 e b > 0 (PO ) b < 0, PO 8 b > 0. ( ) Por outro ldo, + b + b + b + b b Por PO 8 e por ( ), temos que b > 0 e ( + b) 0 produto notável ( + b) b ( ) (PO 7) ( + b) + ( b) > 0 + ( + b) 0 trnsitividde ( + b) b > 0 (**) + b + b (iom d ordem ) > 0 + b + b 0. cso: 0 < b 0 e b > 0 (PO 5 e PA ) 0, b 0, b > 0 + b + b b b > 0 (iom d ordem ) + b + b 0. cso: 0 < < b (PO e PO 5) > 0 e b > 0 > 0, b > 0, b > 0 + b + b 0. (iom d ordem ) + b + b (iom d ordem ) > 0 (f) Verddeir. Prov: (PA7, AS, AS5 ) b b produto notável 0 b + b 0 produto notável ( b) ( + b) + b lei do nulmento 0 b 0 ou + b 0 ou + b 0 (PA 7, AS5, AS) b ou b ou + b 0. Pr provr que b ou b ou + b 0 b ou b precismos provr que + b 0 b ou b Primeiro vmos provr que + b 0 0 e b 0. Vmos provr contr recíproc, isto é, 0 ou b 0 + b 0. ( ) Vmos ver todos os csos dmissíveis e distintos (são ): cso 0 e b 0 (PO, PA) > 0 e b 0 AS + b + 0 iom d ordem > 0 + b 0. (PO, PA) cso 0 e b 0 0 e b > 0 AS +b 0+b b iom d ordem > 0 +b 0. cso 0 e b 0 PO > 0 e b iom d ordem > 0 + b iom d ordem > 0 + b 0. Logo, +b 0 (*) PA 0, b 0 0, b 0, b 0 lógic b, b lógic b ou b (g) Verddeir. Prov: Análogo o que foi provdo no eercício nterior, isto é nálogo + 0 b 0. (h) Igul o eecício 9 (m). (i) Verddeir. dois csos). Prov. Vmos nlisr dois csos dmissíveis e distintos pr um ddo b R, (dess form só há Cso b > 0 lógic > 0 ou b > 0. Cso b 0 + b > 0 e b 0 PO + b > 0 e b 0 PO + b b > 0 b e b 0 AS5, AS > b e b 0 trnsitividde > 0 lógic > 0 ou b > 0

20 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise Em todos os itens, b R. () Fls. Contr-eemplo: 0 e b., lógic b, < < b hipótese verddeir. b ( ), < lógic b < tese b > é fls. Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls. Como implicção é fls, pel lógic, equivlênci tmbém é fls, isto é, pel lógic, equivlênci é verddeir qundo implicção e recíproc são verddeirs. (b) Verddeir. Prov: PO Um prte d hipótese: b 0 b > 0. ( ) PO 9 e (*) Outr prte d hipótese: < b b b < b PA 8 < b b >. (c) Verddeir. Prov: PO 7 Um prte d hipótese: b < 0 b < 0. ( ) PO 0 e (*) Outr prte d hipótese: < b b b > b PA 8 > b b <. (d) Verddeir. Prov: PO Hipóteses, 0 e b 0 > 0 e b iom d ordem > 0 +b > 0 PO 8 + b > 0 lógic + b 0. (e) Verddeir. Prov: PO Hipóteses, 0 e b 0 > 0 e b iom d ordem > 0 + b > 0 PO 8 + b > 0. (f) Fls. Contr-eemplo:, b., b, < lógic b < > b hipótese é verddeir. b ( ) ( ) e < 0 trnsitividde b < 0 Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls. (g) Verddeir. Prov: Sbemos que produto notável b ( b)( + b) ( ) tese é fls. > b > 0 trnsitividde def mior do que iom d ordem > b, > 0, b > 0 b > 0, > 0, b > 0 iom d ordem e (*) b > 0, + b > 0 b ( b)( + b) > 0 PO 8 b > 0 lógic b 0. (h) Fls. Contr-eemplo:, b., b, < trnsitividde < hipótese verddeir. b b,, < trnsitividde tricotomi d ordem < b tese b < é fls. Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls. (i) Verddeir. Prov: > 0, b > 0, (j) Verddeir. Prov: > 0, b < 0, < b < b PO 9 b < b b. Eemplo : Pr, b R, temos que b b. (PO 9, PO 0) b > b b Eemplo : Pr, b R,, b 0, temos que b b. (AP5, PA8, AP) b <. Eemplo : Pr R, temos que < <. Eemplo : Pr R, temos que > >. (tulizdo em 08/09/008) Eemplo 5: Pr R, temos que (tulizdo em 08/09/008) Eemplo : Pr R, temos que < <. (AP5, PA8, AP) b >.

21 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise Em todos os itens considermos, b, c R. () Fls. Contr-eemplo: π. definição de módulo π e π < 0 π ( π) PA 9 π hipótese π é verddeir. π e π π tese π é fls. Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls. (b) Verddeir. Justifictiv: b (iii) PA 7 diferenç e AS b b +( b ) b +( b ) b b 0 lógic b b 0. (c) Fls. contr-eemplo: e b. Temos que, b, < firmção < b é verddeir. Temos que, < 0, b, < 0, usndo definição de módulo, obtemos ( ) e ( ). Logo, de, b, >, concluímos que > b, dí, pel tricotomi d ordem, tese < b é fls. Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls. (d) Verddeir. Justifictiv: < 0 def módulo lei do cncelmento + + ( ) AS (e) Fls. Contr-eemplo. Pr 0 não vle volt, isto é, + 0 < 0. Qundo 0 temos que , logo hipótese d volt + 0 é verddeir. Ms 0, pel tricotomi d ordem, concluímos que tese d volt, < 0 é fls. Logo, nesse eemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógic, implicção é fls. (f) Verddeir. Justifictiv: < b < 0 < b e b < 0 trnsitividde def módulo < 0 e b < 0 e b b. ( ) Por outro ldo, < b e < 0 (g) Verddeir. Justifictiv: c > e > 0 c > 0 c > PO 0 > b (*) > b. def módulo c c ( ) PA 7 diferenç e AS c + ( ) > 0 + ( ) c > 0 (*) c > 0. (h) Verddeir. Prov: Um hipótese: < b e b < c trnsitividde < c. Outr hipótese: c > eercício nterior c > 0. Logo: < c e c > 0 (v) PA, PA 9, AS ( c ) < < c c < < c. (i) Fls. Contr-eemplo:, b, c. Substituindo no ldo esquerdo, + b c + ( ) +. Substituindo no ldo direito, + b c + + ( ( )). Como, nesse eemplo, + b c + b c, logo iguldde é fls, pois pr ser verddeir, teri que ser verddeir pr quisquer vlores de, b, c. (j) Verddeir. Prov: 0 e b 0 (i) > 0 e b > 0 PO 8 > 0 e b > 0. Assim, b < PO 9 b < PO 9 e AP 5. Sejm, b, R, b > 0. b b < b AP e AP < b. < b (v) (PO 7) (AS, AS, AS5, def diferenç) b < < b b + < + < b b < < b. se > se + > 0 PO 7, AS5 e AS. (i), R. Logo, má {, } se má {, } se + 0 se < se + < 0 AP e ASP má {, } Por definição, se > 0 se 0 se < 0 se > 0 0 se 0 se < 0 PO9 má {, } se > 0 0 se 0 se < 0 Comprndo definição de e ( ), concluímos que má{, }. ( )

22 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise 008- (ii), R. Logo, mín {, } AP, ASP e PO9 mín {, } Ms, por definição de módulo, se < se se > se < 0 0 se 0 se > 0 PO 7, AS5 e AS mín {, }, isto é, mín {, } se > se 0 ( ) se > 0 Comprndo e ( ), concluímos que mín{, }., isto é, se > 0 0 se 0 se < 0 se + < 0 se + 0 se + > 0 se > 0 0 se 0 se < 0 7. Vmos provr primeiro que, b R, temos que má {, b} e mín {, b} Pel tricotomi d ordem, sá há três csos dmissíveis e distintos, (i) < b, (ii) b, (iii) > b. Primeiro vmos plicr definição de má {, b}: (i) < b < b e má {, b} b lógic < má {, b} lógic má {, b} (ii) b má {, b} lógic má {, b} (iii) > b má {, b} lógic má {, b}. Logo, por (i), (ii), (iii), concluímos que má {, b}. ( ) Agor vmos plicr definição de mín {, b}: (i) < b mín {, b} lógic mín {, b} (ii) b mín {, b} lógic mín {, b} (iii) > b > b e mín {, b} b lógic > mín {, b} lógic mín {, b}. Concluímos que mín {, b}. ( ) Agor, substituindo b por em ( ) e ( ), obtemos má {, b} e mín {, b}. Aplicndo (i) e (ii) do eercício nterior, concluímos que e. 8., R lógic e, R. É mesm firmção do eercício nterior, já provd. ( )

23 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise 008- Universidde Federl Fluminense EGM - Instituto de Mtemátic GMA - Deprtmento de Mtemátic Aplicd LISTA Números reis: estimtivs Potêncis inteirs e rcionis. Coloque em ordem crescente seguinte list de números reis. Pr ordenr, inicilmente use pens proprieddes de ordem dos reis. Ao finl, confir su list usndo máquin de clculr. 0 ; ; ; ; ; 0. Sbe-se que um estimtiv de π em um intervlo de mplitude 0, 00 é, < π <,. () Encontre um estimtiv de dentro de intervlo com vrição máim de 0, 0. π (b) Encontre um estimtiv de π dentro de intervlo de mplitude 0, 00. (c) Encontre melhor estimtiv possível de dentro de intervlo com dus css decimis, se π usmos pens proprieddes de ordem. Qul é mplitude do intervlo correspondente?. Sbe-se que 0, < < 0,. Encontre estimtiv pr +.. Sbe-se que 5 < <. Encontre estimtiv pr +. Deie respost em form de frção Sbe-se que, < 5 <,. Fç um estimtiv de Sbe-se que, 9 < < e, < b <,. Fç estimtivs de: () + b (b) b (c) + b b 7. Dê os vlores de R pr os quis s epressôes seguir estão bem definids: () ( ) /9 (b) ( ) /9 (c) ( ) 9/ (d) ( ) 9/ (e) ( ) /5 (f) ( ) 5/ (g) ( ), (h) ( ), (i) ( ), (j) ( ),5 (k) ( ),5 (l) ( ), (m) ( ), (n) ( ),5 8. Dê os vlores de Q pr os quis epressão ( ) é bem definid pr qulquer potênci rcionl. 9. Prove que ( / + / + / / + ) 8, > 0,. 0. Suponh que eiste R tl que (5) e suponh tmbém que tods s proprieddes de potênci rcionl tmbém são válids pr potênci rel. Clcule (5 ) (0).. Se, b R, prove que < b < b.. Se, b R,, b 0, prove que < b < b.. () Prove que b ( b)( + b + b ),, b R. Diz-se que + b + b é o conjugdo cúbico de ( b). ( (b) Use o item nterior pr provr que b ) ( b + b + b ),, b R.. Se substituirmos n epressão + o numerdor e o denomindor se nulm. () Simplifique epressão multiplicndo numerdor e denomindor pelo conjugdo cúbico do denomindor. (b) Verifique que se substituirmos n epressão simplificd do item nterior, o numerdor e o denomindor não se nulm.

24 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise 008- RESPOSTAS (lguns estão com resolução ou o resumo d resolução):. Respost: < < 0 0 < 8 0 < < Justifictiv: observe que. Tmbém observe que: e são simétricos; e 7 5 são simétricos; 0 e são simétricos. 0 Logo fic mis simples comprr primeiro os positivos e seguir comprr os negtivos. (i) Comprndo 0 e 7 5. Como 0 > 0 e 5 > 0, temos que 0 < < < < 0. 5 Como últim desiguldde é verddeir e vle equivlênci com primeir desiguldde, concluímos que primeir desiguldde é verddeir, isto é, concluímos que 0 < 7 5 é verddeir. (ii) Comprndo 8 0 e. 0 Como 0 > 0, temos que 8 0 < < 0 <. 0 (por propriedde de riz), < <. Sbendo-se que > 0 e b > 0, podemos usr propriedde < b < b. Logo, < () < 9 < 9 < < 5 9 < < 5 9 < 59. Como os números dos dois ldos d desiguldde são positivos, podemos plicr mesm propriedde citd nteriormente, isto é, elevr o qudrdo os dois ldos d desiguldde, como seguir. < 59 () < (59) < 5.8. Como últim desiguldde é verddeir e vle equivlênci com primeir desiguldde, concluímos que primeir desiguldde é verddeir, isto é, concluímos que 8 0 < é verddeir. 0 (iii) Comprndo e. 0 Como 0 > 0, temos que < < 8 ( 9>0) < 9 < 9. Podemos elevr o qudrdo os dois ldos d desiguldde, pois mbos são positivos. Logo, < 9 () < (9) () < 8 + ( >0) < 8 < < 8 (8) 8 < < 5.. Como últim desiguldde é fls e vle equivlênci com primeir desiguldde, concluímos que primeir desiguldde é fls, isto é, concluímos que < é fls. 0 Em todo desenvolvimento cim podemos trocr < por. Como é flso, tmbém concluímos que é flso. Pel tricotomi d ordem, só rest > verddeiro. 0 8 Por (i), (ii) e (iii), obtemos list dos positivos em ordem crescente: 0 < < Pr ordenr os negtivos multiplicmos s dus desigulddes cim pelo número negtivo, s desigulddes serão invertids, isto é, 8 0 > > Escrevendo do menor pr o mior, < < 0 0. Finlmente, como todo negtivo é menor que positivo, obtemos list complet ordend que está n respost.. () Respost: 0, < < 0,. Justifictiv:, < π <,, < π e π <,. π Como todos os números são positivos, podemos dividir por esses números, s dus desigulddes se preservm. Logo,, < π e π <, π < e,, < π, < π <,. Agor, fzendo cont de dividir e prndo n. cs deciml, sem usr proimção, obtemos do ldo esquerdo, 0, e do ldo direito, 0,, mbos com resto positivo. Sbemos que o resultdo d divisão de por, é mior do que 0,, pois o resto d divisão foi mior do que 0, isto é, 0, <,. Tmbém sbemos que o resultdo d divisão de por, é menor do que 0,, pois considerndo dus css decimis, o lgrismo d segund cs deciml foi que é menor que, isto é, 0, < < 0,., (b) Respost: 0, < π < 0,

25 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise 008- (c) 0, < π < 0,. Fzendo conts de divisão, concluímos que, 08 < <, 9. π Logo, multiplicndo s dus desigulddes por obtemos estimtiv pedid,, 9 < <, 08. π A mplitude do intervlo é (, 08) (, 9), 9, 08 0,.. Respost:, 8 < + <, 88. Justifictiv: 0 < 0, < < 0, (0, ) < < (0, ) + (0, ) < + < + (0, ) Por outro ldo, 0, < < 0, 0, < < 0,. + (0, ) < + < + (0, ) Assim, temos que Somndo termo termo s desigulddes, obtemos 0, < < 0, + (0, ) + ( 0, ) < + + ( ) < + (0, ) + ( 0, ). Fzendo conts cheg-se n respost < + < < + < 5 5. Rcionlizndo epressão temos Estimndo 8 5 5, encontrmos,, 58 < <, 58, 58 < <, 58 0, 58 < < 0, 58.. () 0, < + b < 0, (b), 0 < b <, (c) 0, 075 < + b < 0, 0 b 7. () (b) (c) (d) > (e) (f) / + / + / / + (g) (h) (i) (j) (k) (l) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) (m) (n) + + (5 ) (0) (5 ) ( 5) (5 ) () (5) (5 ) () 5 (5) (5 ) 5 (5 ) Vmos plicr propriedde: se, R então < <, fzendo e b. Se, b R então < b ( ) < ( b) < b.. Vmos plicr propriedde: se, R,, 0 então < <, fzendo e b. Se, b R,, b 0 e, b 0 então < b ( ) < ( b) < b.. () Pr, b R, ( b) + b + b + b + b b bb b + b b + b b b b. (b) Substituindo R por R e b R por R n identidde provd cim, obtemos ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ). Aplicndo proprieddes de riz dos dois ldos d identidde, obtemos ( ) + +. É clro que podemos trocr por e por b ness identidde.. () (b) + + ( ) + + ( ) ( ) + + ( ) ( + ) ( ) + + ( ) ( + ) ( ) + + ( ) ( ) ( ) + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) ( ) + ( ( ))

26 List de Mtemátic Básic - profs. Mrlene e Denise 008- Universidde Federl Fluminense EGM - Instituto de Mtemátic GMA - Deprtmento de Mtemátic Aplicd LISTA Função: conceitos geris. Em cd item são ddos dois conjuntos A e B e um regr R que relcion os elementos do conjunto A com os elementos do conjunto B. Dig se A, B e R definem um função de A pr B. Justifique respost. () A é o conjunto dos números ds mtrículs dos lunos tuis de grdução d UFF ou e-lunos de grdução d UFF mtriculdos depois de 980. B é o conjunto dos nomes dos lunos tuis de grdução d UFF ou e-lunos de grdução d UFF mtriculdos depois de 980. Regr R: cd número de mtrícul consult-se no bnco de ddos d UFF e ssoci-se o nome do luno que tem esse número de mtrícul. Pr entender o resultdo d plicção d regr R, observe que o número d mtrícul é um número de 9 lgrismos, n n n n n 5 n n 7 n 8 n 9, onde cd lgrismo represent: n é número do semestre que o luno fez mtrícul por ingresso no vestibulr d UFF ou um código que indic outr form de ingresso, por eemplo, trnsferênci. n n são os dois últimos lgrismos do no que o luno fez mtrícul n UFF. n n 5 é o cógido do curso de grdução do luno. n n 7 n 8 é um número sequencil (isto é, cd nov mtrícul ssoci-se o número nturl sucessor do número ssocido pel últim vez) em que foi feit mtrícul no no, semestre, curso. n 9 é um dígito verificdor gerdo internmente pelo sistem computcionl. (b) A R, B Z, regr R: cd número rel ssoci-se um número inteiro compreendido entre e +. (c) A é o conjunto dos intervlos fechdos d ret numéric de etremos e b, onde < b. B R. Regr R: cd intervlo [, b] ssoci-se su mplitude, isto é, o seu comprimento, sber, b. (d) A é o conjunto dos triângulos de bse igul 0 e ltur h. B R. Regr R: cd triângulo de bse 0 e ltur h ssoci-se áre A desse triângulo, sber A 5h. (e) A é um subconjunto dos reis tl que A A A ; A A e A A. B R. Regr R: cd elemento A ssoci-se o número rel e cd elemento A ssoci-se o número rel. (f) A é um subconjunto dos reis tl que A A A e A A. B R. Regr R: cd elemento A ssoci-se o número rel e cd elemento A ssoci-se o número rel.. Pr os itens do eercício nterior em que os conjuntos A e B e regr R definem um função f de A pr B, dig quis são injetors, por eclusão quis não são injetors. Justifique, mesmo que sej em plvrs.. Pr cd função definid seguir, dig quis são injetors e quis são sobrejetors. Justifique usndo s definições de injetor e sobrejetor e s proprieddes dos números reis. () f : [, ] R [ 0, 0] R f() (b) f : [, ] R [, ] R f() (c) f : R R f() {, se < (d) A B R e f(), se {, se (e) A B R e f(), se