Prova 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolha 5 questões

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1 Prov 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolh 5 questões 1. Sej f : [, b] R um função limitd. Mostre que f é integrável se, e só se, existe um sequênci de prtições P n P [,b] do intervlo [, b] tl que lim ( S (f, P n ) S (f, P n ) ) = 0, onde S (f, P n ) e S (f, P n ) denotm, respectivmente, som superior e som inferior d f em relção à prtição P n. Considere os conjuntos A = {S (f, P ) R : P P [,b] } e B = {S (f, P ) R : P P [,b] } de tl form que f = sup A inf B = e f é integrável se, e só se, sup A = inf B. () Suponh que exist um sequênci de prtições P n tl que lim ( S (f, P n ) S (f, P n ) ) = 0. Então, pr todo ε > 0 existe n 0 N tl que se n n 0 então S (f, P n ) S (f, P n ) < ε. Isso signific que existe lgum prtição P tl que S (f, P ) S (f, P ) < ε. Ms, isso quer dizer que pr todo ε > 0 existem um elemento x A e um elemento x B tl que y x < ε. Porém, x sup A inf B y. Portnto, pr todo ε > 0, inf B sup A y x < ε, o que implic que inf B sup A = 0, isto é, f é integrável. (b) Reciprocmente, ssumindo que f é integrável, deve-se construir um sequênci de prtições P n tl que lim ( S (f, P n ) S (f, P n ) ) = 0, o que é feito d seguinte form: ddo n N, existem P n, P n P [,b] tis que f 1 < S (f, P n n) f e f S (f, P n ) < f + 1, pois 1 > 0 n n e f = sup A e f = inf B. Defin então P n = P n P n. Por est definição, segue que n N, S (f, P n ) S (f, P n ) < 2, já que n S (f, P n) S (f, P n ) S (f, P n ) S (f, P n ). Portnto, lim ( S (f, P n ) S (f, P n ) ) = 0, concluíndo demonstrção. f 1

2 2. Ddo um intervlo [, b], sej C [, b] um conjunto fechdo e de medid nul. Defin função crcterístic χ C : [, b] R de C por { 1 se x C χ C (x) = 0 se x / C. () Mostre que C tem conteúdo nulo. (b) Mostre que χ C é integrável. () Sej ε > 0. Deve-se mostrr que C pode ser recoberto por um conjunto finito de intervlos bertos cuj som de comprimentos é < ε. Como C tem medid nul, existe um conjunto enumerável I n, n N, de intervlos bertos tis que C n N I n e n 1 I n < ε. Ms, C é fechdo (por hipótese) e limitdo (pois C [, b]) dí que C é compcto. Portnto, existe um subcobertur finit I n1,..., I nk, isto é, C I n1 I nk. Pr esses intervlos vle I n1 + I nk < ε, já que est desiguldde vle pr todos os intervlos I n, n N. Isso mostr que C tem conteúdo zero. (b) Antes de mis nd verifique que se s / C então f é contínu em x d seguinte form: se x / C então existe δ x > 0 tl que (x δ x, x + δ x ) C =. Dess form, ddo ε > 0, se y (x δ x, x + δ x ) então χ C (y) χ C (x) = 0 < ε. Isso signific que o conjunto Desc (χ C ) dos pontos de χ C está contido em C. Como C tem medid nul, segue que Desc (χ C ) tmbém tem medid nul, o que mostr que χ C é integrável. Observções: i) Foi mostrdo que Desc (χ C ) C. É possível mostrr que Desc (χ C ) = C, notndo que todo intervlo berto intercept o complementr de C, já que C tem conteúdo nulo. Portnto, se x C então ω (χ C, x) = 1 e x Desc (χ C ). ii) Sem hipótese de que C é fechdo o resultdo não vle: tome C = Q [0, 1]. Então, Desc (χ C ) = [0, 1] e χ C não é integrável. 3. Sejm f, g : [, b] R funções integráveis e suponh que f 0 (isto é, pr todo x [, b], f (x) 0). Mostre que se f = 0 então fg = Bst mostrr que fg = 0 pois fg fg. 2

3 Escolh K > 0 tl que K > sup{g (x) : x [, b]}. Ddo ε > 0 tome um prtição P = { = x 0 < < x n = b} tl que S (f, P ) < ε/k (que existe, pel hipótese de que f = 0). Então, ( ) ( ) S ( fg, P ) = sup fg (x k+1 x k ) K sup f (x k+1 x k ) = KS (f, P [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] Isso signific que pr todo ε > 0, fg < ε, isto é, fg = 0. Como b fg 0 segue que fg = Sej f : [, b] R um função contínu. Mostre que se f = 0 então f é identicmente nul. Suponh por bsurdo que existe x 0 [, b] tl que f (x 0 ) = f (x 0 ) = k > 0. Como f é contínu, f tmbém é contínu. Portnto, existe δ > 0 tl que f (x) > k/2 se x (x 0 δ, x 0 + δ) [, b]. Escolh c < d tl que (c, d) (x 0 δ, x 0 + δ) [, b]. Então, f = c f + No segundo membro dess iguldde o primeiro e o terceiro termos são 0 pois f 0, já o segundo termo é > k (d c), mostrndo que f > k (d c) > Dd um função f : R R, suponh que pr todo intervlo [, b] R, restrição f [,b] de f [, b] é integrável e que f (b) f () = f 2. () Mostre que f é contínu. (b) Mostre que pr todo x R, existe derivd f (x) e que f (x) = (f (x)) 2. d c f + d f. Se f é integrável em [, b] então f 2 tmbém é integrável em [, b]. Fixe x 0 R e defin f : R R por F (x) = x x 0 f 2 (que é bem defind pois pr todo x R, f 2 é integrável em [x 0, x], se x x 0 ou em [x, x 0 ], se x x 0 ). Então, F é contínu (n verdde de Lipschitz em intervlos limitdos). Por hipótese f (x) f (x 0 ) = F (x), isto é, f (x) = F (x) + f (x 0 ), o que mostr que f é contínu. Isso implic que f 2 é contínu. Portnto, o teorem fundmentl do cálculo pode ser plicdo pr mostrr que F tem derivd e F (x) = f 2 (x). Usndo novmente, f (x) = F (x) + f (x 0 ), segue que f (x) = f 2 (x) 3

4 7. Dds s funções de vrição limitd f, g : [, b] R, mostre s seguintes firmções: () f + g é de vrição limitd. (b) mx{f, g} e min{f, g} são de vrição limitd. () Tome um prtição P = { = x 0 < < x n = b} P [,b]. Então, V (f + g, P ) = (f + g) (x k+1 ) (f + g) (x k ) n 1 f (x k+1 ) f (x k ) + g (x k+1 ) g (x k ) = V (f, P ) + V (g, P ). Portnto, sup{v (f + g, P ) : P P [,b] } V b (f) + V b (g), o que grnte que f + g é de vrição limitd. (b) Como no item (), se mostr que f e cf, c R são de vrição limitd. Então, o resultdo segue ds expressões mx{f, g} = f + g + f g 2 e min{f, g} = f + g f g. 2 (Deixo de ldo os detlhes, tnto de () qunto de (b).) 8. Mostre que se f : [, b] R é um função integrável então função F : [, b] R definid por F (x) = x f é de Lipschitz. 9. Pr cd um ds firmções seguir dig se é verddeir ou fls. No cso verddeiro presente um justifictiv e no flso, um contr-exemplo. () Tod função integrável é de Lipschitz. (b) Se X é um subconjunto de medid nul então seu fecho X tmbém tem medid nul. (c) Um função limitd f : [, b] R é integrável se, e só se, o seu conjunto de pontos de descontinuidde Desc (f) tem conteúdo nulo. 4

5 () Fls: Existem funções integráveis que não são contínus e, no entnto, tod função de Lipschitz é contínu. Por exemplo, função f : [0, 2] R definid por f (x) = 0 se x [0, 1] e f (x) = 1 se x (1, 2], é integrável e não é contínu. (b) Fls: O conjunto Q tem medid nul por ser enumerável. No entnto, Q = R não tem medid nul. (É possível mostrr que no cso de conteúdo nulo isso é verddeiro. A rzão é que união enumerável de fechdos pode não ser fechdo enqunto que união finit de fechdos é fechdo.) (c) Fls: A função f : [0, 1] R definid por f (x) = 0 se x / Q e f (x) = 1 q se x = p (frção irredutível com q > 0) é integrável e Desc (f) = Q [0, 1] q não tem conteúdo nulo. 10. Dê, se possível, exemplos pr cd um ds situções seguir. Justifique os exemplos e, cso não exist um exemplo, forneç um demonstrção. (Escolh 3 subítens dest questão.) () Um conjunto de medid nul, que não tem conteúdo nulo. (b) Um função integrável f : [, b] R tl que o conjunto de seus pontos de descontinuidde Desc (f) é Q [, b]. (c) Um função integrável f : [, b] R, que não é de vrição limitd. (d) Um função uniformemente contínu f : [, b] R, que não é de Lipschitz. (e) Um fmíli enumerável X n, n N, de subunjuntos de conteúdo nulo tl que união n N X n não tem conteúdo nulo. () Q [0, 1]. Tem medid nul, pois é enumerável, ms não tem conteúdo nulo. Pr verificr ess últim firmção, pode-se usr o lem d cerc (como foi feito n ul) ou Q [0, 1] = [0, 1], que não tem medid nul (vej o comentário o exercício 8.b cim.) (b) A função f : [0, 1] R definid por f (x) = 0 se x / Q e f (x) = 1 se q x = p (frção irredutível com q > 0). q (c) A função crcterístic χ C do conjunto de Cntor C [0, 1]. El é integrável e Desc (χ C ) = C, pois C é fechdo (vej o exercício 2). Porém C não é enumerável, dí que χ C não é de vrição limitd (se f tem vrição limitd então Desc (f) é enumerável). 5

6 (d) A função f : [0, 1] R definid por f (x) = x é uniformemente contínu pois é contínu no intervlo compcto [0, 1]. No entnto, não é de f (x) f (0) Lipschitz pois função g : (0, 1] R, definid por g (x) = = x 0 x não é limitd. x (e) Sej x n um enumerção dos rcionis e tome X n = {x n }. Cd X n tem conteúdo nulo pois é um conjunto untário. No entnto, n N X n = Q não tem conteúdo nulo. 6