CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral.

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Auls n o 8: Técnics de Integrção I - Método d Substituição Objetivos d Aul Apresentr técnic de integrção por substituição; Utilizr técnics presentds no cálculo integrl. Integrção por Substituição Eistem funções cujs primitivs são trivilmente determinds, por eemplo, considere função f() +. Como determinr um primitiv F () pr f()? Então, queremos determinr + d Entendendo d como um diferencil, podemos fzer seguinte substituição: u + Ao fzermos ess mudnç, precismos substituir o diferencil d pelo diferencil. que já prendemos, o diferencil é ddo por Sendo ssim, pelo u ()d d Agor, fzemos substituição n integrl indenid + d } + {{ } }{{ d} u u u + C u + C ( + ) + C d d Esse resultdo pode ser vericdo por derivção. Bst fzer [ ( + ) + C ] ( + ) d d ( + ) + d d (C) ( + ). + + Esse resultdo pode ser generlizdo pel seguinte proposição: Proposição. Sejm f e g funções tis que Im g D f, com g derivável. primitiv de f, isto é, F f. Então f(g()).g () d F (g()) + C Suponhmos que F é um ou sej, F (g()) é um primitiv pr f(g()).g ().

2 Cálculo I Auls n o Demonstrção De fto, pois pel regr d cdei, temos que d d [F (g()) + C] F (g()).g () + f(g()).g () Agor, segue o resultdo que dene regr de substituição pr s integris indenids. Teorem (Regr d Substituição). Suponh que u g() é um função derivável cuj imgem é o intervlo I, f é contínu em I e F é um primitiv de f, então f(g()).g () d f(u) Demonstrção Segue d proposição nterior que F (g()) + C é um primitiv pr f(g()).g (). como F f, temos que f(g()).g () d F (g()) + C F (u) + C F (u) f(u) Vejmos lguns eemplos d plicção desse teorem Eemplo. Clcule ( ) d. Fzendo substituição u obtemos que d Eemplo. Clcule ( ) d sen d. u u + C ( ) + C temos que Fzendo mudnç u d Logo Eemplo. Clcule sen d cos( + ) d. sen }{{ d} sen u cos u + C cos + C Fzendo u + obtemos que d Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid

3 Cálculo I Auls n o cos( + ) d cos( + ) d cos u sen u + C cos( + ) d }{{} sen ( + ) + C Eemplo. Sbendo que α, determine: ) cos (α ) d; b) c) sen (α ) d; e α d. Fzendo u α obtemos que α d ) cos (α ) d α α cos (α ) d α cos(α ) α}{{} d α cos u α sen u+c sen (α )+C α b) sen (α ) d α α sen (α ) d α sen(α ) α}{{} d α sen u α cos u+c sen (α )+C α c) e α d α α Eemplo 5. Determine Bst tomr pr obtermos que e α d α + d. e α α}{{} d α u + d e u α eu + C α eα + C e ssim, + d + d d + }{{} u ln u + C ln( + ) Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid

4 Cálculo I Auls n o Eemplo 6. Determine sen cos d. temos que Chmndo u sen cos d Eemplo 7. Determine sen cos }{{ d} sen cos d. u u + C sen + C Note que sen cos sen cos cos sen ( cos ) cos sen cos sen 6 cos sen cos d (sen cos sen 6 cos ) d sen cos d sen 6 cos d então E fzendo mudnç u sen cos d E ssim, sen cos d u u 6 u5 5 u7 7 + C sen 5 5 sen7 7 + C Eemplo 8. Determine 5 + d. Note que ) ( 5 + ( ) ( ) d + Agor, chmndo u obtemos que d d Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid

5 Cálculo I Auls n o ( ) d + + u + u 5 rctg u + C 5 ( ) rctg + C Eemplo 9. Verique que tg d ln cos + C Note que Desse modo, fzendo u cos, temos que tg d sen cos d sen d tg d ln u + C ln cos + C u Eemplo. Verique que sec d ln sec + tg + C Note que sec sec (sec + tg ) (sec + tg ) sec tg + sec sec + tg E, fzendo substituição obtemos que sec tg + sec sec d d sec + tg u sec + tg (sec tg + sec ) d Dess form, Eemplo. Determine sec d + d. ln u + C ln sec + tg + C u Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 5

6 Cálculo I Auls n o Note que não podemos tomr u + pois, se ssim zermos, obteremos d como não é constnte, temos que + d + d Então, precismos mudr substituição ser feit. Nesse cso,podemos fzer u e obteremos que Desse modo, d d + d + ( ) }{{} d + u + u rctg u + C rctg ( ) + C Eemplo. Clcule + d. Fzendo substituição u + e obtemos que d d Note tmbém que com ess substituição, temos que u. + d. + d + }{{} d (u ) u u u u 5 5 u 5 u 5 u + C + C 5 u 5 u + C 5 ( + ) 5 ( + ) + C Pr integrl denid podemos proceder de form nálog, com um dição, devem os determinr os novos limites de integrção. Tendo isso em mente, vmos demonstrr o seguinte teorem: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 6

7 Cálculo I Auls n o Teorem. Sejm f, g funções denids em um intervlo [, b]. Se g for derivável e g for contínu em [, b] e f for contínu n imgem de u g(), então b f(g()).g () d g(b) g() f(u) () Demonstrção: Sej F um primitiv de f. Pel Proposição, sbemos que F (g()) é um primitiv de f(g()).g (). pelo TFC, obtemos que E note que b f(g()).g () d F (g()) g(b) g() Comprndo () e (), temos () f(u) F (u) g(b) g() Vejmos lguns eemplos de utilizção desse teorem. Eemplo. Clcule + d. b F (g(b)) F (g()) () F (g(b)) F (g(b)) () Fzendo substituição temos que u + d e tmbém que u u 9 Desse modo, + d + d + d 9 u 9 u u 9 ( 9 ) 6 (7 ) Observção. Note que podemos resolver integrl do eemplo cim clculndo integrl indenid e depois substituindo os limites de integrção. e ln Eemplo. Clcule d Fzendo substituição u ln Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 7

8 Cálculo I Auls n o teremos que d e u u e ln d u u Eemplo 5. Clcule e d. Fzendo u, temos que d u u Eemplo 6. Clcule π e d e u cos sen (sen ) d. Fzendo substituição u sen, temos que e u e u e e cos, d u π u π Eemplo 7. Clcule cos sen (sen ) d d ( + ) d sen u cos u cos + cos cos. Fzendo substituição u +, temos que d d d (u ) E tmbém que u e u Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 8

9 Cálculo I Auls n o d ( + ) d (u ) u u + u + u u u u + 6 Proposição. Sej f um função contínu em [, ]. (i) Se f é ímpr, então (ii) Se f é pr, então Demonstrção (i) Note que f() d ; f() d f() d Como f é ímpr, então f() d f() d + f() d. f() d + f() d f() d Utilizndo substituição u, temos que d u u f() d u f(u) + f() d + f( ) d + f() d f() d f() d Agor, entendendo que o vlor d integrl de f em um intervlo independe do símbolo usdo pr representr vriável independente, pois Então, b f() d f() d u b f(u) + f(u) b f() d f(s) ds b f() d + f( ) d f() d (ii) Se f é pr, então f( ) f(). f() d f() d + f() d Fzendo mesm substituição do item nterior, temos que f() d f(u) + f() d f() d f(u) + f( ) d + f() d f() d f() d + f() d Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 9

10 Cálculo I Auls n o Eemplo 8. Clcule + d. Note que função f() + é ímpr, pois f( ) ( ) + + f() pel proposição nterior, Eemplo 9. Clcule ( 6 + ) d. + d Note que função g() 6 + é pr, pois g( ) ( ) f() pel proposição nterior, temos que ( 6 + ) d [ ] ( ) d 7 + ( ) Mudnç de Vriável - Substituição Trigonométric Ao resolver certs integris, f() d não conseguiremos fzer um substituição comum como zemos em uls pssds. Sendo ssim, se fz necessário escrever vriável como um função inversível e derivável ϕ em função de um vriável u, com invers derivável. fzendo mudnç ϕ(u), então ϕ (u) e ssim, f() d f(ϕ(u))ϕ (u) observndo que, pós clculr integrl indenid no o membro, deve-se voltr à vriável, trvés d invers de ϕ. Ess técnic é chmd tmbém substituição invers. Ness seção, estmos interessdos nos csos em que função ϕ é trigonométric, chmndo ess técnic de substituição trigonométric. As principis substituições trigonométrics são s eibids nos seguintes eemplos. Eemplo. Clcule ssim, obtemos que d. Como sen u cos u, então podemos fzer substituição trigonométric sen u e sen u ( π < u < π ), d cos u Então, cos d sen cos u u cos u Como cos u cos u cos u Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid

11 Cálculo I Auls n o pois u ( π, π ). Desse modo, d cos u ( + ) cos(u) u + sen(u) + C u + sen u cos u + C Agor, devemos retornr à vriável, logo, vmos utilizr o fto de que se sen u então u rcsen e tmbém que sen u sen (rcsen ) cos u sen u Portnto, d rcsen + + C < < Eemplo. Clcule + d Fzendo tg u, temos que sec u, com π < < π. Então, + d + tg u sec u Agor, se tg u então u rctg u, e tmbém, sec u sec u sec u sec u tg u + ln sec u + tg u + C tg u tg(rctg ) sec u sec(rctg ) + tg (rctg ) + Então, + d + + ln C Eemplo. Clcule d. Fzendo u sec u, onde < u < π ou π < u < π Dess form sec d u sec u tg u. temos que sec u tg u. tg utg u sec u tg u sec u sec u tg u ln sec u + tg u + C Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid

12 , > sen u π u π +, > tg u π < u < π, > sec u u < π ou π u < π Cálculo I Auls n o Como sec u, então u rcsec, logo, sec u sec(rcsec ) tg u tg(rcsec ) sec (rcsec ) d ln + + C Generlizndo, podemos dotr Epressão Substituição Vejmos mis lguns eemplos. Eemplo. Clcule áre do círculo de rio r e centro n origem. Pel simetri do círculo podemos rmr que r Áre r d r Agor, fzendo mudnç E ssim, r d r r ( ( ) ) r ( ) r d r d r r sen u r sen u d r cos u, r u π, u r r d r π sen ur cos u r π r π cos u ( + ) cos(u) r [ u + sen(u) ] π πr Portnto, r Áre r d πr πr Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid

13 Cálculo I Auls n o Eemplo. Encontre ( + 9) d. Inicilmente fremos mudnç v e obteremos que dv d e tmbém, v v podemos reescrever integrl como ( + 9) d 6 v (v + 9) dv Utilizndo tbel presentd cim, fzemos v tg u. dv sec u e v u π v u ( + 9) d π tg u sec u sec u π 6 sen u cos u ( + 9) d 6 π cos u cos sen u u Fzendo substituição w cos u, temos que dw sen u e os novos limites de integrção inferior e superior são e, respectivmente. Então, ( + 9) d 6 u u 6 [ u + ] u Resumo Fç um resumo dos principis resultdos vistos nest ul, destcndo s denições dds. Aprofundndo o conteúdo Lei mis sobre o conteúdo dest ul ns págins 69 7 e do livro teto. Sugestão de eercícios Resolv os eercícios ds págins 7 75 e 5 n seção de pêndices do livro teto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid