V ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } ( r ) 2. Questões tipo exame Os triângulos [ BC Da figura ao lado são semelhantes, pelo que: BC CC. Pág.

Transcrição

1 António: c ; Diogo: ( ) i e ; Rit: e c Pág Se s firmções dos três migos são verddeirs, firmção do António é verddeir, pelo que proposição c é verddeir e, consequentemente, proposição c é fls Por outro ldo, firmção d Rit é, tmbém, verddeir, pelo que proposição e c é verddeir Deste modo, podemos concluir que proposição e terá de ser verddeir, pois, cso fosse fls, proposição e c teri de ser fls, o que contrdiz os ddos do problem Finlmente, e como o Diogo flou verdde, proposição i e terá de ser verddeir Sbemos que proposição e é verddeir, pelo que proposição i terá de ser fls, um vez que conjunção de dus proposições é verddeir somente se s dus forem verddeirs e negção de um proposição fls é um proposição verddeir Assim, podemos concluir que os lunos ds ilhs não gostm de Mtemátic, os lunos estrngeiros gostm de Mtemátic e os lunos do continente tmbém gostm de Mtemátic B c, d, b, d, b, c, d { } { } { } A B {, b, c} { c, d} { c } ( ) \ ( ) {,,, } \ { } {,, } Sbemos que A X {, b, c } e que A {,, } B A B b c d c b d b c, pelo que todos os elementos de X são tmbém elementos de A, ou sej, X A De igul modo, temos que B X c, d e B c, d, pelo que todos os elementos { } { } de X são, tmbém elementos de B, ou sej, Se X A e X B X c, X B então X ( A B ), ou sej { } pelo que X { c } ou X X A B, vem {,, } {,,, } omo Logo, X { c } b d X b c d A 8 π A + A B Vsólido Vesfer Vcone menor Vcone mior Vesfer 0 π A A + B ( ) 0 π A 0 A 0π 0π A 0 A π ( r ) π π ( r ) pelo que o r Pr determinr O, utilizmos o Teorem de Pitágors O + O 0 O 8, pelo que O 8 Os triângulos [ B ] e [ BO O ] D figur o ldo são semelhntes, pelo que: B 8 BO OO OO OO 8 OO Vcone A ltur π π π V esfer π 0 π V V cone esfer 000 π π π 000π 000π Pág O instnte t 0 corresponde às 7 hors desse di, pelo que às hors e minutos corresponderá o instnte t 8,7 Assim tem-se: T ( 8,7) 0,( 8,7) ( 8,7),77( 8,7) 0( 8, 7) +, T ( 8, 7),8 + A tempertur no interior d rc frigorífic às hors e minutos desse di foi de, proximdmente,,8 grus elsius Os instntes em que tempertur no interior d rc frigorífic foi igul zero grus elsius correspondem às rízes do polinómio Às 8 hors e 0 minutos corresponde o instnte t, e às hors corresponde o instnte t Aplicndo, sucessivmente, regr de Ruffini, tem-se: 0,,77 0,, 0,,77, 0,, , 7, Assim, tem-se que: 0,,, 0 (,)( )( 0,, +,) T t t t t t As outrs dus rízes são s soluções d equção: 0,t, t +, 0, ±, 0,, 0,t, t +, 0 t 0,, ± 0,, ± 0, 7 t t 0, 0,, + 0,7, 0,7 t t t 0 t, 0, 0,

2 O instnte t, corresponde às 9 hors e 0 minutos e o instnte t 0 corresponde às 7 hors Os outros dois instntes em que tempertur no interior d rc frigorífic foi igul zero grus elsius form às 9 hors e 0 minutos e às 7 hors O ponto O é o ponto médio de [A], pelo que x + x y + y x + x y + y A, A ( 0, 0) 0 0 A A x + x 0 y + y 0 x x y y A A A A Por outro ldo, tem-se que: AB + B A A A x, y x, y x x, y y A A A A Assim, tem-se: AB + B A 7, 8 +, x x, y y ( A A ) ( 7, 8 ) ( x xa, y ya ) (, ) ( x x, y y ) + + A A x x y y A A omo xa x ya y, vem: x x y y x y x y A(, ) e (, ) B A + AB B, + 7, 8 ( 7, 8) B B ( 0, ) Equção d ret AB: yb ya 8 8 mab x x B 8 y x + b 7 A omo A (, ) AB, tem-se: 8 8 ( ) + b + b + b b AB: y x Equção d ret A: y ya ma x x + y x + b A omo 0( 0, 0) A, tem-se b 0 AB: y x Equção d ret B: y yb + mb x x + 0 y x + b B omo ( 0, ) B B, tem-se: 0 ( 0) + b + b b b B: 8 y x ondição pedid: y x + y x y x x < 0 y < ) O ponto médio de [AB] é o centro d circunferênci xa + xb ya + yb 0,,, O rio, r, é igul AB ( x x ) + ( y y ) B A B A AB r ( 0 + ) + ( ) ( 7) + ( 8) 9 + r Equção d circunferênci de diâmetro [AB]: x + + ( y + ) b) Interseção com o eixo Ox: Equção do eixo Ox : y 0 x + + ( y + ) y 0 x + + ( 0 + ) y 0 x + y 0 97 x + y 0 97 x + ± y 0 97 x ± y 0 ± 97 x y 0 Os pontos de interseção d circunferênci de diâmetro [AB] com o eixo Ox têm de coordends: , 0 e, 0 Interseção com o eixo Oy: Equção do eixo Oy : x 0

3 x + + ( y + ) x ( y + ) x y + x 0 9 ( y + ) x 0 y + x 0 x A circunferênci de diâmetro [AB] não interset o eixo Oy x 9y x y x + 9y x y Equção reduzid d elipse: e b e como e b são números positivos, tem-se que e b Os vértices d elipse têm coordends: (, 0), (, 0), (0, ) e (0, ) Por outro ldo, tem-se que > b, pelo que ( c, 0) e (c, 0) são s coordends dos focos d elipse e b + c b + c 9 + c c omo c > 0, então c As coordends dos focos d elipse são: (, 0) e (, 0) Determinemos s bcisss dos pontos d elipse que têm ordend igul x + 9y y x + 9 y x + 9 y x 9 y x 7 y 7 x y 7 7 x x y x x y Os pontos procurdos têm coordends:, e, Áre do triângulo [AOB] ltur ordend AB A A áre do triângulo [AOB] é u Os pontos d elipse que têm coordends com sinis contrários situm-se no segundo qudrnte ou no qurto qudrnte, pelo que condição pedid é: x y x y + x < 0 y > 0 + x > 0 y < Not: A condição pedid, tmbém, pode ser escrit do seguinte modo: x ( 0 0) ( 0 0) 9 + y x < y > x > y < 7 Proposição : 8 0, ( ) ( ) ( ) A proposição é verddeir Proposição : 0 0, ( 0 ) ( ) A proposição é verddeir Proposição : 8 0, A proposição é fls Se proposição ( p q) r é verddeir Se proposição ( ) proposições Pág p q r é fls, então proposição p q r é verddeir, então s p q e r são verddeirs Portnto, p é verddeir, q é verddeir e r é fls Logo, r só pode ser proposição 7 x + A x Z : > x Z : 7 x > 0 { } { x Z : 7 x 0} { Z : 7 > 0 } { x Z : x > } { x Z : x < } + > x x

4 A {,,,,, 0,,,,,,, 7, 8, 9, 0, } B x Z : x < { x Z : < x < } { } B {,,, 0,,, } A \ B {,,,,, 7, 8, 9,0,} 8 ) A proposição é verddeir, já que A e b) A proposição é verddeir, já que o vlor bsoluto de qulquer elemento de B é igul à riz qudrd do seu qudrdo 8 O conjunto A é constituído por 7 elementos Por outro ldo, A é constituído por elementos e A tem elementos Logo, o conjunto tem elementos comuns com o conjunto A e qutro elementos que não pertencem A Assim, temos que: 9, 8, 7,,,,,,, 0,,,,,, { } pelo que 0 e b ou,,,,,, 7, 8, 9,0,,,,, pelo { } que 0 e b 9 Sej M(x, y) um ponto qulquer que verific condição MA + MB 0 A condição define elipse de focos A e B e eixo mior igul 0 Logo, 0, 0, temos omo s coordends dos focos são ( ) e c e > b, pelo que b + c b + c b + b omo b > 0 vem b x y Equção reduzid d elipse: + 9 As rets tngentes à elipse que são prlels os eixos coordendos pssm pelos vértices pelo que s sus equções são: x, x, y e y 0 x x x + Usndo o lgoritmo d divisão inteir de polinómios: n n x x x + x x + x + x x x n n n n n n x x x + Assim, tem-se que: n x n x x ( x n ) x n ( x n x x ) ( ) n + ( n n + ) n n n n n x x x + x x + x + x x x P x x x x x x 0 Pr n : P x x x x + Os divisores inteiros de são,, e é riz de P( x ), então pel regr de Ruffini: Verific-se, fcilmente, que é ind riz de pelo que: ± x + x + 0 x ± x Equção impossível em R, pelo que o polinómio: x + x + 0 não tem mis rízes reis Assim, tem-se: ( ) x + x, P x x x + x + ftorizção de P( x ) Vmos, gor, resolver inequção P( x ) 0, recorrendo um tbel de sinis x + ( x ) x + x P( x ) Logo, P( x) 0 x S { } Pr n, tem-se p x x x x + Pág ) P + + 0, pelo que é riz de P( x ) b) omo é riz de P( x ), então P( x ) é divisível por x Aplicndo regr de Ruffini, tem-se: Assim, tem-se que: ( )( ) p x x x Determinemos, gor, s rízes de x x x x + pelo que: x 0 x x + 0 x 0 x + 0 x x + 0 x + 0 x x 0 x + 0 x x x x x x Pr lém d riz, o polinómio P(x) tem pens mis um riz que é ( é riz de multiplicidde ) Logo, decomposição de P( x ) em ftores é: ( ) ( + )( + ) P x x x x

5 c) p x 0 x x x + 0 ( x ) ( x )( x ) Recorrendo um tbel de sinis, tem-se: x + ( x ) x x P( x ) Assim, P( x) 0 x ], ] { } P( ) + P( ) n+ n+ n+ n n + n+ n+ n n + represent um número ímpr qulquer que sej o número nturl n, pelo que n+ Por outro ldo, n + represent um número pr qulquer que sej o número nturl n, pelo que n+ Assim, vem que: n + ( ) P P + n ( ) n+ + + n + n + As dimensões do retângulo obtido são: comprimento perímetro d do cilindro lrgur ltur do cilindro n + + A ltur do cilindro é metros, pelo que lrgur do retângulo é, tmbém, metros Por outro ldo, sbemos que áre d do cilindro é π m Sej r o rio d do cilindro Áre d π r, ou sej: π π r π r r r r Perímetro d do cilindro: π r π π r, com r > 0 pelo que o comprimento do retângulo mede ) Perímetro do retângulo: + π + 8π 8 + 8π + 8π + 8π 8 + 8π 8 + 8π 8 + 8π 8 + π b) Áre do retângulo: π 8 π 8 π π 9 π π metros A diâmetro d do cilindro r Sej rest d d pirâmide, em metros Pelo Teorem de Pitágors, tem-se: omo > 0, 8 áre d ltur Volume d pirâmide Volume do cilindro áre d ltur π 8 π 8 π π π onsideremos s seguintes proposições: p: O volume d pirâmide é cm q: O volume do cilindro é 0π cm A proposição dd pode ser trduzid, simbolicmente, por p q p é verddeir, ms q é fls, logo proposição p q é fls Sbemos que (, ) e (, 0) P b B Recorrendo à fórmul d distânci entre dois pontos nos plno, tem-se: PB + b 0 PB b PB + b + 9 Por outro ldo, P(, b) pertence à circunferênci de equção x + y, pelo que + b Assim, substituindo em PB + b + 9, vem PB + 9 PB 0 A circunferênci tem centro no ponto médio de [PB] + 0, b + +, b O rio d circunferênci é igul 0 PB, ou sej, é igul

6 Um equção d circunferênci é: + b 0 x y + b b 0 x x y y b 0 x x( + ) + + y yb b 0 + x ( + ) x + y by b + x ( + ) x + y by x ( + ) x + y by + 0 x + x + y by + 0 x + y + x by + 0 Pág ª etp (p q) (q r) ( r) p (V V V) V (V V V) F F V V (V V V) F (V F F) F V V V (V V F) V (F V V) F F V V (V V F) V (F V F) V V V V (F V V) V (V V V) F F V F (F V V) F (V F F) F V V F (F F F) F (F V V) F F V F (F F F) F (F V F) F V V F A respost do António é corret ª etp ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) p ( q q) ( p q) ( p V) ( p q) ( p) ( p p) ( q) F q F A proposição que Rit escreveu é fls, independentemente do vlor lógico de p, q e r ª etp Foi o António quem respondeu corretmente n+ n+ n+ n+ n+ 8 8 n n+ n + n + 8 n + n + 8 n + n+ n+ n+ ( n+ ) n+ n+ n+ n n+ n n Pr e n : ( ) 8 8 ( ) A + ( AB A) A + AB A A + AB Por outro ldo, A, G e M são colineres pelo que existe um número rel λ diferente de zero tl que: Temos que AM A B A ( A AB) AG λ AM AG λ A + AB Anlogmente, existe um número rel α diferente de zero tl que: BG BM BG α BA + AM α BG α AB + A Pel dição de vetores, temos que BG BA + AG Ssubstituindo, vem: α AB + A BA + λ A + AB α α AB + A BA λ A + AB 0 α λ λ α AB + A + AB A AB 0 λ α λ α + AB + A 0 omo AB e A não são colineres, então: λ α + 0 λ λ + 0 λ + λ 0 α λ 0 α λ α λ λ λ α λ α Portnto AG AM e BG BM pelo que G divide BM n rzão pr [ AM ] e [ ] Pr mostrr que, G e M são colineres, provemos que existe um número rel β diferente de zero tl que: G β M Inicilmente, vmos escrever G e M em função de AB e de A G A + AG AG A A + AB A AG A + AB A AB A

7 M A + AM AM A AB A Temos ssim seguinte equção G βm AB A β AB A AB A β AB A 0 β AB A AB + β A 0 β AB + + β A 0 omo AB e A não são colineres: β 0 β β + β 0 β Donde, G M, pelo que os pontos, G e M são colineres e que G divide [ M ] n rzão pr 7 r : y x + b s : y x + b Pág 7 As rets r e s têm ordend n origem igul b, pelo que o ponto de interseção de r com s tem coordends (0, b), isto é, B(0, b) Determinemos, gor, s coordends do ponto A A x, 0 r pelo que: A b b x + b x x 0 A A A b Assim, A, 0 Determinemos s coordends do ponto x, 0 s, pelo que: b 0 x + b x b Assim,, 0 A áre do triângulo [ AB ] é dd por A OB, pelo que: b b + b b b b + b b b + ( + ) + b b b 7 O vetor (, ) é prlelo um dos ldos do triângulo [AB], pelo que terá de ser prlelo o ldo [AB], um vez que é quele que está contido n ret de declive positivo, ret r omo o vetor de coordends (, ) é prlelo AB, o declive d ret r é igul, ou sej,, pelo que 9 Por outro ldo, sbemos que áre do triângulo [AB] é e, por 7, tem-se que: b ( + ) Substituindo n expressão por 9, tem-se que: 9 b + b b 9 b b 8 b ± 9 9 omo b é um número rel positivo, então b 9 Assim, tem-se que: b b A, 0 ; B( 0, b) e, 0 Substituindo por 9, por e b 9 : 9 7, 0, 0, A A A( ) B ( 0, 9) 9 9 8, 0 9, 0 (, 0) Determinemos, gor, os comprimentos dos ldos do triângulo [AB] AB B A 8 O perímetro do triângulo [AB] é Tem-se que e b, pelo que: ) A, 0 A, 0 B ( 0, ), 0, 0 8 AB, B, 8

8 A áre do trpézio [ A A ] é 8 d áre do triângulo 9 [AB], pelo que áre do triângulo [ A B] é 9 d áre do triângulo [AB] A B e [AB] são semelhntes, omo os triângulos [ ] tem-se que: r r 9 sendo r rzão de semelhnç que trnsform o A B triângulo [AB] no triângulo [ ] 0 AA' AB,, 0 ' B,, 8 A 0 ' A + AA ', 0 +, 0 0 +,, 0 ' + ', 0 +, 8 0 0,, Logo, A, e, b) Sbemos que e b r : y x + ; s : y 8x + 0 A : y e A : y 0 A condição pedid é: 0 y x + y 8x + 0 y 8 A semirret que é bissetriz do primeiro qudrnte pode ser definid pel condição y x x 0, pelo que: Sejm ( x, ) A(,) e B (, ) y s coordends de um ponto genérico d meditriz do segmento de ret [AB] ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) + + x x + + y y + x x + + y y x y + x y + 8 y + y x + x + 8 y x + y x + A equção reduzid d meditriz do segmento de ret [AB] é y x + Pretende-se que o ponto P pertenç à meditriz do segmento de ret [AB] e que ordend, y, sej, o dobro d bciss, x, ou sej, y x Substituindo n equção d meditriz, tem-se: x x + x x 8 Assim, P, 8 O ponto A tem de coordends (, ), pelo que o ponto A, simétrico do ponto A em relção à origem do referencil tem coordends (, ) O ponto B tem coordends (, ), pelo que o ponto B, simétrico do ponto B em relção o eixo Oy, tem coordends (, ) B, ) Tem-se que A(, ) e O declive d ret AB é igul y x + b A AB' pelo que + b + b b A equção reduzid d ret AB é y x + b) Substituindo s coordends do ponto Q n equção reduzid d ret AB, tem-se: k k + k k + k + k 0 ± ± + k k + k k k k qunto o c) Pretende-se clssificr o triângulo [ AA B ] comprimento dos seus ldos AA AA + AA 8 AA AB + + AB + AB 0 AB A B + + A B + A B 0 A B tem dois ldos com o mesmo O triângulo [ AA B ] comprimento, logo é isósceles Pelo Teorem de Pitágors: ( ) h ( ) h h 8 omo h > 0, h 8 A A áre do triângulo é u