UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.

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1 CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A figur seguir ilustr os gráficos de dus funções f() e g() contínus pr todo no intervlo [, b], com < b, tis que o gráfico de f() nunc fic bixo do gráfico de g() neste intervlo, isto é, f() g() pr todo em [, b]. Abusremos d lingugem e diremos que, neste cso, o gráfico de f() está cim do de g() mesmo que ests funções possum o mesmo vlor pr lguns em [, b]. Os gráficos dests funções e s rets verticis com equções = e = b delimitm um região R. Nest seção discutiremos como encontrr áre A de R. = f() R b = g() Tod função contínu em um intervlo fechdo ssume um vlor máximo e um vlor mínimo. Em prticulr, g() possui um mínimo bsoluto em [, b], isto é, existe um m em [, b] tl que g(m) g() pr todo em [, b] Escolh número rel positivo C tl que (1) < g(m) + C Considere s funções dds por f() = f() + C e g() = g() + C. Os gráficos de f e g são obtidos respectivmente prtir dos gráficos de f e g trvés de um trnslção Ests nots form escrits pelo professor d disciplin, Mnoel Lemos. 1

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO verticl, pr cim, de C. Logo região R limitd pelos gráficos de f e g e s rets verticis de equções = e = b é congruente região R. Portnto, R possui mesm áre que R. Note que o menor vlor que função g() = g() + C ssume no intervlo [, b] é g(m) = g(m) + C que é positivo, por (1). Logo o gráfico de g(), no intervlo [, b], está sempre cim do eixo ds bscisss. O mesmo ocorre com o gráfico d função f() = f() + C porque o gráfico de f() está cim do de g() no intervlo [, b]. Vej ilustrção seguir. = f() + C R = g() + C b Escreveremos áre de R, que é igul áre de R, como diferenç d áre de dus regiões, chmds de R f e R g, que podem ser clculds diretmente trvés de integris definids. Vej ns figurs seguintes ests regiões. = f() + C = g() + C R f R g b b Pssmos descrever ests regiões.

3 MANOEL LEMOS 3 R f é região limitd superiormente pelo gráfico de f, inferiormente pelo eixo ds bscisss e lterlmente pels rets verticis de equções = e = b. R g é região limitd superiormente pelo gráfico de g, inferiormente pelo eixo ds bscisss e lterlmente pels rets verticis de equções = e = b. Se A f e A g são respectivmente s áres de R f e R g, então () A f = Como [f() + C]d e A g = (3) A = A f A g temos que (4) A = Portnto, (5) A = e conseqüentemente [f() + C]d (6) A = [g() + C]d [g() + C]d [f() + C] [g() + C]d [f() g()]d Isto é, áre d região R é dd pel integrl, entre e b, d diferenç entre função que está por cim e que está por bixo. N pssgem d identidde (4) pr (5), necessitmos do próximo resultdo pr t = 1. Deixremos como exercício pr o leitor su demonstrção. Exercício 1. Sejm u() e v() funções contínus no intervlo [, b]. Mostre que, se t é um número rel qulquer, então u()d + t v()d = [u() + tv()]d N hor de plicr (6), como sber qul ds dus funções está por cim e qul está por bixo? Em gerl, vmos plicr (6) sbendo que, pr todo em (, b), f() g() ou sej f() g(). Como f() e g() são contínus pr todo em [, b], temos que diferenç entre ests funções d() = f() g() tmbém é contínu em [, b]. Portnto, d() é sempre positiv ou sempre negtiv pr todo em (, b) porque d() não se nul em (, b). Bst testr o vlor de d() pr lgum no intervlo (, b). Se for postitivo, então f() está cim de g() neste intervlo. Se for negtivo, então f() está bixo de g() neste intervlo. Cso isto não sej feito, áre A, dd por (6), será clculd fzendo-se diferenç invertid, isto é, quem está em bixo menos quem está em cim, e obtem-se como resultdo A. Neste cso, bst tomr o vlor bsoluto pr chegr A. Vmos fzer dois exemplos. Exemplo. Clcule áre d região limitd pels curvs de equções = + +8 e =

4 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Primeiro encontrremos s interseções dests dus curvs. função diferenç d() = ( + + 8) ( ) = Fremos isto trvés d Um ponto de coordends (, ) está n interseção dests dus curvs se e somente se d() =. Isto ocorre qundo = e = 3. Portnto, ests curvs possuem pens dois pontos de interseção. Vmos considerr seguinte integrl 3 d()d = d = = = = 1 6 Pels considerções feits ntes destes exercício, áre d região limitd por ests curvs é igul 1 6 Exercício 3. Considere s curvs de equções = e = Qundo percorre o intervlo (, 3), qul dests curvs está por cim d outr? Exemplo 4. Clcule áre ds regiões limitds pels curvs de equções = e = Como no exercício nterior, vmos considerr função diferenç: d() = ( ) ( + + 1) = 3 = ( 1) Note que d() = pr = 1, = e = 1. Portnto, ests curvs possuem três pontos de interseção. Conseqüentemente limitm dus regiões: um pr entre 1; e outr pr entre 1. Vmos clculr áre d primer região. Note que d()d = 3 d = = 1 4 = 1 4 e dí áre d primereir região é igul 1. Como d() é um função ímpr, temos que 4 1 d()d = d()d = 1 4 Portnto, segund região limitd por ests curvs possui mesm áre que primeir (n verdde são regiões congruentes). Logo o vlor d áre ds regiões limitds por ests curvs é igul = 1 No exemplo nterior, cso um erro tenh sido cometido e o ponto de iterseção com bsciss = tenh sido ignordo durnte su resolução, o vlor bsoluto d integrl d função diferenç não seri áre ds regiões limitds por ests curvs porque 1 d()d = já que d() é um função ímpr. Isto ocorre porque curv que est por cim em um ds regiões limitds fic por bixo n outr. Conseqüentemente, o resolvermos problems deste tipo, temos de ter tenção redobrd qundo clculmos s interseções ds curvs que limitm s regiões pr s quis desejmos determinr áre. Exercício 5. Considere s curvs de equções = e = Qundo percorre cd um dos intervlos ( 1, ) e (, 1), qul dests curvs está por cim d outr?

5 MANOEL LEMOS 5 Exercício 6. Pr cd item seguir, determine áre ds regiões limitds pels curvs dds. Esboce o gráfico de cd um ds regiões considerds. (i) = e = + (ii) = 6 e = (iii) = cos() e = sen(), pr no intervlo [ π 8, 5π 8 (iv) = e = 3 (v) = 3 3 e ret tngente est curv no ponto de bsciss = (vi) = e =, que está totlmente contid no primeiro qudrnte. Exemplo 7. Clcule derivd d seguinte função f() = cos e t dt Pr derivr f() não será necessário encontrr um primitiv pr g(t) = e t. Bst ssumir su existênci. Sej G(t) um função tl que G (t) = g(t). É possível demonstrr que G(t) não é um função elementr. Pelo TFC, cos cos f() = e t dt = G(t) = G(cos ) G( ) Pel regr d cdei, temos que f () = G (cos )( ) G ( ) cos = e cos e sen cos. Resposts dos exercícios 3. A curv de equção = A curv de equção = está por cim no intervlo ( 1, ) e curv de equção = está por cim no intervlo (, 1) 6. (i) 159 (ii) 64 (iii) (iv) 5 (v) 18 (vi) ln Conteúdo d décim sétim ul d disciplin Cálculo L1, oferecid pr os cursos de licencitur em Físic, Mtemátic e Químic e o bchreldo em Químic Idustril, no segundo semestre de 8 n Universidde Federl de Pernmbuco, tendo como professor Mnoel Lemos ]

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