NOTA DE AULA. Tópicos em Matemática

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1 Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curitib Prof. Lucine Deprtmento Acdêmico de Mtemátic NOTA DE AULA Tópicos em Mtemátic Fonte: 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: 1.1 Números Nturis (Símbolo N ) N {0, 1,, 3,...} Not: * N N {0} {1,, 3,...}, conhecido como conjunto dos números inteiros positivos. 1. Números Inteiros (Símbolo Z ) Z {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,...} {0, 1,, 3,...} #A escolh d letr Z pr representr o conjunto dos números inteiros, deve-se o fto d plvr Zhl em lemão, significr número. ## N (todo número nturl é um número inteiro)

2 1.3 Números Rcionis (Símbolo Q) Q /, b, b 0 b # A utilizção d letr Q deriv d plvr ingles quotient, que signific quociente, já que form gerl de um número rcionl é um quociente de dois números inteiros. ## (i) Z Q (todo número inteiro é um número rcionl). (ii) Tod dízim periódic é um número rcionl. (iii) Ao fzer medições notrm que nem sempre s medids são exts. 5 1 Exemplos:,5 ; 0, , Números Irrcionis (Símbolo Q C ) * São os números que não podem ser escritos n form:, Z e b Z b Exemplos: 1) Determinção d hipotenus de um triângulo retângulo de ctetos iguis 1. Aplicndo o teorem de Pitágors, temos: Hip, onde: 1, ) O número pi ( 3, ) : Geometricmente: comprimento d circunferênci C π diâmetro d d circunferênci D onde: D r, com r : rio d circunferênci. C D C r C r 3) Digonl de um cubo de rest Aplicndo dus vezes o teorem de Pitágors, temos: D 3, onde: 3 1, ) O número de Euler ( e, ), usdo, por exemplo, no sistem de cpitlizção compost contínu (usdo em juros compostos, por exemplo).

3 ATENÇÃO! Os números irrcionis possuem infinitos lgrismos decimis nãoperiódicos. Exemplos de lguns números irrcionis especiis: Rdicis (, 3 ): riz qudrd de um número nturl, se não é inteir, é irrcionl. O número : 3, O número e:, (muito importnte em mtemátic vnçd). 1 5 O número de ouro ( ): 1, Números reis: (Símbolo IR ) IR = Q Q Existe um correspondênci biunívoc entre todos os números reis e os pontos de um ret, conforme Figur 1. Fig 1: Ret Rel 1. SUBCONJUNTOS DE NÚMEROS REAIS 1.1 Desigulddes A representção geométric dos números reis sugere que estes podem ser ordendos. Usndo os símbolos usuis pr mior (>), mior ou igul ( ), menor (<), menor ou igul ( ), podemos ver, por exemplo, que se, b R e < b, então b > 0; no eixo coordendo temos que está à esquerd de b. Pr todo, b R temos: ou > b, ou < b, ou = b. Muitos subconjuntos de R são definidos trvés de desigulddes. Os mis importntes são os intervlos. 1. Intervlos Um subconjunto I, de números reis, é dito um intervlo se ddos dois pontos quisquer e bi, todos os pontos de R entre e b tmbém pertencem I ( grosso modo, um intervlo não deve ter "flhs". Logo, Intervlos são conjuntos de números reis, que correspondem segmentos de ret sobre um eixo coordendo Intervlos Finitos Se b e se b então:

4 ) Intervlo berto de b, denotdo por,b é o segmento de ret que se estende de té b, excluindo-se os extremos. A Figur ilustr este tipo de intervlo. ou,b ou x / x b b Fig : Intervlo Aberto b) Intervlo fechdo de b, denotdo por,b é o segmento de ret que se estende de té b, incluindo-se os extremos. A Figur 3 ilustr este tipo de intervlo. ou x / x b b Fig 3: Intervlo Fechdo c) Intervlo semi-berto à esquerd, denotdo por,b ou,b ou x / x b é o segmento de ret que se estende de té b, excluindo-se e incluindo-se b. A Figur 4 ilustr este tipo de intervlo. Fig 4: Intervlo Semi-Aberto à Esquerd d) Intervlo semi-berto à direit, denotdo por,b ou,b ou x / x b é o segmento de ret que se estende de té b, incluindo-se e excluindo-se b. A Figur 5 ilustr este tipo de intervlo. b 1.. Intervlos Infinitos Usremos o símbolo Sendo um número rel, tem-se: Fig 5: Intervlo Semi-Aberto à Direit ) A notção, ou, ou x / x (infinito positivo) e o símbolo (infinito negtivo)., represent todos os números reis miores que. A Figur 6 () ilustr este tipo de intervlo. b) A notção, ou, ou x / x, represent todos os números reis miores ou igul. A Figur 6 (b) ilustr este tipo de intervlo. c) A notção, ou, ou x / x, represent todos os números reis menores que. A Figur 6 (c) ilustr este tipo de intervlo. d) A notção, ou, ou x / x, represent todos os números reis menores ou igul. A Figur 6 (d) ilustr este tipo de intervlo. e) A notção, ou, ou simplesmente, indic o conjunto de todos os números reis. A Figur 6 (e) ilustr este intervlo. b

5 () (b) (c) (d). OPERAÇÕES COM COJUNTOS Fig 6: Intervlos Infinitos Um conjunto pode ser interpretdo como um coleção de objetos de qulquer nturez. Estes objetos são os elementos do conjunto. Se S é um conjunto, então S signific que é elemento de S. Se S signific que não é elemento de S. Se todo elemento de um conjunto S é tmbém elemento de um conjunto T, diz-se que S é subconjunto de T. Dois conjuntos S e T dizem-se iguis e escreve-se S T se S e T contém precismente os mesmos elementos. S T indic que S e T não são iguis. Se S e T são conjuntos, su união ou em T, ou em mbos. A intersecção (e) S T consiste dos elementos que estão em S, S T consiste dos elementos comuns os dois conjuntos S e T. A diferenç S T consiste dos elementos que estão em S e não pertencem T. VALOR ABSOLUTO O módulo ou o vlor bsoluto de um número x está ssocido o conceito de distânci desse número té origem do sistem e é representdo por x. Sbendo que distânci é um medid não negtiv, o módulo de um número é sempre mior ou igul zero, sendo que é igul zero somente no cso desse número ser o próprio zero. Observe representção bixo: Formlmente, escrevemos x =-x, se x<0 e x =x, se x>0. Ess expressão signific que o módulo de qulquer número negtivo será o seu oposto e pr qulquer número positivo, ou pr o zero, o vlor bsoluto é igul o próprio número. Identidde importnte

6 Vejmos um exemplo: Sbemos que????????????????????? x =36 que é um equção modulr. De um form gerl, se k é um número rel positivo, temos: x = k x = k ou x = - k Dí, x = 36 x = 36 ou x = -36 Portnto, S = {-36, 36} FUNÇÕES Sejm P um conjunto de pessos e I o conjunto de sus impressões digitis (10 pr cd um dels). Como relção impressão digitl e pesso tem interesse prático, consideremos os pres ordendos (impressão digitl, pesso). Esses pres são elementos

7 do produto crtesino IxP. Chmmos esse subconjunto um relção; porém, est possui um propriedde especil: cd impressão digitl, x, está ssocid extmente um únic pesso, y. Assim, dd um impressão digitl podemos identificr extmente um pesso. A est relção especil dmos o nome de função. O termo função signific que há um correspondênci únic e exprime um relção de dependênci entre s grndezs Deste modo, podemos dizer que: um função é um conjunto de pres ordendos (x, y), de modo que cd x, chmd vriável independente, corresponde um único vlor de y, designdo por vriável dependente. De um modo gerl, podemos dizer que s funções são dds por: um lei d função, um tbel, um gráfico e ind por Digrm Definição: Um função f é um lei (um relção) pr qul cd elemento x de um conjunto A fz corresponder extmente um elemento chmdo f(x), em um conjunto B. Identifique quis digrms representm funções: Exemplos: ) A B b) A B c) A B d) A B DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Um função f com domínio A e imgens em B será denotd por: f : A B (função que ssoci vlores do conjunto A vlores do conjunto B ) x y f ( x ) ( cd elemento x A corresponde um único y B ) O conjunto A é denomindo domínio d função, que indicremos por D. O domínio d função tmbém chmdo cmpo de definição ou cmpo de existênci d função, serve pr definir em que conjunto estmos trblhndo, isto é, os vlores possíveis pr vriável x. O conjunto B é denomindo contrdomínio d função, que indicremos por CD É no contrdomínio que estão os elementos que podem corresponder os elementos do domínio. Cd elemento x do domínio tem um correspondente y no contrdomínio. A esse vlor de y dmos o nome de imgem de x pel função f. O conjunto de todos os

8 vlores de y que são imgens de vlores de x form o conjunto imgem d função, que indicremos por Im. Note que o conjunto imgem d função é um subconjunto do contrdomínio d mesm. f : A B x y f ( x ) D A, CD B, Im { y CD / y é correspondente de lgum vlor de x }. Grficmente temos: CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES As funções são clssificds em: Polinomiis Inteirs Alg ébrics Rcionis Frcionáris Irrcionis Exponencil Logrítmics Trnscendentes Trigonométrics diretse inverss Hiperbólics direts e inverss GRÁFICO DA FUNÇÃO O gráfico de um função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) de um plno coordendo tl que x pertence o domínio de f e y à imgem de f. Sendo y f (x).

9 y x 1 P Q A curv o ldo represent o gráfico de um função? Não. Porque se fx é um função, um ponto do seu domínio pode ter somente um imgem. Portnto o gráfico de um função não pode pssr cim ou bixo de si mesm. Assim, o domínio de um função é o conjunto de tods s bscisss dos pontos sobre o gráfico, enqunto que su imgem é o conjunto de tods s ordends dos pontos do seu gráfico. f x x Podemos verificr pel representção crtesin d relção f de A em B se f é ou não função: bst verificrmos se ret prlel o eixo y, encontr sempre o gráfico de f em um só ponto. Exemplos: 1) Anlise o domínio, imgem e esboce o gráfico d função y = x + 4. ) Anlise o domínio, imgem e esboce o gráfico d função 1 y. x 3) Anlise o domínio, imgem e esboce o gráfico d função y x 4. 4) Qul dos gráficos seguintes represent um função de * em. 5) Dê o domínio ds funções: ) x 1 y b) x 3 x 5x 4 d) y 6 e) y 3 x 4 x f ( x ) c) x 9 9x 9x 3x 7x y 5 10x 6 x x 5x 4 f) y 6 g) x 4 y x 5 5x 6

10 Exercícios propostos 1) Verificr se cd gráfico seguir represent função:

11 ) Determinr os domínios ds funções reis: ) f(x) = 3 5x 3x 3 x 4 Resp. D(f) = IR x 1 b) f(x) = 6 x Resp. D(f) = IR {3} c) f(x) = 5 1 3x Resp. D(f) = IR d) f(x) = 4 1 3x Resp. D(f) = {x IR/ x 4} x 5x 4 e) f(x) = 4 x 1 f) f(x) = 3 x 3 5x 3 5x g) f(x) = 3 x 8 1 x x 7 x 4 3) Constru o gráfico e dê o domínio e imgem ds funções: Resp. D(f) = {x IR/- <x 1 ou < x 4} Resp. D(f) = {x IR/x -3/ } Resp. D(f) = {x IR/ x < 1 e x - 4} ) f: {(x;y) IR / y = x } b) f: {(x;y) IR / y = 5 x } c) f: {(x;y) IR / 3 y 1 4 se se se x 1 1 x x } d) f: {(x;y) IR / x 9 y } x 3 e)f: {(x;y) IR / f) f: {(x;y) IR / ( x 3x 4)( x 9) y } ( x x 1)( x 3) x se, x y } 7 se, x

12 4) Determine o domínio e imgem ds funções de gráficos:

13 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES Função Injetor Um função f de A em B é injetor se, e somente se, dois elementos distintos quisquer do domínio de f possuem imgens distints em B. Sendo x1 A e x A, temos: x1 x, f(x1) f(x). Função Sobrejetor Um função f de A em B é sobrejetor se, e somente se, Im(f ) = B, onde B é CD(f ). Função Bijetor Um função f de A em B é bijetor se, e somente se, é injetor e sobrejetor. Reconhecimento de função injetor, sobrejetor ou bijetor trvés do gráfico Devemos nlisr o número de pontos de interseção ds rets prlels o eixo x, conduzids por cd ponto (0, y) em que y B (contrdomínio de f) 1º) Se cd um ds rets cortr o gráfico em um só ponto ou não cortr o gráfico, então função é injetor. Exemplo 1) f: R R b) f: R+ R f(x) = x f(x) = x º) Se cd um ds rets cortr o gráfico em um ou mis pontos, então função é sobrejetor. Exemplo ) f: R R b) f: R R+ f(x) = x -1 f(x) = x

14 3º) Se cd um desss rets cortr o gráfico em um só ponto, então função é bijetor. Exemplo 3) f: R R b) f: R R f(x) = x f(x) = x 3 FUNÇÃO PAR E IMPAR f é pr f(x) = f(-x), x D(f) f é ímpr f(x) = -f(-x), x D(f) Funções Iguis: Dus funções f: A B e g: C D são iguis se, e somente se, A = C, B = D e f(x) = g(x) x A. FUNÇÃO INVERSA Dd função f su invers denotd por f 1 existe se o ponto (, b) está no gráfico de f e o ponto (b, ) está no gráfico de f -1. Os pontos (, b) e (b, ) são simétricos em relção à bissetriz do 1º e 3º qudrntes, ou sej, o gráfico de f e f 1 são simétricos em relção á ret y = x, e então o domínio de f é imgem de f 1 e imgem de f é o domínio de f -1. Obs: Pr dmitir invers função deve ser bijetor. Pr obtermos invers procedemos d seguinte form: ) trocmos x por y n função f; b) isolmos y. Exemplo 4) x = y x 3 y Sej y = x + 3. Determine su invers, se existir. f y = x f -1

15 logo f ( x) x 3 1 Gráficos de outrs inverss y = x 3 y = 10 x y = log(x) OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Dds dus funções f e g cujos domínios se sobreponhm, define-se: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x) g(x) (f. g) (x) = f(x). g(x) (f/g) (x) = f(x) / g(x) Em cd cso, o domínio d função definid consiste em todos os vlores de x comuns os domínios de f e g, exceto no qurto cso, onde os vlores de x tis que g(x) = 0 serão excluídos. Exemplos 5) Sejm f(x) = x + 3 e g(x) = x - 1, obter: ) (f +g)(x) = b) (f g)(x) = c) (f.g)(x)= d) (f/g)(x)= FUNÇÃO COMPOSTA

16 DEFINIÇÃO: Sejm s funções f de A em B, e g de B em C. Função compost de f em (g o f)(x) é função de A em C definid por (g o f)(x) = g(f(x)) Exemplo 6) Dds s funções f(x) = 4x e g(x) = 3x + 4. Clcule o vlor de pr que f(g(x)) = g(f(x)). Exemplo 7) Sej f(x) = 3x + e g(x) = x 5. Clcule f -1 (g(x)).