Integrais Duplas em Regiões Limitadas

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1 Cálculo III Deprtmento de Mtemátic - ICEx - UFMG Mrcelo Terr Cunh Integris Dupls em egiões Limitds Ou por curiosidde, ou inspirdo ns possíveis plicções, é nturl querer usr integris dupls em regiões não necessrimente retngulres. Isso pode ser feito, com lgums exigêncis ou nturis ou técnics. Discutiremos qui regiões limitds. Há lgums sutilezs que não são bordds em um curso de cálculo sobre form que um região deve ter. Vmos esconder trás d expressão região bem comportd tods esss exigêncis, que são stisfeits por tods s regiões que precerão nest discussão. Em especil, um região é dit limitd qundo é um subconjunto de lgum retângulo [, b] [c, d]. Do ponto de vist bstrto, pode-se considerr integrl dupl de um função f em um região limitd como integrl no retângulo [, b] [c, d] d função que coincide com f em e é nul for de. Ou trblhr definindo prtições dest região limitd e por soms de iemnn definir integrl dupl. Novmente, os resultdos mis interessntes não vêem d definição d integrl pr regiões mis geris, ms sim d su utilizção. 2. Algums regiões especiis Existem lgums regiões plns prticulrmente importntes, e dequds pr se trblhr. Considere dus funções γ, φ : [, b], com γ (x) φ (x) x [, b]. Agor considere região definid por = { (x, y) 2 : x b, γ (x) y φ (x) }. Exercício: Fç um figur que ilustre um região como est, identificndo s constntes e b e s funções γ e φ. egiões como ess, que lguns utores chmm de Tipo I, são prticulrmente dequds pr se clculr integris dupls usndo integris iterds, já que pode-se mostrr que φ(x) f (x, y) da = f (x, y) dy dx. γ(x)

2 Você pode interpretr este resultdo de dus mneirs distints, ms complementres. Por um ldo pode pensr que pr cd vlor fixo de x, região de integrção começ em y = γ (x) e termin em y = φ (x). Por outro, pode escolher c < γ (x) e d > φ (x) e considerr que está fzendo integrl no retângulo [, b] [c, d] d função que coincide com f em e é nul for de. Ms isso signific que, pr cd vlor de x, função vle zero pr c y < γ (x) e pr φ (x) < y d, restndo pens clculr integrl com y vrindo de γ (x) té φ (x). Cso nálogo é ddo qundo se escolhem funções α, β : [c, d] e região = { (x, y) 2 : c y d, α (y) x β (y) }. Exercício: Fç um figur tmbém pr este cso. egiões ssim são chmds Tipo II. Novmente é simples clculr integris dupls, gor fzendo f (x, y) da = d β(y) c α(y) f (x, y) dx dy. Interpretções nálogs às nteriores podem ser feits qui. 2.2 Por que esss regiões não são tão especiis ssim... É clro que dd um região limitd rbitrári, el não é nem do tipo I nem do tipo II. Ms o que torn tis regiões importntes, lém d fcilidde intrínsec em lidr com els, é que se temos um região qulquer e trvés de um linh seprmos dus subregiões e 2, de modo que = 2, pr tod função integrável vle f (x, y) da = f (x, y) da + f (x, y) da. 2 A condição essencil pr este resultdo é que s regiões e 2 tenhm intersecção essencilmente vzi, ou sej, sem áre. Por isso foi usd idéi de seprr esss regiões por um linh. Novmente, devemos nos concentrr nos csos que precem nos primeiros exemplos, o invés de procurr diretmente qundo esss condições flhm. 2

3 Com est propriedde, podemos sempre quebrr um região limitd rbitrári em regiões mis simples de se trblhr. De cert form, s regiões tipo I e tipo II são os tijolinhos pr que brinquemos de Lego pr clculr integris dupls. 2.3 Teorem de Fubini e Mudnç n Ordem de Integrção Um cso ind mis interessnte contece qundo um região é, o mesmo tempo, do tipo I e do tipo II. Neste cso, qulquer ds ordens de integrção é válid e, ind mis que no cso de retângulos, escolh d ordem de integrção pode distinguir um exercício fácil de um impossível. Vmos dr dus descrições pr um mesm região, e você deve fzer um figur pr visulizá-l ds dus forms: T = {(x, y) : x, y x} = {(x, y) : y, y x }. Aproveitndo s dus descrições cim d região T, note que y e x2 dx dy = = = e x2 T x [ 2 ex2 ] x= da e x2 dy dx = x= = (e ). 2 xe x2 Pr que fique clro como tis exemplos bundm, são regiões tnto de tipo I qunto II triângulos (e todo polígono pode ser decomposto em triângulos), círculos, elipses e váris outrs regiões. 2.4 Cálculo de Áres e outrs plicções Flmos muito em integrr funções e ns plicções já pensmos em densiddes de mss, crg... ms há um plicção muito mis simples, que vem d seguinte interpretção: o que contece qundo integrmos função constnte igul em um região? dx 3

4 Novmente temos (pelo menos) dus mneirs de pensr ness questão. Um é pensr que est função é não-negtiv, portnto podemos interpretr ess integrl como um volume bixo do gráfico. O gráfico é prte do plno z =, ssim o sólido em questão será um cilindro sobre (o cilindro mis conhecido é o cilindro circulr, ms ele não é o único). Tl volume é ddo, geometricmente, por V = A b h, onde A b é áre d bse e h ltur, que neste cso vle. Portnto, integrl dupl d função constnte igul dá áre d região onde se fez integrl. A outr mneir de chegr à mesm conclusão, mis geométric e diret, é lembrr d origem d integrl dupl, vi soms de iemnn (vej resumo d ul ). Se função se integrd é constnte, el pode sir do somtório, por ser um ftor comum (no cso em que vle, esse ftor sequer precis ser escrito), e ssim, qulquer som de iemnn pr est função nest região se reduz à som ds áres de cd pequen região d prtição. Est som dá áre d região tod. Por qulquer ds interpretções, concluímos que da = A (), onde é usul omitir o nest notção. Vmos destcr mis um plicção bstnte importnte: o cálculo de médis. A primeir noção de médi que prendemos é médi ritmétic: pr um quntidde finit de ddos (por exemplo, ltur de cd estudnte de um turm), sommos todos eles e dividimos pel quntidde de ddos. Um segund, um pouco mis sofisticd, é de médi ponderd: cd ddo pode ter um peso diferente n cont: multiplicmos o vlor do ddo pelo seu peso e dividimos pel som dos pesos. O mesmo exemplo ds lturs de estudntes de um turm pode ser pensdo em termos de médis ponderds, se, por exemplo, considerrmos s lturs com precisão de centímetros e contrmos quntos estudntes têm cd ltur (em gerl quntidde de lturs é menor que quntidde de estudntes, e cd ltur gnh como peso quntidde de lunos que têm ess ltur). No cálculo I você deve ter prendido generlizr estes conceitos pr funções reis definids em um intervlo. Se queremos o vlor médio de um função f : [, b], devemos clculr b 4 f (x) dx.

5 Est é um generlizção d idéi de médi ritmétic. Se, por outro ldo, temos ind um função ρ que fz o ppel do peso n médi ponderd, generlizção dequd é f (x) ρ (x) dx ρ (x) dx. Este é o vlor médio d função f no intervlo [, b] com densidde ρ. As generlizções pr funções de dus vriáveis são imedits. Se queremos o vlor médio de um função f : onde é um região limitd, sem levr qulquer densidde em considerção, devemos clculr A () f (x, y) da. Já qundo temos um densidde ρ em jogo, cont que se deve fzer é f (x, y) ρ (x, y) da ρ (x, y) da. Excelentes exemplos dest situção gerl são s determinções ds coordends do centro de mss, ou do centro de crg, de plcs com densiddes (de mss ou crg, respectivmente) conhecids. Como último exercício teórico d ul, você deve escrever expressões pr s coordends (X, Y ) do centro de mss de um plc que ocup região e tem densidde de mss dd por ρ (x, y). 5