IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02.

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1 IFRN Cmpus Ntl/Centrl Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos mtemáticos pr físicos e engenheiros - Aul 0 Séries de Fourier 3 de gosto de 08 Resumo Neste ul, vmos estudr o conceito de conjunto completo de funções ortogonis e escrever um função com sendo um superposição de elementos deste conjunto. Iremos bordr série de Fourier como sendo um form de escrever funções periódics em termos de senos e cossenos. Séries de Fourier. Ortogonlidde entre senos e cossenos Vmos começr noss bordgem sobre s séries de Fourier, entendendo inicilmente o conceito de ortogonlidde de funções. Pr isso, vmos recordr um pouco de álgebr vetoril no sistem crtesino tridimensionl. Um vetor A é escrito n bse cnônic do espço tridimensionl trvés dos vetores ˆx = ( 0 0, ŷ = (0 0 e ẑ = (0 0 d seguinte form, ] A = A xˆx + A y ŷ + A z ẑ. ( A definição do produto esclr pr os elementos d bse cnônic grnte que ˆx ˆx = ŷ ŷ = ẑ ẑ =. Pr quisquer outros produtos entre os vetores d bse, temos que o produto esclr é nulo visto que os mesmos são ortogonis em si. Considere então, o produto do vetor A com o vetor ˆx que compõe bse cnônic, de tl mneir que A ˆx = A xˆx ˆx + A y 0 ŷ ˆx + A z 0 ẑ ˆx, ( A x = A ˆx, (3 e de form nálog, podemos mostrr que A y = A ŷ e A y = A ẑ. Isto indic que decomposição do vetor A nos eixos crtesinos está intimmente ligd à propriedde d ortogonlidde entre os vetores d bse ˆx, ŷ e ẑ. Além disso, definimos de norm do vetor A quntidde A, de tl mneir que A = A A = A x + A y + A z. (4 Considere gor um outro tipo de produto esclr, o produto interno entre dus funções reis f(x e g(x, mbs sendo contínus por prtes, definido d seguinte form pr um certo intervlo [, b], f(x, g(x = f(xg(xdx. (5

2 Inspirndo-se no produto esclr com vetores Euclidinos, vmos ssumir que dus funções (elementos de um espço vetoril são ortogonis se o produto interno f(x, g(x = 0. Além disso, norm de um vetor (função f(x é definid como f(x, f(x = f(x = f(x dx. (6 Considere gor, inicilmente pr um intervlo simétrico [, ], o seguinte conjunto infinito de funções com n N e m N, { }, cos(x, sin(x, cos(x, sin(x, cos(3x, sin(3x, cos(4x, sin(4x,..., cos(nx, sin(mx. (7 Mostrremos que os elementos deste conjunto de funções obedecem um relção de ortogonlidde, à luz d definição do produto interno ddo pel integrl n equção 5. De mneir nálog o espço vetoril Euclidino, que é escrito n bse cnônic (ˆx, ŷ, ẑ, podemos mostrr que o conjunto de funções citdo é composto por funções ortogonis que servem de bse pr escrit de funções -periódics contínus por prtes. Pr mostrr isso, vmos clculr os seguintes produtos internos pel definição expost nteriormente cos(nx, sin(nx = cos(nx, cos(nx = sin(nx, sin(nx = Note inicilmente que, prtindo de relções trigonométrics, temos cos(nx sin(mxdx, (8 cos(nx cos(mxdx, (9 sin(nx sin(mxdx. (0 sin( + b = sin( cos(b + sin(b cos(, ( Somndo ests equções, temos que portnto, sin( b = sin( cos(b sin(b cos(. ( sin( cos(b = [sin( + b + sin( b], (3 cos(nx sin(mx = {sin [(n + mx] + sin [(n mx]}. (4 A integrl n equção 8 é clculd d seguinte mneir, cos(nx sin(mxdx = cos(nx sin(mxdx = { sin [(n + mx] dx + { cos(nx sin(mxdx = cos [(n + mx] n + m {sin [(n + mx] + sin [(n mx]} dx, (5 } sin [(n mx] dx, (6 cos [(n mx] n m }. (7 Pr m n, usndo propriedde de pridde pr d função cosseno, integrl cim se nul. Pr n = m, terímos cos(nx sin(nxdx = { } sin [(n + mx] dx, (8 { cos(nx sin(nxdx = } cos [(n + mx] n + m = 0. (9

3 Dest form, o conjunto de funções {cos(nx, sin(mx} é ortogonl pr todo m, n N. Exercício. Mostre que, pr m, n N, os produtos internos n equções 9 e 0 são resultm em cos(nx, cos(mx = sin(nx, sin(mx = δ n,m. (0 O termo δ n,m é o delt de Kronecker, definido por { 0, n m δ n,m =, m = n. Pr o cso em que n = m = 0, não plicmos os cossenos, ou sej,, =. Em vez disto, vmos plicr o elemento / do conjunto em 7, de tl form que, =.. A série de Fourier Considere gor um conjunto qulquer de funções reis ddo por ( {ψ 0 (x, ψ (x, ψ (x, ψ 3 (x,..., ψ n (x,...}. ( Pr um intervlo [, b], dizemos que este conjunto form um sistem ortogonl de funções se ψ n (x, ψ m (x = ψ n (xψ m (xdx = 0, pr n m. (3 Este sistem ortogonl pode servir como bse pr escrit de funções no intervlo [, b], de tl form que, pr um função f(x temos que c n ψ n (x. (4 Os esclres c n são o coeficientes d expnsão e têm ppel nálogo o dos componentes esclres do vetor A d bse cnônic, como explícito n equção. Os coeficientes c n podem ser determindos pel relção de ortogonlidde d seguinte form: fzemos o produto interno d equção nterior por um elemento ψ m d bse, ou sej, ( b f(xψ m (xdx = ψ m (x c n ψ n (x dx, (5 f(xψ m (xdx = f(x, ψ m (x = c n ψ m (xψ n (xdx, (6 c n ψ m (x, ψ n (x. (7 Perceb que som infinit n equção nterior se reduz à pens um termo, quele que o n = m, visto que pr n m o produto interno é nulo. Usndo definição de norm, temos que f(x, ψ n (x = c n ψ n (x, ψ n (x = c n ψ n, (8 c n = f(x, ψ n(x ψ n. (9 O conjunto d equção é chmdo de conjunto completo e serve de bse pr expnsão de outrs funções. Um dos exemplos mis importntes de um conjunto completo de funções, é o conjunto explícito n equção 7. Este conjunto serve de bse pr representrmos um função -periódic contínu por prtes em termos de um série, conhecid como série de Fourier, escrit do seguinte modo, 0 + [ n cos(nx + b n sin(nx]. (30 sendo os esclres 0, n e b n denomindos de coeficientes de Fourier. 3

4 Exemplo. Determine os coeficientes de Fourier n expressão 30, ou sej, 0, n e b n. Solução: Vmos plicr o mesmo procedimento pr um conjunto completo de funções feito nteriormente. Inicilmente vmos clculr o produto interno de f(x com o elemento /, ou sej, f(x, 0 =, + 0 n cos(nx, 0 + b n sin(nx,, (3 0, = f(x,, (3 0 = f(xdx, (33 0 = f(xdx, (34 Determinndo gor os n, vmos fzer o produto interno de f(x um função um função cos(mx do conjunto completo, de tl form que 0 f(x, cos(mx = 0, cos(mx + [ n cos(nx, cos(mx + b n 0 sin(nx, cos(mx ], (35 f(x, cos(mx = [ n cos(nx, cos(mx ]. (36 O somtório infinito n equção nterior se reduz à pens um termo, quele que o n = m, visto que pr n m o produto interno é nulo. Usndo equção 0, temos que f(x, cos(nx = n, (37 n = f(x cos(nxdx. (38 Pr determinr os b n, podemos fzer o produto interno de f(x com um função sin(mx, e plicr o mesmo procedimento nterior, obtendo b n = f(x sin(nxdx. (39 Podemos generlizr o período d série de Fourier de pr, simplesmente fzendo mudnç de vriável x x/, de tl form que série de Fourier é gor escrit como com os coeficientes reescritos por 0 + n = b n = 0 = [ n cos f(x cos f(x sin ( nx ( nx ] + b n, (40 f(xdx, (4 ( nx dx, (4 ( nx dx. (43 4

5 Pr que um função f(x poss ser representd pelo conjunto completo expresso pel equção 7 trvés de um série de Fourier, f(x deve obedecer um conjunto de condições pr que su série de Fourier convirj. Esss condições são chmds de condições de Dirichlet, e podem ser resumids d seguinte form: (I A função deve ser periódic, ou sej, f(x + = f(x. (II A função deve ter integrl finit, ou sej, f(x dx (III Em cd período, função deve ter um número finito de descontinuiddes. (IV A função deve ter um número finito de máximos e mínimos no período. Notção. Vmos definir que, pr um função contínu por prtes, os limites direit e esquerd de um certo vlor x são denotdos por, respectivmente, f(x+ = lim f(y, (44 y x + f(x = lim y x f(y. (45 Prtindo dest notção, considere função de ond qudrd -periódic express por cujo o gráfico está ilustrdo seguir n figur. {, x < 0, 0 x <, (46 Figur : Gráfico de um função de ond qudrd dd pel equção 46. Note que referid função obedece às condições de Dirichelt possuindo 3 descontinuiddes no intervlo [, ], nos pontos x = 0 e x = ±. Exemplo. Determine série de Fourier pr função de ond qudrd. Solução: Vmos clculr os coeficientes de Fourier pr função de ond qudrd, notndo primeiro que se trt de um função ímpr, visto que f( x = f(x. Clculndo inicilmente 0, temos 0 = ( 0 ( dx + 0 (dx, (47 0 = 0. (48 Devido função f(x ser ímpr, o produto de f(x por cos(nx n integrl pr determinr os n result em um função ímpr, que por su vez possui resultdo nulo, por se trtr de um integrção de um função ímpr em intervlo simétrico. Já no cálculo dos b n, o produto de f(x 5

6 por sin(nx result em um função pr, nos permitindo substituir integrl no intervlo simétrico [, ] por dus vezes integrl no intervlo [0, ], com efeito, b n = ( ( sin(nxdx, (49 0 b n = b n = cos(nx n 0, (50 cos(0 cos(n, (5 n b n = [ ( n ], (5 n { 4 b n = n, n ímpr (53 0, n pr. A série de Fourier pr função de ond qudrd é então escrit por ou, com os termos reordendos, dd por 4 n=,3, sin(nx (54 n 4 sin[(n + x], (55 (n + [ sin(x + sin(3x + sin(5x ] (56 Um representção gráfic permite visulizr convergênci d série de Fourier pr função de ond qudrd. Vej figur seguir. ( termo. (b termos. (c 3 termos. (d 0 termos. Figur : Gráficos ds proximções sucessivs d série de Fourier pr função de ond qudrd -periódic. A linh pret sólid é o gráfico d função o psso que linh trcejd vermelh represent proximção d série de Fourier pr ( termo, (b termos, (c 3 termos e (d 0 termos. 6

7 Perceb que, pr pontos de continuidde d função f(x, série de Fourier converge rpidmente com sucessiv doção de mis termos. Nos pontos de descontinuidde d função f(x, série de Fourier converge pr o vlor médio dos limites direit e esquerd d função, ou sej, série de Fourier nestes pontos é igul f(x+ + f(x. (57 Cso função f(x sej contínu pr todo vlor de x e obedeç às condições de Dirichelt, então série de Fourier convergirá pr todo x. Como ilustr o exemplo seguir. Exercício. Mostre que série de Fourier pr função x com período sendo = no intervlo [, ] (observe o gráfico n figur 3 seguir é dd por 3 + n= Pr isso, use form d série de Fourier explícit n equção 40. 4( n n cos(nx. (58 Figur 3: Gráfico de um função x com período sendo = no intervlo simétrico [, ]. A figur 4 mostr s proximções sucessivs pr um, dois, três e 0 termos d série de Fourier pr x. Note que, como função f(x é sempre contínu, convergênci se dá pr todo x. ( termo. (b termos. (c 3 termos. (d 0 termos. Figur 4: Gráficos ds proximções sucessivs d série de Fourier pr função x -periódic com =. A linh pret sólid é o gráfico d função o psso que linh trcejd vermelh represent proximção d série de Fourier pr ( termo, (b termos, (c 3 termos e (d 0 termos. 7

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