Matemática para Economia Les 201. Aulas 28_29 Integrais Luiz Fernando Satolo

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1 Mtemátic pr Economi Les 0 Auls 8_9 Integris Luiz Fernndo Stolo

2 Integris As operções inverss n mtemátic: dição e sutrção multiplicção e divisão potencição e rdicição A operção invers d diferencição é integrção A integrção reverte o processo d diferencição Integrl definid: clculr áres io d função e o eio E: cálculo dos ecedentes consumidor e do produtor

3 Integris O símolo pr indicr operção d integrção de um função é Prtindo-se de um função primitiv F: F Deriv f ou f f = f Integr F df d f f d F C

4 Integris Um fmíli inteir de funções primitivs pode gerr mesm derivd É necessário lgum informção dicionl sore constnte C, pr se chegr à função originl específic. Eemplo: s seguintes funções primitivs têm mesm derivd: y = + 0 y = 6 y = + 0 y = 6 y = y = 6

5 Regrs Básics d Integrção. Regr de Potênci Qundo n - d n n n C Pois derivd de n n C é : n n n n

6 Regrs Básics d Integrção. Regr de Potênci Qundo n - Eemplos d d d 8 d

7 Regrs Básics d Integrção. Regr de Potênci Qundo n = - - d d ln C Pois: derivd de ln + C = / Válido pr > 0 função logrítmic não é definid pr números negtivos De form gerl, pode-se escrever d ln C

8 Regrs Básics d Integrção. Regr d eponencil. e d e C Pois derivd de e é o próprio e. e f f f d e C. f d f ln f C

9 Regrs de Operção. A integrl d som é som ds integris Eemplos: [f g] d f d 4 0 d g d e d

10 Regrs de Operção. Integrl de um múltiplo A integrl de um constnte k vezes um integrndo é k vezes integrl E: k f d k f d d

11 Regrs de Operção. Integrl de um múltiplo e d 8 c d

12 . Multiplicção Regrs de Operção Integrl d Multiplicção Multiplicção Integrl Não eiste regr gerl que dê integrl de um produto ou quociente de dus funções em termos de integris seprds dests funções integrção é mis difícil que diferencição Integrndos complicdos: procurr resposts em tels de fórmuls de integris Eistem lgums regrs que permitem trnsformr s funções: regr sustituição regr d integrção por prtes cdei Ests regrs são úteis qundo é possível epressr o integrndo função de como produto de fu função de u e du/d

13 Regrs de Operção. Multiplicção. Regr d Sustituição Simplificção d integrl trvés d sustituição d vriável originl Contrprtid d Regr d Cdei du d [ f u ] d f u d u F u C Sustituir: f por u d por du simplificr epressão de modo ter udu Dic: olhr epressão e ver se o sustituir d por du cort termo d função originl

14 . Regr d Sustituição - Eemplos E : d modos de resolver: Multiplicndo o integrndo neste cso é possível Por sustituição: Chmndo d d C C 4 4 4

15 E :. Regr d Sustituição - Eemplos 6 9 d Dic: tentr ver se o chmr um memro de u, consegue cortr du/d com o outro OBS: neste cso não dá pr multiplicr os memros d equção Fzendo:

16 E :. Regr d Sustituição - Eemplos 8 e d Se-se que e d e

17 . Integrção por prtes Regrs de Operção A integrl de v com respeito u é igul uv menos integrl de u com respeito v vdu uv udv Essênci d regr: sustituir du por dv

18 . Integrção por prtes Regrs de Operção uv' u' v uv' u' v uv' uv' u' v uv' uv' u' v uv uv' vdu uv udv

19 . Integrção por prtes - Eemplos E : / d -Não dá pr resolver por sustituição. Trnsformr:

20 . Integrção por prtes - Eemplos ln d E : OBS: NÃO DÁ PARA USAR A REGRA DO LN d ln C

21 . Integrção por prtes - Eemplos E : e d

22 Integris Indefinids e Definids Integrl Indefinid: f d F C é Integrl Indefinid porque não possui um vlor numérico definido Como F + C é função de, seu vlor se lter com vrição de mesmo qundo se conhece o vlor de C.

23 Integris Indefinids e Definids Integrl Definid Se selecionmos dois vlores de no domínio d função, e, > e os sustituímos n função formndo diferenç F F, otem-se um vlor numérico, independente d constnte C, pois: [F + C] [F + C] = F F O vlor ssim otido é Integrl Definid de f no intervlo de té é chmdo limite inferior de integrção e o limite superior de integrção. f d F F F

24 Teorem Fundmentl do Cálculo Se um função f é contínu em um intervlo, então el possui integris neste intervlo; lém disso, se F é um integrl de f, então pr dois pontos quisquer e no intervlo temos: F F F d f d

25 E d 0 E ke d

26 Teorem Fundmentl do Cálculo Oservção importnte Os limites d integrção referem-se os vlores de Se usr técnic d sustituição ds vriáveis e introduzir vriável u, e não podem ser usdos como limites de u E: 6 d

27 A interpretção geométric d Integrl Definid O vlor d Integrl Definid é interpretdo geometricmente como um áre so um dd curv Limite d Som de Riemnn f d lim f i i n Áre A

28 A interpretção geométric d Integrl Definid

29 A interpretção geométric d Integrl Definid Dd função f, contínu e não negtiv no intervlo [,], integrl é áre d região so o gráfico de f, o eio e s verticis que pssm por e. y A f A f d

30 A interpretção geométric d Integrl Definid Se f ssume vlores negtivos, então áre d região io do eio e cim d função, delimitd no intervlo [,] corresponde fd Se f ssume vlores positivos e negtivos, então áre totl corresponde à som ds integris dos intervlos positivos com s integris dos intervlos negtivos que neste cso têm sinl negtivo.

31 A interpretção geométric d Integrl Definid y f d R R R

32 A interpretção geométric d Integrl Definid E: Dd função y = clcule áre so curv no intervlo [0,4]. Pr o cálculo d áre totl dividem-se os intervlos pr os quis função é positiv e negtiv. A prtir do gráfico d função, not-se que no intervlo [0,4], função ssume vlores positivos nos intervlos [0,] e [,4], e vlores negtivos no intervlo [,]. A = A A + A, onde: A áre totl é som ds três áres =, +, +, = , ]] [ [ - d A, ]] [ [ - d - A, - - d A

33 A interpretção geométric d Integrl Definid E: Clcule áre so curv y = no intervlo 0,

34 A interpretção geométric d Integrl Definid E: Clcule áre d região R so o gráfico de : f = e ½ entre = - =

35 Proprieddes d Integrl Definid c d c d udv uv vdu d g d f gd f d f k d f k d f d f d f d f d f d f F F d f fd - fd VII VI V IV d c III 0 II I

36 Eemplos econômicos Função Mrginl FunçãoTotl A prtir de um função mrginl conhecid custo mrginl, receit mrginl, lucro mrginl, etc, clculr função primitiv custo totl, receit totl, lucro totl. E: Clcule o Custo Totl de um firm cujo Custo Mrginl é dd pel epressão: CMg = C Q = Q Q. Se-se tmém que o custo fio d firm é de 90 uniddes monetáris

37 Eemplos econômicos E: O Custo Mrginl de um firm é CMg = C Q = e 0,Q. Se-se tmém que o custo fio d firm é de 90 uniddes monetáris. Qul o custo totl?

38 Eemplos econômicos Achr Ecedente do Produtor e do Consumidor Ecedente do consumidor: é representdo pel áre entre função demnd e linh prlel o eio ds scisss que pss pelo preço de mercdo Ecedente do produtor: é áre cim d curv de ofert e delimitd pel linh prlel o eio ds scisss que pss pelo preço de mercdo

39 Ecedentes do Produtor e do Consumidor P S P Q D Q

40 E Ecedente do Produtor e do Consumidor Suponh que s funções demnd e ofert de certo produto sejm dds por : D = P = - 0, S = P = 0, , Determine o ecedente do produtor e do consumidor Achr equilírio de mercdo

41 Ecedentes do Produtor e do Consumidor Continução do eercício Ecedente do Consumidor Ecedente do Produtor

Matemática para Economia Les 201

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