Material Didático do Curso de Engenharia Mecânica da UniEVANGÉLICA

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1 Mteril Didático do Curso de Engenhri Mecânic d UniEVANGÉLICA Disciplin: Cálculo II Docente(s: Crlos Edurdo Fernndes Cláudi Gomes de Oliveir Sntos Ricrdo Woeto Volume, 8

2 Centro Universitrio de Anápolis - UniEVANGÉLICA Associção Eductiv Evngélic Conselho de Adiministrção Presitente Ernei de oliveir Pin º Vice-Presidente Cicílio Alves de Mores º Vice-Presidente Ivn Gonçlves d Roch º Secretário Gerldo Henrique Ferreir Espíndol º Secretário Frncisco Bros de Alencr º Tesoureiro Augusto Césr d Roch Ventur º Tesoureiro Djlm Mciel Lim Centro Universitário de Anápolis Chnceler Ernei de Oliveir Pin Reitor Crlos Hssel Mendes d Silv Pró-Reitor Acdêmico - Cristine Mrtins Rodrigues Bernrdes Pró-Reitor de Pós-Grdução, Pesquis, Etensão e Ação Comunitári - Sndro Dutr e Silv Coordendor d Pesquis e Inovção - Bruno Junior Neves Coordendor de Etensão e Ação Comunitári - Fáio Fernndes Rodrigues Equipe Editoril Diretor - Hélio de Souz Queiroz Coordendor de Pesquis Rosemerg Fortes Nunes Rodrigues Coordendor Pedgógico - Wilson de Pul e Silv Coordendor de Plnejmento e Inovção - Ricrdo Woeto Coordendor de Lortórios e de Atividdes de Etensão - Sérgio Mteus Brndão Coordendor de Estágio Supervisiondo - Mrcio José Dis

3 CÁLCULO III ENGENHARIAS AULA INTEGRAÇÃO Semos que, dd um função f(, o derivrmos f( otemos f ( 6 Digmos que temos f ( 6, podemos firmr que f( d pois ( 6; este processo dmos o nome de ANTIDERIVAÇÃO, ou sej, o processo que determin função originl ( Primitiv prtir de su derivd Vmos utilizr notção F( como ntiderivd de f( OBS : Sej F( um ntiderivd de f(, então F( C tmém o é, onde C é um Constnte de Integrção, por eemplo : F(, G(, H( 5 são ntiderivds de pois derivd de cd um dels é Logo, tods s ntiderivds de são d form CDí o processo de ntiderivção nos dr um fmíli de funções que se diferencim pel constnte NOTAÇÕES : O processo de ntiderivção é operção invers d derivção e é tmém chmd de INTEGRAÇÃO e indicmos pelo símolo f ( ( Integrl Indefinid, como tl indic um fmíli de ntiderivds de f(, temos : f ( F( C Lemrndo que F( é um função tl que F ( f( e C um constnte ritrári, sim- olo de integrl, diferencil, f( integrndo Eemplos : C C tdt t C

4 Cálculo de Antiderivds ( Integris d f ( f ( A diferencição é o inverso d integrção f '( f ( C A integrção é o inverso d diferencição Fórmuls fundmentis de Integrção k k C com k : cte ( Regr d Constnte kf ( k f ( ( Regr do Múltiplo constnte c g( f ( f ( g( ( Regr d Som d g( f ( f ( g( ( Regr d Diferenç e n n C n com n - ( Regr Simples d Potênci Os : ln C com > Eemplos : Acompnhe os pssos ásicos pr um o integrção : C C e Simplificndo C C

5 5 C C C C OBS : Pr verificrmos se o resultdo está correto, st deriv-lo e tentr oter o Integrndo Eercícios : Resolv s Integris : 5 ( s ds p sen 5 cos O custo mrginl d fricção de uniddes de um produto tem como modelo seguinte dc equção, ( Custo Mrginl A produção d primeir unidde cust $ 5 Ache o Custo Totl d produção de uniddes dc 9 Ache Função Custo correspondente o custo mrginl $ 75 pr com custo de Ache equção d função f( cujo gráfico pss pelo ponto P (, e possui derivd f ( 6

6 6 CÁLCULO III ENGENHARIAS AULA Regr Gerl d Potênci Semos que Regr Simples d Potênci é dd por usd qundo função é epress como potênci de somente n n C n com n - Vejmos outros tipos de funções : temos que encontr f( tl que f ( (, dí : Pr clculr ( ( d ( ( Regr d Cdei d ( ( ( C ( ( Dividir mos os memros por ( Integrndo Note no integrndo ele é etmente ( Fzendo u, temos du, logo : du ( u u u du C Dí Regr Gerl d Potênci pr u função diferenciável de ser

7 7 C n u du u n n, com n - Eemplos : Clcule s seguintes integris indefinids : C n u du du u n 5 ( ( 5 C C n u du du u n ( ( ( ( c C n u du du u n ( ( (

8 8 d u n u ( ( ( ( du n du C Eercícios : Clcule s seguintes integris indefinids : ( 5 ( ( 5

9 9 Integrção por Prtes Tomndo como ponto de prtid Derivção pel Regr do Produto temos d ( uv u' v uv' ( Regr do Produto d ( uv' ( Integrndo mos os ldos uv uv u' v uv vu ' uv' ( Reescrevendo epressão vdu uv vudv ( Escrevendo n form diferencil Dí temos udv uv vdu Integrção por Prtes com u e v funções diferenciáveis de

10 Ao plicrmos est técnic devemos seprr o integrndo em dus prtes, u e dv, levndo em cont dus diretrizes : A prte escolhid como dv deve ser fcilmente integrável vdu deve ser mis simples do que udv Eemplos / Eercícios : Determine sen Resolução: Temos sicmente três síds : u sen ; dv u sen ; dv c u ; dv sen N síd otemos du cos e v dv, logo temos : sen sen cos, nov integrl que é mis complicd do que originl du sen cos Em temos : logo, sen sen (sen v dv cos

11 Tentemos pois síd c du Em c :, sen cos cos cos C sen v dv sen -cos, Lemrndo uv udv vdu Idem pr e Resolução: u du dv e v e Portnto: * udv uv vdu e e e e e e e ( C * e e ( C * u du e Dí e e e e e e ( C dv e v e

12 Idem pr sen Idem pr ln 5 Idem pr e

13 CÁLCULO III ENGENHARIAS AULA Integris Trigonométrics Comecemos com um pequen tel de Integris Trigonométrics cos udu sen u C cos sec ucot gudu cos sec u C sen udu cosu C tgudu ln sec u C ln cos u C sec udu tgu C cot gudu ln sen u C sec u tgudu sec u C sec udu ln sec u tgu C cos sec udu cot gu C cos sec udu ln cossec u cot gu C Recordndo lgums ds principis Identiddes Trigonométrics sen cos sen( sen( sen cos sen sen cos( cos( sec tg cos cos cos( cos( cos sec cot g sen ( cos cos ( cos cos sen cos cos sen cos sen sen cos

14 Eemplos / Eercícios : Achr s integris indefinids : cos cos sen C u sen sen udu cosu C du du cos C u sen senudu cosu C du sen sen sen cos C u cosudu sen u C du cos cos cos cos sen C 5 sen 8 tg

15 5 6 tg 9 sec sec 7 sec tg tg

16 6 CÁLCULO III ENGENHARIAS AULA Sustituições Trigonométrics Vmos estudr gor integris que presentem s forms u u, u e Podemos epressá-ls sem o s rdicis, utilizndo chmd Sustituição Trigonométric conforme tel : Cso Rdicl Sustit Trigonométric Trnsformd I u u sen sen cos II u u tg tg sec III u u sec sec tg Trigonometri no Triângulo Retângulo CO tg CA CA cos HI sen CO HI Demonstrremos o desenvolvimento do rdicl u, os demis csos são nálogos u sen sen sen ( sen sen cos cos Os : Repre que vriável finl é A epressão correspondente, n vriável originl, é otid usndo-se um triângulo retângulo

17 7 Eemplos : Achr integrl II u u u tg tg u tg sec d sec sec tg sec sec cos cos d d d tg tg ( (sec sen cos sen cos d cos sen d cos(sen d u sen du cosd u u (sen cosd u du C u u C sen Devemos gor voltr à vriável originl Como CO tg tg logo CA

18 8 Dí, sen sen CO HI HI CO HI CO C C, Portnto, C Achr integrl 6 6 I u u u sen sen u sen cosd 6 cos cos 6sen d d cossec cot g 6 cos (6sen (cos 6sen 6 6 C Voltndo pr vriável originl Como CO sen sen logo HI 6

19 9 Dí, g CA CA 6 cot C C 6 6 tg 6 CO 6 CO 6 CO 6, CA Portnto, C Achr integrl III u u u sec sec u sec sec tgd tg tg sec d sec d (sec (sec tg tg * secsec d * Por Prtes udv uv vdu sec sec d u sec du sec tgd dv sec d v tg

20 Portnto, sec d sec tg tgsec tgd sec d sec tg sec tg d sec d sec tg sec (sec d sec d sec tg sec d secd sec d sec d sec tg secd sec d sec tg sec d sec d sec tg ln sec tg C sec d sec tg ln sec tg C * Voltndo pr sec d sec tg ln sec tg C sec d sec tg ln sec tg C Voltndo pr vriável originl Como CA sec sec cos, cos HI Logo temos

21 Dí, Ver início do eercício : tg sec tg ln sec tg ln ln Portnto, ln C Eercícios : Achr s derivds : ( 6

22

23 CÁLCULO III ENGENHARIAS AULA 5 Áres e Integrl Definid Podemos determinr áre de regiões simples como polígonos e círculos usndo fórmuls geométrics conhecids E pr s demis regiões, como podemos clculr??? A síd é utilizrmos o conceito de Integrl Definid, que nd mis é do que áre d região delimitd pelo gráfico de f, pelo eio e pels rets e onde notção é : A f (, com Limite inferior de integrção Limite superior de integrção Vej o gráfico f( A Eemplo : Clcule áre d figur formd so curv d função f( no intervlo [, ] Resolução : 9 se ltur 9 7 A A,5 u

24 A Neste eemplo,não utilizmos o conceito de integrl, pois áre er um triângulo, portnto Bh A Vej o desenvolvimento seguir f( A Região so o gráfico de f Vmos tentr preencher est áre com retângulos f( A * Apesr do gráfico não demonstrr, (devido prolems técnicos todos os retângulos tocm curv f( em um ou dois pontos E nunc ultrpssm n

25 5 Temos um polígono não regulr, que quse preenche áre A, formdo por retângulos de se e ltur f(i, portnto Aretângulo f(i Note que qunto menor, mior o número de retângulos ( n e mis próimo d áre so curv vi estr áre do polígono, logo qundo, temos n e Apolig A Dí, vmos epndir o conceito de Integrl Definid pr A n f lim i ( f ( i Ou sej, áre so curv é somtóri ds áres dos retângulos de áre f(i, qundo e n ( nº de retângulos Teorem Fundmentl do Cálculo Sej f um função contínu em [, ] e A( áre compreendid entre e, temos : f( A( A (

26 6 Temos : f( A ( ( Def pelo limite --- f( é derivd d integrl A( A( F( C ( Def de Integrl F ( f( ( Derivd d Integrl A(, portnto F( C C -F( Dí, A( F( C A( F( F( Logo A( F( F(, portnto temos A( f ( F( F( Teorem Fundmentl do Cálculo Notção mis comum f ( F( F( F( Com F integrl de f( Proprieddes ds Integris Definids kf( k f( ; k : cte f g( f ( g( ( c f ( f ( f ( ; < c < c

27 7 f ( 5 f ( f (

28 8 Cálculo de áre usndo o Teorem Fundmentl do Cálculo Eemplos / Eercícios : Clcule áre so curv, no intervlo [, ] Resolução : A A A u Idem pr f(, no intervlo [, ] Resolução : A A u e e e e e e e ( e

29 9 ( ( 6 ( 5 5( ( ( sen cos 9 t t t 7 dt t sen cos 8 cos sen 9 f ( onde f( 5 pr pr f ( onde f( ; sen pr -

30 CÁLCULO III ENGENHARIAS AULA 6 Aplicções d Integrl Definid Já vimos que integrl definid pode ser considerd como ére so curv de f( num intervlo [, ] Vmos ver gor outrs plicções Áres entre curvs (ou áre de um região delimitd por dois gráficos Tomemos dus curvs f( e g( onde A é áre delimitd pels curvs entre s rets e, com f e g contínus em [, ] e f( g(, vej figur g( f( A Anlogmente o que já estudmos, temos A lim f ( i g( i, qundo n Logo temos n i A f ( g(

31 Eemplos : Ache áre delimitd pelos gráficos de f( e g( pr Resolução : f( g( A A f( g( ( 6 A u 6 Idem pr f( e e g( e - em [, ] Resolução : f( A g(

32 A f ( g( ( e e e e e e ( e e ( e e e e - e e e - A u e e Comprimento de Arco Sej um rco AB, definimos o seu comprimento como o limite d som dos comprimentos ds cords consecutivs AP P P P P Pn B Qundo o número de cords ( n tende o infinito, seu comprimento tende zero, dí somtóri tende o comprimento do rco Vej o gráfico d c P P A (, c P Pn- B (, d Se A (, c e B (, d são dois pontos d curv F(,, o comprimento do rco AB é ddo por : S ds AB d d ou d d c Vrição em ou Vrição em Se A, ddo por u u e B, ddo por u u, são pontos de um curv definid pels equções prmétrics f(u e g(u, o comprimento do rco AB é ddo por :

33 du d du S AB ds u u du Eemplos : Ache o comprimento do rco d curv de 5 Resolução : Como temos vrição em d d 9 Dí, S AB d 9 9 ds u 9 du ( S uc S uc 7

34 S,7 uc Idem pr de Resolução : Como temos vrição em d 9 d 9 8 Dí, S AB d 8 8 ds d d d c 8 u d 8 du d d

35 5 8 ( 8 ( S 8 8 uc S,9 uc Idem pr curv t, t de t t Resolução : Como temos curv definid prmetricmente dt t t e dt d dt t 9t dt Dí t S d ds dt t 9t dt t ( 9t dt t 9t dt AB dt dt t ( 9t u 9t tdt du 8tdt temos

36 6 ( 9t ( 9t 8tdt ( 9t 8 8 ( 9 ( ( S 66,888 uc Áre de um superfície de Sólido de Revolução - A Áre de um superfície gerd pel rotção em torno do eio O de um curv regulr f(, entre os pontos e é epress pel fórmul : SX d d ds ou AB d c d A Áre de um superfície gerd pel rotção em torno do eio O de um curv regulr f(, entre os pontos e é epress pel fórmul : SY d d ds ou AB d c d

37 7 f(u Os : Pr s equções Prmétrics temos g(u du d du SX ds AB u u du du d du SY ds AB u u du - Sólido de Revolução : Otem-se fzendo um região pln revolver em torno de um Ret ou eio de revolução ( Vej figur * * Eio de Revolução Pln Região Eio de Revolução

38 8 Eemplos : Ache áre d superfície gerd pel revolução, em torno do eio O, do rco d práol, de Resolução : º Modo : SX AB ds d d 6 6 d d d

39 9 Dí SX ( 6 ( 9 9 ( 9 u du 9 SX ( 9 8 ( 9 ( ( 9 ( SX,88 u º Modo : SX AB d ds c d d

40 d d 6 d 6 Dí SX 6 6 d d d 6 d (6 d u 6 du SX 6 6 (6 6 (6 d (6 6 9 (6 6 ( SX,88 u cos - cos Idem pr crdióide pr [, ] sen - sen

41 CÁLCULO III ENGENHARIAS AULA 6 VOLUME DO SÓLIDO DE REVOLUÇÃO ( Método do Disco Aio temos o esquem de como clculremos o volume de um sólido de revolução Sej função f( gertriz, usmos o conceito, já visto, de integrl definid, ou sej, proimção por n retângulos f(i f( Ao rotcionrmos cd retângulo em torno eio, temos vários discos ( cilindros circulres com volume V áre d se Altur { [ f(i ] } onde f(i rio f(i

42 Somndo-se o volume de cd disco temos o vlor proimdo do volume do sólido de revolução, ou sej, proimção por n discos Usndo lógic dos infinitésimos ( com n temos o volume do sólido estuddo Logo, temos, o Volume do sólido de revolução, em torno do eio, d região entre o gráfico de f e os eios [, ] como sendo : V f( Anlogmente, o rotcionrmos em torno do eio, temos o Volume do sólido de revolução,d região entre o gráfico de g e os eios [ c, d ] como sendo : V d g( c d

43 Os : Se rotção se efetu o redor de um ret prlel um dos eios coordendos, temos : f( L V f( L M d g(

44 c V d g( M c d MÉTODO DA ARRUELA ( ou entre dus funções f( e g( Usdo qundo possui um urco A demonstrção é nálog o método do disco onde f( e g( são os rios que delimitm o sólido etern e internmente, dí : V f( g( Rotção em torno do eio V d h( l( c d Rotção em torno do eio Eemplos : Determine volume do sólido formdo pel revolução em torno do eio, d região delimitd pelo gráfico de f( - e pelo eio Resolução :

45 5 - f( V { - ( - ou V v u V Idem pr limitd por 8 e, rotção em torno do eio Resolução : 8 d c d g( V f( g( portnto 8 8 d d V

46 6 V 9, u v Clcule o volume do sólido gerdo pel revolução, em torno do eio, d região limitd pelos gráficos ds funções f( 5 e g( ( Método d rruel Resolução : f( 5 g( Cálculo de e f( g( e Portnto

47 7 V f( g( ( 6 (6 ( 6 6( 6( V 85, u v

48 8 CÁLCULO III ENGENHARIAS AULA 7 Eercícios : Clcule áre d região A - A d Use ( ' " c - Idem pr : f( c g( - Dic : Encontre, e c

49 9 Idem pr : A - Encontre o comprimento d curv 5 ; - 5 Idem pr de P (, té Q ( 8, ; [, ]

50 5 sen t 6 Idem pr hipociclóide ; t [, ] cos t 7 Clculr áre otid com revolução, em torno do eio O do rco d práol 8 ;

51 5 8 Idem pr ; ; rotção em O 9 Idem pr ; ; rotção em O

52 5 Clcule o volume do corpo crido o girrmos, o redor do eio O, d superfície compreendid entre s práols f( e g( Clcule o volume do sólido gerdo pel revolução, em trono d ret, d região limitd por, -, e - - Encontrr o volume do sólido gerdo pel rotção, em torno do eio O, d região limitd por [f(] 6 e g( Um tnque, n s de um jto, tem como modelo, o sólido gerdo pel revolução, em torno do eio O, d região delimitd pelo gráfico 8 e pelo eio, e são ddos em metros Qul o volume do tnque? Os : Considere

53 5 Resposts : A,6 u A u A 6 u S, uc 5 S 9,7 uc 6 S uc 7 S 77,96 u 8 S 9,89 u 9 S 6,97 u V uv V uv 5 V 8 uv V, m,7 m,7 litros

54 5 CÁLCULO III ENGENHARIAS AULA 8 INTEGRAIS DUPLAS Podemos estender noção de integrl definid pr funções de dus, ou mis, vriáveis Anlogmente, integrl pr um vriável defini áre so um curv, s integris de funções de dus vriáveis determinm volumes so curvs, ms podemos tmém clculr áres usndo integrl dupl Definição : Sej f um função de dus vriáveis, contínu e não-negtiv num região plno, então o volume do sólido compreendido entre superfície z f(, e região é definido por : V n lim n k f (, A * k * k k n : Quntidde de su-retângulos Vej figur :

55 55 Os : Cso f presente tnto vlores positivos qunto vlores negtivos em, o limite presentdo NÃO REPRESENTA o volume entre e superfície cim do plno, ms sim diferenç de volumes entre els, podemos então generlizr V R f (, da Se f possui vlores positivos e negtivos em, então um vlor positivo pr integrl dupl de f em signific que há mis volume cim do que io de Um vlor negtivo indic o contrário e zero indic volumes iguis cim e io de Proprieddes : I f (, da R c c f (, da R II R [ f (, g(, ] da f (, da g(, da R R III Se é união de dus regiões não-superposts e (, da f (, da R f f (, da R R IV Se f(, em tod, então R f (, da

56 56 Clculndo s integris dupls pr Região retngulr Adotndo como Integris Prciis f (, e d f (, d em relção e c respectivmente, integrmos primeir com fio e segund com fio, vejmos os eemplos d d O processo cim é chmdo Integrção Iterd ( ou repetid, usremos tl processo pr clculr s integris dupls, dí d c d c d f (, d f (, d c d f (, d f (, d c Integris Iterds

57 57 ( 8d ( 8d 8 ( ( ( 6 ( (6 ( ( 8 d Coincidênci? Vej o teorem io : Sej o Retângulo definido pels desigulddes, c d; se f(, for contínu nesse retângulo, então : d d (, da f (, d R f f (, d c c Aplicção do teorem : Clcule R da no retângulo { (, : -, }

58 58 Resolução : 6 5 ( ( ( d d d da R Use integrl dupl pr chr o volume do sólido limitdo cim pelo plno z e io pelo retângulo [, ] X [, ] Resolução : z (, V d d d da R ( ( ( d d V 5 uv

59 59 Eercícios : Clcule s integris iterds : ( d ln ln ( e d c ( 6 d Clcule s integris dupls n região retngulr R da ; { (, : -, - } da; { (, :, } R O volume so o plno z e cim do retângulo { (, : 5, }

60 6 CÁLCULO III ENGENHARIAS AULA 9 Clculndo s integris dupls pr Região não retngulr Sejm s regiões e no plno onde é não retngulr g( d h( h( g( c Região Região z z f(,

61 6 Temos : Teorem Se é um região do tipo n qul f(, é contínu, então : g ( f (, da R g ( f (, d Se é um região do tipo n qul f(, é contínu, então : d h ( f (, da R c h ( f (, d Eemplos : Clcule ( cos d ( cos d ( sen d (se sen d sen d ( sen d 6 ** d sen d ( cos (cos cos 9 cos9 cos cos9 cos -,987 ** u

62 6 Os : Este desenho refere-se somente o plno du d cos ( sen d Clcule R da n região entre,, e Resolução : Considerndo do tipo temos g g R d f da f ( (, (, ( Portnto d d da R ( ( (

63 ,8 Clcule R da ( n região entre -, e Resolução : Considerndo do tipo temos d c h h R d f da f ( (, (, ( - - h( Dí : - h( Como e Portnto ( ( ( d d da R ( ( ( ( d d ( d d d d ( (

64 ,67 Clcule o volume do sólido limitdo pelo cilindro e os plnos z e z Resolução : z z Temos : - e z z ( plno superior z Plno ( plno inferior

65 65 Portnto V d da R ( ( ( ( ( 8 8 Voltndo pr ul nº 5 temos, pelo cso I 8 ] [,,] :[ cos cos cos sen sen sen Intervlo d u u u u 6(sen cos 8 cos 8 8 d d Voltndo pr vriável originl

66 66 Como CO sen sen logo HI CO Dí, 6sen 6 HI r ** 6 (8 Portnto, 8 r (8 8 V 6 uv r ** Mudnç de diferencil Eercícios : Use integrl dupl pr clculr o volume do sólido limitdo pelo cilindro 9 e os plnos z e z Clcule o volume do sólido ( Tetredro io : z z z 6 ** 6 6

67 67 ** Bst fzer z em z, portnto 6 Fç o eercício sem efetur mudnç de diferencil Fç o eemplo sem efetur mudnç de diferencil

68 68 CÁLCULO III ENGENHARIAS AULA Integrl Tripl Podemos relcionr s integris simples com funções de um vriável, s dupls com funções de dus vriáveis, portnto, qundo temos um Integrl Tripl, est está relciond um função de três vriáveis [ f(,,z ] A definição segue linh ds nteriores e figur será um ci dividid em sucis por meio de plnos prlelos tomndo-se s cis que estejm totlmente em G ( sólido estuddo e novmente, qundo o número de sucis tende o infinito com o ponto ritrário ( * * *, z, e o volume Vk de cd ci tendendo zero k, k k * * * Dí, pel som de Riemnn ( k, k, zk Vk n f k, temos : n f (,, z dv lim n G k f (,, z V * k * k * k k Vej figur : z Volume Vk * * * (, z k, k k Região G

69 69 Proprieddes ds Integris tripls I k f (,, z dv k f (,, z dv, k : constnte G G II f (,, z g(,, z dv ( f (,, z dv ( g(,, z dv G G G III Ao dividirmos G em su-regiões G e G G G f (,, z dv f (,, z dv G G G f (,, z dv Clculndo Integris Tripls em Cis Retngulres Anlogmente às integris dupls, usremos Integrções Sucessivs Pelo teorem : Sej G ci retngulr definid pels desigulddes ; c d; m z n Se f for contínu n região G, temos : d n (,, z dv G f f (,, z dzd c m

70 7 Eemplos : Clcule integrl tripl G Resolução : z dv, n ci retngulr z G ( z dv ( z dzd ( z d ( d (8 d (6 (6 ( 68 Clcule integrl tripl G Resolução : z dv, onde G (,, z : ; ; z G z ( z dv ( z dzd ( d ( d (9 d ( ( ( 7

71 7 Clculndo Integris Tripls em Cis Não Retngulres Anlisndo figur Temos o seguinte teorem : Sej G o sólido simples com superfície superior z g(, e superfície inferior z g(, e sej projeção de G no plno Se f(, for contínu em G então : G f (,, z dv R g (, g (, f (,, z dzda

72 7 Pr plno Os : Pr plno z temos plno z temos G G f (,, z dv f (,, z dv R R g ( g ( g ( g (, z f (,, z dda, z, z f (,, z da, z Eemplos : Sej G cunh do primeiro octnte seciond do sólido cilíndrico z pelos plnos e Clcule zdv Resolução : G Temos z z - z z Porção cim do plno z z G R (, R

73 7 Portnto d z d zdz da dz z f dv z f R g g G, (, (,, (,, ( ( d d d d z ( ( ( ( ( d d d d 8 Clculndo volumes usndo Integrl Tripl Qundo f(,,z temos grnti de um figur tridimensionl, logo n k k n G V dv lim represent o volume de G e indicmos V G dv Eemplos : Use integrl tripl pr clculr o volume do sólido contido no cilindro 9 entre os plnos z e z 5 Resolução : z z 5 z 5 - G z 9-9

74 7 : 9 - Portnto, com plno ( (5 5 d d d z dzd ( d d d ( ( ( ( d ( ( ( ( d ( ( ( d d d uv Idem pr o cálculo do tetredro T limitdo pelos plnos z,, e z Resolução : z Sust Trigon

75 75 T z - (,,,5 Portnto, com plno VT ( T d z dzd dv ( ( d Pr z, temos : -

76 76 ( uv

77 77 CÁLCULO III ENGENHARIAS AULA Eercícios de Integrção Tripl : Clcule o volume do sólido compreendido entre os prolóides z 5 5 e z 6 7 [ Dic : Fç z z, che vrição em (função e igule zero e che vrição em ( vlores ] ln z Clcule ( e ddz Clcule zdv, onde G é o sólido do primeiro octnte limitdo pelo cilindro G prólico z e os plnos z, e z G Clcule o volume do tetredro limitdo pelos plnos coordendos e pelo plno 6z z G

78 78 BIBLIOGRAFIA ÁVILA, G: Cálculo ( volumes LTC, 99 AVRITZER, D & CARNEIRO, M J D : Lições de Cálculo Integrl em Váris Vriáveis CAED-UFMG, Link pr o rquivo pdf GUIDORIZZI, H: Um Curso de Cálculo ( volumes LTC, LEITHOLD, L: O Cálculo com Geometri Anlític ( volumes Hrr, 99 MARSDEN, JE nd TROMBA, AJ: Vector Clculus, ª edição WHFreemn nd Co, 996 PINTO, D e MORGADO, MCF : Cálculo Diferencil e Integrl de Funções de Váris Vriáveis Editor UFRJ, 999 PISKUNOV, N: Cálculo Diferencil e Integrl ( volumes, 6ª edição MIR, 98 SIMMONS, G F: Cálculo com geometri Anlític ( volumes McGrw-Hill, 987 SPIVAK, M: Clculus ª edição Pulish or Perish, 99 STEWART, J: Cálculo - Vol, 6ª edição Editor Pioneir Thomson Lerning, 9 ANTON, H: Cálculo, Um Novo Horizonte - Vol, 6ª edição Editor Bookmn, THOMAS, G: Cálculo Vol, edição Editor Addison Wesle,