Biomatemática - Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital (ICBS UFAL) - Material disponível no endereço

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1 Universidde Federl de Algos Instituto de Ciêncis e Biológics e d Súde BIOB-003 Biomtemátic Prof. Mrcos Vinícius Crneiro Vitl 1. A ntiderivd - Qundo temos em mão derivd de um função, e prtir del queremos ser qul é função originl, então estmos procurndo por um ntiderivd. - Por exemplo: se semos que y = 2x, então semos que y = x 2 é ntiderivd. - Um derivd f (x) não possui um únic ntiderivd! - No exemplo cim, qulquer y = x 2 + c (onde c é um constnte qulquer) pode servir como ntiderivd. - Em gerl, dd um derivd f (x), existe um conjunto infinito de ntiderivds f(x) + c, que diferem um ds outrs por um constnte ditiv. 2. Integris 2.1 Crescimento populcionl - Pr compreendermos idéi de um integrl, vmos lidr com um exemplo que vem nos compnhndo o longo de tod disciplin: o crescimento populcionl. - Imgine um populção com N indivíduos em função do tempo. Semos que podemos clculr su tx médi de crescimento, que é dd por ΔN/Δt, que pr simplificr chmremos de g. - Podemos clculr est tx médi pr cd intervlo de tempo, de form que teremos vlores de g1, g2,..., gn (onde g1 = ΔN1/Δt1, etc.). - Ms dest vez noss pergunt não é sore tx de crescimento, e sim sore o incremento totl d populção. Ou sej, qunto populção cresceu? Estmos flndo de N i ; ou, pr ser mis exto: n g i t i i=1

2 - Ms, como nós já vimos nteriormente, tx médi pode mudr o longo do tempo; ou sej, g = g(t). - Isto signific que estremos necessrimente cometendo erros o clculr nosso somtório cim... - Um solução é diminuir o intervlo de tempo, de form que gi fique cd vez mis próximo de g(ti). Pr termos extmente o umento d populção, sem erros, temos que encontrr o limite: n lim g(t i ) t i n i=1 - Onde Δti 0 - Chmmos este limite de integrl, e normlmente o descrevemos ssim: t z g(t)dt t 0 - Que, em português, seri lido como integrl de g(t), de t0 tz. 2.2 Áre de um figur pln - Clculr áre de um figur pln (como um s de um inseto, por exemplo) é lgo stnte útil pr um iólogo, ms é um desfio não muito simples de ser resolvido com precisão. - A figur seguir s etps de um ds possíveis soluções pr este prolem:

3 - Imgine que primeir imgem sej s de um inseto, e que sej do nosso interesse clculr su áre. O primeiro psso seri crir um mlh que nos uxilirá fzer este cálculo, e depois identificr os pontos centris dos qudrdos que compõem est mlh. - A idéi qui é simples: se um ponto ci dentro d fronteir d s, então áre dquele qudrdo é computd, e som ds áres dos qudrdos que tendem este critério é noss estimtiv de áre. - Ovimente, este é um método que deverá gerr um erro de medid. Um mneir de reduzir este erro é crir um mlh mis fin, o que nos dri mior precisão nos qudrdos próximos d fronteir d s. - Aqui, podemos fzer um rciocínio semelhnte o do exemplo nterior: o erro pode ser minimizdo e podemos encontrr medid ext se crirmos um mlh com um número infinito de qudrdos! - Chegmos, mis um vez, n idéi de integrl presentd no exemplo nterior. Pr torná-l prátic, precismos trnsformr form d s em um equção. A mneir mis simples de fzer isso é pegr pequenos pedços de s que possm ser representdos grficmente como funções monotônics. Algo ssim: - Se curv (em preto) n figur cim é um pedço d s representd n figur nterior, o que queremos ser é áre ixo del, entre os pontos 1 e 8 do eixo x do gráfico.

4 - Se pudermos dividir s em vários gráficos como este e clculr áre, então podemos ter medid totl d áre d s! - N prátic, isto quer dizer que trnsformmos quele pedço de s em um curv que pode ser representd por um função y = f(x), e estmos interessdos em ser áre ixo d curv entre dois pontos do eixo x, que chmremos qui de e (no gráfico cim, seri x0, e seri xn). Representremos este intervlo como [,], que é o mesmo que dizer que {x x }. - Agor dividimos áre que queremos clculr em um conjunto de retângulos, de form que [,] é dividido em n intervlos: - x0 =, x1, x2,..., xi,..., xn-1, xn = - xi xi-1 = ( )/n = Δx - As ordends correspondentes são: - y0, y1, y2,...,yi,...,yn-1,yn - Se A é áre ixo d curv, podemos clculr seu vlor proximdo de dus mneirs diferentes: - som ds áres dos retângulos ixo d curv (os retângulos ros d figur); - som ds áres dos retângulos que corem curv (os retângulos ros mis os zuis); - O primeiro cso seri um su-estimtiv d áre rel, e o segundo cso seri um super-estimtiv! - Vmos chm primeir de Ai (limite inferior), e segund de As (limite superior). - Volte o gráfico cim pr entender como vmos clculr cd áre: - Ai = y1δx + y2δx ynδx - As = y0δx + y1δx yn-1δx

5 - O nosso interesse é justmente minimizr os erros inerentes estes dois métodos de cálculo d áre ixo d curv; um form de encrr isto, é que queremos que diferenç entre eles sej zero. A diferenç entre eles, então: - As Ai = y0δx ynδx - Como semos que: - Então: - y0 = f(x0) = f() - yn = f(xn) = f() - As Ai = (f() f())δx - Voltndo à noss idéi de minimizr o erro, o que precismos é que n tend pr o infinito (ou sej, vmos dividir áre ixo d curv por um número infinitmente grnde de retângulos), o que frá com que Δx tend pr zero e, por fim, que diferenç As Ai 0, o que quer dizer que As e Ai tendem pr o mesmo limite! 3. Integrção - Ou sej: A = lim n A i = lim n A s - Ou, usndo notção de integris: 3.1 Encontrndo um integrl A = f(x)dx - Agor que conhecemos idéi do que é um integrl, podemos prender como encontrr seu vlor. - Pr isso, precisremos ds ntiderivds, vists nteriormente.

6 - Vmos prtir do nosso último exemplo, que mostr integrl como áre ixo d curv de um função y = f(x) em um intervlo [, ] no eixo x. Ms vmos fzer lgums mudnçs: - Diremos que = x, e vmos considerr x como um vriável. - A sciss x pode tomr qulquer vlor dentro do domínio de y = f(x) x - Chmremos de A áre entre o gráfico de y = f(x) e o intervlo [, x] - Pr x =, o intervlo fic reduzido um único ponto; x conseqüentemente, A = A = 0. x - Pr vlores crescentes de x, A ument. - Cd vlor de x está ssocido um áre A x. x - Então podemos encrr A como um função de x, que vmos chmr de função de áre: - A x = F(x) - Pr chegrmos um técnic de integrção, vmos começr tentndo derivr F(x) em relção x. - Vmos dizer que Δx = h é um créscimo de x, e que o novo vlor d função de áre será: A x+h = F(x + h) - Então ΔF = F(x + h) F(x), região zul ixo d curv n figur cim, pode ter su áre proximdmente clculd prtir d áre de um de dois retângulos possíveis: um com os ldos h e f(x), e o outro com os ldos h e f(x + h).

7 - Como F(x), neste cso, é monotônic crescente, temos: h f(x) < F < h f(x + h) - Então pr tx de vrição: f(x) < F x < f(x + h) - Então chegmos novmente nquele dilem entre dois modos de encrr áre ixo d curv: um que suestim e outro que superestim. A solução, como sempre, é tentr encr o prolem reduzindo h (que grficmente é lrgur do retângulo) pr vlores cd vez menores. - Se, então, h 0, o limite superior f(x) e o limite inferior f(x + h) tendem pr o mesmo limite f(x). Ou sej, o limite de ΔF/Δx: df dx = F (x) = f(x) - Ou sej: derivd de um função de áre F(x) é função originl f(x). - Ou sej: função de áre F(x)é um ntiderivd de f(x)! - Lemrem-se que cd derivd tem um número infinito de ntiderivds, diferentes entre si por um constnte. - Então vmos chmr de I(i) um ntiderivd ritrári de f(x). Nós semos, então, que F(x) difere de I(x) pens por um constnte: F(x) = I(x) + c - Pr o vlor x =, F() = I() + c = 0. Então, c = I(), e: F(x) = I(x) I() - Agor voltmos o intervlo [, ] do nosso exemplo nterior: F() = A = I() I() - Semos que A é áre ixo d curv; ou sej, é noss integrl! Então: f(x)dx = I() I() - é o limite inferior e é o limite superior. A função ser integrd é chmd de integrndo, x é vriável de integrção, e [, ] é o intervlo de integrção.

8 3.2 Psso psso d integrção - Derivr um função contínu f(x) dentro de um intervlo [, ] é em simples: 1. Encontre ntiderivd I(x) d função f(x); 2. Clcule os vlores de I() e de I(); 3. Sutri I() de I(), e pronto! 3.3 Integris definids e indefinids - A ntiderivd I(x) é muits vezes chmd de integrl indefinid, já que constnte c não precis ser clculd. - El é escrit sem notção dos limites inferior e superior: I(x) = f(x)dx - Por outro ldo, qundo clculmos integrl dentro de um intervlo estelecido, temos um integrl definid, que é univocmente determind por e. - Tmém podemos considerr um integrl definid n qul o limite superior é um vriável (ou sej, = x). Deixndo de ldo demonstrção, este rciocínio nos permite chegr o Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl, que mostr que derivção e integrção são operções inverss: x d f(t)dt = f(x) dx 3.4 Algums regrs - Assim como no cso ds derivds, lgums regrs simples podem nos judr no processo de integrção de um função: - O intervlo de integrção pode ser desmemrdo em suintervlos: c f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx c

9 - Permutr os limites mud o sinl d integrl: f(x)dx = f(x)dx - A som ds funções é integrd termo termo: [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx - Um ftor constnte que multiplic o integrndo, pode ser colocdo n frente do sinl de integrl: k f(x)dx = k f(x)dx EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Suponh que você estej tentndo determinr áre d s de um inseto, dividindo- em váris prtes como mostrdo no exemplo dest ul. Um ds prtes dest s tem su curvtur dd pel função: y = x Encontre integrl definid d função cim dentro do intervlo [1; 14]. Clculr um integrl envolve descorir ntiderivd de um função, sustituir os vlores de e (que neste cso são 1 e 14, respectivmente), e clculr diferenç entre eles (ou sej: I() I()). Vmos por prtes. Semos que podemos querr s funções em pedços pr encontrr ntiderivd de cd termo. Então temos que chr ntiderivd de: x 2 Nos dois csos, temos que ter em mente regr sore derivd de um potênci. Vmos clculr derivd de cd termo (vou omitir constnte c, já que el vi desprecer qundo clculrmos sutrirmos um ntiderivd de outr).

10 O primeiro é o mis fácil: I(1200) = 1200x O segundo tmém é simples: I(3x 2 ) = x 3 Então: I(1200 3x 2 ) = 1200x x 3 Agor o trlho é ind mis simples: st encontrrmos I() I() e temos integrl d noss função! Como semos que o intervlo [, ] é [1, 14], então tudo que temos fzer é sustituir os vlores: I() I() = I(14) I(1) = ( ) ( ) = f(x)dx = Que é áre ixo d curv dest função, e represent áre dquele pedço d s do inseto. Imgine gor que um outro pedço d s tenh su curvtur dd pel função: y = 150x 1/ Encontre su integrl definid dentro do intervlo [1; 14]. Prece complicdo, ms no fundo não é. Existem lgums mneirs diferentes pr chegr o resultdo correto, e vou usr quel que considero mis simples e intuitiv. Vej em, temos um regr que nos diz que: (x n ) = nx n-1, que mesm regr que usmos nos dois csos nteriores; dicionlmente, podemos nos proveitr d regr que diz que k f(x)dx = k f(x)dx A segund regr nos permite deixr constnte 150 de ldo, e multiplicr no finl pós clculrmos ntiderivd de x 1/2. Pr clculr est ntiderivd, vmos usr primeir regr presentd no prágrfo nterior. Nosso primeiro psso é consttr que n -1 é ½, então:

11 (n 1) = ½ n = ½ + 1 n = 3/2 Porém, ind não semos ntiderivd, pois derivd de x 3/2 seri 3/2 x 1/2. Então há lgo que multiplic noss ntiderivd que, qundo multiplicdo por 3/2, dá um. Ou sej, há um vlor c qulquer que: c 3/2 = 1 c = 2/3 Então podemos concluir que: I(x 1/2 ) = 2/3 x 3/2 O 150 foi deixdo de ldo, e gor podemos voltr ele, stndo multiplicá-lo por 2/3 (e o resultdo é 100). Então noss ntiderivd é: I(150x 1/2 ) = 100 x 3/2 Agor só flt encontrr o vlor de I() I() de novo. A cont prece de novo ser complicd, ms podemos simplificá-l: 100 x 3/2 = 100 (x 2/2 x 1/2 ) = 100 (x x 1/2 ) Que é muito mis fácil de se resolver (lemrndo que x 1/2 é o mesmo que riz qudrd de x). I() I() = I(14) I(1) = ( /2 ) ( /2 ) = 5238, = 5138,32 14 f(x)dx = 5138,32 1 Que é áre ixo d curv dest outr função! EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 Um pesquisdor relizou um corte histológico pr medir áre de um tecido fetd por um inflmção. Ele dividiu o corte em setores qudriculdos, e pr cd qudrdo n fronteir d inflmção ele definiu um função que descrevesse curvtur d linh que sepr tecido inflmdo de tecido norml. Tendo em mente que integrl de um função nos dá o vlor d áre ixo d curv, clcule s integris de: 2.1. y = 200 x 1/2 + 2x, em [1, 7]

12 O procedimento é o mesmo do exercício nterior: encontrr s ntiderivds e sustituir os vlores. Então vmos direto os resultdos: I(200 x 1/2 ) = 133,3 x 3/2 I(2x) = x 2 Então: I(200 x 1/2 + 2x) = 133,3 x 3/2 + x 2 Sustituindo: I() I() = I(7) I(1) = 133,3 7 3/ ( ) = 2383, y = 700 4x 3, em [1,4] I(700) = 700x I(4x 3 ) = x 4 7 f(x)dx = 2383,4 1 Novmente, encontrndo s ntiderivds e sustituindo: Fique tento pr não esquecer do sinl negtivo dentro d função! I(700 4x 3 ) = 700x x 4 I() I() = (700 1) = f(x)dx =