Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

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1 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como cim, denotmos por o número rel = b 4c, e o denominmos o discriminte d equção Noss missão, é tentr clculr, qundo existirem, s rízes reis de um equção do segundo gru Pr isto, considere o seguinte trinômio: [ x + bx + c = x + b x + c ] As dus primeirs prcels dentro do colchete são s mesms do desenvolvimento de Completndo o qudrdo, podemos escrever: [ x + bx + c = x + b x + b 4 b 4 + c ], x + b ) ou [ x + bx + c = x + b ) ] b 4c 4 A últim form presentd é chmd de form cnônic Podemos gor clculr, cso existm, s rízes reis de um equção do segundo gru Com efeito, sendo 0, temos s seguintes equivlêncis x + bx + c = 0 x + b ) b 4c 4 = 0 x + b ) = b 4c 4 x + b b = ± 4c x = b ± b 4c Est fórmul lev o nome de Fórmul de Bhskr, em homengem o mtemático hindu Bhskr que viveu no século XII Dependendo do discriminnte, s rízes podem ser ou não números reis possíveis possibiliddes: Em seguid, s três 1) é um número rel positivo > 0) Neste cso, é um número rel e existem dois vlores reis diferentes pr s rízes d equção ) é zero = 0) Neste cso, tmbém é zero Observmos, então, existênci de um único vlor rel pr s rízes dest equção Op! Ms um equção do segundo gru tem dus rízes!! 1

2 Podemos dizer, então, que um equção do segundo gru com = 0 tem dus rízes reis e iguis! 3) é um número negtivo < 0) Neste cso, não é um número rel Dizemos, então, que não há vlores reis pr s rízes d equção Podemos gor fcilmente determinr som e o produto ds rízes de um equção do segundo gru rbitrári Sejm α = b e β = b + s rízes d equção x + bx + c = 0, com 0 1) α + β = b ) αβ = c Exemplo 11, b, c, d são números reis distintos tis que e b são s rízes d equção x 3cx 8d = 0, e c e d são s rízes d equção x 3x 8b = 0 Clcule som + b + c + d OBM) Solução É fácil perceber que + b = 3c e que c + d = 3 Somndo e subtrindo membro membro s dus igulddes obteremos b + d = + c) e b d = 4 c ) Como é riz de x 3cx 8d = 0, segue que 3c 8d = 0 1) Do mesmo modo, como c é riz de x 3x 8b = 0, temos que c 3c 8d = 0 ) Subtrindo s igulddes 1) e ) e utilizndo s relções nteriormente obtids, vem: c = 8d b) c) + c) = 8 4 c) Como c 0, concluímos que + c = 3 Portnto, + c = 3 e b + d = + c) = 64, donde + b + c + d = 96 Exemplo 1 Sejm, b, c, 0, tis que e 4 + 3b + c têm o mesmo sinl Mostre que equção x + bx + c = 0 não pode ter dus rízes no intervlo 1, ) Romêni) Solução Temos que b + c = b + c = x 1x 3x 1 + x ) + 4 = x 1 1)x ) + x 1 )x 1) Se x 1 e x pertencerem o intervlo 1, ), então cd termo d som cim será estritmente negtivo, o que é um contrdição Exercícios 1 Sej um número inteiro positivo ímpr Determine de modo que equção x x + 4 = 0 tenh s dus rízes inteirs Sej b um rel não nulo de modo que equção do segundo gru x + b x + π = 0 tenh rízes reis x 1 e x Se x 1 π = x bx π), prove que o número b é negtivo 3 Demonstre que, se pr todo n inteiro não nulo, existe x Z tl que n x + bx + c b, c Z), então x + bx + c = 0 tem rízes inteirs Teste de seleção do Brsil pr Cone Sul)

3 4 Mostre que se, b, c são inteiros ímpres, equção x + bx + c = 0 não tem riz rcionl 5 Resolver numericmente!) equção sbendo que dmite um ríz inteir x b) + bx ) = x, 6 Ach um condição necessári e suficiente pr que equção x + bx + c = 0, 0, tenh um ríz o qudrdo d outr 7 Resolver equção sendo, prte inteir do número x x + 1 = x, 8 Sej um número rel ddo Clculr os números reis x 1,, x n que são soluções do sistem x 1 + x 1 + x + x + x n 1 + x n 1 + x n + x n + ) 1 = x ) 1 = x 3 ) 1 = x n ) 1 = x 1 Torneio ds Ciddes) 9 Se x + x + b = 0 e x + px + q = 0 Ache um condição pr que s dus equções tenhm um ríz comum 10 Achr os números reis positivos x, y sbendo que s qutro médis são números nturis cuj som vle Sej 3 < < 1 Prove que equção 4 = x + y, g = xy, h = xy x + y, k = x + y x 3 x + 1) = x + )x + ) tem qutro soluções reis distints e che ests soluções de form explícit Coréi) Sugestão Resolv um equção do segundo gru em! 1 Pldino escreve equção qudrátic x + bx + c = 0 com coeficientes inteiros positivos, b, c Antonio pode trocr um, dois, ou nenhum dos sinis + por Se s dus rízes d equção modificd) forem inteirs, pldino vence, enqunto se não houver rízes reis ou se pelo menos um dels não for inteir, Antonio vencerá Pode Pldino escolher os coeficientes iniciis de modo que ele sempre venç? Torneio ds Ciddes) 13 Se equção x + c + b)x + e + d) = 0 3

4 tem rízes reis miores que 1, mostre que equção tem pelo menos um riz rel Gréci) x 4 + bx 3 + cx + dx + e = 0 14 As rízes de x + x + 1 = b são inteiros positivos Prove que o inteiro + b é composto 15 Sejm, b, c, números reis tis que s equções x + x + 1 = 0 e x + bx + c = 0 têm extmente um riz rel em comum e s equções x + x + = 0 e x + cx + b = 0 tmbém têm extmente um riz rel em comum Determine som + b + c Teste de seleção do Brsil pr Cone Sul) Funções Qudrátics N teori ds funções, àquels que stisfzem fx) = x + bx + c, x R com, b e c reis e 0 são chmds funções qudrátics Normlmente, qundo estudmos funções, é bstnte interessnte construir o gráfico ds mesms O gráfico de um função qudrátic é um prábol, porém demonstrção requer conhecimentos de geometri nlític e isto podemos deixr pr um futuro próximo! Usremos bstnte form cnônic estudd n primeir prte do nosso curso prtir deste momento Sej > 0 A form cnônic [ fx) = x + bx + c = x + b ) ] b 4c 4 exibe, no interior dos colchetes, um som de dus prcels A primeir depende de x e é sempre 0 A segund é constnte O menor vlor dess som é tingido qundo x + b ) é igul zero, ou sej, qundo x = b Neste ponto, fx) tmbém ssume seu vlor mínimo Portnto, qundo > 0, o menor vlor ssumido por fx) = x + bx + c é f ) b = 4 ) b Se < 0, então f = 4 vértice d prábol representtiv d função qudrátic b é o vlor máximo tingido por fx) O ponto V, 4 ) é chmdo Vmos tentr descobrir pr quis vlores de x R temos fx) > 0, fx) < 0 ou fx) = 0 Pr isto precismos estudr o comportmento do discriminnte 1) < 0 Usndo mis um vez form cnônic, temos: [ fx) = x + b ) ) ] + 4 fx) > 0, x R Isto signific que > 0 fx) > 0, x R < 0 fx) < 0, x R 4

5 ) = 0 Usndo form cnônic, temos: Isto signific que [ fx) = x + b ) ) ] = x + b ) fx) 0, x R > 0 fx) 0, x R 3) > 0 < 0 fx) 0, x R Sejm x 1 e x s rízes dest função Fic como exercício provr que o sinl de fx) se comport d seguinte mneir: i) fx) tem o mesmo sinl de pr todo x, tl que x < x 1 ou x > x ; ii) fx) tem o mesmo sinl de pr todo x, tl que x 1 < x < x Exemplo 1 Sej fx) = x b c)x + c, com, b e c Q + Prove que se existe n N tl que fn) = 0, então n é um qudrdo perfeito Solução As rízes d função são b c ± b b 4c ; pr que lgum dels sej inteir, deve existir um inteiro k tl que b 4c = k Então temos que: b k = 4c b k = c e substituindo n expressão ds rízes d equção obtemos que é um qudrdo b b k ± bk = b + k ± bk 4 = ) b ± k, Exemplo Sejm 1,,, n, b 1, b,, b n números reis não todos nulos então seguinte desiguldde ocorre: 1 b 1 + b + + nb n) n )b 1 + b + + b n ) A iguldde ocorre somente se Desiguldde de Cuchy-Schwrz) 1 = = = n b 1 b b n Prov Nós podemos escrever x 1 + b 1 ) + x + b ) + + x n + b n) = x 1 + x 1 b 1 + b 1) + + x n + x nb n + b n) = 5

6 Ax + Bx + C, em que A = n, B = 1 b 1 + b + + nb n, C = b 1 + b + + b n O ldo esquerdo d equção cim é, um som de qudrdos, não - negtivo pr todo x; em prticulr pr x = B Substituindo este vlor em x n equção temos: A A B A B B AC B + C = 0 A A Como A > 0 então AC B 0 E desiguldde está provd! A iguldde só é possível se x 1 + b 1 = x + b = = x n + b n, que é o mesmo que, Exercícios b 1 1 = = bn n = x) 1 Considere função qudrátic fx) = x + 4px p + 1 Sej S áre do triângulo em que dois dos vértices são os pontos de interseção de fx) com o eixo ds bcisss, enqunto que o terceiro vértice é o vértice d prábol Achr todos os rcionis p tis que S é inteiro Bulgári) Os números reis x 1, x,, x n stisfzem s condições x 1 + x + + x n = 0 e x 1 + x + + x n = 1 prove que existem i e j tis que x i x j 1 n 3 Sej fx) = x + 6x em que é um prâmetro rel ) Ache todos os vlores de pr que equção fx) = 0 tenh pelo menos um riz rel b) Se x 1 e x são s rízes reis de fx) = 0 não necessrimente distints) Ache o menor vlor d expressão 9 4 A = 1 + x 1 )1 + x ) x 1 )1 6 x ) Bulgári) 4 Mostre que x + 4y 4xy + x 4y + > 0, quisquer que sejm os reis x e y OBM) 5 Ache todos os, se expressão é não - negtiv pr todo x rel Lituâni) + 1)x 1)x As seguintes operções são permitids com função qudrátic fx) = x + bx + c: ) trocr e c; b) trocr x por x + t, onde t é um número rel Repetindo ests trnsformções é possível trnsformr x x em x x 1? 7 Prove que um ds rízes d equção qudrátic é menor que 1 e outr é mior que 1 000x )x = 0 6