Equação do 2º grau. Sabemos, de aulas anteriores, que podemos

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1 A UA UL LA Equção do 2º gru Introdução Sbemos, de us nteriores, que podemos resover probems usndo equções. A resoução de probems peo método gébrico consiste em gums etps que vmos recordr: Representr o vor desconhecido do probem, incógnit, por um etr que, em ger, é etr x. Escrever senteç mtemátic que trduz o probem. É o que chmmos de equcionr o probem. Resover equção do probem. Verificr soução encontrd escohendo soução corret, de cordo com o que foi soicitdo no probem. Ns us em que já form estuddos probems e su resoução gráfic, s equções encontrds erm do 1º gru. Vmos estudr gor s equções do 2º gru, usds n resoução de probems de diferentes ssuntos que presentm necessidde desse tipo de equção. Noss u Vejmos o seguinte probem: n figur seguir, temos um retânguo de comprimento 6 cm e cuj rgur é desconhecid, ou sej, não sbemos su medid. Ao do desse retânguo temos um qudrdo cujo do é igu à rgur do retânguo. Vmos determinr o do do qudrdo, sbendo que áre tot d figur é de 16 cm 2.

2 Chmmos o do do qudrdo, que é incógnit do probem, de x. Ccundo s áres do retânguo e do qudrdo, temos: Áre do retânguo: 6. x = 6x Áre do qudrdo: x. x = x 2 A U L A A áre tot d figur é: 6x + x 2 = 16 equção do probem Vmos, gor, rrumr equção do probem, coocndo todos os termos no primeiro membro e ordenndo-os de cordo com s potêncis de x, d mior pr menor, ou sej, de modo decrescente. x 2 + 6x - 16 = 0 ß ß ß termo termo termo em x 2 em x sem x Ess equção é d form x 2 + bx + c = 0 e é chmd de equção do 2º gru. Os coeficientes, b e c são números reis e ¹ 0. Vej os exempos: N equção 2x 2-4x + 5 = 0, os coeficientes são: = 2, b = - 4 e c = 5 N equção x 2 + 5x = 0, os coeficientes são: = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo independente de x) N equção 2x 2-9 = 0, os coeficientes são: = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o termo do 1º gru em x) N equção 4x 2 = 0, os coeficientes são: = 4, b = 0 e c = 0 (ftm dois termos) A equção que encontrmos no probem inici é um equção compet, pois não tem coeficientes nuos. Qundo um equção do 2º gru possui um ou dois coeficientes nuos e é chmd de incompet. Aprenderemos como resover os diferentes tipos de equção incompets ind nest u. As equções compets serão estudds n próxim u.

3 A U L A Você se embr de que, qundo definimos equção do 2º gru, escrevemos que é diferente de zero. O que conteceri se fosse igu zero? Vmos substituir por zero n equção x 2 + bx + c = 0. A equção ficrá ssim: 0. x + bx + c = 0 bx + c = 0 equção do 1º gru. Portnto, o coeficiente do termo de 2º gru não pode ser zero pois, nundo esse termo, equção deix de ser do 2º gru. Resoução de um equção Já vimos, qundo estudmos equções do 1º gru, que resover um equção é encontrr um vor d vriáve x que torn equção verddeir qundo substituímos x por esse vor. No cso d equção do 2º gru, podemos encontrr té dus souções diferentes pr um equção. EXEMPLO 1 ) Verifique, n equção do probem inici, se o número 2 é soução d equção. A equção é: x 2 + 6x - 16 = 0 Substituindo x por 2, temos: = = = 0 sentenç verddeir Logo, x = 2 é um soução d equção x 2 + 6x - 16 = 0. b) Verifique, n mesm equção, se 1 é soução. Substituindo x por 1, temos: = = = 0 sentenç fs Logo, x = 1 não é soução d equção x 2 + 6x - 16 = 0.

4 Resoução ds equções incompets Equções do 2º gru em que b = 0 (equções do tipo x 2 + c = 0) A U L A Nesse cso, equção só tem um termo em x, então resovemos como se e fosse um equção do 1º gru. x 2 + c = 0 x 2 =- c isondo o termo em x no 1º membro x 2 = -c ccundo o termo em x x =± -c extrindo riz qudrd As souções d equção são x 1 =+ -c e x 2 =- -c Esse tipo de equção pode ter dus souções reis, cso o rdicndo -c sej um número positivo. æ-c Ð 0ö Se o rdicndo for negtivo è ø equção não terá soução, pois riz de índice pr de um número negtivo não é um número re. No cso do rdicndo ser nuo, equção terá um únic soução, tmbém nu. EXEMPLO 2 Resover equção 3x 2-27 = 0 3x 2 = 27 x 2 = 27 3 x 2 = 9 x = x =± 9 x = + 3 As souções d equção são +3 e -3.

5 A U L A Equções do 2º gru em que c = 0 (equções do tipo x 2 + bx = 0) Observe que ess equção possui dois termos em x. Nesse cso, podemos ftorr x 2 + bx, coocndo x em evidênci: x (x + b) = 0 Obtivemos um produto de dois ftores que deve ser igu zero. Logo um dos ftores deve ser nuo: ì x = 0 Se x (x + b) = 0, então ou î x + b = 0 x = -b x = -b As souções d equção são x 1 = 0 e x 2 = -b Nesse tipo de equção, encontrremos sempre dus souções diferentes, sendo um des igu zero. EXEMPLO 3 Resover equção 3x 2-15x = 0. x (3x - 15) = 0 x = 0 ou 3x - 15 = 0 3x = 15 x = 15 3 x = 5 As souções são x 1 = 0 e x 2 = 5.

6 Exercício 1 N equção x 2-7x + 10 = 0, verifique se o número 5 é soução. Exercício 2 Qu é o número que eevdo o qudrdo é igu o seu dobro? Exercícios A U L A Exercício 3 Quis são os coeficientes d equção x2 2 - x = 0? Exercício 4 Resov s equções incompets: ) 6x 2 + 6x = 0 b) 25x 2 = 0 c) 2x 2 = - 8 d) 2x 2-72 = 0 Exercício 5 Ddos os números 0, - 1, 1, indique quis são souções d equção: x 2 + 3x - 4 = 0.