CPV 82% de aprovação na ESPM em 2011

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1 CPV 8% de provção n ESPM em 0 Prov Resolvid ESPM Prov E 0/julho/0 MATEMÁTICA. Considerndo-se que x = 97, y = 907 e z =. xy, o vlor d expressão x + y z é: ) 679 b) 58 c) 7 d) 98 e) 77. Se três empds mis sete coxinhs custrm R$,78 e dus empds mis oito coxinhs custrm R$ 0,, o vlor de um empd mis três coxinhs será: ) R$ 8,60 b) R$ 7,80 c) R$ 0,0 d) R$ 5,0 e) R$,00 Como z =. xy, temos: x + y z = x xy + y = ( ) = = x y x y, pois x > y. Como x = 97 e y = 907, temos: A prtir do enuncido, podemos montr o seguinte sistem: E + 7C =,78 E + 8C = 0, Somndo s dus equções, temos: 5E + 5C = Dividindo mbos os membros por 5, concluímos que: = = 58 Alterntiv B E + C = 8,60 Alterntiv A CPV ESPMjul0

2 ESPM 0/07/0 CPV especilizdo n ESPM. Um prede retngulr pode ser totlmente revestid com ldrilhos retngulres de 0 cm por 0 cm ou com ldrilhos qudrdos de 50 cm de ldo, inteiros, sem que hj espço ou superposição entre eles. A menor áre que ess prede pode ter é igul : ),5 m b),5 m c),0 m d),0 m e),5 m Consideremos um prede de dimensões x e y:. Durnte os 5 primeiros dis de bril, o consumo médio diário de águ num residênci esteve 0% cim d médi diári pr esse mês. Podemos firmr que o consumo médio diário dos outros dis desse mês foi: ) % bixo d médi b) 0% bixo d médi c) 5% bixo d médi d) 5% bixo d médi e) 8% bixo d médi Considerndo x o consumo médio diário de águ pr o mês de bril, temos: 0. x , x 5. (i). x = 0. x x y A prtir do enuncido, podemos concluir que x será multiplo de 0 cm e 50 cm e que y será múltiplo de 0 cm e 50 cm. Totl de águ pr os 0 dis, seguindo médi 0% de gsto cim d médis nos 5 primeiros dis Redução no gsto relizdo nos outros 5 dis pr mnter médi Totl de consumo do mês. Como queremos clculr menor áre que prede pode ter, x deve ser o MMC entre 0 e 50 e y, o MMC entre 0 e 50. Logo: Þ 5. 0,. x = 5. i. x 0, = 5. i i = 0,08 = 8% x = 50 cm =,5 m y = 00 cm =,0 m Alterntiv E A menor áre, portnto, será,5.,0 =,0 m. Alterntiv C CPV ESPMjul0

3 CPV especilizdo n ESPM ESPM 0/07/0 5. Um número nturl N é formdo por lgrismos cuj som é igul 9. A diferenç entre esse número e o número que se obtém invertendo-se ordem dos seus lgrismos é igul 7. A quntidde de divisores nturis de N é: ) b) c) 8 d) 6 e) Considerndo N = b, temos: + b = b (0b + ) = 7 + b = 9 + b = 9 = 6 Þ Þ 9( b) = 7 b = b = 6. Sejm x e y números nturis e F(x,y) um função tl que y se x = 0 F(x,y) = x se y = 0 F(x, y ) se x > 0 e y > 0 O vlor de F(5,70) é: ) b) 8 c) 5 d) 6 e) A prtir d lei d função dd, temos: F(5,70) = F(5,69) = F(50,68) =... = F(,9) = F(0,8) = 8 Alterntiv B Anlisndo quntidde de divisores nturis de N: N = 6 =. 7 Sendo ssim, ( + ). ( + ) = 6 divisores nturis. Alterntiv D ESPMJUL0 CPV

4 ESPM 0/07/0 CPV especilizdo n ESPM 7. Todo número nturl pode ser escrito de form únic utilizndo-se um bse ftoril, como, por exemplo, 7 =.! +.! + +.! = (,, ) ft. Genericmente, podemos representr N = n. n! + n. (n )! + n. (n )! ! = ( n, n, n,..., ) ft, em que i Î {0,,,..., i}. Dess form, o número (,,0,) ft equivle, n bse 0, o número: ) 8 b) 5 c) 79 d) 65 e) 7 8. Sejm f e g funções reis tis que f(x + ) = x + e g(x + ) = x pr todo x Î. Podemos firmr que função fog(x) é igul : ) x b) x + c) x + d) x e) x f(x + ) = x + = (x + ) + Þ f(x) = x + g(x + ) = x = (x + ) Þ g(x) = x Assim, fog(x) = f(g(x)) = g(x) + = (x ) + Þ fog(x) = x Alterntiv D O número (,, 0, ) ft equivle :.! +.! + 0.! +.! = = 79 Alterntiv C CPV ESPMjul0

5 CPV especilizdo n ESPM ESPM 0/07/ Sej A o conjunto de todos os vlores de k pr os quis equção, em x, log x (5 x) = k dmite um riz inteir. O número de elementos de A é igul : ) 0 b) c) d) e) Verificndo s condições de existênci do logritmo, temos: 5 x > 0 log x (5 x) CE. x > 0 x x < 5 x CE. x > CE. < < 5 ex x Considerndo solução d equção log x (5 x) = k é um número inteiro e não há vlores inteiros no intervlo obtido pel condição de existênci, o número de elementos de A é 0. Alterntiv A 0. Se log 5 = e log 0 = b, o vlor de log 0 é: ) + b b b) b + b c) + + d) b + + b e) + + b b Ds informções do enuncido, temos: log 5 = Þ 5 = (I) log 0 = b (II) Substituindo (I) em (II), temos: log 0 5 = b Þ log 0 5 = b Þ log 0 5 = b Como 5 =. 0, temos: log 0 + log 0 0 log 0 = b log 0 = log 0 + b log 0 0 log 0 = b + b Alterntiv B ESPMJUL0 CPV

6 6 ESPM 0/07/0 CPV especilizdo n ESPM. Sej S = (,,,..., n,...) sequênci definid por = 5 e n + = n pr n. O produto dos infinitos termos dess sequênci é igul : ) b) 0 c) 0 d) 5 e) 5 Como n + = n, temos:. As medids dos ldos de um triângulo retângulo formm um PA. Se x é medid do menor ângulo interno desse triângulo, o vlor de tg x é: ) 0,6 b) 0,5 c) 0,8 d) 0,5 e) 0,75 Representndo P.A. de termos por r,, + r e nomendo o menor ângulo de x, temos: S = { 5, 5, 8 5, } Assim, o produto dos elementos de S é: P = r + r Þ Þ P = O expoente é um som de PG infinit de primeiro termo e rzão, ou sej, = 8 6 = +... Portnto, P = = 5 = 5 Alterntiv E x Pelo Teorem de Pitágors, temos: ( + r) = ( r) + Þ = r tg x = - r r Þ tg x = 075 r =, Alterntiv E CPV ESPMjul0

7 CPV especilizdo n ESPM ESPM 0/07/0 7. Os dis x de mrço e x de gosto do mesmo no cem no mesmo di d semn. O vlor de x é: ) 8 b) c) d) 0 e) 7 Dd tbel: Mês Mrço Abril Mio Junho Julho Dis 0 0 De x de mrço x de gosto, pss-se o seguinte número de dis: ( x) x = 5 + x Sbe-se que esse vlor deve ser um múltiplo de 7 (porque os dis cem no mesmo di d semn) e que x 0 (porque x deve ser um di de gosto, que tem dis). Portnto, o único vlor de x que stisfz às restrições é x =. Alterntiv C. A figur bixo mostr um retângulo de ldos 7 cm e 8 cm no qul estão contidos os qudrdos A, B e C. A medid x pode vrir entre,5 cm e 7 cm, fzendo com que os ldos dos três qudrdos se lterem. Dentro desse intervlo, o mior vlor que áre do polígono P pode ter é igul : ) 8 cm b) 5 cm c) 7 cm d) 9 cm e) 6 cm A áre A P do polígono P pode ser clculd subtrindo-se s áres dos qudrdos A, B e C do retângulo: A P = 56 (8 x) x (7 x) A P = x + 0x 57 A áre máxim ocorre no vértice d prábol, portnto: A Pmáx = = A Pmáx = 8 cm ( 0) ( ) ( 57) ( ) Alterntiv A ESPMJUL0 CPV

8 8 ESPM 0/07/0 CPV especilizdo n ESPM 5. Ddo, no plno crtesino, o triângulo de vértices A(0 ; 0), B( ; ) e C( ; 5), equção d ret suporte d ltur reltiv o vértice A será: ) y = x b) y = x c) y = x d) y = x e) y = 5x Coeficiente d ret suporte que pss pelos pontos B e C: 6. Pr efeitos práticos, relção entre s grndezs x e y que, teoricmente, seri dd por y = + x e cujo gráfico crtesino se vê bixo, em linh trcejd, foi substituíd pel relção liner representd pel ret que pss por A e B. Dess form, diferenç dy, que se obtém qundo x = 6, vle: ),5 b),0 c),5 d),0 e),5 m BC = y C y B = xc xb 5 ( ) = N linh trcejd, temos: (, ) B H 5 C (, 5) x = 0 Þ y = + 0 x = Þ y = + = Þ A = (0; ) = 5 Þ B = (; 5) A (0, 0) x = 6 Þ Y = + 6 = 0 Þ C = (6; 0) N ret AB (y = x + b), temos: Como BC ^ AH, temos: m BC. m AH = Þ m AH = Portnto: y ya = m AH (x x A ) y 0 = (x 0) 5= + b = = 0+ b b = y= x+ C D y = x Alterntiv B Pr x = 6 Þ y = 6 + = 7 Þ D = (6; 7) Portnto, dy = y C y D = 0 7 = Alterntiv D CPV ESPMjul0

9 CPV especilizdo n ESPM ESPM 0/07/ Sendo A = b um mtriz qudrd de ordem, som c d de todos os elementos d mtriz M = A. A t é dd por: ) + b + c + d b) ( + b + c + d) c) ( + b) + (c + d) d) ( + d) + (b + c) e) ( + c) + (b + d) b A c d ea c = t = b d Þ 8. N figur bixo, sbe-se que os ângulos EÂD e DÊA são iguis. A medid do segmento CE é igul : ),8 b), c),0 d),5 e), M b = c d b c b c bd d = + + c + bd c + d Temos figur: C E Som de todos os elementos de M: x x + b + c + bd + c + bd + c + bd + c + d = + c + c + b + bd + d = x D x ( + c) + (b + d) Alterntiv E B F A No ΔABC: tg x tg x = = tg x tg x + 6tg x = 0 Þ tg x= ou tg x= ( não serve) No ΔAFE: tg x = AF EF CE = = Þ CE = 5 =,5 Alterntiv D ESPMJUL0 CPV

10 0 ESPM 0/07/0 CPV especilizdo n ESPM 9. N figur pln bixo, ABCD é um qudrdo de áre 0 cm. Os segmentos CE e CF medem cm cd. Ess figur deverá ser dobrd ns linhs trcejds, fzendo com que os pontos E e F coincidm com um ponto P do espço. A distânci desse ponto P o ponto A é igul : ) 6 cm b) 5 cm c) cm d) 5 cm e) 6 cm 0. No di o de bril, Pulo fez um plicção finnceir, com cpitlizção mensl, no vlor de R$.000,00. No di o de mio, depositou outros R$.000,00 n mesm plicção. No di o de junho, ele resgtou tod plicção e, com mis R$ 690,00, comprou tão sonhd TV digitl que custv R$.000,00. A tx mensl de juros dess plicção er de: ) 8% b) 6% c) 0% d) 9% e) 7% Sendo i tx mensl de juros, temos: 000 ( + i) ( + i) = 000 Ao fzermos coincidir os pontos E e F num ponto P, temos que AP é digonl de um prlelepipedo de bse ABCD e ltur CP. E = F = P 000( + i) + 000( + i) 0 = 0 Resolvendo equção do o gru, temos: + i =, (não convém) ou + i =, Þ i = 0, = 0% Alterntiv C C 0 B D 0 A Portnto AP = ( 0) + ( 0) + ( ) = 6 = 6 Alterntiv A COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA A Prov de Mtemátic do Processo Seletivo d ESPM o semestre de 0 presentou, como de costume, questões conceituis, bem elbords e um competente distribuição de ssuntos. Embor tenh presentdo um nível de dificuldde ind superior o idel esperdo pelo cndidto d ESPM, Bnc Exmindor tem mostrdo evolução contínu nesse quesito. Estmos certo de que o índice de discriminção dest prov se mostrrá melhor comprtivmente semestres nteriores. CPV ESPMjul0