MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON"

Transcrição

1 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON

2 MATRIZES

3 Definição e Notção m m n.. 2n. mn Chmmos de Mtriz todo conjunto de vlores, dispostos em linhs e coluns. Representmos mtrizes com letrs miúsculs do nosso lfbeto.

4 Mtrizes Notção Dd um mtriz A denotremos cd elemento d mtriz A por ij onde i é o número d linh e j é o número d colun desse elemento. A = Observção: As linhs são numerds de cim pr bixo e s coluns d esquerd pr direit.

5 Mtriz Linh A É tod mtriz que possui pens um linh.

6 Mtriz Colun B É tod mtriz que possui pens um colun.

7 Mtrizes Tipos de Mtrizes Mtriz Opost ( - A) É mtriz obtid invertendo-se o sinl de cd elemento de um mtriz dd.

8 Mtriz Qudrd C É tod mtriz onde o número de linhs é igul o número de coluns.

9 Mtriz Digonl D É tod mtriz qudrd onde os termos que não estão n digonl principl são nulos.

10 Mtriz Identidde D É tod mtriz qudrd onde os termos que estão n digonl principl são iguis 1 e os outros são nulos.

11 Mtriz Trnspost É tod mtriz onde os termos que estão n posição de linh são trnspostos pr posição de colun.

12 Mtriz simétric Qundo A = A t dizemos que A é mtriz simétric. Exemplo: t A A

13 Mtriz ntissimétric Qundo A = - A t dizemos que A é mtriz ntissimétric. Exemplo: t A A

14 Iguldde de Mtrizes Dus mtrizes são iguis qundo todos os elementos correspondentes são iguis.

15 Adição e Subtrção de Mtrizes Pr relizrmos ests operções entre mtrizes, precismos ter mtrizes de mesm ordem e relizr s respectivs operções com os elementos correspondentes.

16 Mtrizes Operções com Mtrizes Subtrção Pr subtrirmos dus mtrizes A e B bst que els sejm do mesmo tipo. Isto é, els devem ter o mesmo número de linhs e o mesmo número de coluns. Define-se subtrção A - B = C como sendo formd pelos elementos ij - bij = c ij PROF.: LIMA

17 Multiplicção de Mtriz Por Um Número Pr relizrmos o produto de um constnte por um mtriz, bst multiplicrmos todos os elementos pel constnte dd.

18 Multiplicção de Mtrizes Pr relizrmos o produto A.B, o número de linhs de B tem que ser igul o número de coluns de A.

19 Mtrizes Multiplicção Operções com Mtrizes Dd dus mtrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chm-se produto d mtriz A pel mtriz B que se indic C = A. B mtriz m x p definid por Cij = i1. b1j + i2. b2j + i3. b3j in. bnj Observções: 1. O produto de dus mtrizes existe se e somente se o número de coluns d mtriz A for igul o número de linhs d mtriz B. 2. Se s mtrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivmente, então o produto C = A. B existe PROF.: LIMA e é um mtriz do tipo m x p.

20 Mtrizes Operções com Mtrizes Multiplicção PROF.: LIMA

21 Mtrizes Operções com Mtrizes Multiplicção (continução)

22 Mtrizes Observções O produto de dus mtrizes não é comuttivo, ms há csos em que A. B = B. A e qundo isso contece dizemos que A e B se comutm. Qundo A. B for diferente de B. A temos que: (A + B) 2 = A 2 + A. B + B. A + B 2 Qundo A e B se comutm temos (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2

23 Proprieddes de Mtrizes

24

25 Sej A um mtriz qudrd. Dizemos que A é mtriz inversível se existir um mtriz B tl que A.B = B.A = I. A. A 1 I n Clcule invers d mtriz A = Resolvendo os sistems temos mtriz invers de A.

26

27

28 MATRIZ INVERSA Nem tod mtriz qudrd tem Se existir mtriz invers de A, dizemos que mtriz A é inversível ou regulr ou não-singulr. Cso contrário, dizemos que mtriz A é singulr. Podemos plicr regr 2 do cálculo do determinnte de um mtriz (se det(a) 0, então A é irreversível). Qundo é que um mtriz A tem invers? Um mtriz A de ordem mxn (m linhs e n coluns de mesm quntidde) tem invers qundo seu determinnte é diferente de zero ou tmbém qundo seu posto é m, ou sej, qundo o posto dest mtriz coincide com quntidde de linhs d mtriz qudrd A.

29 DETERMINANTES

30 Definição Determinnte é um número rel que se ssoci um mtriz qudrd. Aplicções dos determinntes n mtemátic: Cálculo d mtriz invers; Resolução de lguns tipos de sistems de equções lineres; Cálculo d áre de um triângulo, qundo são conhecids s coordends dos vértices.

31 Determinnte de um mtriz qudrd de 2ª ordem Dd mtriz de 2ª ordem A det A Chm-se determinnte ssocido mtriz A (ou determinnte de 2ª ordem) o número rel obtido pel diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári. Então, determinnte de A A det A A Observção: Dd mtriz A de ordem 1, define-se como determinnte de A o seu próprio elemento, isto é:

32 Exemplo: x2 det A det A 10

33 Neste cso utilizmos um processo prático chmdo Regr de Srrus. PARA MATRIZES 3 X 3. Ex: 1) = 28 Pr mtrizes com ordem miores do 3 indic-se o Teorem de Lplce

34 MENOR COMPLEMENTAR DE UMA MATRIZ Menor Complementr Chmmos de menor complementr reltivo o elemento ij de um mtriz M, qudrd e de ordem n > 1, o determinnte MC ij, de ordem n 1, ssocido à mtriz obtid de M qundo suprimos linh e colun que pssm por ij.

35 MC 13 = MC = MC 21 = = = RESOLVER MC 11, MC 12, MC 13,...MC 33

36 COFATORES Chmmos de coftor (ou complemento lgébrico) reltivo o elemento qudrd de ordem n o número A ij, tl que A ij ( 1) i j MC ij. ij de um mtriz

37 são: Exemplo 1: Dd M= , os coftores reltivos todos os elementos d mtriz M A A A A ( 1) 22 ( 1) MC ( 1) 21 ( 1) MC ( 1) 12 ( 1) MC ( 1) 11 ( 1) MC 22 ; ; ;. Assim, podemos tmbém determinr mtriz dos coftores (que será denotd por A ) como sendo: A A A A A

38 Exemplo 2: Sendo M= , vmos clculr os coftores 22, A 23 e A 31 A : A A A ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ; ;.

39 DETERMINAR A MATRIZ DE COFATORES DE A: RESOLVER!

40 DETERMINANTES DE MATRIZES QUADRADAS COM ORDEM SUPERIOR A 3 TEOREMA DE LAPLACE Definição: O determinnte de um mtriz qudrd M m 2 pode ser obtido pel som dos produtos dos elementos de um fil qulquer (linh ou colun) d mtriz M pelos respectivos coftores. Assim, fixndo j N, tl que1 j m, temos: ij m x m det M m i1 ij A ij m onde, i1 coftor ij. é o somtório de todos os termos de índice i, vrindo de 1 té m, m N e A ij é o

41 D (-1) ( 2)(-1) 0 (-1) A 11 (coftor11) CoftorA 21 CoftorA 31 D D 1 2(6-10) 2(18 20) 2(-4) 2(38) D

42 D ( 1) D MC 23 OBS.: Então podemos rescrever D 2 como: D 2 2 D (I) Agor precismos clculr o vlor de D pr substituirmos em (I) Pr isso plicmos Lplce n 3 linh (mis conveniente, pois um dos elementos é nulo), e obtemos: D 1( 1) MC 3 ( 1) MC D 1( 3 1) 3 ( 2 9 ) 1( 2 ) 3 ( 11 ) 2 33 D 35 Finlmente, substituindo esse vlor em (I), obtemos: D D D -2(-35) D 2 70

43

44 Inversão de mtrizes com o uxílio d teori dos determinntes

45 Determine, se existir, invers de cd um ds mtrizes: 0 1 ) A= 3 2 b) B=

46 SISTEMAS LINEARES

47 Crcterizção Um sistem de m equções n vriáveis é chmdo sistem de equções lineres. Ele tem form genéric seguinte: x x... x b n n 1 x x... x b n n 2... x x... x b m1 1 m2 2 mn n m

48 Solução Um conjunto de n vlores (x 1,..., x n ) verificndo s equções do sistem é um solução do sistem. Um sistem cujo os vlores dos coeficientes b n são iguis 0 é um sistem homogêneo: x x... x n x x... x n... x x... x 0 m1 1 m2 2 mn n n n

49

50 REGRA DE CRAMER Teorem: Se Ax=b é um sistem de n equções lineres com n incógnits tl que det(a) 0, então o sistem tem um únic solução. Est solução é: x 1 det( A1 ) det( A2 ), x2 det( A) det( A),..., x n det( An ) det( A), onde A j é mtriz obtid subtrindo s entrds d j-ésim colun de A pels entrds do vetor colun b. Observção: Qundo det(a) 0 onde A é mtriz dos coeficientes de um sistem liner, o sistem é chmdo sistem de Crmer.

51

52

53 Resolv os sistems lineres bixo usndo Regr de Crmer.

54 01 EXERCÍCIOS 8) Utilizndo s proprieddes dos determinntes, clcule os determinntes justificndo os vlores obtidos: ) b) Sendo A= ij 3x2, onde ij =2i-j, e B= ij 3x2 -) A B b-) B A c-) A B t b, com ij b = i 2 j, clcule:

55 Sendo A= , clcule A 4A 5I2.

56

DETERMINANTES. Notação: det A = a 11. Exemplos: 1) Sendo A =, então det A = DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 2

DETERMINANTES. Notação: det A = a 11. Exemplos: 1) Sendo A =, então det A = DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 2 DETERMINANTES A tod mtriz qudrd ssoci-se um número, denomindo determinnte d mtriz, que é obtido por meio de operções entre os elementos d mtriz. Su plicção pode ser verificd, por exemplo, no cálculo d

Leia mais

Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Luiz Fernando Satolo

Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Luiz Fernando Satolo Mtemátic pr Economists LES Auls 5 e Mtrizes Ching Cpítulos e 5 Luiz Fernndo Stolo Mtrizes Usos em economi ) Resolução sistems lineres ) Econometri ) Mtriz Insumo Produto Álgebr Mtricil Conceitos Básicos

Leia mais

Matrizes. Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Márcia A.F. Dias de Moraes. Matrizes Conceitos Básicos

Matrizes. Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Márcia A.F. Dias de Moraes. Matrizes Conceitos Básicos Mtemátic pr Economists LES uls e Mtrizes Ching Cpítulos e Usos em economi Mtrizes ) Resolução sistems lineres ) Econometri ) Mtriz Insumo Produto Márci.F. Dis de Mores Álgebr Mtricil Conceitos Básicos

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas Vetores e Álgebra Linear Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinantes

Universidade Federal de Pelotas Vetores e Álgebra Linear Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinantes Universidde Federl de Pelots Vetores e Álgebr Liner Prof : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinntes Determinntes Definição: Determinnte é um número ssocido um mtriz qudrd.. Determinnte de primeir ordem Dd

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES DETERMINANTES

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES DETERMINANTES Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl - APES DETERMINANTES Prof Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez Mtemátic Básic pr iêncis

Leia mais

6. ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES

6. ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES MATRIZES. ÁLGEBRA LINEAR Definição Digonl Principl Mtriz Unidde Mtriz Trnspost Iguldde entre Mtrizes Mtriz Nul Um mtriz m n um tbel de números reis dispostos em m linhs e n coluns. Sempre que m for igul

Leia mais

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério d Educção Universidde Federl do Rio Grnde Universidde Abert do Brsil Administrção Bchreldo Mtemátic pr Ciêncis Sociis Aplicds I Rodrigo Brbos Sores . Mtrizes:.. Introdução:

Leia mais

Conceito Representação Propriedades Desenvolvimento de Laplace Matriz Adjunta e Matriz Inversa

Conceito Representação Propriedades Desenvolvimento de Laplace Matriz Adjunta e Matriz Inversa Algebr Liner Boldrini/Cost/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Clculr determinntes pelo desenvolvimento de Lplce Inverter Mtrizes Conceito Representção Proprieddes Desenvolvimento de Lplce Mtriz Adjunt e Mtriz

Leia mais

Exercícios. setor Aula 25

Exercícios. setor Aula 25 setor 08 080409 080409-SP Aul 5 PROGRESSÃO ARITMÉTICA. Determinr o número de múltiplos de 7 que estão compreendidos entre 00 e 000. r 7 00 7 PA 05 30 4 n 994 00 98 98 + 7 05 n + (n ) r 994 05 + (n ) 7

Leia mais

Definição: uma permutação do conjunto de inteiros {1, 2,..., n} é um rearranjo destes inteiros em alguma ordem sem omissões ou repetições.

Definição: uma permutação do conjunto de inteiros {1, 2,..., n} é um rearranjo destes inteiros em alguma ordem sem omissões ou repetições. DETERMINANTES INTRODUÇÃO Funções determinnte, são funções reis de um vriável mtricil, o que signific que ssocim um número rel (X) um mtriz qudrd X Sus plicções envolvem crcterizção de mtriz invertível,

Leia mais

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes E. E. E. M. ÁREA DE CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROFESSORA ALEXANDRA MARIA º TRIMESTRE/ SÉRIE º ANO NOME: Nº TURMA: Mteril envolvendo estudo de mtrizes e determinntes INSTRUÇÕES:. Este

Leia mais

MATEMÁTICA PARA REFLETIR! EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES OPERAÇÕES COM MATRIZES PARA REFLETIR!...437

MATEMÁTICA PARA REFLETIR! EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES OPERAÇÕES COM MATRIZES PARA REFLETIR!...437 ÍNICE MATEMÁTICA... PARA REFLETIR!... EXERCÍCIOS... EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES... OPERAÇÕES COM MATRIZES... PARA REFLETIR!...7 EXERCÍCIOS E APLICAÇÃO...8 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES...8...9 PARA REFLETIR!...

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES MATRIZES

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES MATRIZES Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl - CAPES MATRIZES Prof. Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis

Leia mais

UNITAU APOSTILA DETERMINANTES PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único

UNITAU APOSTILA DETERMINANTES PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA DETERMINANTES PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: Bibliogrfi: Curso de Mtemátic Volume Único Autores: Binchini&Pccol Ed. Modern Mtemátic

Leia mais

1 ÁLGEBRA MATRICIAL 1.1 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES. Teorema. Sejam A uma matriz k x m e B uma matriz m x n. Então (AB) T = B T A T

1 ÁLGEBRA MATRICIAL 1.1 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES. Teorema. Sejam A uma matriz k x m e B uma matriz m x n. Então (AB) T = B T A T ÁLGEBRA MATRICIAL Teorem Sejm A um mtriz k x m e B um mtriz m x n Então (AB) T = B T A T Demonstrção Pr isso precismos d definição de mtriz trnspost Definição Mtriz trnspost (AB) T = (AB) ji i j = A jh

Leia mais

Estatística e Matrizes

Estatística e Matrizes Esttístic e Mtrizes Introdução à Análise Multivrid Análise multivrid: De um modo gerl, refere-se todos os métodos esttísticos que simultnemente nlism múltipls medids sobre cd indivíduo ou objeto sob investigção.

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS

ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS Equção Liner * Sej,,,...,, (números reis) e n (n ) 2 3 n x, x, x,..., x (números reis) 2 3 n Chm-se equção Liner sobre

Leia mais

Definição 1 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação. det

Definição 1 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação. det 5 DETERMINANTES 5 Definição e Proprieddes Definição O erminnte de um mtriz qudrd A de ordem é por definição plicção ( ) : M IR IR A Eemplo : 5 A ( A ) ( ) ( ) 5 7 5 Definição O erminnte de um mtriz qudrd

Leia mais

MATRIZES E DETERMINANTES

MATRIZES E DETERMINANTES Professor: Cssio Kiechloski Mello Disciplin: Mtemátic luno: N Turm: Dt: MTRIZES E DETERMINNTES MTRIZES: Em quse todos os jornis e revists é possível encontrr tbels informtivs. N Mtemátic chmremos ests

Leia mais

Então, det(a) = 1x3 1x2 = 3 2 = 1. Determinante de uma matriz 3 x 3 Regra de Sarrus (Pierre Frédéric Sarrus) Definimos det(a) =

Então, det(a) = 1x3 1x2 = 3 2 = 1. Determinante de uma matriz 3 x 3 Regra de Sarrus (Pierre Frédéric Sarrus) Definimos det(a) = Determinnte de um mtriz Sej um mtriz qudrd de ordem. Definimos det - E.: Sej mtriz Então, det Determinnte de um mtriz Regr de Srrus Pierre Frédéric Srrus Sej um mtriz qudrd de ordem. Definimos det Regr

Leia mais

Linhas 1 2 Colunas 1 2. (*) Linhas 1 2 (**) Colunas 2 1.

Linhas 1 2 Colunas 1 2. (*) Linhas 1 2 (**) Colunas 2 1. Resumos ds uls teórics -------------------- Cp 5 -------------------------------------- Cpítulo 5 Determinntes Definição Consideremos mtriz do tipo x A Formemos todos os produtos de pres de elementos de

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT - ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA LISTA DE EXERCÍCIOS ) Sejm A, B e C mtries inversíveis de mesm ordem, encontre epressão d mtri X,

Leia mais

Prof. Weber Campos Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

Prof. Weber Campos Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor. AEP FISCAL Rciocínio Lógico - MATRIZES E DETERMINANTES - SISTEMAS LINEARES Prof. Weer Cmpos weercmpos@gmil.com Copyri'ght. Curso Agor eu Psso - Todos os direitos reservdos o utor. Rciocínio Lógico EXERCÍCIOS

Leia mais

étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Prof. Erivelton Gerldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Determinantes. 1 (Unifor-CE) Sejam os determinantes A 5. 2 (UFRJ) Dada a matriz A 5 (a ij

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Determinantes. 1 (Unifor-CE) Sejam os determinantes A 5. 2 (UFRJ) Dada a matriz A 5 (a ij Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Determinntes p. (Unifor-CE) Sejm os determinntes A, B e C. Nests condições, é verdde que AB C é igul : ) c) e) b) d) A?? A B?? B C?? C AB C ()? AB C, se i,

Leia mais

TÓPICOS. Matriz. Matriz nula. Matriz quadrada: Diagonais principal e secundária. Traço. Matriz diagonal. Matriz escalar. Matriz identidade.

TÓPICOS. Matriz. Matriz nula. Matriz quadrada: Diagonais principal e secundária. Traço. Matriz diagonal. Matriz escalar. Matriz identidade. Note bem: leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d bibliogrfi principl d cdeir TÓPICOS Mtriz. AULA Chm-se tenção pr importânci do trblho pessol relizr pelo luno resolvendo os problems

Leia mais

Sebenta de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Sebenta de Álgebra Linear e Geometria Analítica Sebent de Álgebr Liner e Geometri Anlític Pulo Jorge Afonso Alves Cpítulo 1 Mtrizes Objectivo Neste cpítulo vmos introduzir um novo conceito, o de mtriz; os diferentes tipos de mtrizes existentes; estudr

Leia mais

Recordando produtos notáveis

Recordando produtos notáveis Recordndo produtos notáveis A UUL AL A Desde ul 3 estmos usndo letrs pr representr números desconhecidos. Hoje você sbe, por exemplo, que solução d equção 2x + 3 = 19 é x = 8, ou sej, o número 8 é o único

Leia mais

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c.

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c. EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 =

Leia mais

Rresumos das aulas teóricas Cap Capítulo 4. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Rresumos das aulas teóricas Cap Capítulo 4. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Rresumos ds uls teórics ------------------ Cp ------------------------------ Cpítulo. Mtrizes e Sistems de Equções ineres Sistems de Equções ineres Definições Um sistem de m equções lineres n incógnits,

Leia mais

Índice. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Resumo Teórico...1 Exercícios...5 Dicas...6 Resoluções...7

Índice. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Resumo Teórico...1 Exercícios...5 Dicas...6 Resoluções...7 Índice Mtrizes, Determinntes e Sistems Lineres Resumo Teórico...1 Exercícios...5 Dics...6 Resoluções...7 Mtrizes, Determinntes e Sistems Lineres Resumo Teórico Mtrizes Representção A=( ij )x3pode ser representd

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática + = B =.. matrizes de M )

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática + = B =.. matrizes de M ) Se ( ij ) é um mtri, definid pel lei Universidde Federl de Viços Centro de Ciêncis Ets e ecnológics Deprtmento de Mtemátic LIS DE EXERCÍCIOS M 7 Prof Gem/ Prof Hugo/ Prof Mrgreth i j, se i j ij, clcule

Leia mais

TÓPICOS. Determinantes de 1ª e 2ª ordem. Submatriz. Menor. Cofactor. Expansão em cofactores. Determinante de ordem n. Propriedades dos determinantes.

TÓPICOS. Determinantes de 1ª e 2ª ordem. Submatriz. Menor. Cofactor. Expansão em cofactores. Determinante de ordem n. Propriedades dos determinantes. Note bem: leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d bibliogrfi principl d cdeir Chm-se tenção pr importânci do trblho pessol relizr pelo luno resolvendo os problems presentdos n bibliogrfi,

Leia mais

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0 Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,

Leia mais

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b...

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b... Cálculo Numérico Módulo V Resolução Numéric de Sistems Lineres Prte I Profs.: Bruno Correi d Nóbreg Queiroz José Eustáquio Rngel de Queiroz Mrcelo Alves de Brros Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes

Leia mais

CONJUNTOS NUMÉRICOS NOTAÇÕES BÁSICAS. : Variáveis e parâmetros. : Conjuntos. : Pertence. : Não pertence. : Está contido. : Não está contido.

CONJUNTOS NUMÉRICOS NOTAÇÕES BÁSICAS. : Variáveis e parâmetros. : Conjuntos. : Pertence. : Não pertence. : Está contido. : Não está contido. CONJUNTOS NUMÉRICOS NOTAÇÕES BÁSICAS,,... A, B,... ~ > < : Vriáveis e prâmetros : Conjuntos : Pertence : Não pertence : Está contido : Não está contido : Contém : Não contém : Existe : Não existe : Existe

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação

Matemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Equções Polinomiis p. 86 (PUC-SP) No universo C, equção 0 0 0 dmite: ) três rízes rcionis c) dus rízes irrcionis e) um únic riz positiv b) dus rízes não reis

Leia mais

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude

Leia mais

20/07/15. Matemática Aplicada à Economia LES 201

20/07/15. Matemática Aplicada à Economia LES 201 Mtemátic Aplicd à Economi LES 201 Auls 3 e 4 17 e 18/08/2015 Análise de Equilíbrio Sistems Lineres e Álgebr Mtricil Márci A.F. Dis de Mores Análise de Equilíbrio em Economi (Ching, cp 3) O significdo do

Leia mais

MATAMÁTICA MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS SETOR I

MATAMÁTICA MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS SETOR I MATAMÁTICA MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS SETOR I ENEM211 Módulo Equção do 1º gru e problems do 1º gru Equção do 1º gru b + b =, com V = 2. Problems do 1º gru I. Ler o enuncido e identificr incógnit. II.

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais MTDI I - 2007/08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 63 Introdução o estudo de equções diferenciis Existe um grnde vriedde de situções ns quis se desej determinr um quntidde vriável prtir de um

Leia mais

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos

Leia mais

1. Conceito de logaritmo

1. Conceito de logaritmo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Logritmos Prof.: Rogério

Leia mais

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução:

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução: IME MATEMÁTICA A mtemátic é o lfbeto com que Deus escreveu o mundo Glileu Glilei Questão Clcule o número nturl n que torn o determinnte bixo igul 5. log (n ) log (n + ) log (n ) log (n ) Adicionndo s três

Leia mais

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5, - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor

Leia mais

Lista 5: Geometria Analítica

Lista 5: Geometria Analítica List 5: Geometri Anlític A. Rmos 8 de junho de 017 Resumo List em constnte tulizção. 1. Equção d elipse;. Equção d hiperból. 3. Estudo unificdo ds cônics não degenerds. Elipse Ddo dois pontos F 1 e F no

Leia mais

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são:

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são: MATEMÁTIA Sej M um mtriz rel x. Defin um função f n qul cd elemento d mtriz se desloc pr posição b seguinte no sentido horário, ou sej, se M =, c d c implic que f (M) =. Encontre tods s mtrizes d b simétrics

Leia mais

TÓPICOS. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Sistemas homogéneos.

TÓPICOS. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Sistemas homogéneos. Note bem: leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d bibliogrfi principl d cdeir ÓPICOS Equção liner. AUA 4 Chm-se tenção pr importânci do trblho pessol relizr pelo luno resolvendo

Leia mais

Progressões Aritméticas

Progressões Aritméticas Segund Etp Progressões Aritmétics Definição São sequêncis numérics onde cd elemento, prtir do segundo, é obtido trvés d som de seu ntecessor com um constnte (rzão).,,,,,, 1 3 4 n 1 n 1 1º termo º termo

Leia mais

NOTA DE AULA. Tópicos em Matemática

NOTA DE AULA. Tópicos em Matemática Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curitib Prof. Lucine Deprtmento Acdêmico de Mtemátic NOTA DE AULA Tópicos em Mtemátic Fonte: http://eclculo.if.usp.br/ 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: 1.1 Números Nturis

Leia mais

Módulo e Equação Modular (valor absoluto)?

Módulo e Equação Modular (valor absoluto)? Mtemátic Básic Unidde 6 Função Modulr RANILDO LOES Slides disponíveis no nosso SITE: https://ueedgrtito.wordpress.com Módulo e Equção Modulr (vlor bsoluto)? - - - - R uniddes uniddes Definição, se, se

Leia mais

Análise Combinatória

Análise Combinatória Ftoril de um número: n!n.(n-1).(n-)...3..1 Análise Combintóri Definições especiis: 0!1 1!1 100! 101! 1) Clcule o vlor d expressão. 99! 100! 101! 100.99! 101.100.99! 100 101.100 100 10100 1000 99! 99! )

Leia mais

MESTRADO EM CONTROLADORIA E CONTABILIDADE Turma de Belo Horizonte MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À CONTABILIDADE ÁLGEBRA MATRICIAL

MESTRADO EM CONTROLADORIA E CONTABILIDADE Turma de Belo Horizonte MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À CONTABILIDADE ÁLGEBRA MATRICIAL MESTRADO EM CONTROLADORIA E CONTABILIDADE Turm de Belo Horizonte MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À CONTABILIDADE Professor: L João Corrr Alun: Náli de Arújo Sntos ÁLGEBRA MATRICIAL Ojetivos do Aprendizdo

Leia mais

Tópicos Especiais de Álgebra Linear Tema # 2. Resolução de problema que conduzem a s.e.l. com única solução. Introdução à Resolução de Problemas

Tópicos Especiais de Álgebra Linear Tema # 2. Resolução de problema que conduzem a s.e.l. com única solução. Introdução à Resolução de Problemas Tópicos Especiis de Álgebr Liner Tem # 2. Resolução de problem que conduzem s.e.l. com únic solução Assunto: Resolução de problems que conduzem Sistem de Equções Lineres utilizndo invers d mtriz. Introdução

Leia mais

Vamos supor um quadrado com este, divididos em 9 quadradinhos iguais.

Vamos supor um quadrado com este, divididos em 9 quadradinhos iguais. Rdicição O que é, fil, riz qudrd de um úmero? Vmos supor um qudrdo com este, divididos em 9 qudrdihos iguis. Pegdo cd qudrdiho como uidde de áre, podemos dizer que áre do qudrdo é 9 qudrdihos, ou sej,

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o : Áre entre Curvs, Comprimento de Arco e Trblho Objetivos d Aul Clculr áre entre curvs; Clculr o comprimento de rco; Denir Trblho. 1 Áre entre

Leia mais

Resolução: a) o menor valor possível para a razão r ; b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a.

Resolução: a) o menor valor possível para a razão r ; b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a. O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de um Progressão Aritmétic (PA) de números inteiros, de rzão r, formm, nest ordem, um Progressão Geométric (PG), de rzão q, com qer ~ (nturl diferente de

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje

Leia mais

Os números racionais. Capítulo 3

Os números racionais. Capítulo 3 Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente,

Leia mais

Matemática /09 - Integral de nido 68. Integral de nido

Matemática /09 - Integral de nido 68. Integral de nido Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 68 Introdução Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I = [; b] e tl que f () ; 8 [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos

Leia mais

MATRIZES. Neste caso, temos uma matriz de ordem 3x4 (lê-se três por quatro ), ou seja, 3 linhas e 4

MATRIZES. Neste caso, temos uma matriz de ordem 3x4 (lê-se três por quatro ), ou seja, 3 linhas e 4 A eori ds mrizes em cd vez mis plicções em áres como Economi, Engenhris, Memáic, Físic, enre ours. Vejmos um exemplo de mriz: A bel seguir represen s nos de rês lunos do primeiro semesre de um curso: Físic

Leia mais

Matemática C Extensivo V. 6

Matemática C Extensivo V. 6 Mtemátic C Etesivo V 6 Eercícios ) D ) D ) C O vlor uitário do isumo é represetdo por y Portto pelo produto ds mtrizes A e B temos o seguite sistem: 5 5 9 y 5 5y 5y 9 5y 5 Portto: y 4 y 4 As médis uis

Leia mais

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 7 _ Função Modular, Exponencial e Logarítmica Professor Luciano Nóbrega

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 7 _ Função Modular, Exponencial e Logarítmica Professor Luciano Nóbrega 1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL Aul 7 _ Função Modulr, Eponencil e Logrítmic Professor Lucino Nóbreg FUNÇÃO MODULAR 2 Módulo (ou vlor bsolutode um número) O módulo (ou vlor bsoluto) de um número rel, que

Leia mais

Aula 10 Estabilidade

Aula 10 Estabilidade Aul 0 Estbilidde input S output O sistem é estável se respost à entrd impulso 0 qundo t Ou sej, se síd do sistem stisfz lim y(t) t = 0 qundo entrd r(t) = impulso input S output Equivlentemente, pode ser

Leia mais

Aula 09 Equações de Estado (parte II)

Aula 09 Equações de Estado (parte II) Aul 9 Equções de Estdo (prte II) Recpitulndo (d prte I): s equções de estdo têm form (sistems de ordem n ) = A + B u y = C + D u onde: A é um mtriz n n B é um mtriz n p C é um mtriz q n D é um mtriz q

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA III 1 DETERMINANTES

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA III 1 DETERMINANTES INTRODUÇÃO... DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM... DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM... DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM... PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES... 8 REGRA DE CHIÓ... MENOR COMPLEMENTAR... COFATOR...

Leia mais

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto

Leia mais

Aula 09 Equações de Estado (parte II)

Aula 09 Equações de Estado (parte II) Aul 9 Equções de Estdo (prte II) Recpitulndo (d prte I): s equções de estdo têm form (sistems de ordem n ) = A + B u y = C + D u onde: A é um mtriz n n B é um mtriz n p C é um mtriz q n D é um mtriz q

Leia mais

1. Prove a chamada identidade de Lagrange. u 1,u 3 u 2,u 3. u 1 u 2,u 3 u 4 = u 1,u 4 u 2,u 4. onde u 1,u 2,u 3 e u 4 são vetores em R 3.

1. Prove a chamada identidade de Lagrange. u 1,u 3 u 2,u 3. u 1 u 2,u 3 u 4 = u 1,u 4 u 2,u 4. onde u 1,u 2,u 3 e u 4 são vetores em R 3. Universidde Federl de Uberlândi Fculdde de Mtemátic Disciplin : Geometri Diferencil Assunto: Cálculo no Espço Euclidino e Curvs Diferenciáveis Prof. Sto 1 List de exercícios 1. Prove chmd identidde de

Leia mais

Função Quadrática (Função do 2º grau) Profº José Leonardo Giovannini (Zé Leo)

Função Quadrática (Função do 2º grau) Profº José Leonardo Giovannini (Zé Leo) Função Qudrátic (Função do º gru) Proº José Leonrdo Gionnini (Zé Leo) Zeros ou rízes e Equções do º Gru Chm-se zeros ou rízes d unção polinomil do º gru () = + b + c, reis tis que () =., os números DEFINIÇÃO:

Leia mais

MATEMÁTICA II - Engenharias/Itatiba DETERMINANTES. A quantidade D = ps-rq é definida como sendo o determinante da matriz quadrada.

MATEMÁTICA II - Engenharias/Itatiba DETERMINANTES. A quantidade D = ps-rq é definida como sendo o determinante da matriz quadrada. MTEMÁTI II - Engenhris/Itti o Semestre de Prof. Murício Fri - Série de Eercícios DETERMINNTES. Determinnte de ordem onsidere o sistem liner. s incógnits são e. Multilicndo rimeir eução r s or s, segund

Leia mais

Matrizes e Sistemas de equações lineares. D.I.C. Mendes 1

Matrizes e Sistemas de equações lineares. D.I.C. Mendes 1 Mtrizes e Sistems de equções lieres D.I.C. Medes s mtrizes são um ferrmet básic formulção de problems de mtemátic e de outrs áres. Podem ser usds: resolução de sistems de equções lieres; resolução de sistems

Leia mais

Módulo 02. Sistemas Lineares. [Poole 58 a 85]

Módulo 02. Sistemas Lineares. [Poole 58 a 85] Módulo Note em, leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d iliogrfi principl d cdeir Chm-se à tenção pr importânci do trlho pessol relizr pelo luno resolvendo os prolems presentdos

Leia mais

Aprender o conceito de vetor e suas propriedades como instrumento apropriado para estudar movimentos não-retilíneos;

Aprender o conceito de vetor e suas propriedades como instrumento apropriado para estudar movimentos não-retilíneos; Aul 5 Objetivos dest Aul Aprender o conceito de vetor e sus proprieddes como instrumento proprido pr estudr movimentos não-retilíneos; Entender operção de dição de vetores e multiplicção de um vetor por

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver

Leia mais

1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < <

1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < < MATEMÁTICA Assinle lterntiv verddeir: ) 6 < 7 6 < 6 b) 7 6 < 6 < 6 c) 7 6 < 6 < 6 d) 6 < 6 < 7 6 e) 6 < 7 6 < 6 Pr * {} temos: ) *, * + e + * + ) + > + + > ) Ds equções (I) e (II) result 7 6 < ( 6 )

Leia mais

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1.

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1. Revist d Mtemátic UFOP, Vol I, 2011 - X Semn d Mtemátic e II Semn d Esttístic, 2010 ISSN 2237-8103 ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX Aln Cvlcnte Felippe 1, Júlio Césr do Espírito Snto 1 Resumo: Este trblho

Leia mais

Matemática I. Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Colaboração Prof. Walter Paulette. Elaborado por. Seção 2.

Matemática I. Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Colaboração Prof. Walter Paulette. Elaborado por. Seção 2. Mtemátic I Elordo por Prof. Gerson Lchtermcher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Seção Colorção Prof. Wlter Pulette Versão 009-1 ADM 01004 Mtemátic I Prof. d Disciplin Luiz Gonzg Dmsceno, M. Sc. Seção

Leia mais

MATRIZES. Matriz é uma tabela de números formada por m linhas e n colunas. Dizemos que essa matriz tem ordem m x n (lê-se: m por n), com m, n N*

MATRIZES. Matriz é uma tabela de números formada por m linhas e n colunas. Dizemos que essa matriz tem ordem m x n (lê-se: m por n), com m, n N* MTRIZES DEFINIÇÃO: Mtriz é um tl d númros formd por m linhs n coluns. Dizmos qu ss mtriz tm ordm m n (lê-s: m por n), com m, n N* Grlmnt dispomos os lmntos d um mtriz ntr prêntss ou ntr colchts. m m m

Leia mais

Incertezas e Propagação de Incertezas. Biologia Marinha

Incertezas e Propagação de Incertezas. Biologia Marinha Incertezs e Propgção de Incertezs Cursos: Disciplin: Docente: Biologi Biologi Mrinh Físic Crl Silv Nos cálculos deve: Ser coerente ns uniddes (converter tudo pr S.I. e tender às potêncis de 10). Fzer um

Leia mais

Matemática para Economia Les 201. Aulas 28_29 Integrais Luiz Fernando Satolo

Matemática para Economia Les 201. Aulas 28_29 Integrais Luiz Fernando Satolo Mtemátic pr Economi Les 0 Auls 8_9 Integris Luiz Fernndo Stolo Integris As operções inverss n mtemátic: dição e sutrção multiplicção e divisão potencição e rdicição A operção invers d diferencição é integrção

Leia mais

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem.

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem. EFOMM 2010 1. Anlise s firmtivs bixo. I - Sej K o conjunto dos qudriláteros plnos, seus subconjuntos são: P = {x K / x possui ldos opostos prlelos}; L = {x K / x possui 4 ldos congruentes}; R = {x K /

Leia mais

Congruências de grau 2 e reciprocidade quadrática. Seja p > 2 um número primo e a,b,c Z com a não divisívelpor p. Resolver

Congruências de grau 2 e reciprocidade quadrática. Seja p > 2 um número primo e a,b,c Z com a não divisívelpor p. Resolver Polos Olímicos de Treinmento Curso de Teori dos Números - Nível 3 Crlos Gustvo Moreir Aul 9 Congruêncis de gru e recirocidde qudrátic 1 Congruêncis de Gru Sej > um número rimo e,b,c Z com não divisívelor.

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica. Espaços Vectoriais

Álgebra Linear e Geometria Analítica. Espaços Vectoriais Álgebr Liner e Geometri Anlític Espços Vectoriis O que é preciso pr ter um espço vectoril? Um conjunto não vzio V Um operção de dição definid nesse conjunto Um produto de um número rel por um elemento

Leia mais

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução (9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se

Leia mais

MATRIZES. Em uma matriz M de m linhas e n colunas podemos representar seus elementos da seguinte maneira:

MATRIZES. Em uma matriz M de m linhas e n colunas podemos representar seus elementos da seguinte maneira: MATRIZES Definiçã Chm-se mtriz d tip m x n (m IN* e n IN*) td tel M frmd pr númers reis distriuíds em m linhs e n cluns. Em um mtriz M de m linhs e n cluns pdems representr seus elements d seguinte mneir:

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm

Leia mais

(Nova) Matemática, Licenciatura / Engenharia de Produção

(Nova) Matemática, Licenciatura / Engenharia de Produção Recredencimento Portri EC 7, de 5.. - D.O.U.... (ov) temátic, Licencitur / Engenhri de Produção ódulo de Pesquis: Prátics de ensino em mtemátic, contetos e metodois Disciplin: Fundmentos de temátic II

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR AULA 4

ÁLGEBRA LINEAR AULA 4 ÁLGEBRA LINEAR AULA 4 Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 14 1 Introdução 2 Desenvolvimento de Laplace 3 Matriz Adjunta 4 Matriz Inversa 5 Regra de Cramer 6 Posto da

Leia mais

O Amplificador Operacional

O Amplificador Operacional UFSM CT DELC O Amplificdor Opercionl Prte I Giovni Brtto 6/26/2007 Introdução Neste texto, o mplificdor opercionl será considerdo como um cix pret. Estmos interessdos em compreender o seu funcionmento

Leia mais

Roberto Meconi Junior. Estratégias pedagógicas com uso de tecnologias na formação de professores: matrizes e determinantes

Roberto Meconi Junior. Estratégias pedagógicas com uso de tecnologias na formação de professores: matrizes e determinantes PONTIFÍCI UNIVERSIDDE CTÓLIC DE SÃO PULO PUC/SP Roberto Meconi Junior Estrtégis pedgógics com uso de tecnologis n formção de professores: mtrizes e determinntes Dissertção presentd à Bnc Exmindor d Pontifíci

Leia mais

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento

Leia mais

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1 Cpítulo 1 Funções Vetoriis Neste cpítulo estudremos s funções f : R R n, funções que descrevem curvs ou movimentos de objetos no espço. 1.1 Definições e proprieddes Definição 1.1.1 Um função vetoril, é

Leia mais

Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia Universidde Estdul do Sudoeste d Bhi Deprtmento de Estudos Básicos e Instrumentis 3 Vetores Físic I Prof. Roberto Cludino Ferreir 1 ÍNDICE 1. Grndez Vetoril; 2. O que é um vetor; 3. Representção de um

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

QUESTÃO 01. O lado x do retângulo que se vê na figura, excede em 3cm o lado y. O valor de y, em centímetros é igual a: 01) 1 02) 1,5 03) 2

QUESTÃO 01. O lado x do retângulo que se vê na figura, excede em 3cm o lado y. O valor de y, em centímetros é igual a: 01) 1 02) 1,5 03) 2 PROV ELBORD PR SER PLICD ÀS TURMS DO O NO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO NCHIET-B EM MIO DE. ELBORÇÃO: PROFESSORES OCTMR MRQUES E DRINO CRIBÉ. PROFESSOR MRI NTÔNI C. GOUVEI QUESTÃO. O ldo x do retângulo que

Leia mais

Cálculo Numérico Módulo III Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I

Cálculo Numérico Módulo III Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I Cálculo Numérico Módulo III Resolução Numéric de Sistems Lineres Prte I Prof: Reinldo Hs Sistems Lineres Form Gerl... n n b... n n b onde: ij n n coeficientes i incógnits b i termos independentes... nn

Leia mais