Prof. Ms. Aldo Vieira Aluno:

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1 Prof. Ms. Aldo Vieir Aluno: Fich 1 Chmmos de mtriz, tod tbel numéric com m linhs e n coluns. Neste cso, dizemos que mtriz é do tipo m x n (onde lemos m por n ) ou que su ordem é m x n. Devemos representr est tbel entre prênteses ( ), colchetes [ ] ou brrs dupls. São exemplos de mtrizes : A x 1 0 B x x1 1 C D ( ) 8 1x A mtriz B é um mtriz qudrd, pois el possui o mesmo número de linhs e de coluns. A mtriz C é dit mtriz colun por possuir pens um colun. Já mtriz D é um mtriz linh, desde que possui um únic linh. O elemento d mtriz A, posiciondo n linh i e n colun j, é indicdo por ij. Por exemplo, n mtriz A nterior, o elemento 1 é igul. Podemos representr um mtriz por A mxn 11 1 M m1 1 M m K K K 1n n M mn ou, simplesmente, por A ( ij ). mxn 1) Identifique ns mtrizes nteriores os elementos seguir : ) b) 1 c) b d) b 1 e) b f) c 1 g) c 11 h) d 1 ) Represente explicitmente s mtrizes seguir : A, onde ij i j ij ) ( ) x B, onde b ij i + j b ij b) ( ) x Qudrd Como já dissemos, um mtriz é qudrd se o seu número de linhs é igul o número de coluns. Neste cso, se el é de ordem n x n, dizemos pens que su ordem é n. Nest mtriz, os elementos tis que i j formm digonl principl e os elementos tis que i + j n + 1 formm digonl secundári. 1 Por exemplo, n mtriz M 0 os elementos d digonl principl são 1, e 9 e os d digonl secundári são 7, e. 1

2 Identidde e Nul Chmmos um mtriz de Identidde de ordem n, se el for qudrd de ordem n e 1, se i j ij 0, se i j ou sej, os elementos d digonl principl são iguis 1 e os elementos for dest digonl são todos nulos. Identificmos tl mtriz por I n, sendo n su ordem. Um mtriz será dit Nul se possui todos os elementos iguis zero. El é indicd por O mxn. Como exemplo de mtriz identidde e mtriz nul, temos : 1 0 I , I 0 1 0, I. O x, Ox es iguis Dus mtrizes A ( ij ) e mxn ( b ij ) mxn B de mesm ordem são dits iguis se, e somente se, ij b ij i, j, com 1 i m, 1 j n, isto é, os elementos correspondentes dests mtrizes(que estão n mesm linh e n mesm colun) são todos iguis. ) Clcule x, y e z tis que : x x + 7 z ) I 0 y 1 x 8 y + y I x b) x 1 c) x x + x + I Resposts dos exercícios 1 1) ) b) 1 c) 0 d) e) 7 f) g) h) ) ) 8 ) ) x ou x ; y ; z 0 b) x ; y c) Não existe x 1 7 A b) 6 10 B trnspost A trnspost de um mtriz A ( ij ) é um mtriz mxn ( b ij ) nxm B, onde b ij ji i, j, com 1 i m, 1 j n, ou sej, sus linhs são s coluns de A, e vice-vers. Indicmos mtriz trnspost d mtriz A por A t.

3 Por exemplo, mtriz trnspost d mtriz t 7 M x M x 0 6 é mtriz ) Escrev mtriz trnspost de cd um ds mtrizes seguir : 0 ) A x 1 8 b) 1 B x c) C x1 Operções com es Adição de es : A som de dus mtrizes de mesm ordem A ( ij ) e mxn B ( b ij ), é um mtriz mxn ( c ij ) mxn C onde c ij ij + b ji i, j, com 1 i m, 1 j n. Logo, cd elemento d mtriz resultnte é igul à som dos elementos correspondentes ds mtrizes A e B. Por exemplo, som ds mtrizes A e B é + B A. Proprieddes d dição de mtrizes : Suponh que s mtrizes A, B e C possuem mesm ordem. Dest form, são válids s seguintes proprieddes seguir : (P1) A mtriz nul é o elemento neutro d dição mtricil, ou sej, A + O O + A A, sendo O mtriz nul de mesm ordem d mtriz A. (P) O elemento oposto d um mtriz A é mtriz A de mesm ordem de A, tl que A + A A + A O, sendo O mtriz nul de mesm ordem de A. A e A são dits mtrizes oposts e mtriz A é indicd por A. (P) A propriedde ssocitiv é válid pr dição de mtrizes, isto é, (A + B) + C A + (B + C). (P) A propriedde comuttiv tmbém é válid pr dição de mtrizes, ou sej, A + B B + A.. Um exemplo de mtrizes oposts é A e 1 1 A.

4 Multiplicção de um número por um mtriz : Pr multiplicrmos um esclr k por um mtriz, devemos multiplicr cd elemento d mtriz pelo esclr ka ij, onde ij k. ij i, j, com 1 i m, 1 j n. k. Então, se ( ij ) mxn A, ka é mtriz ( ) mxn Dd mtriz A 1 0, temos 6 9. A Proprieddes d multiplicção de um mtriz por um esclr : Considere dus mtrizes A e B e dois esclres k e L. Dí, segue-se que : (P1) k(la) L(kA) (kl)a (P) k(a + B) ka + kb (P) (k + L)A ka + LA (P) 1.A A Subtrção de es : A diferenç A B é igul à som d mtriz A com su opost, ou sej, A B A + ( B). Agor que sbemos encontrr opost de um mtriz, podemos flr de lgums mtrizes qudrds que, possuem cert simetri com relção à digonl principl. Dependendo do cso, els serão chmds de mtrizes simétrics ou de mtrizes nti-simétrics. MATRIZ SIMÉTRICA Um mtriz qudrd A ( ij ) mxm é simétric qundo A A t, isto é, qundo el é igul à su trnspost. OBS: é notável que um mtriz qudrd é simétric somente qundo os elementos dispostos em posições simétrics em relção à digonl principl são iguis, isto é,. ij ji 1 Um exemplo de mtriz simétric é mtriz M iguis

5 MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA É tod mtriz qudrd A ( ij ) mxm em que se verific A A t. OBS: Neste cso, temos que ij. Logo, decorre que ij 0 se i j, ou sej, os elementos d digonl ji principl são todos nulos. Assim, um mtriz qudrd é nti-simétric somente qundo os elementos dispostos em posições simétrics em relção à digonl principl são simétricos e est digonl é tod nul. 0 6 Como exemplo n mtriz N simetricos ) Dds s mtrizes A 0, B 7 e C 1 0, encontre 0 1 s mtrizes : ) A + B b) A t C c).a d).a.b e) C A t + B t 6) Encontre mtriz A x tl que A 1. 7) Determine s mtrizes M e N, de ordem, tis que M N 6 0 e M + N ) Clcule os vlores de e b que stisfzem 7 equção mtricil I 0 +. b ) Sbendo que M b +... é b c c 8 nti-simétric, encontre os termos 1, 1 e dest mtriz. Resposts dos exercícios ) ) ) 7 18 b) 1 9 7) M c) e N d) 11 1 e) ) 7 e b 9), e

6 n c. b Multiplicção de es : Dds dus mtrizes A ( ij ) mxn e B (b ij ) nxp, o produto mtricil A. B é um mtriz C (c ij ) mxp tl que ij ik kj k 1, i, j com 1 i m e 1 j p. Pr que exist o produto mtricil, devemos sempre lembrr que o número de coluns d 1 mtriz deve ser igul o número de linhs d mtriz, ou sej, A mxn. B nxp N o de coluns N o de linhs Cso contrário, tl produto não pode ser efetudo. Além disso, mtriz resultnte tem o mesmo número de linhs que 1 mtriz, e o mesmo número de coluns d mtriz, isto é, A mxn. B nxp C mxp Pr entender melhor o produto entre mtrizes, considere s mtrizes A e B seguir : A x e B x O produto B. A não pode ser feito, pois B possui coluns e A possui linhs. Vmos efetur A. B e obter como resultdo um mtriz de ordem x. Tl produto será feito d seguinte form : mtriz 1 mtriz 0 Resultdo Portnto, o produto A. B é mtriz A. B

7 Proprieddes do produto mtricil : No produto mtricil são válids s seguintes proprieddes : (P1) Propriedde ssocitiv : ( A. B ). C A. ( B. C ) (P) Propriedde distributiv à esquerd : A. ( B + C ) A. B + A. C A. ( B C ) A. B A. C (P) Propriedde distributiv à direit : ( A + B ). C A. C + B. C ( A B ). C A. C B. C (P) A mtriz identidde é o elemento neutro do produto mtricil : A. I n I n. A A É importnte slientr que no produto mtricil não é válid propriedde comuttiv, ou sej, em gerl A. B B. A. Devemos entender que em lguns csos iguldde A. B B. A é válid. Contudo, como isto não ocorre em todos os csos, não podemos generlizr. Por exemplo, dds s mtrizes A B C ,, e D 9 1, temos : A. B, B. A, C. D e D. C. De onde concluímos que A. B B. A e C. D D. C. Qundo tl iguldde ocorre chmmos s mtrizes de comutáveis, isto é, stisfzem propriedde comuttiv do produto. Pr s mtrizes comutáveis tmbém são válids s proprieddes : (P1) ( A + B ) A +. A. B + B (P) ( A B ) A. A. B + B (P) ( A + B ). ( A B ) A B Considere s mtrizes A e B 1. O produto A. B é igul A B.. Logo, A. B O, ms A O e B O, onde O é mtriz nul de ordem. Concluímos que no produto mtricil, o fto de A. B O não implic necessrimente em A O ou B O. Potencição : Dd um mtriz qudrd A, potênci A n é definid como A n A. A..... A, onde n n termos N *. 7

8 ) Sendo A 1 1 1, B e C 1 1, clcule : 0 0 ) ( A + B ). C t b) ( B C ). ( A + B ) t c) (.A.B) t. C 1 x y 11) Dd s mtrizes A e B 1, encontre x e y tis que A. B O. 1) Clculr x fim de que s mtrizes A 1 0 x e B sejm comutáveis. 0 1) Determine A e A, sbendo que A 1 0. Resposts dos exercícios ) ) ) x 1, y b) 0 c) ) x - 1 1) A 16 1 e A 6 1) Clcule os vlores de e b que stisfzem 7 equção mtricil I 0 +. b. Resp. : 7 e b Resp.: ) Sendo A 1 1 1, B e C 1 1, clcule ( A + B ). C t