Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral

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1 Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A entre o gráfico de f e o eixo x e s rets x= e x= é dd por: A = f x dx Generlizndo, suponh que tem-se dus funções, e que F(x) g(x), x,.

2 A áre A entre o gráfico de g e s rets verticis x= e x= é dd por: A = f x g x dx Sendo f(x) função que está por cim durnte o intervlo [,] e g(x) função que está emixo. Exemplo : Clcule áre entre os gráficos ds funções y=x² e y =2x-x². Respost: Note que o enuncido não nos dá o intervlo, logo temos que áre entre os gráficos é justmente áre gerd por dus interseções seguids, logo,vmos resolver por pssos pr você se hitur com resolução destes tipo de questões. Psso : Encontrr os pontos de interseção,chndo solução o igulr um ds componentes ds funções (neste cso o y). y = x = 2x x² 2x² = 2x, logo x = ou x = Psso 2: Encontrr qul função é mior entre os dois pontos de interseção, sustituindo vlores n função entre os dois pontos (Neste cso, um vlor possível seri x=/2 pois está entre e ). x = 2 f x = y = 2 ² = 4 g x = y = ² = 4 Logo, g x = 2x x 2 f x = x 2 no intervlo, Psso : Integrr s funções de cordo com definição dd nteriormente pr encontrr áre. A = 2x x 2 x 2 dx = (2x 2x²)dx = Dependendo d situção, pode ser melhor integrr com relção o eixo y. Exemplo 2:Encontre áre delimitd pelo gráfico ds curvs y² = 2x + 6 e y = x. Respost:

3 Percee-se que é mis vntjoso integrl curv y²=2x+6 com relção o eixo y(se fossemos isolr o y,encontrrímos um riz qudrd,que é mis trlhoso do que um polinômio norml),então, curv y=x- tmém deve ser integrd esse mesmo eixo. Psso : Alterr s equções de y(x) pr x(y) isolndo o x,e encontrr os pontos de interseção em y. y² = 2x + 6, isolndo o x, temos: x = y² 2 y = x, isolndo o x, temos: x = y + A interseção é dd por: y 2 2 = y + Logo encontrmos s rízes y=4 ou y=-2 Psso 2:Segue o mesmo procedimento do exemplo nterior. Temos y= um vlor intermediário entre [-2,4]. x y = y2 2, x = x y = y +, x = Logo, durnte o intervlo [-2,4], é válid equção y + y 2 2 Psso :Integrmos( função mior) ( função menor), como no exemplo nterior. 4 2 Exercícios Recomenddos: ) (UFRJ-2.2) y + y2 2 4 y2 dy = ( + y + 4) dy 2 2 2) (UFRJ-2.2) ) Encontre áre delimitd pels curvs indicds: ) y = 2 x 2 e y = x 2 6 ) y = e x, y = xe x e x = c) y = cos πx e y = 4x 2 d) y = cos x, y = 2sen x, x =, x = π 2

4 (II) Volume e de sólidos de Revolução Neste cpítulo estudremos como utilizr integris pr clculr volume de superfícies plns. Podemos clculr o Volume V, como: V = A x dx Onde A(x) é áre de interseção do sólido com os plnos perpendiculres que cruzm o eixo no ponto x (seção trnsversl). No exemplo do cilindro, clculmos V = A x dx sendo A(x)= Áre do círculo (seção trnsversl) que é constnte durnte todo o intervlo [,]. Exemplo : Clcule o volume d esfer de rio R. Respost: Perceemos que seção trnsversl (áre de interseção do sólido com o plno perpendiculr que cruz o eixo no ponto x ) é: Áre = πy², ms, y = R² x² Logo, A(x)=π(R 2 x 2 ) E o volume pode ser clculdo por: Volume V = R π R 2 x 2 dx R = 4 πr³ Sólidos de Revolução Sólidos de Revolução são sólidos gerdos prtir d rotção de um áre pln A o redor de um eixo qulquer, como no exemplo ixo.

5 A áre pln A que temos é um circunferênci, e está sendo rotciond no eixo y. Exemplo :Encontre o volume do sólido otido pel rotção em torno do eixo x d região so curv y= x,o eixo x e s rets x= e x=. Curv y y rotciond Pr determinr o volume, temos: Áre = A(x) = πr 2 = πy 2 = π x 2 = πx A x dx πxdx = π 2 Sólidos que não são de revolução: São sólidos como pirâmides, cuos, esfers, entre outros sólidos que não são gerdos por rotção em um eixo. Exemplo : Clcule o volume de um pirâmide de se qudrd e ldo l e ltur h. Respost: Utilizndo equção d ret y=x como um rest d fce lterl d pirâmide, podemos desenhr seguinte figur.

6 Pr encontrrmos o volume dest pirâmide, vmos supor ftis prlels o eixo y com lturs infinitesimis dx: O volume dess Áre infinitesiml é V=l²dx Tendo y=l/2 e sustituindo n equção nterior, temos: V=(4y²)dx A som dos infinitesimis volumes é dd por: 4y²dx = 4 y²dx = x 4 ²x²dx = 42 Sendo = y = l 2, temos: V = 42 = 4 l 2 V = l2 4². ³ = l2 Cálculo de Volume pels Cscs Cilíndrics O método de Cscs Cilíndrics é outr mneir pr clculr volumes. Muits vezes clculr o volume pelo método nterior não é fácil e lgums vezes nem é possível. Este método tem o ojetivo de clculr o volume de sólidos somndo cscs cilíndrics fins que crescem de dentro pr for do eixo de revolução.

7 Seguindo um rápido psso psso você consegue resolver prolems desse tem: Temos: Psso: Desenhe região e esoce um segmento de ret identificndo o corte prlelo o eixo de rotção. Encontre o rio e ltur d csc cilíndric. 2 Psso: Determine os limites de integrção pr vriável em questão. Psso: Integre o produto de 2π rio ltur em relção vriável do prolem. A fórmul gerl deste método é: Volume = 2πRF x dx Onde o R será o rio d rotção e o F(x) será ltur, isso ficrá mis clro nos exemplos. Exemplo :Encontre o volume do sólido otido o girr região delimitd por y = f(x) = x x² gir em torno d ret x = -. Corte um fti cilíndric (prlelmente o eixo de revolução) n prte intern do sólido.depois corte outr fti em torno do primeiro corte, e ssim por dinte. Cd cilindro encontrdo terá rio de proximdmente +x k, ltur x k -x k ² e espessur dx. Se desenrolássemos o cilindro em x k terimos um fti retngulr de espessur dx. O comprimento d circunferênci intern do cilindro será 2π. R = 2 π ( +x k ).Portnto, o volume do sólido retngulr é: V lrgur X ltur X espessur 2 π ( + x k ). ( x k x k ²). dx Somndo todos os volumes o longo de todo o intervlo de x otemos um som de Riemnn. Bst então plicr o limite pr dx tendendo zero e otemos integrl. Os limites de integrção são s interseções entre s dus curvs dds(de onde té onde será integrl), nesse cso y= e y= x-x², logo os limites são e. Generlizndo pr x, temos: 2πRF x dx = 2 π ( + x ). ( x x²). dx Exemplo 2:Encontre o volume do sólido de revolução otido o girr região limitd por y=x-x² e y= em torno d ret x=2.

8 Temos seguinte curv: Vemos que o limite de integrção entre y=x-x² e y= são e. Fzendo rotção n ret verticl x=2, temos: Neste cso, vemos que o escolher um x ritrário, o rio d rotção pss ser 2-x e ltur própri função x-x²- = x-x², plicndo n fórmul, temos: Volume = 2π 2 x x x 2 dx Exercícios: 4) (UFRJ-2.2) 5) (UFRJ-2.) 6) (UFRJ-22.2)

9 7) (UFRJ-22.) 8) (UFRJ-2.2) Comprimento de Arco Vmos supor que um curv f(x) qulquer sej um linh. Se esticássemos est linh e medíssemos com um régu, encontrrímos o comprimento dest curv. Pr determinr este comprimento, costummos (no Cálculo I, pens) utilizr seguinte equção: Comprimento = L = + (f x )²dx Exemplo : Clcule o comprimento d práol x= y² do ponto (,) o ponto (,). Se tentrmos integrr com relção à x função seri y= x,e verímos que não seri possível est integrção por est fórmul (ess fórmul não é vlid pr qulquer função,vej qul eixo é melhor pr fzer integrl (x ou y)). Logo, deve-se integrr com relção y. F(y) = x= y² Aplicndo n fórmul, temos: Exercícios: 9)(UFRJ-2.2) L = + F y 2 dy, F y = 2y L = + 2y 2 dy = + 4y²dy )Encontre o comprimento exto ds curvs: )y = + 6x 2 x )x = y y x 9 c)y = ln x 2, x 2 Gritos:

10 )) ) =4/ 2) 2 ln )) 72 ) e-2 c)2 π + 2 d)= 2 4) π 252 5) π2 π 6 6) 4π 5 7)2π 8)± π+2 9) ln( + 2) )) 2 24 (82 82 ) )2 c) ln 2 Bons Estudos!! Dúvids? Acesse o Soluciondor n págin ou mnde emil pr

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