Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

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1 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr o comprimento d curv que descreve o gráfico d função. Começmos observndo que, se o gráfico d função f fosse um segmento de ret, o cálculo seri simples, pois seri suficiente sber s coordends do ponto inicil e finl do segmento e utilizr conhecid fórmul d distânci entre dois pontos. No exemplo, o ponto inicil é (,) e o finl é (,2/3), e distânci entre eles é ( )2 +(2/3 ) 2 = 5/3. Ocorre que, no cso em questão (e tmbém no cso gerl), o gráfico d função não é um segmento de ret, e seu comprimento deve ser mior do que 5/3. Antes de tcr o nosso problem é interessnte fzer um prlelo entre ele e outros problems já estuddos. No cálculo de áre entre dus curvs um dificuldde semelhnte se presentv. Nquele momento, utilizmos o fto de sbermos clculr áre de retângulos, que form usdos pr fzer proximções d áre ser clculd. A mesm idei foi utilizd no volume de sólido de revolução, onde região foi proximd por cilindros, cujos volumes tmbém sbímos clculr. As considerções cim nos dão um pist de como proceder. Um vez que sbemos clculr comprimento de segmentos de ret, nd mis nturl do que proximrmos curv por tis segmentos. Em outrs plvrs, em time que está gnhndo não se mexe. Vmos então colocr mão n mss, denotndo por L o comprimento do gráfico e por [,b]ointervlo[,]. Ddoumnúmeron N, dividimos ointervlo [,b]emnsubintervlos de igul tmnho x = (b ), considerndo os pontos n = x < x < x 2 < < x n < x n = b. N notção cim, pr cd k =,2,...,n, estmos denotndo x k = + k x. Vmos chmr ind de I k o segmento de ret obtido qundo ligmos os pontos (x k,f(x k )) com (x k,f(x k )). Conforme observmos nteriormente, o comprimento de I k é ddo por

2 comp.(i k ) = (x k x k ) 2 +(f(x k ) f(x k )) 2 = ( x) 2 +(f(x k ) f(x k )) 2. () Aplicndo o Teorem do Vlor Médio pr função f no intervlo [x k,x k ] obtemos um ponto x k [x k,x k ] tl que f(x k ) f(x k ) = f (x k )(x k x k ) = f (x k ) x. Desse modo, lembrndo que x>, podemos substituir expressão cim em () pr obter comp.(i k ) = (+f (x k )2 )( x) 2 = +f (x k )2 x. Ao somrmos todos os comprimentos cim obtemos um proximção L n do comprimento L, cuj expressão é dd por L n = comp.(i k ) = +f (x k )2 x. n = 2 n = 3 n = 4 Neste ponto estmos certos que você já sbe o que deve ser feito! De fto, qunto mior for o número de segmentos d noss poligonl mis próximo o vlor de L n vi estr de L. Desse modo, temos que L = lim n + L n = lim n + +f (x k )2 x. Or, ms o ldo direito d expressão cim nd mis é do que um som de Riemmn pr função g(x) = +f (x) 2 no intervlo [,b]. Desse modo, o limite do ldo direito cim é extmente b g(x)dx, isto é, b L = +(f (x)) 2 dx. Vmos gor usr fórmul cim pr o nosso cso específico, em que f(x) = (2/3) x 3 no intervlo [,b] = [,]. Um cálculo simples mostr que f (x) = x e portnto um mudnç de vriáveis nos permite clculr 2

3 L = + ( x )2 dx = 2 +xdx = 3 (+x)3/2 = 2 3 ( 8 ). A fórmul pr o comprimento de rco desenvolvid no texto pode ter um inconveniente: o precimento d riz qudrd no integrndo fz com que, em lguns csos, o cálculo d integrl se torne muito complicdo. Vmos exemplificr isso com o cso de um circunferênci de rio. Embor ess circunferênci não sej o gráfico de um função, podemos considerr função f(t) = t 2, t [,], cujo gráfico é um semicircunferênci, conforme figur o ldo. Assim, pr obtermos o comprimento do círculo é suficiente clculrmos o comprimento do gráfico e multiplicr por dois. Após s devids simplificções obtemos seguinte fórmul pr o comprimento do círculo 2 +(f (t)) 2 dt = = 2 t 2 dt. A integrl cim pode ser resolvid se você lembrr ds funções trigonométrics inverss. Pode ind ser clculd com um método chmdo substituição trigonométric que será visto posteriormente. Ao invés de resolver integrl cim vmos proceder de um mneir diferente. Suponh que dus funções x(t) e y(t) são deriváveis em [,b] e, lém disso, sus derivds x (t) e y (t) não se nulm simultnemente em [, b]. Neste cso, se denotrmos por C = {(x(t),y(t)) : t [,b]}, dizemos que C é um curv prmetrizd. Note que o conjuntoc deftodescreveumcurvnoplno. Vmos dptr os rgumentos utilizdos no início do texto pr mostrr que o comprimento L dest curv é dd por L = b (x (t)) 2 +(y (t)) 2 dt (2) 3

4 Antes porém, vmos observr que, se f : [,b] R é um função derivável, então curv prmetrizd por (t,f(t)), com t [,b], descreve extmente o gráfico de f. Neste cso, como x (t) =, expressão cim se trnsform n primeir fórmul desenvolvid no texto. Pr verificr vlidde d fórmul (2) vmos dividir o domínio [,b] ds funções coordends em n subintervlos escolhendo os pontos = t < t < < t n < t n = b. Podemos proceder como ntes, construindo segmentos de ret que terão gor comprimento igul comp.(i k ) = [x(t k ) x(t k )] 2 +[y(t k ) y(t k )] 2. Aplicndo o Teorem do Vlor Médio obtemos pontos t k,t k (t k,t k ), tis que x(t k ) x(t k ) = x (t k ) t, y(t k) y(t k ) = y (t k ) t, e portnto proximção L n pr o comprimento d curv é igul L n = comp.(i k ) = x (t k ) 2 +y (t k )2 t. Pssndo o limite, obtemos comp.(c) = lim n + b x (t k ) 2 +y (t k )2 t = x (t) 2 +y (t) 2 dt. Vmos usr fórmul (2) pr clculr o comprimento de um círculo de rio r >. Ele pode ser prmetrizdo prtir ds seguintes funções coordends x(t) = rcos(t), y(t) = rsen(t), t [,2π]. De fto, pr todo t [,2π], temos que x(t) 2 +y(t) 2 = r 2 (cos 2 (t)+sen 2 (t)) = r 2, onde usmos identidde trigonométric fundmentl cos 2 (t)+sen 2 (t) =. A iguldde destcd cim mostr que os pontos d curv estão sobre o círculo. Além disso, definição ds funções seno e cosseno, prtir do círculo trigonométrico, mostr que qulquer ponto do círculo corresponde um ponto d curv. Um vez que x (t) = rsen(t) e y (t) = rcos(t), o mesmo procedimento usdo cim nos fornece (x (t)) 2 +(y (t)) 2 = r 2 (sen 2 (t)+cos 2 (t)) = r 2, 4

5 o que mostr que s dus derivds x e y não podem se nulr no mesmo ponto. Assim, o comprimento d curv é ddo por comprimento(c) = 2π conforme vimos ns nosss uls iniciis de geometri. 2π (x (t)) 2 +(y (t)) 2 dt = rdt = 2πr, Tref O stróide é curv definid, prmetricmente, pels funções coordends y x(t) = cos 3 (t), y(t) = sen 3 (t), com t [, 2π]. Clcule o comprimento do stróide, observndo que ele é extmente 4 vezes o comprimento d curv que fic no o qudrnte. x 5

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