SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação"

Transcrição

1 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério d Educção Universidde Federl do Rio Grnde Universidde Abert do Brsil Administrção Bchreldo Mtemátic pr Ciêncis Sociis Aplicds I Rodrigo Brbos Sores

2 . Mtrizes:.. Introdução: As mtrizes são tbels de números reis utilizds em quse todos os rmos d ciênci. São utilizds n Esttístic, n Economi, n Administrção, n Físic, n Mtemátic, n Engenhri, etc. A teori de mtrizes foi introduzid em medos do século XIX, sendo o mtemático inglês Arthur Cyley (- 9) um dos pioneiros neste estudo. Em muits situções d economi, ou d físic, ou de outro rmo d ciênci, s idéis costumm ser expresss por um número grnde de equções, s quis envolvem muits vriáveis. A representção com mtrizes constitui um form dequd de representá-ls e de resolvê-ls. Vejmos, então, um exemplo () de mtriz. Considere tbel bixo, que indic o número de vends efetuds por um concessionári de utomóveis, durnte o segundo trimestre de. Modelo Abril Mio Junho Fox Fit Plio 9 Se quisermos sber quntidde de utomóveis do modelo Fit, vendidos no mês de mio, iremos procurr o número que está n terceir linh e segund colun d tbel. No qudro, os números colocdos ns disposições horizontis formm o que denominmos de linh e os números colocdos ns disposições verticis chmmos de colun. O conjunto ordendo dos números 9 que formm tbel é denomindo mtriz e cd número é chmdo de elemento d mtriz. Nesse exemplo, temos um mtriz do tipo x (lê-se: três por três), isto é, um mtriz formd por linhs e coluns.

3 Cd elemento presente em um mtriz é indicdo por um letr minúscul, que possui como índice um pr ordendo (ij) (i,,,...,m e j,,,...,n), o qul represent o número d linh e o d colun, ou sej, o elemento é representdo por ij. Costum-se representr o totl de linhs de um mtriz pel letr m e o número totl de coluns por n. Os vlores de m e de n são s dimensões d mtriz. Ou sej, podemos dizer que mtriz tem ordem m x n ou é um mtriz do tipo m x n. Vejmos gor um outro exemplo (): vmos supor que o responsável pelo lmoxrifdo de um posto de gsolin resolv orgnizr o estoque de óleo lubrificnte pr motores de utomóveis. Pr cd tipo de óleo lubrificnte, contido no lmoxrifdo, e pr cd mês do no, ele deve destcr quntidde do produto em estoque. Ele resolve orgnizr o estoque d seguinte mneir: Óleo minerl (,,, ); Óleo sintético (,,, ); Óleo semi-sintético (,,, ), sendo que os números em prênteses representm quntidde de óleo em estoque nos meses de jneiro, fevereiro, mrço e bril. A solução mis utilizd pr este tipo de problem é construção de um tbel, onde s linhs podem representr os lubrificntes e s coluns, os meses. Dess form, se quisermos sber quntidde, em estoque, do produto óleo sintético no mês de mrço, bst procurrmos o número que está n segund linh e n terceir colun:. Assim, os produtos estão orgnizdos, n form de mtriz, que é um conjunto ordendo de elementos dispostos em linhs e coluns... Definição: Um mtriz A é dd por A (i j) com i m e j n, onde o elemento i j é o elemento d linh i e d colun j. A representção genéric de um mtriz pode ser observd bixo:

4 Vmos ver, seguir, lguns conceitos importntes utilizdos no estudo ds mtrizes : Posição de um elemento: N tbel cim, posição de cd elemento i j é indicd pelo pr ordendo (i,j), onde i corresponde à linh e j à colun em que se encontr o elemento. Notção pr mtriz: Indicmos um mtriz A pelos seus elementos, n form: A ( ) ou A [ ] i j i j A Ordem de um mtriz refere-se o seu número de linhs e coluns. É presentd n notção m x n, onde m é o número de linhs e n o de coluns. Lê se mtriz "m por n". Assim, mtriz A do segundo exemplo é de ordem x. Exemplo : é mtriz do tipo x, é mtriz do tipo x, 9 é mtriz do tipo x. Exemplo : Monte um mtriz A de ordem x onde i j, se i j ij. i j, se i j

5 Solução: A. A mtriz foi montd, seguindo um lei de formção pr os seus elementos. Então, por exemplo, se i j o elemento (x)- e se ij o elemento... Tipos especiis de mtrizes:... Mtriz Linh é mtriz que possui pens um linh, isto é m. x Exemplo : [ ]... Mtriz Colun é mtriz que possui pens um colun, isto é n. Exemplo : x... Mtriz qudrd é mtriz que tem o número de linhs igul o número de coluns. Neste cso, podemos dizer que ordem é m, o invés de m x m. Exemplo : Digonl Secundári Digonl Principl Digonl Secundári Digonl Principl Em um mtriz qudrd, os elementos d digonl principl (,, ) i j, onde i j são chmdos elementos, enqunto os elementos tis que i j n ( em que n é ordem d mtriz) são chmdos elementos d digonl secundári (,, ).... Iguldde de Mtrizes:

6 Dds s mtrizes A ( ij ) m n e B (b ij ) p q, podemos firmr que A e B são iguis se, e somente se: ) m p e n q (ou sej, els têm mesm ordem); ) i j b i j pr todo i m e j n. Em outrs plvrs, dus mtrizes são dits iguis, se tiverem mesm ordem e se os seus elementos forem idênticos. x y Exemplo : Dds s mtrizes A e B de mesm ordem ( x z t ). Pr que A sej igul B devemos ter x, y, z - e t, ou sej, seus elementos devem ser iguis.... Mtriz digonl é tod quel cujo elemento i j se i j. Isto é, possui todos os vlores iguis à zero, exceto os elementos d digonl principl. Alguns elementos d digonl principl podem ser nulos. Exemplo 9: São digonis s mtrizes: A e B.... Mtriz nul é quel que possui todos os elementos iguis zero. Exemplo : A é mtriz nul tipo x, B é mtriz nul de ordem.... Mtriz identidde: Chmmos de mtriz identidde tod mtriz qudrd, cujos elementos d digonl principl são iguis e os elementos for d digonl principl são nulos. Ou sej, é tod quel cujos elementos j e i j se i j. Representmos por I n. i j se i Exemplo : A

7 ... Mtriz simétric: é quel mtriz qudrd, n qul os elementos dispostos simetricmente em relção à digonl principl são iguis. Isto é, A é um mtriz simétric se i j, pr todo i e j. j i Exemplo : A, pode-se observr que os elementos dispostos simetricmente em relção à digonl principl, os elementos, e são iguis...9. Mtriz nti-simétric: é mtriz qudrd, n qul, são nulos os elementos d digonl principl, e opostos os elementos dispostos simetricmente em relção el. Exemplo : A Mtriz trnspost: Se A é um mtriz de ordem m x n, chmmos trnspost de A e indicmos por A t mtriz de ordem n x m, obtid pel troc ordend ds linhs pels coluns. Exemplo : A x A t x Observe que: A linh de A é igul à colun de A t, A linh de A é igul à colun de A t, A linh de A é igul à colun de A t.. Operções com mtrizes:... Adição: Est operção só pode ser relizd qundo s mtrizes envolvids, n operção, têm o mesmo número de linhs e o mesmo número de coluns (mesm ordem), ou

8 sej, são do mesmo tipo. Sejm dus mtrizes n m A e n m B, então, mtriz C A B é um mtriz m x n tl que cd elemento de C é ddo por: ij c ij ij b. Exemplo : Sendo A e B, determine mtriz C A B. B A C... Mtriz Opost: Dd mtriz A, de ordem m x n e elemento ij, chmmos mtriz opost de A (indicd por A ou A ) mtriz de ordem m x n e elemento ij. Exemplo : Sendo A, mtriz opost de A é dd por A.... Proprieddes d Adição de mtrizes: Sejm s mtrizes A, B e C de mesm ordem ou tipo m x n. A operção de dição possui s seguintes proprieddes: ij b ij

9 . Comuttiv AB BA.. Associtiv (AB) C A (BC). Obtemos iguldde (AB) CA (BC).. Elemento Neutro AA ( é mtriz nul).. Elemento oposto A(-A) ( é mtriz nul).. (AB) t A t B t. 9 A B C A BC AB BA

10 Se então t ( A B), (A B), A t e B t, t t t A B (A B).... Subtrção de mtrizes: Considere s mtrizes: A e B, diferenç D entre s mtrizes A e B é obtid pel som d mtriz A com mtriz opost de B, ou sej, D A-B A (-B). 9 D -... Multiplicção de número por mtriz: Dd mtriz A e o número k, o produto de k pel mtriz A é mtriz que se obtém multiplicndo todos os elementos d mtriz pelo número k. Então, mtriz B k.a. Sendo ( ) 9 A e k, então, k.a... Multiplicção de mtrizes: Sejm s mtrizes A e m p A (observe que o número de coluns de A é igul p n o número de linhs de B), com elementos genéricos ik e b k j. Chm-se o produto d mtriz A pel mtriz B (indic-se o produto AB) mtriz do tipo m x n, cujo elemento genérico c i j é ddo por c.b.b.b.... b. i j i j i j i j ip pj Isto é, o elemento c i j é obtido multiplicndo-se linh i de A pel colun j de B ordendmente, elemento por elemento, somndo-se os produtos em seguid.

11 i. b j i. b j b b j j B ip. b pj b pj i i... ip c ij c.b ij i j i.b j... ip. b pj A AB Exemplo : Dds s mtrizes A e B o produto A.B é mtriz C c c 9 c c 9 onde o elemento: c... 9, é som obtid d multiplicção d primeir linh de A pel primeir colun de B ordendmente, elemento por elemento; c..., é som obtid d multiplicção d primeir linh de A pel segund colun de B ordendmente, elemento por elemento; c... 9, é som obtid d multiplicção d segund linh de A pel primeir colun de B ordendmente, elemento por elemento; c... é som obtid d multiplicção d segund linh de A pel segund colun de B ordendmente, elemento por elemento. Observmos que, de cordo com definição, exigi-se que o número de coluns de A fosse igul o número de linhs de B, ou sej:

12 A m x p B p x n iguis Vmos visulizr est operção por meio do exemplo, prático e simples: Um doceri produz dois tipos de doces A e B. Pr produção desses doces, são utilizdos os ingredientes X, Y e Z, conforme tbel. DOCES A B X Y Z A tbel dd será representd pel mtriz A. Suponh que sejm fbricdos, por di, doces do tipo A e doces do tipo B. Ess quntidde de doces pode ser representd pel mtriz colun: B. Se quisermos determinr quntidde de ingredientes X, Y e Z utilizd por di, devemos proceder d seguinte form: Ingrediente X: Ingrediente Y: Ingrediente Z:

13 Esss quntiddes podem ser representds pel mtriz c. Então, mtriz C, denomind produto de A por B pode ser obtid d seguinte form: A B C... Proprieddes d multiplicção de mtrizes: A multiplicção de mtrizes possui s seguintes proprieddes, cso existm os produtos envolvidos:.associtiv ( AB) C A (BC).. Distributiv pel esquerd A (B C) AB AC.. Distributiv pel direit ( B C) A BA CA.. Se K é um número rel, então: ( ka) B A (kb) k (AB).. t ( AB) B A. t t Observções:. A multiplicção de mtrizes não é comuttiv, isto é, pode ocorrer que A B B A. Cso A B B A, dizemos que s mtrizes comutm. Exemplo 9: Verificr se s mtrizes A e B comutm: C AB D BA logo A e B comutm., então s mtrizes C e D são iguis,

14 Exemplo : Verificr se s mtrizes A e B comutm: ( ) ( ) C AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) D BA ( ) ( ) diferentes, logo A e B não comutm. ( ) ( ) ( ) ( ), s mtrizes C e D são. Ao contrário do produto de mtrizes, multiplicção de números reis possui propriedde comuttiv. Existem outrs proprieddes que multiplicção de números reis possui que não vlem pr mtrizes. Por exemplo, se e b pertencem o conjunto dos números reis, então,.b se, e somente se, ou b. Isso não ocorre com mtrizes, como mostr o exemplo seguir: Exemplo : Dds s mtrizes A e B, clcule A B. A.B pode ser um mtriz nul, mesmo que nenhum dels o sej., dest form o produto de dus mtrizes... Exercícios geris: x y m n. Sendo s mtrizes A e B, chr os vlores x y m n de x, y, m e n pr que se tenh AB. x y 9. Determine x e y, sbendo que s mtrizes são iguis. x y x y b. Se x y b, determine x, y, e b. x y x y. Sendo s mtrizes A e B, clcule x e y de y modo que t A B. x y z. Sejm s mtrizes A x y e B z t t t A B, determine x, y, z e t.. Se

15 . Sejm s mtrizes A e B, de mesm ordem mxn. Demonstre que: t t A B A B. ( ) t. Dds s mtrizes A, B e C, clculr: ) A B C b) A B C x z z. Determinr x, y e z sbendo que:. y 9. Sejm s mtrizes A e B AxB., determine o produto. Sejm s mtrizes A e B, clcule s mtrizes produtos:. ) A.B b) B.A c) A.BB.A? V ou F.. Se A, determine mtriz X tl que A.X I.. Determine o número b R, pr que mtriz b A sej simétric. b b A ij. Sej mtriz [ ] x A t., pr qul ii ij ij ji i j, se i < j. Determine A e

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM MATRIZES Definição e Notção... 11 21 m1 12... 22 m2............ 1n.. 2n. mn Chmmos de Mtriz todo conjunto de vlores, dispostos

Leia mais

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes E. E. E. M. ÁREA DE CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROFESSORA ALEXANDRA MARIA º TRIMESTRE/ SÉRIE º ANO NOME: Nº TURMA: Mteril envolvendo estudo de mtrizes e determinntes INSTRUÇÕES:. Este

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES DETERMINANTES

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES DETERMINANTES Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl - APES DETERMINANTES Prof Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez Mtemátic Básic pr iêncis

Leia mais

MATEMÁTICA PARA REFLETIR! EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES OPERAÇÕES COM MATRIZES PARA REFLETIR!...437

MATEMÁTICA PARA REFLETIR! EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES OPERAÇÕES COM MATRIZES PARA REFLETIR!...437 ÍNICE MATEMÁTICA... PARA REFLETIR!... EXERCÍCIOS... EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES... OPERAÇÕES COM MATRIZES... PARA REFLETIR!...7 EXERCÍCIOS E APLICAÇÃO...8 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES...8...9 PARA REFLETIR!...

Leia mais

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos

Leia mais

MATRIZES E DETERMINANTES

MATRIZES E DETERMINANTES Professor: Cssio Kiechloski Mello Disciplin: Mtemátic luno: N Turm: Dt: MTRIZES E DETERMINNTES MTRIZES: Em quse todos os jornis e revists é possível encontrr tbels informtivs. N Mtemátic chmremos ests

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

1. Conceito de logaritmo

1. Conceito de logaritmo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Logritmos Prof.: Rogério

Leia mais

Prof. Jomar. matriz A. A mxn ou m A n

Prof. Jomar. matriz A. A mxn ou m A n MATRIZES Prof. Jomr 1. Introdução Em mtemátic, é comum lidr com ddos relciondos dus informções. Por isso, os mtemáticos crirm s sus própris tbels, que receberm o nome de mtrizes. N verdde, s mtrizes podem

Leia mais

Definição 1 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação. det

Definição 1 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação. det 5 DETERMINANTES 5 Definição e Proprieddes Definição O erminnte de um mtriz qudrd A de ordem é por definição plicção ( ) : M IR IR A Eemplo : 5 A ( A ) ( ) ( ) 5 7 5 Definição O erminnte de um mtriz qudrd

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática + = B =.. matrizes de M )

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática + = B =.. matrizes de M ) Se ( ij ) é um mtri, definid pel lei Universidde Federl de Viços Centro de Ciêncis Ets e ecnológics Deprtmento de Mtemátic LIS DE EXERCÍCIOS M 7 Prof Gem/ Prof Hugo/ Prof Mrgreth i j, se i j ij, clcule

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT - ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA LISTA DE EXERCÍCIOS ) Sejm A, B e C mtries inversíveis de mesm ordem, encontre epressão d mtri X,

Leia mais

UNITAU APOSTILA DETERMINANTES PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único

UNITAU APOSTILA DETERMINANTES PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA DETERMINANTES PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: Bibliogrfi: Curso de Mtemátic Volume Único Autores: Binchini&Pccol Ed. Modern Mtemátic

Leia mais

Tópicos Especiais de Álgebra Linear Tema # 2. Resolução de problema que conduzem a s.e.l. com única solução. Introdução à Resolução de Problemas

Tópicos Especiais de Álgebra Linear Tema # 2. Resolução de problema que conduzem a s.e.l. com única solução. Introdução à Resolução de Problemas Tópicos Especiis de Álgebr Liner Tem # 2. Resolução de problem que conduzem s.e.l. com únic solução Assunto: Resolução de problems que conduzem Sistem de Equções Lineres utilizndo invers d mtriz. Introdução

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Determinantes. 1 (Unifor-CE) Sejam os determinantes A 5. 2 (UFRJ) Dada a matriz A 5 (a ij

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Determinantes. 1 (Unifor-CE) Sejam os determinantes A 5. 2 (UFRJ) Dada a matriz A 5 (a ij Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Determinntes p. (Unifor-CE) Sejm os determinntes A, B e C. Nests condições, é verdde que AB C é igul : ) c) e) b) d) A?? A B?? B C?? C AB C ()? AB C, se i,

Leia mais

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

Progressões Aritméticas

Progressões Aritméticas Segund Etp Progressões Aritmétics Definição São sequêncis numérics onde cd elemento, prtir do segundo, é obtido trvés d som de seu ntecessor com um constnte (rzão).,,,,,, 1 3 4 n 1 n 1 1º termo º termo

Leia mais

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 7 _ Função Modular, Exponencial e Logarítmica Professor Luciano Nóbrega

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 7 _ Função Modular, Exponencial e Logarítmica Professor Luciano Nóbrega 1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL Aul 7 _ Função Modulr, Eponencil e Logrítmic Professor Lucino Nóbreg FUNÇÃO MODULAR 2 Módulo (ou vlor bsolutode um número) O módulo (ou vlor bsoluto) de um número rel, que

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje

Leia mais

Prof. Weber Campos Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

Prof. Weber Campos Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor. AEP FISCAL Rciocínio Lógico - MATRIZES E DETERMINANTES - SISTEMAS LINEARES Prof. Weer Cmpos weercmpos@gmil.com Copyri'ght. Curso Agor eu Psso - Todos os direitos reservdos o utor. Rciocínio Lógico EXERCÍCIOS

Leia mais

Índice. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Resumo Teórico...1 Exercícios...5 Dicas...6 Resoluções...7

Índice. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Resumo Teórico...1 Exercícios...5 Dicas...6 Resoluções...7 Índice Mtrizes, Determinntes e Sistems Lineres Resumo Teórico...1 Exercícios...5 Dics...6 Resoluções...7 Mtrizes, Determinntes e Sistems Lineres Resumo Teórico Mtrizes Representção A=( ij )x3pode ser representd

Leia mais

Linhas 1 2 Colunas 1 2. (*) Linhas 1 2 (**) Colunas 2 1.

Linhas 1 2 Colunas 1 2. (*) Linhas 1 2 (**) Colunas 2 1. Resumos ds uls teórics -------------------- Cp 5 -------------------------------------- Cpítulo 5 Determinntes Definição Consideremos mtriz do tipo x A Formemos todos os produtos de pres de elementos de

Leia mais

Matemática I. Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Colaboração Prof. Walter Paulette. Elaborado por. Seção 2.

Matemática I. Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Colaboração Prof. Walter Paulette. Elaborado por. Seção 2. Mtemátic I Elordo por Prof. Gerson Lchtermcher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Seção Colorção Prof. Wlter Pulette Versão 009-1 ADM 01004 Mtemátic I Prof. d Disciplin Luiz Gonzg Dmsceno, M. Sc. Seção

Leia mais

Um disco rígido de 300Gb foi dividido em quatro partições. O conselho directivo ficou. 24, os alunos ficaram com 3 8

Um disco rígido de 300Gb foi dividido em quatro partições. O conselho directivo ficou. 24, os alunos ficaram com 3 8 GUIÃO REVISÕES Simplificção de expressões Um disco rígido de 00Gb foi dividido em qutro prtições. O conselho directivo ficou com 1 4, os docentes ficrm com 1 4, os lunos ficrm com 8 e o restnte ficou pr

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação

Matemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Equções Polinomiis p. 86 (PUC-SP) No universo C, equção 0 0 0 dmite: ) três rízes rcionis c) dus rízes irrcionis e) um únic riz positiv b) dus rízes não reis

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte B

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte B Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl 5 CPES FUNÇÕES Prte B Prof. ntônio Murício Medeiros lves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez UNIDDE FUNÇÕES PRTE B. FUNÇÂO

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Progressões Geométricas

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Progressões Geométricas Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Progressões Geométrics p. 7 Qul é o o termo d PG (...)? q q? ( ) Qul é rzão d PG (...)? q ( )? ( ) 8 q 8 q 8 8 Três números reis formm um PG de som e produto

Leia mais

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo Mtemátic ásic II - Trigonometri Not 0 - Trigonometri no Triângulo Retângulo Márcio Nscimento d Silv Universidde Estdul Vle do crú - UV urso de Licencitur em Mtemátic mrcio@mtemticuv.org 18 de mrço de 014

Leia mais

UNITAU APOSTILA. SUCESSÃO, PA e PG PROF. CARLINHOS

UNITAU APOSTILA. SUCESSÃO, PA e PG PROF. CARLINHOS ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA SUCESSÃO, PA e PG PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 1 SUCESSÃO OU SEQUENCIA NUMÉRICA Sucessão ou seqüênci

Leia mais

Desigualdades - Parte II. n (a1 b 1 +a 2 b a n b n ) 2.

Desigualdades - Parte II. n (a1 b 1 +a 2 b a n b n ) 2. Polos Olímpicos de Treinmento Curso de Álgebr - Nível Prof. Mrcelo Mendes Aul 9 Desigulddes - Prte II A Desiguldde de Cuchy-Schwrz Sejm,,..., n,b,b,...,b n números reis. Então: + +...+ ) n b +b +...+b

Leia mais

Aprender o conceito de vetor e suas propriedades como instrumento apropriado para estudar movimentos não-retilíneos;

Aprender o conceito de vetor e suas propriedades como instrumento apropriado para estudar movimentos não-retilíneos; Aul 5 Objetivos dest Aul Aprender o conceito de vetor e sus proprieddes como instrumento proprido pr estudr movimentos não-retilíneos; Entender operção de dição de vetores e multiplicção de um vetor por

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS Questões de Vestibulares. e B = 2

LISTA DE EXERCÍCIOS Questões de Vestibulares. e B = 2 LISTA DE EXERCÍCIOS Questões de Vestiulres ) UFBA 9 Considere s mtries A e B Sendo-se que X é um mtri simétri e que AX B, determine -, sendo Y ( ij) X - R) ) UFBA 9 Dds s mtries A d Pode-se firmr: () se

Leia mais

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b...

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b... Cálculo Numérico Módulo V Resolução Numéric de Sistems Lineres Prte I Profs.: Bruno Correi d Nóbreg Queiroz José Eustáquio Rngel de Queiroz Mrcelo Alves de Brros Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes

Leia mais

Faculdade de Computação

Faculdade de Computação UNIVERIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Fculdde de Computção Disciplin : Teori d Computção Professor : ndr de Amo Revisão de Grmátics Livres do Contexto (1) 1. Fzer o exercicio 2.3 d págin 128 do livro texto

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm

Leia mais

Matemática C Extensivo V. 6

Matemática C Extensivo V. 6 Mtemátic C Etesivo V 6 Eercícios ) D ) D ) C O vlor uitário do isumo é represetdo por y Portto pelo produto ds mtrizes A e B temos o seguite sistem: 5 5 9 y 5 5y 5y 9 5y 5 Portto: y 4 y 4 As médis uis

Leia mais

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem.

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem. EFOMM 2010 1. Anlise s firmtivs bixo. I - Sej K o conjunto dos qudriláteros plnos, seus subconjuntos são: P = {x K / x possui ldos opostos prlelos}; L = {x K / x possui 4 ldos congruentes}; R = {x K /

Leia mais

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução:

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução: IME MATEMÁTICA A mtemátic é o lfbeto com que Deus escreveu o mundo Glileu Glilei Questão Clcule o número nturl n que torn o determinnte bixo igul 5. log (n ) log (n + ) log (n ) log (n ) Adicionndo s três

Leia mais

Funções e Limites. Informática

Funções e Limites. Informática CURSO DE: SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO I Funções e Limites Informátic Prof: Mrcio Demetrius Mrtinez Nov Andrdin 00 O CONCEITO DE UMA FUNÇÃO - FUNÇÃO. O que é um função Um função

Leia mais

Matrizes e Sistemas de equações lineares. D.I.C. Mendes 1

Matrizes e Sistemas de equações lineares. D.I.C. Mendes 1 Mtrizes e Sistems de equções lieres D.I.C. Medes s mtrizes são um ferrmet básic formulção de problems de mtemátic e de outrs áres. Podem ser usds: resolução de sistems de equções lieres; resolução de sistems

Leia mais

TÓPICOS. Determinantes de 1ª e 2ª ordem. Submatriz. Menor. Cofactor. Expansão em cofactores. Determinante de ordem n. Propriedades dos determinantes.

TÓPICOS. Determinantes de 1ª e 2ª ordem. Submatriz. Menor. Cofactor. Expansão em cofactores. Determinante de ordem n. Propriedades dos determinantes. Note bem: leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d bibliogrfi principl d cdeir Chm-se tenção pr importânci do trblho pessol relizr pelo luno resolvendo os problems presentdos n bibliogrfi,

Leia mais

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O :

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O : ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 DEFINIÇÃO LOGARITMOS = os(rzão) + rithmos(números) Sejm e números reis positivos diferentes de zero e 1. Chm-se ritmo

Leia mais

Análise Combinatória

Análise Combinatória Ftoril de um número: n!n.(n-1).(n-)...3..1 Análise Combintóri Definições especiis: 0!1 1!1 100! 101! 1) Clcule o vlor d expressão. 99! 100! 101! 100.99! 101.100.99! 100 101.100 100 10100 1000 99! 99! )

Leia mais

Programação Linear Introdução

Programação Linear Introdução Progrmção Liner Introdução Prof. Msc. Fernndo M. A. Nogueir EPD - Deprtmento de Engenhri de Produção FE - Fculdde de Engenhri UFJF - Universidde Federl de Juiz de For Progrmção Liner - Modelgem Progrmção

Leia mais

Ângulo completo (360 ) Agora, tente responder: que ângulos são iguais quando os palitos estão na posição da figura abaixo?

Ângulo completo (360 ) Agora, tente responder: que ângulos são iguais quando os palitos estão na posição da figura abaixo? N Aul 30, você já viu que dus rets concorrentes formm qutro ângulos. Você tmbém viu que, qundo os qutro ângulos são iguis, s rets são perpendiculres e cd ângulo é um ângulo reto, ou sej, mede 90 (90 grus),

Leia mais

1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C.

1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C. As grndezs A, B e C são tis que A é diretmente proporcionl B e inversmente proporcionl C. Qundo B = 00 e C = 4 tem-se A = 5. Qul será o vlor de A qundo tivermos B = 0 e C = 5? B AC Temos, pelo enuncido,

Leia mais

LISTA PREPARATÓRIA PARA RECUPERAÇÃO FINAL MATEMÁTICA (9º ano)

LISTA PREPARATÓRIA PARA RECUPERAÇÃO FINAL MATEMÁTICA (9º ano) PARTE I ) Determine s potêncis: ) 4 = b) - = ) Escrev usndo potênci de bse 0: ) 7 bilhões: b) um milionésimo: ) Trnsforme os números ddos em potencições e simplifique epressão: 0000000 00000 5 = 4) Escrev

Leia mais

1. VARIÁVEL ALEATÓRIA 2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

1. VARIÁVEL ALEATÓRIA 2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Vriáveis Aletóris 1. VARIÁVEL ALEATÓRIA Suponhmos um espço mostrl S e que cd ponto mostrl sej triuído um número. Fic, então, definid um função chmd vriável letóri 1, com vlores x i2. Assim, se o espço

Leia mais

Nome: N.º: endereço: data: Telefone: PARA QUEM CURSA A 1 a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM Disciplina: MaTeMÁTiCa

Nome: N.º: endereço: data: Telefone:   PARA QUEM CURSA A 1 a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM Disciplina: MaTeMÁTiCa Nome: N.º: endereço: dt: Telefone: E-mil: Colégio PARA QUEM CURSA A SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 05 Disciplin: MTeMÁTiC Prov: desfio not: QUESTÃO 6 O Dr. Mni Aco not os números trvés de um código especil.

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na GV

CPV O cursinho que mais aprova na GV O cursinho que mis prov n GV FGV Administrção 04/junho/006 MATEMÁTICA 0. Pulo comprou um utomóvel fle que pode ser bstecido com álcool ou com gsolin. O mnul d montdor inform que o consumo médio do veículo

Leia mais

Aula 10 Estabilidade

Aula 10 Estabilidade Aul 0 Estbilidde input S output O sistem é estável se respost à entrd impulso 0 qundo t Ou sej, se síd do sistem stisfz lim y(t) t = 0 qundo entrd r(t) = impulso input S output Equivlentemente, pode ser

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA 8 EQUAÇÃO DO 2º GRAU

MATEMÁTICA BÁSICA 8 EQUAÇÃO DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA 8 EQUAÇÃO DO 2º GRAU Sbemos, de uls nteriores, que podemos resolver problems usndo equções. A resolução de problems pelo médtodo lgébrico consiste em lgums etps que vmso recordr. - Representr

Leia mais

MÓDULO IV. EP.02) Determine o valor de: a) 5 3 = b) 3 4 = c) ( 4) 2 = d) 4 2 = EP.03) Determine o valor de: a) 2 3 = b) 5 2 = c) ( 3) 4 = d) 3 4 =

MÓDULO IV. EP.02) Determine o valor de: a) 5 3 = b) 3 4 = c) ( 4) 2 = d) 4 2 = EP.03) Determine o valor de: a) 2 3 = b) 5 2 = c) ( 3) 4 = d) 3 4 = MÓDULO IV. Defiição POTENCIACÃO Qudo um úmero é multiplicdo por ele mesmo, dizemos que ele está elevdo o qudrdo, e escrevemos:. Se um úmero é multiplicdo por ele mesmo váris vezes, temos um potêci:.. (

Leia mais

ESTÁTICA DO SISTEMA DE SÓLIDOS.

ESTÁTICA DO SISTEMA DE SÓLIDOS. Definições. Forçs Interns. Forçs Externs. ESTÁTIC DO SISTEM DE SÓLIDOS. (Nóbreg, 1980) o sistem de sólidos denomin-se estrutur cuj finlidde é suportr ou trnsferir forçs. São quels em que ção e reção, pertencem

Leia mais

MATRIZES: INTRODUÇÃO E NOTAÇÃO GERAL

MATRIZES: INTRODUÇÃO E NOTAÇÃO GERAL Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 MATRIZES: INTRODUÇÃO E NOTAÇÃO GERAL Introdução A teori ds mtrizes tem cd vez mis plicções em áres como Economi, Engenhri, Mtemátic, Físic, dentre outrs.

Leia mais

{ 2 3k > 0. Num triângulo, a medida de um lado é diminuída de 15% e a medida da altura relativa a esse lado é aumentada

{ 2 3k > 0. Num triângulo, a medida de um lado é diminuída de 15% e a medida da altura relativa a esse lado é aumentada MATEMÁTICA b Sbe-se que o qudrdo de um número nturl k é mior do que o seu triplo e que o quíntuplo desse número k é mior do que o seu qudrdo. Dess form, k k vle: ) 0 b) c) 6 d) 0 e) 8 k k k < 0 ou k >

Leia mais

Denominamos matriz real do tipo m x n a toda tabela formada por m x n números reais dispostos em m linhas e n colunas. Exemplos:

Denominamos matriz real do tipo m x n a toda tabela formada por m x n números reais dispostos em m linhas e n colunas. Exemplos: CONTEÚDO PROGRMÁTICO DE RCIOCÍNIO LÓGICO - CONCURSO D POLÍCI FEDERL Estruturs lógics Lógic de rgumentção: nlogis, inferêncis, deduções e conclusões Lógic sentencil (ou proposicionl): proposições simples

Leia mais

CONCURSO DE SELEÇÃO 2003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

CONCURSO DE SELEÇÃO 2003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CONCURSO DE SELEÇÃO 003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 41100 0$7(0É7,&$ RESOLUÇÃO PELA PROFESSORA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA $ LOXVWUDomR TXH VXEVWLWXL D RULJLQDO GD TXHVWmR H DV GDV UHVROXo}HV

Leia mais

Circuitos simples em corrente contínua resistores

Circuitos simples em corrente contínua resistores Circuitos simples em corrente contínu resistores - Conceitos relciondos esistênci elétric, corrente elétric, tensão elétric, tolerânci, ssocição em série e prlelo, desvio, propgção de erro. Ojetivos Fmilirizr-se

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 6 FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA. O gráfico de brrs bixo exibe distribuição d idde de um grupo de pessos. ) Mostre que, nesse grupo,

Leia mais

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc.

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc. Aul Métodos Esttísticos sticos de Apoio à Decisão Aul Mônic Brros, D.Sc. Vriáveis Aletóris Contínus e Discrets Função de Probbilidde Função Densidde Função de Distribuição Momentos de um vriável letóri

Leia mais

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução (9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se

Leia mais

AB AC BC. k PQ PR QR AULA 1 - GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles

AB AC BC. k PQ PR QR AULA 1 - GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles AULA - GEOMETRIA PLANA Triângulos isósceles CONCEITOS BÁSICOS Rets prlels cortds por um trnsversl São queles que possuem dois ldos iguis. Ligndo o vértice A o ponto médio d bse BC, germos dois triângulos

Leia mais

Roberto Meconi Junior. Estratégias pedagógicas com uso de tecnologias na formação de professores: matrizes e determinantes

Roberto Meconi Junior. Estratégias pedagógicas com uso de tecnologias na formação de professores: matrizes e determinantes PONTIFÍCI UNIVERSIDDE CTÓLIC DE SÃO PULO PUC/SP Roberto Meconi Junior Estrtégis pedgógics com uso de tecnologis n formção de professores: mtrizes e determinntes Dissertção presentd à Bnc Exmindor d Pontifíci

Leia mais

MATRIZES. Matriz é uma tabela de números formada por m linhas e n colunas. Dizemos que essa matriz tem ordem m x n (lê-se: m por n), com m, n N*

MATRIZES. Matriz é uma tabela de números formada por m linhas e n colunas. Dizemos que essa matriz tem ordem m x n (lê-se: m por n), com m, n N* MTRIZES DEFINIÇÃO: Mtriz é um tl d númros formd por m linhs n coluns. Dizmos qu ss mtriz tm ordm m n (lê-s: m por n), com m, n N* Grlmnt dispomos os lmntos d um mtriz ntr prêntss ou ntr colchts. m m m

Leia mais

Colegio Naval ) O algoritmo acima foi utilizado para o cálculo do máximo divisor comum entre os números A e B. Logo A + B + C vale

Colegio Naval ) O algoritmo acima foi utilizado para o cálculo do máximo divisor comum entre os números A e B. Logo A + B + C vale Colegio Nvl 005 01) O lgoritmo cim foi utilizdo pr o cálculo do máximo divisor comum entre os números A e B. Logo A + B + C vle (A) 400 (B) 300 (C) 00 (D) 180 (E) 160 Resolvendo: Temos que E 40 C E C 40

Leia mais

Matemática /09 - Integral de nido 68. Integral de nido

Matemática /09 - Integral de nido 68. Integral de nido Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 68 Introdução Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I = [; b] e tl que f () ; 8 [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos

Leia mais

Matemática Régis Cortes FUNÇÃO DO 2 0 GRAU

Matemática Régis Cortes FUNÇÃO DO 2 0 GRAU FUNÇÃO DO 2 0 GRAU 1 Fórmul de Bháskr: x 2 x 2 4 2 Utilizndo fórmul de Bháskr, vmos resolver lguns exeríios: 1) 3x²-7x+2=0 =3, =-7 e =2 2 4 49 4.3.2 49 24 25 Sustituindo n fórmul: x 2 7 25 2.3 7 5 7 5

Leia mais

1º semestre de Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015) Função Exponencial

1º semestre de Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015) Função Exponencial º semestre de Engenhri Civil/Mecânic Cálculo Prof Olg (º sem de 05) Função Eponencil Definição: É tod função f: R R d form =, com R >0 e. Eemplos: = ; = ( ) ; = 3 ; = e Gráfico: ) Construir o gráfico d

Leia mais

Teoria VII - Tópicos de Informática

Teoria VII - Tópicos de Informática INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA ICET Cmpins Limeir Jundií Teori VII - Tópicos de Informátic 1 Fórmuls Especiis no Excel 2 Função Exponencil 3 Função Logrítmic Unip 2006 - Teori VII 1 1- FÓRMULAS

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE 1 DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-2007 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE 1 DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-2007 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-7 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Sore números reis, é correto firmr: () Se é o mior número de três lgrismos divisível

Leia mais

1 Distribuições Contínuas de Probabilidade

1 Distribuições Contínuas de Probabilidade Distribuições Contínus de Probbilidde São distribuições de vriáveis letóris contínus. Um vriável letóri contínu tom um numero infinito não numerável de vlores (intervlos de números reis), os quis podem

Leia mais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais POTÊNCIAS A potênci de epoente n ( n nturl mior que ) do número, representd por n, é o produto de n ftores iguis. n =...... ( n ftores) é chmdo de bse n é chmdo de epoente Eemplos =... = 8 =... = PROPRIEDADES

Leia mais

Rresumos das aulas teóricas Cap Capítulo 4. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Rresumos das aulas teóricas Cap Capítulo 4. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Rresumos ds uls teórics ------------------ Cp ------------------------------ Cpítulo. Mtrizes e Sistems de Equções ineres Sistems de Equções ineres Definições Um sistem de m equções lineres n incógnits,

Leia mais

Curso Básico de Fotogrametria Digital e Sistema LIDAR. Irineu da Silva EESC - USP

Curso Básico de Fotogrametria Digital e Sistema LIDAR. Irineu da Silva EESC - USP Curso Básico de Fotogrmetri Digitl e Sistem LIDAR Irineu d Silv EESC - USP Bses Fundmentis d Fotogrmetri Divisão d fotogrmetri: A fotogrmetri pode ser dividid em 4 áres: Fotogrmetri Geométric; Fotogrmetri

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

Solução da prova da 1 fase OBMEP 2013 Nível 1

Solução da prova da 1 fase OBMEP 2013 Nível 1 Solução d prov d fse OBMEP 0 Nível QUESTÃO Qundo brir fit métric, Don Céli verá o trecho d fit representdo n figur; mnch cinzent corresponde à porção d fit que estv em volt d cintur de Mrt. A medid d cintur

Leia mais

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0 Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,

Leia mais

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida. 9 ENSINO 9-º no Mtemátic FUNDMENTL tividdes complementres Este mteril é um complemento d obr Mtemátic 9 Pr Viver Juntos. Reprodução permitid somente pr uso escolr. Vend proibid. Smuel Csl Cpítulo 6 Rzões

Leia mais

Vestibular Comentado - UVA/2011.1

Vestibular Comentado - UVA/2011.1 estiulr Comentdo - UA/0. Conecimentos Específicos MATEMÁTICA Comentários: Profs. Dewne, Mrcos Aurélio, Elino Bezerr. 0. Sejm A e B conjuntos. Dds s sentençs ( I ) A ( A B ) = A ( II ) A = A, somente qundo

Leia mais

APONTAMENTOS ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

APONTAMENTOS ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA UNIVERSIDDE DO LGRVE ESCOL SUPERIOR DE TECNOLOGI PONTMENTOS ÁLGEBR LINER E GEOMETRI NLÍTIC (I Mtrizes) ÁRE DEPRTMENTL DE ENGENHRI CIVIL Mtrizes Índice Mtrizes Definição e generliddes Álgebr ds mtrizes

Leia mais

Equação do 2º grau. Sabemos, de aulas anteriores, que podemos

Equação do 2º grau. Sabemos, de aulas anteriores, que podemos A UA UL LA Acesse: http://fuvestibur.com.br/ Equção do 2º gru Introdução Sbemos, de us nteriores, que podemos resover probems usndo equções. A resoução de probems peo método gébrico consiste em gums etps

Leia mais

MATRIZES. Em uma matriz M de m linhas e n colunas podemos representar seus elementos da seguinte maneira:

MATRIZES. Em uma matriz M de m linhas e n colunas podemos representar seus elementos da seguinte maneira: MATRIZES Definiçã Chm-se mtriz d tip m x n (m IN* e n IN*) td tel M frmd pr númers reis distriuíds em m linhs e n cluns. Em um mtriz M de m linhs e n cluns pdems representr seus elements d seguinte mneir:

Leia mais

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (II Determinntes) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Determinntes Índice 2 Determinntes 2

Leia mais

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se . Logritmos Inicilmente vmos trtr dos ritmos, um ferrment crid pr uilir no desenvolvimento de cálculos e que o longo do tempo mostrou-se um modelo dequdo pr vários fenômenos ns ciêncis em gerl. Os ritmos

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M10 Função logarítmica. 1 Sendo ƒ uma função dada por f(x) 5 log 2

Matemática. Resolução das atividades complementares. M10 Função logarítmica. 1 Sendo ƒ uma função dada por f(x) 5 log 2 Resolução ds tividdes copleentres Mteátic M0 Função rític p. 7 Sendo ƒ u função dd por f(), clcule o vlor de f(). f() f()??? f() A epressão é igul : ) c) 0 e) b) d)? 0 0 Clcule y, sendo. y y Resolv epressão.

Leia mais

Semelhança e áreas 1,5

Semelhança e áreas 1,5 A UA UL LA Semelhnç e áres Introdução N Aul 17, estudmos o Teorem de Tles e semelhnç de triângulos. Nest ul, vmos tornr mis gerl o conceito de semelhnç e ver como se comportm s áres de figurs semelhntes.

Leia mais

CPV conquista 70% das vagas do ibmec (junho/2007)

CPV conquista 70% das vagas do ibmec (junho/2007) conquist 70% ds vgs do ibmec (junho/007) IBME 08/Junho /008 NÁLISE QUNTITTIV E LÓGI DISURSIV 0. Num lv-rápido de crros trblhm três funcionários. tbel bio mostr qunto tempo cd um deles lev sozinho pr lvr

Leia mais

EQUAÇÃO DO 2 GRAU ( ) Matemática. a, b são os coeficientes respectivamente de e x ; c é o termo independente. Exemplo: x é uma equação do 2 grau = 9

EQUAÇÃO DO 2 GRAU ( ) Matemática. a, b são os coeficientes respectivamente de e x ; c é o termo independente. Exemplo: x é uma equação do 2 grau = 9 EQUAÇÃO DO GRAU DEFINIÇÃO Ddos, b, c R com 0, chmmos equção do gru tod equção que pode ser colocd n form + bx + c, onde :, b são os coeficientes respectivmente de e x ; c é o termo independente x x x é

Leia mais

um número finito de possibilidades para o resto, a saber, 0, 1, 2,..., q 1. Portanto, após no máximo q passos,

um número finito de possibilidades para o resto, a saber, 0, 1, 2,..., q 1. Portanto, após no máximo q passos, Instituto de Ciêncis Exts - Deprtmento de Mtemátic Cálculo I Profª Mri Juliet Ventur Crvlho de Arujo Cpítulo : Números Reis - Conjuntos Numéricos Os primeiros números conhecidos pel humnidde são os chmdos

Leia mais

Calculando volumes. Para pensar. Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a, de quantos cubos de aresta a precisaremos?

Calculando volumes. Para pensar. Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a, de quantos cubos de aresta a precisaremos? A UA UL LA 58 Clculndo volumes Pr pensr l Considere um cubo de rest : Pr construir um cubo cuj rest sej o dobro de, de quntos cubos de rest precisremos? l Pegue um cix de fósforos e um cix de sptos. Considerndo

Leia mais

Matemática Aplicada. A Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é,

Matemática Aplicada. A Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é, Mtemátic Aplicd Considere, no espço crtesino idimensionl, os movimentos unitários N, S, L e O definidos seguir, onde (, ) R é um ponto qulquer: N(, ) (, ) S(, ) (, ) L(, ) (, ) O(, ) (, ) Considere ind

Leia mais

Resumo. Estruturas de Sistemas Discretos. A Explosão do Ariane 5. Objectivo. Representações gráficas das equações às diferenças

Resumo. Estruturas de Sistemas Discretos. A Explosão do Ariane 5. Objectivo. Representações gráficas das equações às diferenças Resumo Estruturs de Sistems Discretos Luís Clds de Oliveir lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Representções gráfics ds equções às diferençs Estruturs ásics de sistems IIR Forms trnsposts Estruturs

Leia mais

Redes elétricas Circuitos que contém resistências e geradores de energia podem ser analisados usando sistemas de equações lineares;

Redes elétricas Circuitos que contém resistências e geradores de energia podem ser analisados usando sistemas de equações lineares; Álger Lier Mtrizes e vetores Sistems lieres Espços vetoriis Bse e dimesão Trsformções lieres Mtriz de um trsformção lier Aplicções d Álger Lier: Redes elétrics Circuitos que cotém resistêcis e gerdores

Leia mais

Integrais Imprópias Aula 35

Integrais Imprópias Aula 35 Frções Prciis - Continução e Integris Imprópis Aul 35 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 05 de Junho de 203 Primeiro Semestre de 203 Turm 20304 - Engenhri de Computção

Leia mais

GEOMETRIA ESPACIAL. 1) O número de vértices de um dodecaedro formado por triângulos é. 2) O número de diagonais de um prisma octogonal regular é

GEOMETRIA ESPACIAL. 1) O número de vértices de um dodecaedro formado por triângulos é. 2) O número de diagonais de um prisma octogonal regular é GEOMETRIA ESPACIAL 1) O número de vértices de um dodecedro formdo por triângulos é () 6 (b) 8 (c) 10 (d) 15 (e) 0 ) O número de digonis de um prism octogonl regulr é () 0 (b) (c) 6 (d) 40 (e) 60 ) (UFRGS)

Leia mais

ntexto finição presentação áfica ilização TempMed(input,output); Var Var Begin Begin readln(t1); readln(t1); readln(t2); readln(t2);

ntexto finição presentação áfica ilização TempMed(input,output); Var Var Begin Begin readln(t1); readln(t1); readln(t2); readln(t2); Arrys (tbels) Co (1) Imgine-se que é necessário efectur o cálculo d médi do primeiro trimestre do no. Com os conhecimentos presentdos té qui o progrm senvolver seri proximdmente Progrm Progrm TempMed(input,output);

Leia mais

02 e D são vértices consecutivos de um quadrado e PAB é um triângulo equilátero, sendo P interno ao quadrado ABCD. Qual é a medida do ângulo PCB?

02 e D são vértices consecutivos de um quadrado e PAB é um triângulo equilátero, sendo P interno ao quadrado ABCD. Qual é a medida do ângulo PCB? 0 Num prov de vinte questões, vlendo meio ponto cd um, três questões errds nulm um cert. Qul é not de um luno que errou nove questões em tod ess prov? (A) Qutro (B) Cinco (C) Qutro e meio (D) Cindo e meio

Leia mais

EXAME DE INGRESSO 2014 3º Período

EXAME DE INGRESSO 2014 3º Período PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA ÁREA DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO (141) ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO EXAME DE INGRESSO 2014 º Período NOME: Oservções Importntes: 1. Não

Leia mais