SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação

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1 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério d Educção Universidde Federl do Rio Grnde Universidde Abert do Brsil Administrção Bchreldo Mtemátic pr Ciêncis Sociis Aplicds I Rodrigo Brbos Sores

2 . Mtrizes:.. Introdução: As mtrizes são tbels de números reis utilizds em quse todos os rmos d ciênci. São utilizds n Esttístic, n Economi, n Administrção, n Físic, n Mtemátic, n Engenhri, etc. A teori de mtrizes foi introduzid em medos do século XIX, sendo o mtemático inglês Arthur Cyley (- 9) um dos pioneiros neste estudo. Em muits situções d economi, ou d físic, ou de outro rmo d ciênci, s idéis costumm ser expresss por um número grnde de equções, s quis envolvem muits vriáveis. A representção com mtrizes constitui um form dequd de representá-ls e de resolvê-ls. Vejmos, então, um exemplo () de mtriz. Considere tbel bixo, que indic o número de vends efetuds por um concessionári de utomóveis, durnte o segundo trimestre de. Modelo Abril Mio Junho Fox Fit Plio 9 Se quisermos sber quntidde de utomóveis do modelo Fit, vendidos no mês de mio, iremos procurr o número que está n terceir linh e segund colun d tbel. No qudro, os números colocdos ns disposições horizontis formm o que denominmos de linh e os números colocdos ns disposições verticis chmmos de colun. O conjunto ordendo dos números 9 que formm tbel é denomindo mtriz e cd número é chmdo de elemento d mtriz. Nesse exemplo, temos um mtriz do tipo x (lê-se: três por três), isto é, um mtriz formd por linhs e coluns.

3 Cd elemento presente em um mtriz é indicdo por um letr minúscul, que possui como índice um pr ordendo (ij) (i,,,...,m e j,,,...,n), o qul represent o número d linh e o d colun, ou sej, o elemento é representdo por ij. Costum-se representr o totl de linhs de um mtriz pel letr m e o número totl de coluns por n. Os vlores de m e de n são s dimensões d mtriz. Ou sej, podemos dizer que mtriz tem ordem m x n ou é um mtriz do tipo m x n. Vejmos gor um outro exemplo (): vmos supor que o responsável pelo lmoxrifdo de um posto de gsolin resolv orgnizr o estoque de óleo lubrificnte pr motores de utomóveis. Pr cd tipo de óleo lubrificnte, contido no lmoxrifdo, e pr cd mês do no, ele deve destcr quntidde do produto em estoque. Ele resolve orgnizr o estoque d seguinte mneir: Óleo minerl (,,, ); Óleo sintético (,,, ); Óleo semi-sintético (,,, ), sendo que os números em prênteses representm quntidde de óleo em estoque nos meses de jneiro, fevereiro, mrço e bril. A solução mis utilizd pr este tipo de problem é construção de um tbel, onde s linhs podem representr os lubrificntes e s coluns, os meses. Dess form, se quisermos sber quntidde, em estoque, do produto óleo sintético no mês de mrço, bst procurrmos o número que está n segund linh e n terceir colun:. Assim, os produtos estão orgnizdos, n form de mtriz, que é um conjunto ordendo de elementos dispostos em linhs e coluns... Definição: Um mtriz A é dd por A (i j) com i m e j n, onde o elemento i j é o elemento d linh i e d colun j. A representção genéric de um mtriz pode ser observd bixo:

4 Vmos ver, seguir, lguns conceitos importntes utilizdos no estudo ds mtrizes : Posição de um elemento: N tbel cim, posição de cd elemento i j é indicd pelo pr ordendo (i,j), onde i corresponde à linh e j à colun em que se encontr o elemento. Notção pr mtriz: Indicmos um mtriz A pelos seus elementos, n form: A ( ) ou A [ ] i j i j A Ordem de um mtriz refere-se o seu número de linhs e coluns. É presentd n notção m x n, onde m é o número de linhs e n o de coluns. Lê se mtriz "m por n". Assim, mtriz A do segundo exemplo é de ordem x. Exemplo : é mtriz do tipo x, é mtriz do tipo x, 9 é mtriz do tipo x. Exemplo : Monte um mtriz A de ordem x onde i j, se i j ij. i j, se i j

5 Solução: A. A mtriz foi montd, seguindo um lei de formção pr os seus elementos. Então, por exemplo, se i j o elemento (x)- e se ij o elemento... Tipos especiis de mtrizes:... Mtriz Linh é mtriz que possui pens um linh, isto é m. x Exemplo : [ ]... Mtriz Colun é mtriz que possui pens um colun, isto é n. Exemplo : x... Mtriz qudrd é mtriz que tem o número de linhs igul o número de coluns. Neste cso, podemos dizer que ordem é m, o invés de m x m. Exemplo : Digonl Secundári Digonl Principl Digonl Secundári Digonl Principl Em um mtriz qudrd, os elementos d digonl principl (,, ) i j, onde i j são chmdos elementos, enqunto os elementos tis que i j n ( em que n é ordem d mtriz) são chmdos elementos d digonl secundári (,, ).... Iguldde de Mtrizes:

6 Dds s mtrizes A ( ij ) m n e B (b ij ) p q, podemos firmr que A e B são iguis se, e somente se: ) m p e n q (ou sej, els têm mesm ordem); ) i j b i j pr todo i m e j n. Em outrs plvrs, dus mtrizes são dits iguis, se tiverem mesm ordem e se os seus elementos forem idênticos. x y Exemplo : Dds s mtrizes A e B de mesm ordem ( x z t ). Pr que A sej igul B devemos ter x, y, z - e t, ou sej, seus elementos devem ser iguis.... Mtriz digonl é tod quel cujo elemento i j se i j. Isto é, possui todos os vlores iguis à zero, exceto os elementos d digonl principl. Alguns elementos d digonl principl podem ser nulos. Exemplo 9: São digonis s mtrizes: A e B.... Mtriz nul é quel que possui todos os elementos iguis zero. Exemplo : A é mtriz nul tipo x, B é mtriz nul de ordem.... Mtriz identidde: Chmmos de mtriz identidde tod mtriz qudrd, cujos elementos d digonl principl são iguis e os elementos for d digonl principl são nulos. Ou sej, é tod quel cujos elementos j e i j se i j. Representmos por I n. i j se i Exemplo : A

7 ... Mtriz simétric: é quel mtriz qudrd, n qul os elementos dispostos simetricmente em relção à digonl principl são iguis. Isto é, A é um mtriz simétric se i j, pr todo i e j. j i Exemplo : A, pode-se observr que os elementos dispostos simetricmente em relção à digonl principl, os elementos, e são iguis...9. Mtriz nti-simétric: é mtriz qudrd, n qul, são nulos os elementos d digonl principl, e opostos os elementos dispostos simetricmente em relção el. Exemplo : A Mtriz trnspost: Se A é um mtriz de ordem m x n, chmmos trnspost de A e indicmos por A t mtriz de ordem n x m, obtid pel troc ordend ds linhs pels coluns. Exemplo : A x A t x Observe que: A linh de A é igul à colun de A t, A linh de A é igul à colun de A t, A linh de A é igul à colun de A t.. Operções com mtrizes:... Adição: Est operção só pode ser relizd qundo s mtrizes envolvids, n operção, têm o mesmo número de linhs e o mesmo número de coluns (mesm ordem), ou

8 sej, são do mesmo tipo. Sejm dus mtrizes n m A e n m B, então, mtriz C A B é um mtriz m x n tl que cd elemento de C é ddo por: ij c ij ij b. Exemplo : Sendo A e B, determine mtriz C A B. B A C... Mtriz Opost: Dd mtriz A, de ordem m x n e elemento ij, chmmos mtriz opost de A (indicd por A ou A ) mtriz de ordem m x n e elemento ij. Exemplo : Sendo A, mtriz opost de A é dd por A.... Proprieddes d Adição de mtrizes: Sejm s mtrizes A, B e C de mesm ordem ou tipo m x n. A operção de dição possui s seguintes proprieddes: ij b ij

9 . Comuttiv AB BA.. Associtiv (AB) C A (BC). Obtemos iguldde (AB) CA (BC).. Elemento Neutro AA ( é mtriz nul).. Elemento oposto A(-A) ( é mtriz nul).. (AB) t A t B t. 9 A B C A BC AB BA

10 Se então t ( A B), (A B), A t e B t, t t t A B (A B).... Subtrção de mtrizes: Considere s mtrizes: A e B, diferenç D entre s mtrizes A e B é obtid pel som d mtriz A com mtriz opost de B, ou sej, D A-B A (-B). 9 D -... Multiplicção de número por mtriz: Dd mtriz A e o número k, o produto de k pel mtriz A é mtriz que se obtém multiplicndo todos os elementos d mtriz pelo número k. Então, mtriz B k.a. Sendo ( ) 9 A e k, então, k.a... Multiplicção de mtrizes: Sejm s mtrizes A e m p A (observe que o número de coluns de A é igul p n o número de linhs de B), com elementos genéricos ik e b k j. Chm-se o produto d mtriz A pel mtriz B (indic-se o produto AB) mtriz do tipo m x n, cujo elemento genérico c i j é ddo por c.b.b.b.... b. i j i j i j i j ip pj Isto é, o elemento c i j é obtido multiplicndo-se linh i de A pel colun j de B ordendmente, elemento por elemento, somndo-se os produtos em seguid.

11 i. b j i. b j b b j j B ip. b pj b pj i i... ip c ij c.b ij i j i.b j... ip. b pj A AB Exemplo : Dds s mtrizes A e B o produto A.B é mtriz C c c 9 c c 9 onde o elemento: c... 9, é som obtid d multiplicção d primeir linh de A pel primeir colun de B ordendmente, elemento por elemento; c..., é som obtid d multiplicção d primeir linh de A pel segund colun de B ordendmente, elemento por elemento; c... 9, é som obtid d multiplicção d segund linh de A pel primeir colun de B ordendmente, elemento por elemento; c... é som obtid d multiplicção d segund linh de A pel segund colun de B ordendmente, elemento por elemento. Observmos que, de cordo com definição, exigi-se que o número de coluns de A fosse igul o número de linhs de B, ou sej:

12 A m x p B p x n iguis Vmos visulizr est operção por meio do exemplo, prático e simples: Um doceri produz dois tipos de doces A e B. Pr produção desses doces, são utilizdos os ingredientes X, Y e Z, conforme tbel. DOCES A B X Y Z A tbel dd será representd pel mtriz A. Suponh que sejm fbricdos, por di, doces do tipo A e doces do tipo B. Ess quntidde de doces pode ser representd pel mtriz colun: B. Se quisermos determinr quntidde de ingredientes X, Y e Z utilizd por di, devemos proceder d seguinte form: Ingrediente X: Ingrediente Y: Ingrediente Z:

13 Esss quntiddes podem ser representds pel mtriz c. Então, mtriz C, denomind produto de A por B pode ser obtid d seguinte form: A B C... Proprieddes d multiplicção de mtrizes: A multiplicção de mtrizes possui s seguintes proprieddes, cso existm os produtos envolvidos:.associtiv ( AB) C A (BC).. Distributiv pel esquerd A (B C) AB AC.. Distributiv pel direit ( B C) A BA CA.. Se K é um número rel, então: ( ka) B A (kb) k (AB).. t ( AB) B A. t t Observções:. A multiplicção de mtrizes não é comuttiv, isto é, pode ocorrer que A B B A. Cso A B B A, dizemos que s mtrizes comutm. Exemplo 9: Verificr se s mtrizes A e B comutm: C AB D BA logo A e B comutm., então s mtrizes C e D são iguis,

14 Exemplo : Verificr se s mtrizes A e B comutm: ( ) ( ) C AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) D BA ( ) ( ) diferentes, logo A e B não comutm. ( ) ( ) ( ) ( ), s mtrizes C e D são. Ao contrário do produto de mtrizes, multiplicção de números reis possui propriedde comuttiv. Existem outrs proprieddes que multiplicção de números reis possui que não vlem pr mtrizes. Por exemplo, se e b pertencem o conjunto dos números reis, então,.b se, e somente se, ou b. Isso não ocorre com mtrizes, como mostr o exemplo seguir: Exemplo : Dds s mtrizes A e B, clcule A B. A.B pode ser um mtriz nul, mesmo que nenhum dels o sej., dest form o produto de dus mtrizes... Exercícios geris: x y m n. Sendo s mtrizes A e B, chr os vlores x y m n de x, y, m e n pr que se tenh AB. x y 9. Determine x e y, sbendo que s mtrizes são iguis. x y x y b. Se x y b, determine x, y, e b. x y x y. Sendo s mtrizes A e B, clcule x e y de y modo que t A B. x y z. Sejm s mtrizes A x y e B z t t t A B, determine x, y, z e t.. Se

15 . Sejm s mtrizes A e B, de mesm ordem mxn. Demonstre que: t t A B A B. ( ) t. Dds s mtrizes A, B e C, clculr: ) A B C b) A B C x z z. Determinr x, y e z sbendo que:. y 9. Sejm s mtrizes A e B AxB., determine o produto. Sejm s mtrizes A e B, clcule s mtrizes produtos:. ) A.B b) B.A c) A.BB.A? V ou F.. Se A, determine mtriz X tl que A.X I.. Determine o número b R, pr que mtriz b A sej simétric. b b A ij. Sej mtriz [ ] x A t., pr qul ii ij ij ji i j, se i < j. Determine A e

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