Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0

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1 Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente, o módulo de é igul à distânci do ponto que represent n ret rel à origem independentemente de sus posições reltivs. Por isso temos, por eemplo, que = = que é distânci d cd número té origem. Vej o gráfico bio: 0 Pensndo ind n interpretção geométric do módulo, podemos verificr como são resolvids s inequções modulres, pois se o módulo de um número rel é menor do que um constnte temos que su distânci té origem é menor do que. Ou sej, qulquer número entre e serve como solução. Assim: < < < Represntndo grficmente: 0 De modo nálogo podemos definir qundo o módulo é mior do um vlor positivo : > < ou > Representndo grficmente: 0 Equções Modulres É tod equção que contiver incógnit em módulo. Eemplo : = Eemplo : + 8 = Eemplo : + = 5 Solução Vmos mostrr com eemplos práticos como resolvemos um equção deste tipo.

2 Eemplo : Resolver equção modulr =. Solução: Temos dus possibiliddes: () = ou () = Vmos cd solução: De (): = 6 6 = = De (): = = Repre que substituindo estes vlores n equção modulr obtemos o vlor correto: = 6 = = = Eemplo : Encontre os vlores de que stisfzem equção modulr 7 =. Solução: Não há vlores pr que stisfzem est equção, pois o múdulo de um número rel é sempre positivo ou nulo. O conjunto-solução é, portnto, vzio. Eemplo : Encontre os vlores de que verificm iguldde: + = +. Solução: Pr este tipo de problem temos que retirr cd módulo e verificr s possibiliddes. D definição decorre que: + = + ou + = + Crimos então dus novs equções modulres. Bst replicr definição: () + = + ou () = + De (): + = + = = De (): = + = 5 A segund opção vi nos levr às mesms soluções: + = = 5 + = + + = + = Testndo os vlores veremos que s soluções estão correts. Inequções Modulres Inequções modulres são inequções em qu incógnit prece dentro de um módulo. Pr solucioná-l, bst levr em cont definição de módulo e o que visto nteriormente. Vej um eemplo: Eemplo : Clculr os vlores possíveis de pr que se tenh + > 5. Solução: Lembrndo que idei de módulo está ssocid à distânci d origem d ret rel, pr que o módulo sej mior do que um vlor positivo qulquer devemos ter que ele deve ser mior do que o próprio vlor ou menor que o simétrico dele, ou sej: () + < 5 ou () + > 5

3 Portnto, de (): + < 5 < 7 7 < E, tmbém, de (): + > 5 > > Como vle um solução ou outr devemos ter união dos intervlos. Portnto, solução será: 7 S = R < > Escrevendo como um intervlo: Definição 7 S =,, + [ [ Denominmos por função modulr função f ( ) ( ) f, 0 =, R, < 0 =, definid por: Gráfico Pr fzer o gráfico de um função modulr qulquer, devemos levr em cont que el é regid por dus epressões. Como eemplo prático, vmos fzer o gráfico d função definid nteriormente. f =. Eemplo : Fç o gráfico d função rel definid por ( ) Solução: Primeiro, seprmos em dois intervlos disjuntos, prtir d definição temos que: () Pr 0 f =, que é um função do º gru (função identidde):, ( ) Fzemos um tbel pr colocr os vlores do domínio e clculr s respectivs imgens: f ( ) 0 0 Colocndo estes pontos em um eio crtesino: f ( ) 0

4 () Pr 0 <, f ( ) =, que é um função do º gru (liner): Fzemos um tbel pr colocr os vlores do domínio e clculr s respectivs imgens: f ( ) 0 0 Observção: Repre que = 0 não fz prte do domínio, ms precismos testr continuidde d função. Colocndo estes pontos em um eio crtesino: f ( ) 0 Colocndo os dois gráficos sobre um mesmo eio crtesino: f ( ) 0 Eercícios de Fição ) Ache o conjunto verdde d inequção: ) Resolv inequção: +. ) Constru o gráfico de f ( ) =. ) Fç o gráfico de f ( ) =. <. 5) Sendo f e g funções reis definids por f ( ) = e g ( ) = +, determine ( ) o vlor de f g ( 5). 6) Esboce o gráfico de f ( ) =. 7) Sendo e y reis determine os possíveis vlores d epressão: y y A = + +. y y 8) Pr que vlores de função f ( ) = + +, é constnte? 9) Qul o conjunto solução d equção 0) Se A = { R } e B = { < } ) Resolv inequção modulr: + <. + = 0? R, então quem é A B?

5 ) { R / < < } ) ) R /, f ( ) Gbrito 0 ) f ( ) 0 5) 6) f ( ) 0 7) {,} 8) [,0[ 9) {,} 0) { R < < } ) R < > 6 5