n. 6 SISTEMAS LINEARES

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1 n. 6 SISTEMAS LINEARES Sistem liner homogêneo Qundo os termos independentes de tods s equções são nulos. Todo sistem liner homogêneo dmite pelo menos solução trivil, que é solução identicmente nul. Assim, todo sistem liner homogêneo é possível. Este tipo de sistem poderá ser determindo se dmitir somente solução trivil ou indetermindo se dmitir outrs soluções lém d trivil. Se o sistem homogêneo dmitir outr solução em que s incógnits não são tods nuls, solução será chmd solução não-trivil. + = 0 Eemplo: O sistem { 4 + = 0 + = 0 é determindo, pois possui solução = 0, = 0 e = 0.

2 Form Algébric de um Sistem de Equções Lineres com m equções e n incógnits (número de linhs mior que número de coluns) m n mn m m n n n n b b b Form Mtricil: A. = b mn m m n n n b m b b Mtri Aumentd ou Mtri Complet do Sistem B [ A b ] m mn m m n n b b b. Onde: A mtri dos coeficientes; vetor ds incógnits (ou vetor solução); b vetor dos termos independentes.

3 Clssificção dos Sistems Podemos clssificr um sistem liner de três mneirs: SPD Sistem possível determindo: eiste pens um conjunto solução e número de equções é igul o número de incógnits. e (equções) = i (incógnits) Qundo o det 0 SPD SPI Sistem possível indetermindo: eistem inúmeros conjuntos solução e número de equções é menor que o número de incógnits. e (equções) i (incógnits) Qundo o det = 0 Num sistem possível e indetermindo, clculndo por Crmer teremos det = 0 (determinnte igul à ero) e cd um dos determinntes (det, det, det ) iguis à ero, logo teremos um indeterminção: 0 0 SI Sistem impossível: não é possível determinr um conjunto solução n = β Logo, β 0 Qundo o det = 0

4 Num sistem impossível teremos det = 0 (determinnte igul ero) ms cd um dos determinntes (det, det, det ) é diferente ero: α 0 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES X Sistems de equções lineres de dus equções com dus incógnits representm rets no plno. As rets no plno podem ser: concorrentes; prlels coincidentes e prlels distints.

5 Eemplos. Resolv e interprete geometricmente solução dos sistems: + = 5. { = 6 + = 5 b. { 6 + = 5 + = 5 c. { 6 + = 0 Resolução ds questões + = 5. { = 6 Solução: S.P.D. = e = -

6 Como o sistem tem solução únic, o sistem é possível e determindo SPD. A solução é representd pel intersecção ds rets cujs equções geris são: 5 e 6. + = 5 b. { 6 + = 5 Solução: S.P.I. { = + 5 = α ε R depende dos vlores tribuídos se α =, então, =, Como o sistem tem infinits soluções, o sistem é possível e indetermindo SPI. A solução é representd pel intersecção ds rets cujs equções geris são: 5 e 6 5 (rets prlels coincidentes).

7 + = 5 c. { 6 + = 0 Como s rets cujs equções geris são: + = 5 e 6 + = 0 são prlels não coincidentes, ou distints, o sistem não tem solução. Equção Equção - 7-6/ = 5, / =, 4/ =, O sistem não tem solução, portnto é um Sistem Impossível SI.

8 Interpretção Geométric de Sistems de Equções Ddo um sistem de equções com três equções com três incógnits: b b b Cd equção represent um plno no espço tridimensionl. Assim, cd equção do sistem represent um plno: α, β e γ As soluções do referido sistem pertencem à interseção α β γ desses plnos.

9 Sistem possível e indetermindo: interseção é um ret Os três plnos são distintos e tem um ret r em comum, isto é α β γ = r Neste cso o sistem é indetermindo e qulquer ponto d ret r é um solução do sistem. Eemplo: 6 4 5

10 Dois dos plnos coincidem e o terceiro os intersect segundo um ret r. Neste cso o sistem é indetermindo e qulquer ponto d ret r é um solução do sistem. Eemplo:

11 Os três plnos coincidem. Neste cso o sistem é indetermindo e qulquer ponto dos plnos é um solução do sistem. Eemplo: Sistem impossível : interseção α β γ é vi Três plnos são prlelos. Neste cso o sistem é impossível.

12 Dois plnos coincidem e o terceiro é prlelo eles. Neste cso o sistem é impossível. Eemplo: Os plnos α e β e são prlelos e o plno γ os intersect segundo dus rets prlels. Neste cso o sistem é impossível. Eemplo: 9 5 4

13 Os três plnos se intersectm, dois dois, segundo rets r = α β, s = α γ e t = β γ, prlels ums às outrs. Neste cso o sistem é impossível. Eemplo: Os três plnos são prlelos dois dois. Neste cso o sistem é impossível. Eemplo:

14 Sistem possível e determindo Os três plnos se intersectm em pens um ponto. Neste cso, o sistem é possível e determindo (solução únic). Eemplo: Eercícios:. Resolv por esclonmento e discut os sistems lineres: + + = 4. { + 4 = + 5 = = 4 b. { + 4 = + 5 = = 4 c. { + 4 = + = Resolução ds questões:

15 + + = 4. { + 4 = + 5 = 7 4 [ 4 L = L L ] { L = L L [ 0 7 5] [ 0 7 5] {L = L L [ 0 7 5] = 4 { 7 + = 5 Logo, = e + + = 4 = = 8 7 Portnto, o sistem é comptível e indetermindo, pois pr cd vlor rel de, obteremos um ds infinits soluções que o sistem liner dmite. As soluções são s infinits terns ordends {( 8 7, + 5 7, )} R

16 + + = 4 b. { + 4 = + 5 = 8 4 [ 4 L = L L ] { L = L L [ 0 7 5] [ 0 7 5] {L = L L [ 0 7 5] = 4 { 7 + = = Como 0 Portnto, o sistem é incomptível, pois o =, o sistem de equções não tem solução. + + = 4 c. { + 4 = + = 4 [ 4 L = L L ] { L = L L 4 [ 0 7 5] 0 7 9

17 4 4 [ 0 7 5] {L = L L [ 0 7 5] = 4 { 7 + = 5 4 = 4 Logo, = = e = Portnto, o sistem é comptível e determindo dmitindo um únic solução S:{(,,)} List de eercícios:. Resolv por esclonmento e discut os sistems lineres: + + = 4. { + = 4 + = = 4 b. { + = = = 4 c. { + = 4 = 5 R: {(,,)} - SPD R: {( R: SI, 5 4, )} - SPI

18 + + + t = 4 + t = 5 d. { + = 0 + t = t = 0 e. { + + t = = 0 R: SPD, S = {(,,, )}. R: SPI, S = {( + t,, t, t)}. + 4 t + 5v = t + u 8v = 0 f. { 6 + t + u + 5v = t + u + v = 0 R: SPI, S = {( 7t + v,, t v, t, 0, v)}. Resolução: + + = 4. { + = 4 + = 5 4 L = L + L [ ] { L = 4L + L [ 0 8 0] [ 0 8 0] {L = 8L 5L [ 0 8 0]

19 + + = 4 { 8 = 0 8 = 8 R: {(,,)} - SPD + + = 4 b. { + = = 0 4 L = L + L [ ] { L = 5L + L [ 0 8 0] [ 0 8 0] {L = L L [ 0 8 0] = 4 { 8 = = 4 { 0 8 = + + = 4 { = 5 4 = { = 5 4 = { = 5 4 R: SPI, S = {(,, 5 4)} ou S = {(, 5, )}. + + = 4 c. { + = 4 = 5

20 4 [ L = L L ] { L = L L [ 0 8 0] [ 0 8 0] {L = L L [ 0 8 0] = 4 { 8 = = = 4 { 8 = = 7 O que é impossível! Portnto, SI t = 4 + t = 5 d. { + = 0 + t = 6 R: (,-,,) SPD [ ] {L L4 [ ] L = L + L [ ] { L4 = L4 + L [ ]

21 L = L + 6L4 [ ] { L = L L4 [ ] [ ] {L L4 [ ] [ ] {L4 = L4 + 7L [ ] { + t = t = 6 0t = 5 = 05 R: SPD, S = {(,,, )}. + + t = 0 e. { + + t = = 0 0 [ 0 0 L = L + L ] { L = L L [ 0 0 0] [ 0 0 0] {L = L + L [ 0 0 0] t = 0 { + t = 0 t + t = 0 { = t { = + t = t

22 R: SPI, S = {( + t,, t, t)}. + 4 t + 5v = t + u 8v = 0 f. { 6 + t + u + 5v = t + u + v = L = L + L [ ] { L = L L L4 = L4 L [ ] [ ] {L4 = L4 L [ ] [ ] {L4 = L4 L [ ] t + 5v = 0 { t + u + v = 0 u = 0 = 4(t v) + t 5v { = t v u = 0 = 8t + 8v + t 5v { = t v u = 0 = 7t + v { = t v u = 0 R: SPI, S = {( 7t + v,, t v, t, 0, v)}. Referêncis Bibliográfics BOLDRINI, J. L. et l. Álgebr liner. São Pulo: Hrper & Row, 980.

23 CALLIOLI, C. A. et l. Álgebr liner e plicções. São Pulo: Atul, 990. ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebr liner contemporâne. São Pulo: Bookmn, 008. KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebr liner com plicções. 6ª ed. Rio de Jneiro: Prentice-Hll, 998. LIPSCHUTZ, S. Álgebr liner. São Pulo: McGrw-Hill do Brsil, 97. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebr liner. São Pulo: Person-Mkron Books, 00.