Módulo 02. Sistemas Lineares. [Poole 58 a 85]

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1 Módulo Note em, leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d iliogrfi principl d cdeir Chm-se à tenção pr importânci do trlho pessol relizr pelo luno resolvendo os prolems presentdos n iliogrfi, sem consult prévi ds soluções proposts, nálise comprtiv entre s sus respost e resposts proposts, e posterior eposição unto do docente de tods s dúvids ssocids. [Poole 58 85] Sistems ineres Equção liner. Sistem de equções lineres. Equção mtricil. Soluções do sistem. Método de Guss-Jordn. Clssificção de sistems qunto à solução. Sistems homogéneos.

2 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D Equção iner. Sistem de Equções ineres. Equção Mtricil. Eemplo. O sistem de equções lineres. Um equção liner de n vriáveis,,, n, designds por incógnits, é um equção d form n n em que,,, n e são constntes R ou C ).. Um sistem de equções lineres é um conunto de equções lineres, ou se, um conunto de equções d form nn nn m m mnn m em que i, os coeficientes do sistem, e k, os termos independentes, são constntes R ou C ), pr i, k, Km e, Kn.. Um sistem liner pode ser representdo por um equção mtricil X em que n n M M O M m m mn é mtriz simples, ou mtriz dos coeficientes do sistem, [ ] T X n é mtriz vector) colun ds incógnits, e [ ] T m é mtriz vector) colun dos termos independentes. y 5 y pode ser escrito n form de um equção mtricil, sendo mtriz dos coeficientes 5 y X, o vector colun dos termos independentes T y o vector colun ds incógnits: X [ y] T 5 5, e Prof. José mrl G M

3 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D Soluções do Sistem. Método de Guss-Jordn.. Um solução de um sistem é um mtriz colun Eemplo. O sistem de equções lineres tem mtriz complet [ s s ] T Por plicção do método de Guss-Jordn S s n, tl que s equções do sistem são tods stisfeits qundo fzemos s sustituições, s, s,, n s n. 5. Se dois sistems lineres X e CX D, são tis que D em resultdo d plicção mtriz [ C ] é otid d mtriz de um conunto de operções elementres sore linhs, então os dois sistems possuem s mesms soluções, dizendo-se sistems equivlentes. 6. O método de Guss-Jordn de resolução de sistems consiste em plicr operções elementres às linhs d mtriz complet, té que mtriz dos ou mtriz mplid) do sistem, coeficientes este n form esclond reduzid. [ ] y 5 y 5 [ ] , result o sistem CX D, equivlente X,, ficndo determind solução do sistem y y [ C D] Prof. José mrl G M

4 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D Clssificção de Sistems Qunto à Solução. 7. Qunto o número de soluções que dmite, um sistem com n incógnits clssific-se como dit nturez do sistem) - Sistem possível e determindo: se tem um únic solução Eemplo. O sistem de equções lineres sse ) cr [ ] ) n cr ); - Sistem impossível: se não tem soluções cr ) cr ); sse ) Se últim linh não nul d form esclond reduzid d mtriz complet do sistem for d form [ m] com m o sistem é impossível; - Sistem possível e indetermindo: se tem infinits soluções. cr ) cr < ); sse ) n Se o sistem tiver solução, e form esclond reduzid d mtriz complet possuir coluns sem pivots, o sistem é possível e indetermindo. s vriáveis que não estão ssocids pivots são chmds vriáveis livres ou vriáveis ritráris, isto é, podem ssumir qulquer vlor, sendo o seu número chmdo o gru de indeterminção do sistem, g n cr). s vriáveis ssocids os pivots, dits vriáveis principis, têm os seus vlores dependentes ds vriáveis livres. O conunto de tods s soluções de um sistem possível e indetermindo é chmd solução gerl do sistem. y 5 y que, como vimos, tem por solução e y, é um sistem possível e determindo. Como vimos pelo que cr ) cr [ ] ) n. Do sistem de equções lineres y [ ] y y result, recorrendo o método de Guss-Jordn, Prof. José mrl G M

5 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D Prof. José mrl G M D C Ddo que últim linh não nul d form esclond reduzid d mtriz complet do sistem é d form m com m o sistem é impossível: y De modo equivlente, podemos concluir que o sistem é impossível, ddo que ) cr ) cr. Do sistem de equções lineres 6 y y result, recorrendo o método de Guss-Jordn, D C 6 6 Ddo que form esclond reduzid d mtriz complet possui coluns sem pivots, ª colun, o sistem é possível e indetermindo. O sistem considerdo é equivlente y, tendo portnto como solução y vriável que não estão ssocid um pivot, y, é um vriável livre. Tendo um só vriável livre, o sistem tem um gru de indeterminção g tmém dito sistem simplesmente indetermindo). O sistem tem um vriável principl ssocid um pivot),, com um vlor dependente d vriável livre. solução gerl do sistem é epress n form y De modo equivlente, podemos concluir que o sistem é indetermindo, ddo que ) cr ) cr < n, com um gru de indeterminção ) cr n g.

6 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D Prof. José mrl G M Sistems Homogéneos. 8. Um sistem d form X é designdo por sistem homogéneo. 9. Todo o sistem homogéneo dmite pelo menos solução X, chmd solução trivil.. Se um sistem homogéneo tiver outr solução pr lém d solução trivi,l então tem infinits soluções.. Se n m i ) é tl que n m <, então o sistem homogéneo X tem soluções diferentes d solução trivil, ou se, todo o sistem com menos equções do que incógnits tem infinits soluções.. Sendo X um sistem indetermindo, p X X um solução prticulr do sistem, ou se, um qulquer ds sus soluções, e h X X solução gerl do sistem homogéneo ssocido, X, então p X h X X é solução gerl do sistem X. Eemplo. Se o sistem, X, O sistem homogéneo ssocido, X, ddo que tem como solução gerl, h X X, Sendo que T p X é um solução prticulr do sistem X, então su solução gerl é d form p h X X X

7 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D Prof. José mrl G M Eercícios.. Estude nturez do sistem ) em função dos prâmetros compleos e. Escrevendo o sistem n form mtricil Temos, recorrendo o método de Guss-Jordn, Pelo que: pr, s epressões ssumem vlores finitos, pelo que o sistem é possível e determindo; pr, se o sistem é impossível, ddo que ± se o sistem é possível e indetermindo, ddo que. Estude nturez do sistem ) em função dos prâmetros reis e.

8 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D Prof. José mrl G M Escrevendo o sistem n form mtricil ) Temos, recorrendo o método de Guss-Jordn, ) ) Pelo que: pr, s epressões ssumem vlores finitos, pelo que o sistem é possível e determindo; pr result )

9 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D Prof. José mrl G M se o sistem é impossível, ddo que ± ) se o sistem é possível e indetermindo, ddo que ) pr result se o sistem é impossível, ddo que ± ) se o sistem é possível e indetermindo, ddo que ) Resumindo impossível é O sistem indetermindo é O sistem impossível é O sistem indetermindo é O sistem determindo e possível é O sistem

10 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D Mt. Como vimos, função rref) fz redução d mtriz à form esclond reduzid. Com se nest função, e nos considerndos dos pontos nteriores, resolução de sistems em Mtl é trivil.. O sistem de equções lineres tem mtriz complet [ ], pelo que >> [ - ; 6; - 5; - ]; >> CDrref) CD Pr ver o resultdo n form frccionári qundo possível), utilizmos o comndo formt rt >> formt rt >> CD CD 7/6 7/6 / O sistem é possível e determindo, com solução 7 7 ; ; 6 6 Poderímos ter verificdo que o sistem é possível e determindo, fzendo >> [ -; ; - ; -]; >> [; 6; 5;]; >> rrnk) r >> rrnk[ ]) r Prof. José mrl G M

11 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D cr cr ) n o sistem é possível e determindo. Ddo que ) [ ] Pr resolver um sistem de equções lineres podemos utilizr função do Mt linsolve,) >> [ -; ; - ; -]; >> [; 6; 5;]; >> formt rt >> linsolve,) ns 7/6 7/6 /. O sistem de equções lineres tem mtriz complet [ ] , pelo que >> [ - 5; 5; ]; >> CDrref) CD - - Ddo que últim linh não nul d form esclond reduzid d mtriz complet do sistem é d form [ m] com m o sistem é impossível. lterntivmente, podemos fzer >> [ - ; ; ]; >> [5;5; ]; >> rnk) ns >> rnk[ ]) ns, e concluir que, sendo ) cr [ ] ) cr, o sistem é impossível. Se utilizr-mos função linsolve,) somos informdos que o sistem é impossível >> linsolve,) Prof. José mrl G M

12 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D Prof. José mrl G M Wrning: Rnk deficient, rnk, tol.e-5. ns. O sistem de equções lineres tem mtriz complet, pelo que >> [ ; - ; - ; ]; >> CDrref) CD - form esclond reduzid d mtriz complet possui coluns sem pivots, ª colun e ª, pelo que o sistem é possível e indetermindo. O sistem considerdo é equivlente, tendo portnto como solução s vriáveis que não estão ssocid um pivot, e, são vriáveis livres. Tendo dus vriáveis livres, o sistem tem um gru de indeterminção g tmém dito sistem duplmente indetermindo). O sistem tem dus vriáveis principis ssocids um pivot), e, com um vlor dependente ds vriáveis livres. solução gerl do sistem é epress n form lterntivmente, podemos fzer >> [ ; - ; - ; - - -]; >> [;;;-];

13 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D >> rnk) ns >> rnk[ ]) ns, e concluir que, sendo cr ) cr [ ] ) < n, o sistem é indetermindo duplmente indetermindo ddo que g ). Se utilizr-mos função linsolve,) somos informdos que o sistem é indetermindo >> linsolve,) Wrning: Mtri is singulr to working precision. ns / / / /. Se o sistem y z com, R. nturez do sistem depende dos prâmetros e. Pr fzer o estudo do sistem recorrendo o Mt temos de declrr previmente e como vriáveis recorrendo o comndo syms >> syms >> [ ; - ; - ]; >> CDrref) CD [,,, *-)/-)] [,,, --*)/-)] [,,, -] ssim, o sistem em nálise é equivlente o sistem CX D ) ) y ) ) z nturez do sistem depende dos vlores ssumidos pels epressões ) e ssim: ) pr, s epressões ssumem vlores reis e finitos, pelo que o sistem é possível e determindo; Prof. José mrl G M

14 S I S T E M S D E E Q U Ç Õ E S I N E R E S G E R T U R M R D pr, se o sistem é impossível, ddo que se ) ) ± o sistem é possível e indetermindo, ddo que ) ) Prof. José mrl G M

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