Professor Mauricio Lutz LIMITES DE FUNÇÕES

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1 Professor Muricio Lutz LIMITES DE FUNÇÕES ) Introdução O conceito de ite é fundmentl no cálculo diferencil, um cmpo d Mtemátic que teve início no século XVII e é bstnte fértil em resultdos e plicções em váris áres do conhecimento, como Físic, Engenhri, Economi, Geologi, Astronomi, Biologi, entre outrs ) Noção intuitiv de ites de ite Eemplos: Vmos nlisr lguns csos em que prece idéi informl e intuitiv )Vmos considerr un região qudrd de áre igul que restou: restou: Num primeiro momento vmos colorir metde do qudrdo Prte colorid: d figur No momento seguinte, colorimos metde d região e mis metde do Prte colorid: d figur No próimo, colorimos o que hvi sido colorido e mis metde do que Prte colorid: 7 d figur 8 8 E ssim, sucessivmente e indefinidmente, áre d região colorid resultnte vi tendendo Dizemos, então, que o ite desse desenvolvimento, qundo o número de momentos tende o infinito, é colorir figur tod, ou sej, obter um áre colorid igul IFFrroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

2 Professor Muricio Lutz b) Sej função f ) Vmos dr vlores de que se proimem de, pel su direit vlores miores que ) e pel esquerd vlores menores que ) e clculr o vlor correspondente de y: Pel direit Pel esquerd y y,,,,,7,,,,9,8,,,9,9,,,98,9,,,99,98 Notemos que à medid que se proim de, y se proim de, ou sej, qundo tende ), y tende pr y ), ou sej: função é ) Observmos que qundo tende pr, y tende pr e o ite d Esse é o estudo do comportmento de f ) qundo tende pr ) Nem é preciso que ssum o vlor Se f ) tende pr f ) ), dizemos que o ite de f ) qundo é, embor possm ocorrer csos em que pr o vlor de f ) não sej De form gerl, escrevemos: f ) b se, qundo se proim de ), f ) se proim de b f ) b) c) Estudremos gor o comportmento de um função f ns proimiddes de um ponto Sej f ), ¹ Pr diferente de, f pode ser simplificd e reescrit n form mis simples: ) ) f ) Þ f ) IFFrroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

3 Professor Muricio Lutz Vmos nlisr o comportmento dest função ns vizinhnçs do ponto, ponto este que não pertence o domínio de f Pel direit Pel esquerd y y,,,,,,,7,7,,,9,9,,,9,9,,,98,98,,,99,99 Portnto qundo nos proimemos de, pel esquerd e pel direit, o vlor dest função se proim de Neste cso dizemos que f ) ) Eercícios ) Considere região do plno itd pelo triângulo retângulo de bse fi e igul cm Fç ltur ir se proimndo de, ms sem nunc tingir, isto é, fç ltur tender Complete tbel dd e verifique pr que vlor está tendendo áre dess região Bse Altur Áre,,,,9,999, ) O que ocorre, no ite, com medid d hipotenus de um triângulo retângulo se mntivermos medid de um cteto constnte e do outro cteto for diminuindo, tendendo ms nunc )? IFFrroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

4 Professor Muricio Lutz n * ) Considere sequênci n, nîn n ) Eplicite ess sequênci, escrevendo os vlores pr n,,,,,,,,,,, b) Escrev n form de número deciml os termos d sequênci do item nterior c) Pr que vlor est tendendo ess sequênci, qundo n tende pr infinito? ) Considere o gráfico d função logrítmic ) log e repond: f ) à medid que tende, f ) tende pr que vlor? b) à medid que tende pr um vlor cd vez mior, f ) tende pr qunto? Gbrito ) A áre tende qundo ltur tende ) Se h tende, então tende b ) ),,,,,,,,,,,, b),;,;,7;,8;,8;;,99;;,9999;;,99999 c) Tende ) ) b) infinito IFFrroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

5 Professor Muricio Lutz ) Definição informl Considere um função f definid pr vlores de próimos de um ponto sobre o eio, ms não necessrimente definid no próprio ponto Suponh que eist um número rel L com propriedde de que f) fic cd vez mis próimo de L, qundo se proim mis de Dizse então que L é o ite de f qundo tende pr, que simbolicmente epressse por: f ) L Obs: Se não eiste um número L com ess propriedde dizse que não eiste f ) Notção Significção intuitiv Interpretção gráfic f ) L Podemos tornr f) tão próimo de L qunto quisermos, escolhendo suficientemente próimo de e O conceito de ites de funções tem grnde utilidde n determinção do comportmento de funções ns vizinhnçs de um ponto for do domínio, no comportmento de funções qundo ument muito tende o infinito) ou diminui muito tende pr menos infinito) Eemplos: ) Verifique como função f ) se comport pr vlores próimos de Vmos determinr seu domínio: ¹ Þ ¹ Þ ¹ Þ ¹ Portnto pr o domínio não está definido Vmos verificr pr vlores próimos de IFFrroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

6 Professor Muricio Lutz f ) f ),9,,,7,99,,,7,999,,,7,9999,,,7,99999,,,7,999999,,,7 Se simplificrmos função f ) obtemos: ) f ) ) Portnto função f ) Vmos verificr grficmente: Podemos concluir b) Verifique como função próimos de d função g ) ì ï se ¹ g ) í se comport pr vlores ï î se Observe que pr o domínio não est definido pr primeir prte Simplificndo ) ) obtemos Construindo e nlisndo grficmente temos: IFFrroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

7 Professor Muricio Lutz 7 Podemos observr que qundo tende o vlor de y tende, ou sej g ), pois o que interess é o comportmento d função qundo se proim de e não o que ocorre com função qundo c) Verifique como função Temos que o domínio é Â {} f ) se comport pr vlores próimos de Portnto pr o domínio não est definido Vmos verificr pr vlores próimos de zero f ) ),,,,,,,,,,,, f Vmos verificr grficmente: Neste cso qundo tende vlores negtivos e positivos Cd vez mis próimo de zero, verificmos que temos dois vlores pr f) O que contrdiz noss definição informl de ite, isto é, não eiste Eercícios ) Ache o vlor de cd ite, cso eist, usndo vlores próimos: ) ) f) ) b) g) ) c) 7 h) 7 d) i) p e) j) ) p IFFrroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

8 Professor Muricio Lutz 8 ) Use simplificção lgébric pr chr o ite, cso eist, utilizndo vlores próimos: ) ) ) ) ) b) ) ) c) d) h) h h e) z z z z 8 f) g) r r r r r h) r r r r 7 r i) h h h 8 j) h h h 8 Gbrito ) ) b) c) 7 d) / e) 7 f) 7 g) h) i) π j) ) ) 7/ b) c) d) e) Não eiste f) 9 g) / h) i) j) ) Definição de ite Dizemos que o ite d função f ) qundo tende é igul o número rel L se, e somente se, os números reis f ) pr os infinitos vlores de permnecem próimos L, sempre que estiver muito próimo de Indicse: f ) L ) Proprieddes dos ites ) Limite de um constnte O ite de um constnte é própri constnte Eemplo: k k IFFrroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

9 Professor Muricio Lutz 9 ) Limite d som e diferenç O ite d som é som dos ites O ite d diferenç é diferenç dos ites [ f ) ± g ) ] f ) ± g ) Eemplo: [ ] ) Limite do produto O ite do produto é o produto dos ites Eemplo: 9 [ f ) g ) ] f ) g ) ) Limite do quociente O ite do quociente é o quociente dos ites desde que o denomindor não sej zero Eemplo: ) ) ) ) f ) f ) g ) g ) enésim do ite ) Limite de um potênci O ite de um potênci enésim de um função é igul à potênci n [ f ) ] f ) ) n Eemplo: ) ) ) ) * n ÎN ) Limite d riz O ite d riz enésim de um função é igul riz enésim do ite dess função n f ) f ), nîn n * Eemplo: 8 IFFrroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

10 Professor Muricio Lutz Eercícios ) Clcule o ite justificndo cd pssgem com s proprieddes dos ites que form usds ) ) d) c) æ ö ç 8 ø b) ) ) e) t ) t ) t è f) u u u g) h) i) æ ç è ö ø j) ) Clcule o ite, cso eistir ) 7 e) ) i) m) q) 8 u) ) y) ) b) c) ) f) ) g) j) n) r) æ ç è v) ) z) ) ø ö d) æ ö ç è ø k) ) o) ) ) p) s) w) h) ) ) l) ) t) ) ) ) Clcule o ite, cso eistir ) e) 9) i) t ) 7t 9) b) f) ) j) s s s 9 c) g) 7) k) 8 7 d) h) 9 8) l) 7 IFFrroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

11 Professor Muricio Lutz m) 8 n) æ q) ö ç è r) ø æ öæ ö u) ç ç h è høè h ø ) v v ) 9 v ) v 8 8 v) o) æ ö æ ö ç ç è ø è ø s) y) k k k w) p) t) æ ö æ ö ç ç è ø è ø h 7 z) ) h h ) Clcule os seguintes ites, cso eistm ) ) d) b) g) h) j) æ ç è ö ø m) p) s) v) e) 7 ) æ k) 9 ö ç è ø n) q) t) 8 w) c) æ ç è ö ø f) ) i) l) o) r) u) 9 ) 8 IFFrroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

12 Professor Muricio Lutz ) Sej função f definid por ì ï f ) í ï î se ¹ se Clculr f ) ) Sej função f definid por ì ï se ¹ f ) í ï î se Clculr f ) 7) Sej função f definid por ì 9 9 ï se ¹ f ) í ï î se Clculr f ) 8) Clcule os ites, cso eistm 9 ) b) c) 8 d) e) f) 8 g) h) 7 i) j) 7 8 k) n) q) t) v) l) m) o) p) r) s) 9 u) Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

13 Professor Muricio Lutz Gbrito )) 7 b) 9 c) ½ d) ½ e) f) g) h) i) j) 8 ) ) 7 b) c) d) e) 9 f) g) h) i) 9 j) k) 79 l) m) n) o) p) q) 7 7 u) 8 v) 7 w) 7/ ) 7/ y) 8 z) 87 r) s) t) ) ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) ½ l) Não eiste m) / n) /8 o) ¼ p) 9 q) r) / s) t) /8 u) ½ v) / w) ) 8 y) 8 z) ) ) b) /7 c) d) e) f) g) 8/ h) i) j) /8 k) 9/ l) m) n) o) p) q) r) s) / t) 7/ u) 7/ v) / W) ) 8/ ) ) 7) 8) ) b) / c) /9 d) e) / f) / g) ½ h) / i) 8 j) 7/8 k) ¼ l) ½ m) ½ n) ¼ o) p) q) r) / s) / t) / u) 8 v) ) Limites lteris direit, escrevemos: Se se proim de trvés de vlores miores que ou pel su f ) b Este ite é chmdo de ite lterl à direit de Se se proim de trvés de vlores menores que ou pel su esquerd, escrevemos: f ) c Este ite é chmdo de ite lterl à esquerd de O ite de f ) pr eiste se, e somente se, os ites lteris à direit e esquerd são iguis, ou sej: Þ Se f ) f ) b, então f ) b Þ Se f ) ¹ f ), então não eiste f ) Vejmos um eemplo de plicção que envolve ites lteris Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

14 Professor Muricio Lutz Um gás tl como vpor d águ ou oigênio) é mntido tempertur constnte no pistão d figur bio À medid que o gás é comprimido, o volume V decresse té que tinj um cert pressão crític Além dess pressão, o gás ssume form líquid Use o gráfico bio pr chr e interpretr ) V ; b) V ; c) V P P P ) Vemos pel figur cim que, qundo pressão P em torrs) é bi, substânci é um gás e o volume V litros) é grnde A definição de torr, unidde de pressão, pode ser encontrd em tetos de físic) Se P se proim de por vlores inferiores, V decresse e se proim de,8, isto é P V,8 O ite,8 represent o volume no qul substânci começ se trnsformr de gás em líquido b) Se P >, substânci é um líquido Se P se proim de por vlores superiores, o volume V ument muito lentmente pois os líquidos são quse incompressíveis), e P V, O ite, represent o volume no qul substânci começ se trnsformr de líquido em gás c) V não eiste, pois os ites lteriis à direit e esquerd em ) P e b) são diferentes Em P, s forms gsos e líquid coeistem em equilíbrio, e substânci não pode ser clssificd sej como gás ou como líquido) Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

15 Professor Muricio Lutz Eercícios ) Sej f ) função definid pelo gráfico: Intuitivmente, encontre se eistir: ) f ) b) f ) c) f ) d) f ) e) f ) f) f ) ) Sej f ) função definid pelo gráfico: Intuitivmente, encontre se eistir: ) f ) b) f ) c) f ) d) f ) e) f ) ) Sej f ) função definid pelo gráfico: Intuitivmente, encontre se eistir: ) f ) b) f ) c) f ) d) f ) e) f ) Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

16 Professor Muricio Lutz ) Sej f ) função definid pelo gráfico: Intuitivmente, encontre se eistir: ) f ) b) f ) c) f ) d) f ) e) f ) f) f ) ) Sej f ) função definid pelo gráfico: Intuitivmente, encontre se eistir: ) f ) b) f ) c) f ) d) f ) e) f ) ) Sej f ) função definid pelo gráfico: Intuitivmente, encontre se eistir: ) f ) b) f ) c) f ) d) f ) e) f ) f) f ) Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

17 Professor Muricio Lutz 7 7) Sej f ) função definid pelo gráfico: Intuitivmente, encontre se eistir: ) f ) b) f ) c) f ) d) f ) e) f ) f) f ) 8) Sej f ) função definid pelo gráfico: Intuitivmente, encontre se eistir: ) f ) b) f ) c) f ) d) f ) e) f ) f) f ) 9) Clcule os ites lteris ) b) c) d) e) f) g) h) h h 9 h) i) j) ) Pr cd função f ) bio, clcule f ), f ) e f ), qundo eistirem ) f ), b) f ), c) f ), Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

18 Professor Muricio Lutz 8 d) f ), e) f ), f) f ), g) f ), h) f ), i) f ), j) f ), k) f ), l) f ), ) m) f ), ) n) f ), o) f ), ) ) ) Clcule os ites, cso eistm 9 9 ) b) c) 7 7 d) e) f) 7 g) h) i) 8 7 j) k) l) m) n) Gbrito ) ) b) c) d) e) f) ) ) b) c) d) e) ) ) ½ b) c) d) ½ e) ½ ) ) b) c) d) e) f) ) ) b) c) d) e) ) ) b) c) não eiste d) e) f) 7) ) b) c) d) e) f) 8) ) b) c) d) e) f) 9)) b) c) d) e) f),8 g) h), i) j), ) ), e não eiste o ite; b), e não eiste o ite; c), e não eiste o ite; d), e não eiste o ite; e), e não eiste o ite; f), e não eiste o ite; g), e ; h), e ; i), e não eiste o ite; j), e ; k), e não eiste o ite; l), e ; m), e ; n), e ; o), e ) ) ; b); c) /; d) /; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ¼ ; k) ; l) 7; m) /; n) Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

19 Professor Muricio Lutz 9 7) Continuidde Dizemos que um função é continu num ponto do seu domínio se s seguintes condições são stisfeits: Þ f ) é definid; Þ f ) eiste; Þ f ) f ) Ao utilizrmos ests condições pr mostrr que um função f é contínu em c, bst verificr terceir condição, porque se f ) f ), então f ) deve ser definid e tmbém f ) deve eistir, ou sej, s dus primeirs condições estão stisfeirs utomticmente Eemplos: ) Verificr se função Cálculo de f ) f ) é contínu em f ) Þ f ) Clculo do f ) : ) ) ) Como f ) f ), ) f é contínu em b) Utilizndo mesm função do eemplo nterior, só que gor no ponto e verifificr se função continu sendo contínu Cálculo de f ) item Logo pr f ) f ) Þ f ) Este resultdo é chmdo de indeterminção e iremos flr no próimo função não est definid Se formos verificr eistânci do ite neste ponto temos: Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

20 Professor Muricio Lutz ) ) ) Ms como flhou primeir ds três condições, não precismos testr s outrs mesmo sbendo que o ite eiste) pr sber que função é descontinu no ponto Eercícios ) Dd função f ), dig se f ) é contínu nos pontos: ) b) c) ) Dd função f ), dig se f ) é contínu nos pontos: ) b) ) Determine se função é contínu ou não no ponto indicdo ) f ) pr ; ; b) ) ) g pr ; ; c) h ) 9 pr ; ; d) g ) 9 pr ; ; e) f ) pr ; ; f) h ) pr ; ; Gbrito ))contínu b) descontínu c) contínu )) contínu b) descontínu ) ) contínu; contínu; contínu b) contínu; contínu; contínu c) contínu; contínu; contínu d) descontínu; contínu; descontínu e) descontínu; contínu; contínu f) descontínu; descontínu; contínu Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

21 Professor Muricio Lutz 8)Forms indeterminds Eistem símbolos que não tem significdo e são denomindos como símbolos de indeterminção que são,,,,,, Obs: Se o ite de um função der um dests indeterminções não signific que o ite não eiste, devemos levntr indeterminção e encontrr o ite d função 9) Limites envolvendo infinitos Eemplo: ) Limites envolvendo funções composts Antes de flrmos em ites envolvendo funções composts, vmos fzer um breve revisão pr enterdermos o que é um função compost Em primero temos que entender que função é um relção entre dois conjuntos Um função compost é um relção de outr relção, ou sej, é um relção que depende de outr pr eistir Costumse dizer que função compost é junção de dus outrs funções Mtemticmente podemos dizer que função compost é: seguintes funções: Considerndo três conjuntos distintos A, B e C Entre eles eistem s f : A B e g : B C Irá eistir outr função h : A C, ssim função h ) g f )) é chmd função compost Ess função compost tmbém poderá ser indicd por g o f g f )) lê se: g compost com f ) Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

22 Professor Muricio Lutz Observndo definição cim de função compost, vej um eemplo de como encontrmos um função compost: Ddos três conjuntos A {,,,}, B {,,,8} e C {,,,} Entre eles eistem s seguintes funções: f : A B definid por f ) : e g : B C definid por g ) Vej o digrm bio que represent esss funções: Pr cd elemento de A eiste um elemento em B tl que f ) : e pr cd elemento de B eiste um elemento de C tl que g ) Assim, podemos concluir que eiste um função h : A C definid por h ) g f )), ou sej, h ) ) Vej o digrm bio: Eemplos: ) Sendo ddos f ) e g ), clculr g f )) e f g )) g f )) g f g )) ) f ) ) ) 9 Þ g f )) Þ f g )) 9 b) Ddos f ) e g ), clculr f g)) f g )) f ) ) f g)) ) 9 Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

23 Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr Professor Muricio Lutz Agor retomndo nosso ites que envolvem funções composts Se b g c ) e f é contínu em b então: ) ) ) ) ) g f b f g f c c n c n c g g ) ) Eemplo: ) ) 7 9) 9) 9) ) ) Limite d função polinomil pr n n f ± ± ) m m n n b g f ± ± ) ) Eemplos: ) Dd função ) f, clculr ) f ø ö ç è æ ) ) f b) Clculr c) Clculr ) ) ) ) ±

24 Professor Muricio Lutz Eercícios ) Clcule os ites, cso eistm ) 7) 7 d) ) g) b) ) e) h) j) 7 k) m) n) p) s) q) t) v) w) ) ) ) y) 8 7 ) ) ) ) ) z) ) c) ) f) æ ö i) ç è ø 7 l) o) r) 8 ) u) 8 ) ) ) ) ) Clcule os ites, cso eistm ) ) b) ) d) ) e) ) g) ) h) b ) j) e k) m) ) p) ) s) v) y) t) w) z) i) c) ) f) ) e l) ) n) ) q) r) u) ) o) ) Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

25 Professor Muricio Lutz Gbrito ) ) b) c) d) e) f) g) h) i) 9 j) / k) / l) 7/ m) n) o) p) / q) / r) s) t) u) v) / w) 8 ) 9/8 y) 7 z) / ) ) / b) / c) d) ½ e) f) ½ g) h) / i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) / w) ½ ) y) z) ) Limite eponencil fundmentl æ ö æ ö ç ç è ø è ø e,7888 ) e e e æ ö éæ ö ù é æ ö ù Eemplos: ) ç êç ú ê ç ú è ø êë è ø úû êë è ø úû e b) æ ö ç è ø Neste cso usremos um mudnç de vriável Fçmos t Se então t Logo æ ö ç è ø æ ö ç t è tø t ) æ ö ç t è tø t t é æ ö ù êç ú t êë è tø úû e ) Limite trigonométrico fundmentl sen senk m k m Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr

26 Professor Muricio Lutz Eemplos: ) Clcule sen8 sen8 æ sen8 ö ç 8 è 8 ø b) Clcule sen sen sen sen sen sen 8 8 Eercícios Clcule: ) e) i) m) q) æ ö ç è ø b) sen f) j) sen sen n) sen æ ö ç è ø c) sen g) senp k) senp o) sen sen r) æ ö ç è ø d) æ ö ç è ø sen h) sen sen l) sen p) sen s) sen cos sen sen t) u) æ 7ö ç è ø v) æ ö ç è ø w) ) ) e y) cos z) sen sen Gbrito ) e b) e c) e e d) e e) / f) g) / h) / i) j) / k) / l) m) n) o) / p) / q) r) não eiste s) 9/ t) u) e v) e w) e ) ¼ y) z) / Instituto Federl frroupilh Cmpus Alegrete RS 77 km 7 Psso Novo Alegrete RS Fone/F: ) 9 wwwliffrroupilhedubr