Universidade Federal de Pelotas Vetores e Álgebra Linear Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinantes

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1 Universidde Federl de Pelots Vetores e Álgebr Liner Prof : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinntes Determinntes Definição: Determinnte é um número ssocido um mtriz qudrd.. Determinnte de primeir ordem Dd um mtriz qudrd de número rel. ordem M=, chmmos de determinnte ssocido à mtriz M o Notção: det M ou =. det M ou M. det M ou - M. Determinnte de segund ordem Dd mtriz M= ess mtriz, ou sej, o determinnte de det M, de ordem, por definição, temos que o determinnte ssocido ordem é ddo por: ssim: det M Sendo M=, então: Conclusão: O determinnte de um mtriz de ordem é ddo pel diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári.. Menor Complementr Chmmos de menor complementr reltivo o elemento n >, o determinnte colun que pssm por de um mtriz M, qudrd e de ordem, de ordem n, ssocido à mtriz obtid de M qundo suprimos linh e.

2 Exemplo : Dd mtriz M= o elemento ( ), retirmos linh e colun ; = menor complementr, de ordem, pr determinrmos o menor complementr reltivo, logo, D mesm form temos que o reltivo o elemento é ddo por:, logo, e ssim por dinte. Exemplo : Dd mtriz M= ) b), de ordem, vmos determinr: c) d). Coftor Chmmos de coftor (ou complemento lgébrico) reltivo o elemento de ordem n o número, tl que ( ) i j. de um mtriz qudrd Exemplo : Dd M=, os coftores reltivos todos os elementos d mtriz M são: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ;. ssim, podemos tmbém determinr mtriz dos coftores (que será denotd por ) como sendo:

3 Exemplo : Sendo M=, vmos clculr os coftores, e :. Mtriz djunt mtriz trnspost d mtriz dos coftores de um mtriz é chmd djunt de. ssim: 6. Regr de Srrus dj t Dispositivo prático pr clculr o determinnte de ordem. Exemplo : Clculr o seguinte determinnte trvés d Regr de Srrus. D= Solução: Psso: Repetir dus primeirs coluns o ldo d : Psso: Encontrr som do produto dos elementos d digonl principl com os dois produtos obtidos com os elementos ds prlels ess digonl. OBS.: som deve ser precedid do sinl positivo, ou sej: Psso: Encontrr som do produto dos elementos d digonl secundári com os dois produtos obtidos com os elementos ds prlels ess digonl. OBS.: som deve ser precedid do sinl negtivo, ou sej: ssim: D Exemplo : Clculr o vlor dos seguintes determinntes: ) D b) D - -

4 7. Proprieddes dos determinntes: (de mtriz qudrd de ordem n) s proprieddes seguir são reltivs determinntes ssocidos mtrizes qudrds de ordem n. Ests proprieddes, muits vezes nos permite simplificr os cálculos. P -) Qundo todos os elementos de um fil (linh ou colun) são nulos, o determinnte dess mtriz é nulo ) 8 9 -) 7 P -) Se dus fils prlels de um mtriz são iguis, então seu determinnte é nulo. 9 8 pois, L = L 9 7 P -) Se dus fils prlels de um mtriz são proporcionis, então o seu determinnte é nulo. pois C = C 6 P -) Se os elementos de um fil de um mtriz são combinções lineres dos elementos correspondentes de fils prlels, então o seu determinnte é nulo. -) 6 pois C + C = C -) pois L + L = L 7 OBS.: Definição de combinção liner: Um vetor v é um combinção liner dos vetores v, v,...,v k, se existem esclres,,..., k tl que: v=. v k. v k P -) Teorem de Jcobi: O determinnte de um mtriz não se lter qundo sommos os elementos de um fil um combinção liner dos elementos correspondentes de fils prlels.

5 9 Substituindo ª colun pel som dess mesm colun com o dobro d ª, temos: 9 C C P 6 -) O determinnte de um mtriz e o de su trnspost são iguis. Det = 9 Det t = 9 P 7 -) Multiplicndo por um número rel todos os elementos de um fil em um mtriz, o determinnte dess mtriz fic multiplicdo por esse número. -) Multiplicndo C por, temos: 8 6 -) 7 Multiplicndo L por, temos: 9 7 P 8 -) Qundo trocmos s posições de dus fils prlels, o determinnte de um mtriz mud de sinl. Trocndo s posições de L e L, por exemplo, temos:

6 P 9 -) Qundo, em um mtriz, os elementos cim ou bixo d digonl principl são todos nulos, o determinnte é igul o produto dos elementos dess digonl. -) d b b c -) y i x y z e f c x g h z P -) Qundo, em um mtriz, os elementos cim ou bixo d digonl secundári são todos nulos, o n determinnte é igul o produto dos elementos dess digonl, multiplicdo por n -) b -) b x b c b x c y z. P -) Pr e B mtrizes qudrds de mesm ordem n, temos: det (B) = det det B Observção: Como - = I, n propriedde cim, temos: det ( - ) = det Se =, B = e B =, então: 8 B det det B det P -) Se k, então det (k) = k n det. Sendo k=, = e k = 6, temos: n k k det det 6

7 P -) det (+B) det + detb 8. Inversão de mtrizes com o uxílio d teori dos determinntes invers de um mtriz qudrd de ordem n pode ser clculd pel plicção do seguinte teorem: mtriz invers dd por: dj det de um mtriz (qudrd de ordem n) existe se, e somente se, OBS.: dj é mtriz trnspost d mtriz dos coftores: dj = t 6 ) Verificr se mtriz dmite invers det e é ) Clculr x pr que exist invers d mtriz x x ) Clculr, se existir, invers d mtriz com o uxílio d fórmul dj det