Introdução às funções e à trigonometria

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1 Introdução às funções e à trigonometri Antes de dr prosseguimento o estudo do movimento, cinemátic, precismos rever lguns conceitos muito importntes d mtemátic. Mis especificmente, vmos relembrr o que é um função, como repretá-l no plno crtesino, como trblhr com ângulos, sus relções trigonométrics, os ângulos notáveis e o círculo trigonométrico.. Funções e su repretção no gráfico crtesino O que é função? Um função mtemátic (ou computcionl) é um processo que ger um resultdo prtir de um ou mis entrds (rgumentos d função). Pode-se encrá-l como um trnsformção: é um processo que peg o rgumento inserido, segue um regr de trnsformção, e fornece um resultdo. função f f Chm-se f() respost à entrd, isto é, entrd trnsformd pel função f. Eemplo..: Considere função f = +. Ess função peg um entrd genéric, multiplic- por e, por fim, som o resultdo. Podemos então clculr lguns pres entrd-síd dess função: f ( ) = + = 4 f ( ) = + = f (,5) =,5 + =,5 f () = + = f (,5) =,5+ =,5 f () = + = 5 f () = + = 8 Podemos ind descobrir, por eemplo, qul entrd gerou um determindo resultdo. Por eemplo, qunto vle se f() é igul? f = + = = = Observção importnte: Em um função, cd entrd ger um e somente um respost d função. Por eemplo, não é possível eistir um determind função n qul temos f ( ) = e f ( ) = 5. Já o contrário é possível, isto é, podemos ter um cso em dus entrds diferentes germ um mesm síd. Podemos citr como eemplo f =. Se tivermos f ( ) = 5, ou sej, = 5, conclui-se que = 5 ou = 5. E, pr completr, há ind funções ns quis é impossível gerr-se um determind síd,

2 ou sej, nenhum entrd ger quel síd. Aind no mesmo eemplo, em que f =, se tentrmos clculr tl que f ( ) = 5, concluiremos que não eiste no conjunto dos números reis. As funções pr s quis, dd qulquer síd, não eiste mis de um entrd cpz de gerá-l são chmds injetors. Ou sej, pr cd síd, há no máimo um entrd que ger, do possível tmbém não hver nenhum entrd que ger. As funções pr s quis, dd qulquer síd, sempre eiste no mínimo um entrd que ger são chmds sobrejetors. Ou sej, é impossível hver um síd tl que nenhum entrd gere. As funções pr s quis, dd qulquer síd, sempre eiste um e somente um entrd que ger são chmds bijetors. Tis funções são necessrimente sobrejetors e injetors o mesmo tempo. Em lingugem mtemátic, podemos dizer que s funções injetors são quels em que f ( ) = f ( ) = Anlogmente, s funções sobrejetors (definids no conjunto dos números reis) são quels em que m R tl que f = m Trduzindo, se m pertence o conjunto dos números reis, então eiste tl que ger síd m. Repretção crtesin de um função rel Como já vimos, um gráfico crtesino corresponde um conjunto de eios orientdos. Podemos utilizá-lo pr repretr funções reis. Nos csos mis simples, os quis vmos nos ter, em que trtremos de funções de um vriável e resposts únics, usmos pens dois eios crtesinos e, portnto, repretção desss funções ocorre em um plno. Antes de mis nd, vmos definir o que é um pr ordendo, e como repretá-lo no plno. Um pr ordendo são dois números reis, dispostos em um determind ordem. Dizemos que (, b) é um pr ordendo, em que, b R. Um pr ordendo, em um gráfico crtesino, corresponde um ponto no plno. Por pdrão, esse ponto é fido de form que su projeção no eio (eio ds entrds) sej em, e no eio (eio ds síds), em b. Vej bio: b (, b) Repre que e b são pontos dos eios e, respectivmente, contdos prtir d origem. Convencionlmente, o eio é orientdo pr direit, isto é, os vlores tomdos à direit d origem são positivos; e à esquerd, negtivos. Tmbém por convenção, o eio é orientdo pr cim, ou sej, os pontos loclizdos cim d origem são positivos; e bio, negtivos. Dizemos que e b são s coordends do ponto (, b).

3 Qundo repretmos um função no plno crtesino, mrcmos os pontos d form (, f()), ou sej, os pontos tis cuj coordend em é respost d função f à coordend em como entrd. Isto signific que se, por eemplo, o ponto (, b), repretdo cim, pertence à função f, podemos dizer que f() = b. Eemplo..: Vmos ver um eemplo de um função f repretd bio.,5, A curv dehd é união de todos os pontos no gráfico que fzem prte d repretção d função f. Pelo que definimos, podemos ver no gráfico o ponto (4,,5), isto é, um ponto cuj projeção no eio é 4, e no eio,,5. Isso quer dizer que respost d função f à entrd 4 é igul,5. Em termos mtemáti, f (4) =, 5. Podemos, respeito d função f repretd, propor lgums pergunts. P: Qul é respost d função f à entrd? R: Pelo gráfico, vemos o ponto (, ), isto é, respost à entrd é. f ( ) = P: Qul(is) é (são) (s) entrd(s) que germ respost? R: Identicmente,,,5 e lgum número entre 4 e 5 germ respost. f ( ) =, f (,5) = e f ( ) =, em que, 4<<5 P: Qunto vle f ()? R: O único ponto do gráfico cuj projeção em ocorre em é (, ), portnto podemos concluir que f () =. P: Determine tl que f ( ) = R: Os pontos cuj projeção em ocorrem em são ( 6, ) e (5, ). ogo, = 5 ou = 6 Eemplo..: Vmos gor construir psso psso o gráfico crtesino de um função. Sej f =. Pr termos um noção de como será esse gráfico, vmos escolher lguns pontos próimos d origem, clculr sus coordends e repretá-los no gráfico. De form mis sistemátic, construiremos seguinte tbel: f() f ( ) = = 5 f ( ) = ( ) = f () = = f () = = f () = = f () = = 5

4 5 5 Prece que ness função os pontos linhrm-se de form coliner. Não devemos nos esquecer que pegmos pens um mostr de lguns pontos. Mesmo entre um ponto e outro, eistem infinitos pontos. Por eemplo, entre (, ) e (, ), eiste (,5, ), (,,,4) etc. De form unir esses infinitos pontos, dizemos que repretção gráfic dess função é um ret. 5 5 Observção importnte: Verific-se que tod função d form f = + b, isto é, que peg entrd, multiplic- por um número qulquer e, o resultdo, som um outro número, é repretd grficmente por um ret. São s chmds funções fins, ou de primeiro gru. A denominção primeiro gru refere-se o que chmmos de ordem d função. Isso quer dizer que o mior epoente de que prece n função é. Em um função do segundo gru, ou de ordem, temos lgo d form f = + b+ c, pois o mior epoente de é. Ess função é tmbém chmd de função qudrátic, e é repretd por um curv chmd prábol. Anlogmente, em um equção de terceiro gru, ou ordem, temos f = + b + c+ d. Ess função é repretd por um hipérbole. E ssim ocorre sucessivmente.

5 . Trigonometri Ddo um triângulo qulquer, sbe-se que som de seus ângulos internos é 8º. + + γ = 8º γ Denomin-se triângulo retângulo quele que possui um ângulo reto, isto é, um ângulo de 9º. Cteto h (Hipotenus) + + 9º = 8º + = 9º ângulo de 9º Cteto b A som de e é 9º e, por isso, são chmdos complementres. Cd triângulo retângulo é formdo por um ângulo de 9º e um pr de ângulos complementres. Denominmos cteto djcente um ângulo como o ldo do triângulo loclizdo entre o vértice correspondente e o ângulo reto. O ldo oposto o ângulo reto é chmdo hipotenus. O terceiro ldo é o chmdo cteto oposto. O cteto é djcente e oposto. O cteto b é djcente e oposto. Relção de Pitágors Apesr de ser comprovdo que os egípcios já trblhvm com s relções entre os ldos do triângulo retângulo muitos séculos ntes dos gregos, fórmul mis notável é conhecid como relção de Pitágors. Aliás, sbemos que sem vários conceitos de cálculo vnçdo, os quis ciênci ocidentl só devolveu nos últimos séculos, os egípcios não terim cpcidde de construir s pirâmides. Sendo h hipotenus do triângulo retângulo, e b os seus ctetos, temos que: h = + b Costum-se dizer tmbém que o qudrdo d hipotenus é igul à som dos qudrdos dos ctetos. Triângulos semelhntes Dois triângulos são semelhntes se e somente se têm os mesmos ângulos. Isso equivle tmbém dizer que eles têm ldos proporcionis. Por eemplo, vmos considerr dois triângulos semelhntes, com ftor de semelhnç igul k. c γ c b γ Temos então que: ' b ' c ' = = = k b c b Pode-se provr que rzão entre s áres dos triângulos é k.

6 Relções trigonométrics Em um triângulo retângulo, podemos definir s seguintes relções trigonométrics pr um ângulo qulquer θ: cteto oposto θ θ= hipotenus cteto djcente θ θ= hipotenus cteto oposto θ tgθ= cteto djcente θ Esss funções são chmds o, co-o e tngente, respectivmente. A tngente de θ pode ser reescrit como rzão entre o e co-o: cteto oposto θ (cteto oposto θ) ( hipotenus) θ tgθ= = = cteto djcente θ (cteto djcente θ) ( hipotenus) θ No eemplo inicil de triângulo retângulo, tínhmos: = = h b = = h b = tg= tg = tg= b tg Dic: Pr lembrr: O o de um ângulo é rzão entre o cteto seprdo e hipotenus. O co-o de um ângulo é rzão entre o cteto coldo e hipotenus. A tngente é rzão entre os dois nteriores. Repre que o o de um ângulo é igul o co-o do ângulo complementr ele. Além disso, tngente de um ângulo é igul o inverso d tngente do ângulo complementr ele. Eprimimos esss relções d seguinte form: θ= 9º θ θ= 9 θ tgθ= = tg 9º θ tg 9º ( θ) ( ) b' b c As funções o, co-o e tngente são ssocids unicmente o ângulo, independentemente do triângulo em que eles se encontrm. Vmos tomr como eemplo dois triângulos retângulos semelhntes. Vmos colocá-los sobrepostos, como mostr figur o ldo: Chmndo de k o ftor de semelhnç, temos: ' = k b ' = kb c ' = kc c' Pr o triângulo menor temos:

7 Pr o triângulo mior temos: c = c ' k. c c = = = ' k. Isso mostr que o o é função eclusiv do ângulo. De form nálog, pode-se mostrr o mesmo pr s funções co-o e tngente. Outr relção importnte pode ser mostrd prtir d equção de Pitágors. Vmos considerr o triângulo menor do eemplo cim: b + c = Vmos multiplicr mbos os ldos d iguldde por : ( b + c ) = No segundo termo, ocorre o cncelmento. No primeiro, fremos distribuição: b c + = E, portnto: Isso vle pr qulquer ângulo. b c + = + = O triângulo 9º - 45º - 45º Consideremos um qudrdo de ldo, e su digonl d. A digonl cort o ângulo de 9º em dois pedços iguis de 45º cd. d 45º 45º 45º 45º Vmos recortr metde do qudrdo. Teremos: d 45º 45º Por Pitágors, podemos clculr d em função de : d = + =. d = Agor podemos clculr pr o ângulo de 45º:

8 45º = 45º = = = 45º tg 45º = = 45º O triângulo 9º - º - 6º º º h Consideremos um triângulo eqüilátero (ldos iguis e ângulos de 6º) de ldo, e ltur h, que cort o ângulo superior de 6º em dois pedços iguis de º cd, e que divide o ldo oposto ( bse do triângulo) em dois segmentos iguis cd. 6º 6º Vmos recortr metde do triângulo. Teremos: Por Pitágors, podemos clculr ltur h: 6º º h O triângulo limite 9º - 9º - º Vmos considerr um triângulo retângulo, como seguir: = h + = h + 4 h = = 4 4 h= As relções trigonométrics pr esse triângulo são s seguintes: h 6º = º = = = h 6º = º = = 6º = º = = 6º h tg 6º = = = 6º º tg º = = = = º tg 6º b c Procurremos diminuir bertur de e, o mesmo tempo, estremos umentndo. Isso se drá fechndo o ldo, conforme indic set. Fremos isso, té que fique bem próimo de º e, obvimente, fique bem próimo de 9º.

9 c b Repre que no cso limite, isto é, qundo estiver infinitmente próimo de º e, portnto, estiver infinitmente próimo de 9º, se mntivermos o ldo b constnte, o ldo c tenderá vler zero, o psso que o ldo tenderá vler o mesmo que b. Assim, temos: c = = = º = 9º = b b = = = 9º = º = b Relções trigonométrics dos ângulos notáveis Vmos ver gor um form simples de lembrr ds funções trigonométrics dos ângulos notáveis entre º e 9º (ângulos gudos, ou ângulos do º qudrnte), como um resumo do que vimos té gor. Constru seguinte tbel: tg º º 45º 6º 9º Comece preenchendo-, em tods s céluls ds dus primeirs linhs, com o seguinte:. Deie um espço dentro d riz, ele será completdo depois. Deve ficr ssim: º º 45º 6º 9º tg Agor, n linh dos os, preench s lcuns, d esquerd pr direit, com,,, e 4. N linh dos co-os, fç o mesmo, porém d direit pr esquerd. Teremos o seguinte: º º 45º 6º 9º 4 4 tg Agor, simplifique s epressões e clcule tngente de cd ângulo como rzão entre o seu o e o seu co-o. º º 45º 6º 9º tg = tg 9º Repre que pr clculr tngente de 9º, precismos relizr um divisão por zero. indetermindo, se = = indefinido (não eiste), se

10 Portnto, tngente de 9º não eiste. Você pode perceber, no entnto, trvés do triângulo limite de 9º - 9º - º, que conforme umentmos o ângulo e mis próimo ele fic de 9º, mis su tngente cresce, tendendo o infinito. O círculo trigonométrico Com os métodos dos quis dispomos té gor, não nos seri possível clculr o vlor de qulquer um ds três relções trigonométrics principis pr ângulos miores que 9º. Pr isso, precismos crir um método mis genérico, cpz de englobr mis csos. Dess form, vmos construir um círculo de rio, com centro n origem de um pr de eios crtesinos, conforme figur o ldo. Ao longo do círculo, distribuiremos os ângulos de º 6º. Teremos, portnto, seguinte loclizção dos ângulos: Pr º, = e = Pr 9º, = e = Pr 8º, = e = Pr 7º, = e = Pr 6º, = e = (o que coincide com º) 8º º qudrnte 9º º 6º 7º R = º qudrnte 4º qudrnte º qudrnte Vmos começr usndo o círculo trigonométrico pr clculr o o e o co-o de ângulos do primeiro qudrnte. Inicilmente, vmos construir um bertur de ângulo prtir do ponto definido como º. Construímos tmbém um triângulo retângulo com ess bertur, onde o rio é hipotenus (= ). Repre que o ponto do círculo que repret tem coordends e tis que: é equivlente à medid do cteto djcente é equivlente à medid do cteto oposto. 8º 9º º 6º Isolndo o triângulo retângulo d figur, podemos obter s seguintes relções: tg= = = = = Ou sej, o inserirmos um ângulo qulquer no círculo trigonométrico, 7º brindo hipotenus do triângulo retângulo prtir do ponto º, teremos o o (projeção em ) e o co-o (projeção em ) do mesmo. Por isso, chmmos o eio de eio dos os e o eio de eio dos co-os. Simplificndo, pr clculr o o e o co-o de um ângulo, bst fzer s projeções, como seguir:

11 8º 8º < 9º Eercício..: Determine o o e o co-o de 5º. Solução: Repre que brir 5º prtir de º no tido nti-horário (convencionl) é o mesmo que brir º prtir de 8º no tido horário. Vej: Esse eemplo mostr clrmente utilidde do uso do círculo trigonométrico. Como não é possível construir um triângulo retângulo com um ângulo de 5º, plotmos esse ângulo no gráfico e vemos qul é su projeção sobre o º qudrnte. Nesse cso, o eio dos os serve como um espelho. Os os de 5º e º são iguis e seus co-os são simétri. Assim, temos: º 6º 7º 9º º 6º 7º 8º 5º Repre que qundo fechmos té fzer com que vlh º, seu co-o ument té e seu o diminui té zero. O processo inverso, brindo té que vlh 9º, fz com que seu o umente té que vlh e seu co-o diminu té que vlh. Vmos gor continur umentndo de form que ele sej mior que 9º. O o volt ser menor que e, gor, projeção sobre o eio dos coos fic à esquerd d origem. Como tommos como pressuposto que ret está orientd pr direit, os vlores à direit de são positivos e à su esquerd são negtivos. Por isso, qundo começ ser mior que 9º, o co-o começ ficr negtivo. Qundo mis se fst de 9º e, portnto, se proim de 8º, mis o o diminui, proimndo-se de, e mis negtivo fic o co-o, proimndo-se de -. Vej como isso fic repretdo n figur o ldo. Podemos, portnto, dizer que 8º = e 8º =. Anlogmente, podemos fzer > 8º. Pr ângulos do terceiro qudrnte, tnto os os (bio d origem) qunto os coos (à esquerd d origem) são negtivos. Assim, 7º = e 7º =. No qurto qudrnte, os os continum negtivos e os co-os voltm ser positivos. 9º º º º 6º 7º º

12 5º = º = 5º = º = Podemos tomr seguinte regr gerl: 8º θ = θ 8º θ = θ Eercício..: Determine o o e o co-o de º. Solução: Repre que brir º prtir de º no tido nti-horário (convencionl) é o mesmo que brir 6º prtir de 6º no tido horário. Vej: 8º 9º 6º 6º 6º º 6º º 7º Agor, temos um ângulo do 4º qudrnte, que novmente projetmos pr º. O eio dos co-os serviu como espelho e, portnto, os ângulos 6º e º têm o mesmo co-o, e os simétri. Por isso, podemos escrever: º = 6º = º = 6º = Podemos tomr seguinte regr gerl: (6º θ ) = θ (6º θ ) = θ Eercício..: Determine o o e o co-o de 5º. Este eercício será deido pr prátic do leitor.. Conclusão Nesse cpítulo, não prosseguimos com o estudo d físic proprimente dito. Fomos obrigdos concretizr lguns conceitos mtemáti esciis pr continuidde d teori do movimento. No próimo cpítulo, colocremos em prátic lgums ds idéis eposts nteriormente, o bordr cinemátic esclr trvés dos gráfi crtesinos.