Aula 10 Estabilidade

Save this PDF as:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Aula 10 Estabilidade"

Transcrição

1 Aul 0 Estbilidde

2 input S output O sistem é estável se respost à entrd impulso 0 qundo t Ou sej, se síd do sistem stisfz lim y(t) t = 0 qundo entrd r(t) = impulso

3 input S output Equivlentemente, pode ser dd um outr definição: O sistem é estável se tod entrd limitd tem um respost limitd Por cus dest definição, sistems estáveis são comummente chmdos de BIBO-estável (BIBO = bounded input-bounded output)

4 Um sistem é estável se, e somente se, ele tem todos os seus polos com prte rel negtiv Isto é, um sistem é estável se ele tem todos os seus polos loclizdos no semiplno d esquerd (SPE)

5 input S output Logo, estbilidde de sistems pode ser determind pel loclizção dos polos do sistem no plno complexo É necessário que TODOS os polos do sistem estejm no SPE pr que ele sej um sistem estável. Um polo que não estej no SPE rruín estbilidde tornndo-o um sistem instável.

6 Exemplo : Considere o sistem de ª ordem x = x + u y = x cuj função de trnsferênci é dd por: Y(s) U(s) = (s ) O único polo deste sistem está loclizdo em s = que pode estr no SPE (semiplno d esquerd), no eixo imginário ou no SPD (semiplno d direit), dependendo do vlor de ( < 0, = 0 ou > 0, respetivmente)

7 Exemplo (continução): logo, < 0 = 0 > 0

8 Exemplo (continução): Cso < 0, sistem é estável respost o impulso unitário respost o degru unitário

9 Exemplo (continução): Cso = 0, sistem não é estável nem instável respost o impulso unitário respost o degru unitário

10 Exemplo (continução): Cso > 0, sistem é instável. respost o impulso unitário respost o degru unitário

11 Exemplo (continução): resumindo, < 0 = 0 > 0 estável indiferente instável

12 Exemplo 2: Considere o sistem de 2ª ordem cuj função de trnsferênci é dd por Y(s) U(s) = s 2 4 2s + 4 este sistem possui um pr de polos complexos com prte rel positiv Plno complexo s = ± j,732 polos no SPD

13 Exemplo 2 (continução): sistem instável ζ = 0,5 ω = 2 respost à entrd degru unitário

14 Exemplo 3: Considere o sistem de 2ª ordem cuj função de trnsferênci é dd por Y (s) U (s) = s s + 4 este sistem possui um pr de polos complexos com prte rel negtiv Plno complexo s = ± j,732 polos no SPE

15 Exemplo 3 (continução): sistem estável ζ = 0,5 ω = 2 respost à entrd degru unitário

16 Resumindo: estbilidde de sistems depende pens d loclizção dos seus polos, pois eles devem estr todos situdos no SPE pr que o sistem sej estável. Logo, estbilidde não depende d função de trnsferênci tod, ms pens do seu denomindor, o polinómio crcterístico p(s) do sistem que nos dá os polos do sistem. Se pensrmos n equção de estdo x = A x + B u y = C x + D u estbilidde não depende de B, C ou D, ms pens d mtriz A que nos dá o polinómio crcterístico e os polos do sistem.

17 Stbility Critério de Routh-Hurwitz pr estbilidde Routh, ind no século XIX, num époc que ind não hvi luz elétric, máquin de clculr ou computdor, criou um método mtemático pr determinr o número de polos de um sistem loclizdos no SPD sem ter que clculr os próprios polos Dess form fcilitou determinção d estbilidde de um sistem Hurwitz é outro mtemático importnte nest áre de controlo e sistems dinâmicos Edwrd John Routh (cndino, )

18 Stbility Hurwitz desenvolveu em 895 o que hoje é chmdo de Critério de Routh-Hurwitz pr estbilidde pr se determinr se um sistem é estável Hoje é reconhecido que Hurwitz fez isso independentemente de Routh o qul tinh desenvolvido o critério ntes ms por um método diferente O critério de Routh-Hurwitz é construído prtir do polinómio crcterístico do sistem n n 2 = os + s + + n 2s + n Adolf Hurwitz (lemão, ) p (s) L s + ( o > 0) n

19 prtir de p(s) mont-se Tbel de Routh-Hurwitz: s n o s n s n-2 s n-3 : : s 2 s s o Tbel de Routh-Hurwitz preenchimento inicil com os coeficientes do polinómio crcterístico p(s)

20 Tbel de Routh-Hurwitz, preenchimento inicil s n o s n s n-2 s n-3 : : s 2 s s o se o polinómio crcterístico p(s) é ímpr, o último elemento fic n 2ª linh

21 Tbel de Routh-Hurwitz, preenchimento inicil s n o s n s n-2 s n-3 : : s 2 s s o se o polinómio crcterístico p(s) é pr, o último elemento fic n ª linh, e coloc-se um 0 (zero) n 2ª linh

22 Tbel de Routh-Hurwitz, preenchimento inicil s n o s n s n-2 s n-3 : : s 2 s s o pós o preenchimento inicil clcul-se s demis linhs como será indicdo mis bixo

23 Tbel de Routh-Hurwitz, depois de complet s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : : : s 2 d d 2 s e s o f depois de complet Tbel Routh-Hurwitz terá (n+) linhs

24 Tbel de Routh-Hurwitz, depois de complet s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : : : s 2 d d 2 s e s o f As linhs vão ficndo cd vez mis curts té s 2 últims linhs que têm pens um elemento em cd um

25 Tbel de Routh-Hurwitz, colun pivô s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : s 2 d s e s o f primeir colun (onde estão os coeficientes o e ) é chmd de colun pivô

26 Tbel de Routh-Hurwitz, colun pivô s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : s 2 d s e Os elementos seguintes d colun pivô serão: b, c, d, e, f, etc. s o f

27 Tbel de Routh-Hurwitz, colun pivô s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : s 2 d s e Os elementos d colun pivô s o f são chmdos de pivôs

28 o cálculo dos elementos b, b 2, b 3, etc. d terceir linh observe que no cálculo dos elementos dest linh há um divisão por, o elemento pivô d linh nterior o det b = = o 2 det b = = o 3 det b = = Estbilidde

29 o cálculo dos elementos c, c 2, c 3, etc. d linh seguinte observe que no cálculo dos elementos dest linh há um divisão por b, o elemento pivô d linh nterior b b b b b det b c = = b b b b b det b c = = b b b b b det b c = = Estbilidde

30 Dest form clcul-se tmbém os elementos ds demis linhs e coluns e Tbel de Routh-Hurwitz fic complet. Note que, como já foi dito, s linhs d Tbel de Routh-Hurwitz vão ficndo mis curts medid que há cd vez menos elementos serem clculdos ns últims posições de cd linh Observe que Tbel de Routh-Hurwitz foi construíd supondo que o coeficiente o do polinómio crcterístico p(s) é positivo, o > 0

31 Se o coeficiente o for negtivo, o < 0 então pode-se redefinir p(s) com todos os coeficientes do polinómio com os sinis trocdos. Dest form obtém-se o > 0. Isto ocorre devido o fcto, como é bem conhecido, que s rízes de um polinómio não se lterm qundo todos os seus coeficientes são multiplicdos por (ou por qulquer outro vlor constnte 0).

32 Pr simplificr os cálculos, se desejr, pode-se multiplicr (ou dividir) todos os elementos de um linh qulquer d Tbel de Routh-Hurwitz por um número positivo. Isso não irá lterr os resultdos serem obtidos d Tbel de Routh-Hurwitz A Tbel de Routh-Hurwitz permite descobrir quntos polos estão loclizdos no SPD. O número de trocs de sinl n colun pivô d Tbel de Routh-Hurwitz é igul o número de polos no SPD.

33 Tbel de Routh-Hurwitz s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : s 2 d s e s o f O número de trocs de sinl n colun pivô é igul o número de polos no SPD

34 A determinção do número de polos no SPD pode ser útil ms entretnto não nos dá um dignóstico pr estbilidde do sistem de imedito Isso porque um sistem pr ser estável tem que possuir todos os seus polos no SPE e, mesmo que o número de troc de sinis d colun pivô sej zero, isso pens signific que terão zero polos no SPD, o que não grnte estbilidde ind, pois poderá hver lgum polo no eixo imginário No entnto, polos no eixo imginário vão refletir em zeros n colun pivô. Isso permite escrever o seguinte resultdo: O sistem possui todos os polos no SPE se, e somente se, todos os coeficientes d colun pivô d Tbel de Routh-Hurwitz são positivos.

35 Tbel de Routh-Hurwitz s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : s 2 d s e s o f O sistem possui todos os seus polos no SPE qundo todos os elementos d colun pivô são positivos

36 Exemplo 4: Considerndo gor o polinómio crcterístico do 4º gru bixo Construindo-se Tbel de Routh-Hurwitz obtém-se s 4 s 3 s 2 s s Logo, o sistem não é estável. 2 trocs de sinl (de elementos d colun pivô) Este polinómio crcterístico tem 2 polos no SPD.

37 Exemplo 4 (continução): Aqui poderi, por exemplo, pr simplificr os cálculos, dividir 2ª linh (i.e., linh s 3 ) por 2 Isto não lter os resultdos s 4 s 3 s 2 s s E chegmos à mesm conclusão: 2 trocs de sinl (de elementos d colun pivô) 2ª linh 2

38 Exemplo 5: Encontrr os vlores de K pr os quis o sistem de mlh fechd bixo é estável Construindo-se função de trnsferênci de mlh fechd (FTMF), obtemos

39 Exemplo 5 (continução): Logo, o polinómio crcterístico do sistem de mlh fechd é ddo bixo A Tbel de Routh-Hurwitz pr este polinómio é: s 4 s 3 2 K s 2 K s (2-2K) > 0 s 0 K > 0 K < sistem é estável pr 0 < K <

40 Exemplo 6: Encontrr os vlores de K pr os quis o sistem de mlh fechd bixo é estável É fácil de verificr que o polinómio crcterístico deste sistem é:

41 Exemplo 6 (continução): logo, Tbel de Routh-Hurwitz pr este polinómio é: s 4 s 3 6 K s 2 s 4 K (4-K/2) > 0 s 0 K > 0 K < 8 sistem é estável pr 0 < K < 8

42 Exemplo 7: Considere gor o polinómio crcterístico p(s) do 3º gru bixo Construindo-se Tbel de Routh-Hurwitz obtém-se s 3 s s 0 ε > 0 s 0 3 logo, todos os elementos d colun pivô são positivos, ou sej 0 (zero) rízes no SPD N verdde quele zero n colun pivô indic simetri de 2 polos e estes só podem estr no eixo imginário

43 Exemplo 7: Considere gor o polinómio crcterístico p(s) do 3º gru bixo Construindo-se Tbel de Routh-Hurwitz obtém-se s 3 s s 0 ε > 0 s 0 3 logo, todos os elementos d colun pivô são positivos, ou sej 0 (zero) rízes no SPD Logo, o sistem não é instável ms tmbém não possui todos os polos no SPE, o que impede que estbilize.

44 Exemplo 8: Considere gor o polinómio crcterístico do 5º gru bixo s 5 s 4 s 3 s 2 s s / / logo, não há trocs de sinis n colun pivô, ou sej 0 (zero) rízes no SPD 0 0 (zero) n colun pivô Aquele zero n colun pivô está n últim posição. (Ele indic simetri de polo em relção à origem, isto é, há um polo = zero)

45 Exemplo 8: Considere gor o polinómio crcterístico do 5º gru bixo s 5 s 4 s 3 s 2 s s / / logo, não há trocs de sinis n colun pivô, ou sej 0 (zero) rízes no SPD 0 0 (zero) n colun pivô Logo, o sistem não é instável, entretnto pens 4 dos 5 polos estão no SPE, pois um está n origem (s = 0).

46 Exemplo 9: Considere gor o polinómio crcterístico do 5º gru bixo s 5 s 4 s d linh s 4 obtém-se q(s) 0 n colun pivô linh de zeros e clcul-se derivd q (s)

47 Exemplo 9 (continução): Eliminndo linh de zeros, preenchemos tbel de Routh-Hurwitz s 5 s 4 s 3 s 3 s 2 s s Logo, o sistem não é estável si linh de zeros entr linh q (s) troc de sinl (de elementos d colun pivô) Este polinómio crcterístico tem polo no SPD.

48 estbilidde reltiv

49 Estbilidde Reltiv Às vezes é desejável que os polos não estejm perto do eixo (pr não termos resposts lents ou com excessivs oscilções). O que cus estbilizção ser mis rápid ou mis lent é loclizção dos polos ser mis fstd ou mis perto do eixo imginário (pr esquerd). Qunto mis fstdo pr esquerd estão os polos do sistem, mis rápido ele estbiliz.

50 Considere estes 2 sistems: x Im(z) pólos fstdos do eixo imginário 0 Re(z) Sistem A com polos fstdos do eixo imginário. x Sistem B com polos próximos do eixo imginário.

51 respost o degru Sistem A: lev pens cerc de 25 segundos pr estbilizr Sistem A Sistem B: lev 250 segundos. O sistem Aestbiliz mis rápido que o sistem B pois tem os seus polos mis fstdos do eixo imginário. Sistem B

52 Já vimos que um sistem é estável ou não se possui todos os polos no SPE ou não, respetivmente Este é o conceito de estbilidde bsolut Entretnto, cbmos de ver tmbém que: um sistem estável pode ser mis estável que outro Isso depende de qunto mis fstdo do eixo imginário, pr esquerd, estão loclizdos os polos deste sistem. Este é o conceito de estbilidde reltiv. A loclizção dos polos é o que cont

53 Dest form, é possível que desejmos verificr se um sistem tenh seus polos à esquerd de um rets= σ no SPE, e não pens no SPE. Região do SPE à esquerd d rets= σ σ s = σ

54 p s Pr isto fz-se um trnslção s s σ do polinómio crcterístico p s obtendo-se p s =p s σ que é o polinómiop s deslocdo de pr direit. Neste exemplo p s =p s σ σ = 2 p s =p s 2 σ = 2

55 Trnslção do polinómio pr direit σ = 2 p s p s =p s σ

56 Um trnslção do polinómio pr direit corresponde deslocr ret s = σ pr direit ou, equivlentemente, deslocr o eixo imginário pr esquerd rízes de p s rízes de p s =p s σ

57 Aplicndo-se o critério de estbilidde Routh-Hurwitz o polinómio trnslddop s, temos que o número de trocs de sinl n colun pivô é igul o número de rízes de p s loclizds à direit d ret s= σ Ou sej, trvés de p s extrímos conclusões prp s Por exemplo: Se n tbel Routh-Hurwitz pr p s não tiver trocs de sinl n colun pivô ( zero trocs ), então p s não terá polos ( zero polos ) à direit d ret s= σ

58 Isto é, os polos estrão loclizdos n região ssinld n figur: à esquerd d rets= σ, ou n própri ret. Comop s é um trnslção de p s em σ uniddes pr direit, então tods s conclusões que forem extríds pr p s em relção o eixo imginário são válids pr p s em relção à rets= σ

59 Exemplo 0: Verificr se o polinómio crcterístico p(s) ddo bixo tem os seus polos à esquerd de s= 2. p s =s +8s +2s+20 Vmos verificr se p s possui tods s sus rízes no SPE p s =s +8s +2s+20 s 3 s 2 s s ,5 20 zero trocs n colun pivô A colun pivô d tbel de Routh-Hurwitz de p s é tod positiv e portnto este polinómio tem todos os polos no SPE

60 Exemplo 0 (continução): Ms será que os tem à esquerd d ret s= 2? Pr isso precismos clculr o polinómio p s fzendo =2 p s =p s 2 = s 2 +8 s 2 +2 s s 3 s 2 =s +2s +s s 0 ε > 0 0 ( zero ) n 2 colun pivô s 0 2 não há trocs de sinl n colun pivô

61 Exemplo 0 (continução): Isso quer dizer que não há rízes dep s no SPD e logo, não há rízes dep s à direit d ret s= 2 Ms quele zero n segund linh de bixo pr cim (linh ) n colun pivô indic que há 2 rízes de p s no eixo imginário e portnto, há 2 rízes de p s em cim d ret s= 2 Ao verificr loclizção ds rízes de p s pode-se consttr que: o de fcto não há polos à direit d rets= 2 o há polo à esquerd d rets= 2 (ems= 4) e tmbém que: o há 2 polos em cim d rets= 2

62 Exemplo 0 (continução): As rízes de p s são: s= 4 s= 2±j Loclizção ds rízes do polinómiop s no plno complexo

63 Exemplo 0 (continução): As 2 rízes de p s no eixo imginário correspondem às 2 rízes de p s n ret s= 2 rízes de p s n ret s= σ rízes de p s no eixo imginário Loclizção de 2 rízes dos polinómiosp s ep s

64 Exemplo : Verificr se o polinómio crcterístico p(s) ddo bixo tem os seus polos à esquerd de s=. p s =2s +3s +28s +23s+6 Primeirmente vmos verificr se p s possuiu tods s sus rízes loclizds no SPE. s 4 s 3 s 2 s s ,46 6 9,8 0 6 colun pivô é tod positiv e portnto este polinómiop s tem todos os polos no SPE

65 Exemplo (continução): Entretnto, queremos sber se estão à esquerd d rets= Pr isso precismos clculr o polinómiop s fzendo σ= p s =p s =2 s +3 s +28 s +23 s +6 =2s +5s +s 2s s 4 s 3 s 2 s s / ( zero ) n colun pivô há troc de sinl n colun pivô, logo há um riz de p s no SPD e portnto, há um riz de p s à direit d rets=

66 Exemplo (continução): Ms quele zero n últim linh (linh ) d colun pivô indic que há riz de p s no eixo imginário (n origem) e portnto, há riz de p s em s= Ao verificr loclizção ds rízes de p s pode-se consttr que: o de fcto há polo em cim d rets= e que: o há tmbém polo à direit d rets= (ems= 0,5), que obvimente está no intervlo { < s < 0} pois já vimos que p s não tem rízes no SPD

67 Exemplo (continução): Loclizção ds rízes do polinómio p s As rízes dep s são: s= 3 s= 2 s= s= 0,5 Loclizção ds rízes do polinómio p s As rízes de p s são: s= 2 s= s=0 s=0,5

68 Obrigdo! Felippe de Souz

Aula 09 Equações de Estado (parte II)

Aula 09 Equações de Estado (parte II) Aul 9 Equções de Estdo (prte II) Recpitulndo (d prte I): s equções de estdo têm form (sistems de ordem n ) = A + B u y = C + D u onde: A é um mtriz n n B é um mtriz n p C é um mtriz q n D é um mtriz q

Leia mais

3 - CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH Estabilidade de Sistemas Lineares. Definições de estabilidade: Teorema da estabilidade:

3 - CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH Estabilidade de Sistemas Lineares. Definições de estabilidade: Teorema da estabilidade: 3 - CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH 3.1 - Estbilidde de Sistems Lineres Definições de estbilidde: Um sistem liner é estável qundo qulquer sinl de entrd de mplitude finit produz sinis de síd tmbém de

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas. CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A

Leia mais

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c.

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c. EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 =

Leia mais

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5, - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o : Áre entre Curvs, Comprimento de Arco e Trblho Objetivos d Aul Clculr áre entre curvs; Clculr o comprimento de rco; Denir Trblho. 1 Áre entre

Leia mais

Aula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões

Aula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões Aul de solução de problems: cinemátic em 1 e dimensões Crlos Mciel O. Bstos, Edurdo R. Azevedo FCM 01 - Físic Gerl pr Químicos 1. Velocidde instntâne 1 A posição de um corpo oscil pendurdo por um mol é

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES DETERMINANTES

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES DETERMINANTES Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl - APES DETERMINANTES Prof Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez Mtemátic Básic pr iêncis

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

x u 30 2 u 1 u 6 + u 10 2 = lim (u 1)(1 + u + u 2 + u 3 + u 4 )(2 + 2u 5 + u 10 )

x u 30 2 u 1 u 6 + u 10 2 = lim (u 1)(1 + u + u 2 + u 3 + u 4 )(2 + 2u 5 + u 10 ) Universidde Federl de Viços Deprtmento de Mtemátic MAT 40 Cálculo I - 207/II Eercícios Resolvidos e Comentdos Prte 2 Limites: Clcule os seguintes ites io se eistirem. Cso contrário, justique não eistênci.

Leia mais

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes E. E. E. M. ÁREA DE CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROFESSORA ALEXANDRA MARIA º TRIMESTRE/ SÉRIE º ANO NOME: Nº TURMA: Mteril envolvendo estudo de mtrizes e determinntes INSTRUÇÕES:. Este

Leia mais

ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson

ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson LGEBR LINER UTOVLORES E UTOVETORES Prof. demilson utovlores e utovetores utovlores e utovetores são conceitos importntes de mtemátic, com plicções prátics em áres diversificds como mecânic quântic, processmento

Leia mais

Definição: uma permutação do conjunto de inteiros {1, 2,..., n} é um rearranjo destes inteiros em alguma ordem sem omissões ou repetições.

Definição: uma permutação do conjunto de inteiros {1, 2,..., n} é um rearranjo destes inteiros em alguma ordem sem omissões ou repetições. DETERMINANTES INTRODUÇÃO Funções determinnte, são funções reis de um vriável mtricil, o que signific que ssocim um número rel (X) um mtriz qudrd X Sus plicções envolvem crcterizção de mtriz invertível,

Leia mais

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0 Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,

Leia mais

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA FUNÇÃO DO º GRAU OU QUADRÁTICA - Definição É tod função do tipo f() = + + c, com *, e c. c y Eemplos,, c números e coeficient termo vr vr iável iável es independen reis indepemdem dependente de te ou te

Leia mais

J. A. M. Felippe de Souza 10 Estabilidade. 10 Estabilidade

J. A. M. Felippe de Souza 10 Estabilidade. 10 Estabilidade J. A. M. Felippe de Souza 10 Estabilidade 10 Estabilidade 10.1 Introdução à Estabilidade 3 Definição 10.1 Estabilidade 3 Definição 10.2 - BIBO-estável 3 Teorema 10.1 Localização dos polos 4 Exemplo 10.1

Leia mais

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude

Leia mais

MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA EXEMPLO

MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA EXEMPLO MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA Vimos que o Método d Bissecção encontr um novo intervlo trvés de um médi ritmétic. Ddo o intervlo [,], o método d posição fls utiliz médi ponderd de e com pesos f( e f(, respectivmente:

Leia mais

Aula 20 Hipérbole. Objetivos

Aula 20 Hipérbole. Objetivos MÓDULO 1 - AULA 20 Aul 20 Hipérbole Objetivos Descrever hipérbole como um lugr geométrico. Determinr su equção reduzid no sistem de coordends com origem no ponto médio entre os focos e eixo x como o eixo

Leia mais

2.4 Integração de funções complexas e espaço

2.4 Integração de funções complexas e espaço 2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas Vetores e Álgebra Linear Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinantes

Universidade Federal de Pelotas Vetores e Álgebra Linear Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinantes Universidde Federl de Pelots Vetores e Álgebr Liner Prof : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinntes Determinntes Definição: Determinnte é um número ssocido um mtriz qudrd.. Determinnte de primeir ordem Dd

Leia mais

FUNÇÕES. Mottola. 1) Se f(x) = 6 2x. é igual a (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5. 2) (UNIFOR) O gráfico abaixo. 0 x

FUNÇÕES. Mottola. 1) Se f(x) = 6 2x. é igual a (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5. 2) (UNIFOR) O gráfico abaixo. 0 x FUNÇÕES ) Se f() = 6, então f ( 5) f ( 5) é igul () (b) (c) 3 (d) 4 (e) 5 ) (UNIFOR) O gráfico bio 0 () não represent um função. (b) represent um função bijetor. (c) represent um função não injetor. (d)

Leia mais

Exercícios. setor Aula 25

Exercícios. setor Aula 25 setor 08 080409 080409-SP Aul 5 PROGRESSÃO ARITMÉTICA. Determinr o número de múltiplos de 7 que estão compreendidos entre 00 e 000. r 7 00 7 PA 05 30 4 n 994 00 98 98 + 7 05 n + (n ) r 994 05 + (n ) 7

Leia mais

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Aul 7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Objetivo Conhecer dois critérios de convergênci de integris imprópris:

Leia mais

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito

Leia mais

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto

Leia mais

Área entre curvas e a Integral definida

Área entre curvas e a Integral definida Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções

Leia mais

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc.

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc. Aul Métodos Esttísticos sticos de Apoio à Decisão Aul Mônic Brros, D.Sc. Vriáveis Aletóris Contínus e Discrets Função de Probbilidde Função Densidde Função de Distribuição Momentos de um vriável letóri

Leia mais

Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I

Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I Cálculo Numérico Módulo V Resolução Numéric de Sistems ineres Prte I Profs.: Bruno Correi d Nóbreg Queiroz José Eustáquio Rngel de Queiroz Mrcelo Alves de Brros Sistems ineres Form Gerl... n n b... n n

Leia mais

(x, y) dy. (x, y) dy =

(x, y) dy. (x, y) dy = Seção 7 Função Gm A expressão n! = 1 3... n (1 está definid pens pr vlores inteiros positivos de n. Um primeir extensão é feit dizendo que! = 1. Ms queremos estender noção de ftoril inclusive pr vlores

Leia mais

Prof. Ms. Aldo Vieira Aluno:

Prof. Ms. Aldo Vieira Aluno: Prof. Ms. Aldo Vieir Aluno: Fich 1 Chmmos de mtriz, tod tbel numéric com m linhs e n coluns. Neste cso, dizemos que mtriz é do tipo m x n (onde lemos m por n ) ou que su ordem é m x n. Devemos representr

Leia mais

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM MATRIZES Definição e Notção... 11 21 m1 12... 22 m2............ 1n.. 2n. mn Chmmos de Mtriz todo conjunto de vlores, dispostos

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS

ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS Equção Liner * Sej,,,...,, (números reis) e n (n ) 2 3 n x, x, x,..., x (números reis) 2 3 n Chm-se equção Liner sobre

Leia mais

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA UNVERSDDE DE SÃO PULO ESOL POLTÉN Deprtmento de Engenhri de Estruturs e Geotécnic URSO ÁSO DE RESSTÊN DOS TERS FSÍULO Nº 5 Flexão oblíqu H. ritto.010 1 FLEXÃO OLÍU 1) udro gerl d flexão F LEXÃO FLEXÃO

Leia mais

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina.

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina. CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o : Aplicções d Integrl: Momentos. Centro de Mss Objetivos d Aul Denir momento em relção um ponto xo e um ret. Denir e clculr

Leia mais

Resumo. Sinais e Sistemas Transformada Z. Introdução. Transformada Z Bilateral

Resumo. Sinais e Sistemas Transformada Z. Introdução. Transformada Z Bilateral Resumo Sinis e Sistems Trnsformd Luís Clds de Oliveir lco@istutlpt Instituto Superior Técnico Definição Região de convergênci Trnsformd invers Proprieddes d trnsformd Avlição geométric d DTFT Crcterição

Leia mais

Cálculo de Limites. Sumário

Cálculo de Limites. Sumário 6 Cálculo de Limites Sumário 6. Limites de Sequêncis................. 3 6.2 Exercícios Recomenddos............... 5 6.3 Limites de Funções.................. 7 6.4 Exercícios Recomenddos...............

Leia mais

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b...

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b... Cálculo Numérico Módulo V Resolução Numéric de Sistems Lineres Prte I Profs.: Bruno Correi d Nóbreg Queiroz José Eustáquio Rngel de Queiroz Mrcelo Alves de Brros Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes

Leia mais

CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano.

CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano. CÁLCULO NUMÉRICO Prof. Dr. Yr de Souz Tdno yrtdno@utfpr.edu.br Aul 0 0/04 Sistems de Equções Lineres Prte MÉTODOS ITERATIVOS Cálculo Numérico /9 MOTIVAÇÃO Os métodos itertivos ou de proimção fornecem um

Leia mais

Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I

Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I Cálculo Numérico Resolução Numéric de Sistems ineres Prte I Prof. Jorge Cvlcnti jorge.cvlcnti@univsf.edu.br MATERIA ADAPTADO DOS SIDES DA DISCIPINA CÁCUO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/ Sistems

Leia mais

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES

CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES 5.- Teorems Fundmentis do Cálculo Diferencil Os teorems de Rolle, de Lgrnge, de Cuch e regr de L Hospitl são os qutro teorems fundmentis do cálculo diferencil

Leia mais

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i Integrl Noção de Integrl. Integrl é o nálogo pr unções d noção de som. Ddos n números 1, 2,..., n, podemos tomr su som 1 + 2 +... + n = i. O integrl de = té = b dum unção contínu é um mneir de somr todos

Leia mais

Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Luiz Fernando Satolo

Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Luiz Fernando Satolo Mtemátic pr Economists LES Auls 5 e Mtrizes Ching Cpítulos e 5 Luiz Fernndo Stolo Mtrizes Usos em economi ) Resolução sistems lineres ) Econometri ) Mtriz Insumo Produto Álgebr Mtricil Conceitos Básicos

Leia mais

equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b).

equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b). 1 Lembrete: curvs Definição Chmmos Curv em R n : um função contínu : I R n onde I R é intervlo. (link desenho curvs) Definimos: Trço d curv: imgem equção prmêtric/vetoril d curv: lei (t) =... Dizemos que

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prov Escrit de MATEMÁTICA A - 1o Ano 017-1 Fse Propost de resolução GRUP I 1. s números nturis de qutro lgrismos que se podem formr com os lgrismos de 1 9 e que são múltiplos de, são constituídos por 3

Leia mais

Conceito Representação Propriedades Desenvolvimento de Laplace Matriz Adjunta e Matriz Inversa

Conceito Representação Propriedades Desenvolvimento de Laplace Matriz Adjunta e Matriz Inversa Algebr Liner Boldrini/Cost/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Clculr determinntes pelo desenvolvimento de Lplce Inverter Mtrizes Conceito Representção Proprieddes Desenvolvimento de Lplce Mtriz Adjunt e Mtriz

Leia mais

V ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } ( r ) 2. Questões tipo exame Os triângulos [ BC Da figura ao lado são semelhantes, pelo que: BC CC. Pág.

V ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } ( r ) 2. Questões tipo exame Os triângulos [ BC Da figura ao lado são semelhantes, pelo que: BC CC. Pág. António: c ; Diogo: ( ) i e ; Rit: e c Pág Se s firmções dos três migos são verddeirs, firmção do António é verddeir, pelo que proposição c é verddeir e, consequentemente, proposição c é fls Por outro

Leia mais

Resumo. Sinais e Sistemas Transformada Z. Introdução. Transformada Z Bilateral

Resumo. Sinais e Sistemas Transformada Z. Introdução. Transformada Z Bilateral Resumo Sinis e Sistems Trnsformd lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Definição Região de convergênci Trnsformd invers Proprieddes d trnsformd Avlição geométric d DTFT Crcterição de SLITs usndo trnsformd.

Leia mais

Progressões Aritméticas

Progressões Aritméticas Segund Etp Progressões Aritmétics Definição São sequêncis numérics onde cd elemento, prtir do segundo, é obtido trvés d som de seu ntecessor com um constnte (rzão).,,,,,, 1 3 4 n 1 n 1 1º termo º termo

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prov Escrit de MATEMÁTICA A - o Ano 0 - Fse Propost de resolução GRUPO I. Como comissão deve ter etmente mulheres, num totl de pessos, será constituíd por um único homem. Logo, como eistem 6 homens no

Leia mais

CÁLCULO I. Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo I). Se f for contínua em [a, b], então. f(x) dx = F (b) F (a) x dx = F (b) F (a), x dx = x2 2

CÁLCULO I. Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo I). Se f for contínua em [a, b], então. f(x) dx = F (b) F (a) x dx = F (b) F (a), x dx = x2 2 CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o 5: Teorem Fundmentl do Cálculo I. Áre entre grácos. Objetivos d Aul Apresentr o Teorem Fundmentl do Cálculo (Versão Integrl).

Leia mais

Módulo e Equação Modular (valor absoluto)?

Módulo e Equação Modular (valor absoluto)? Mtemátic Básic Unidde 6 Função Modulr RANILDO LOES Slides disponíveis no nosso SITE: https://ueedgrtito.wordpress.com Módulo e Equção Modulr (vlor bsoluto)? - - - - R uniddes uniddes Definição, se, se

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec Cálculo Diferencil e Integrl I o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec de Junho de, h Durção: hm Apresente todos os cálculos e justificções relevntes..5 vl.) Clcule, se eistirem em R, os limites i)

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 26: Teorem do Vlor Médio pr Integris. Teorem Fundmentl do Cálculo II. Funções dds por

Leia mais

Matrizes. Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Márcia A.F. Dias de Moraes. Matrizes Conceitos Básicos

Matrizes. Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Márcia A.F. Dias de Moraes. Matrizes Conceitos Básicos Mtemátic pr Economists LES uls e Mtrizes Ching Cpítulos e Usos em economi Mtrizes ) Resolução sistems lineres ) Econometri ) Mtriz Insumo Produto Márci.F. Dis de Mores Álgebr Mtricil Conceitos Básicos

Leia mais

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que: Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte B

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte B Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl 5 CPES FUNÇÕES Prte B Prof. ntônio Murício Medeiros lves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez UNIDDE FUNÇÕES PRTE B. FUNÇÂO

Leia mais

1. Conceito de logaritmo

1. Conceito de logaritmo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Logritmos Prof.: Rogério

Leia mais

Integrais Imprópias Aula 35

Integrais Imprópias Aula 35 Frções Prciis - Continução e Integris Imprópis Aul 35 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 05 de Junho de 203 Primeiro Semestre de 203 Turm 20304 - Engenhri de Computção

Leia mais

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric

Leia mais

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos

Leia mais

y 5z Grupo A 47. alternativa A O denominador da fração é D = 46. a) O sistema dado é determinado se, e somente se: b) Para m = 0, temos: = 2 x y

y 5z Grupo A 47. alternativa A O denominador da fração é D = 46. a) O sistema dado é determinado se, e somente se: b) Para m = 0, temos: = 2 x y Grupo A 4. lterntiv A O denomindor d frção é D = 4 7 = ( 0 ) = 4. 46. ) O sistem ddo é determindo se, e somente se: m 0 m 9m 0 9 m b) Pr m, temos: x + y = x = y x + y z = 7 y z = x y + z = 4 4y + z = x

Leia mais

QUESTÃO 01. O lado x do retângulo que se vê na figura, excede em 3cm o lado y. O valor de y, em centímetros é igual a: 01) 1 02) 1,5 03) 2

QUESTÃO 01. O lado x do retângulo que se vê na figura, excede em 3cm o lado y. O valor de y, em centímetros é igual a: 01) 1 02) 1,5 03) 2 PROV ELBORD PR SER PLICD ÀS TURMS DO O NO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO NCHIET-B EM MIO DE. ELBORÇÃO: PROFESSORES OCTMR MRQUES E DRINO CRIBÉ. PROFESSOR MRI NTÔNI C. GOUVEI QUESTÃO. O ldo x do retângulo que

Leia mais

Lista de Problemas H2-2002/2. LISTA DE PROBLEMAS Leia atentamente as instruções relativas aos métodos a serem empregados para solucionar os problemas.

Lista de Problemas H2-2002/2. LISTA DE PROBLEMAS Leia atentamente as instruções relativas aos métodos a serem empregados para solucionar os problemas. List de Prolems H 0/ List sugerid de prolems do livro texto (Nilsson& Riedel, quint edição) 4.8, 4.9, 4., 4.1, 4.18, 4., 4.1, 4., 4.3, 4.3, 4.36, 4.38, 4.39, 4.40, 4.41, 4.4, 4.43, 4.44, 4.4, 4.6, 4.,

Leia mais

Formas Quadráticas. FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominação de uma função especial, definida genericamente por: 1 2 n ij i j i,j 1.

Formas Quadráticas. FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominação de uma função especial, definida genericamente por: 1 2 n ij i j i,j 1. Forms Qudrátics FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominção de um função especil, definid genericmente por: Q x,x,...,x x x x... x x x x x... x 1 n 11 1 1 1 1n 1 n 3 3 nn n ou Qx,x,...,x 1 n ij i j i,j1 i j n x x

Leia mais

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari MATEMÁTICA II Prof. Dr. Amnd Liz Pcífico Mnfrim Perticrrri mnd.perticrrri@unesp.r DEFINIÇÃO. Se f é um função contínu definid em x, dividimos o intervlo, em n suintervlos de comprimentos iguis: x = n Sejm

Leia mais

1. Sejam R e S duas relações entre os conjuntos não vazios E e F. Então mostre que

1. Sejam R e S duas relações entre os conjuntos não vazios E e F. Então mostre que 2 List de exercícios de Álgebr 1. Sejm R e S dus relções entre os conjuntos não vzios E e F. Então mostre que ) R 1 S 1 = (R S) 1, b) R 1 S 1 = (R S) 1. Solução: Pr primeir iguldde, temos que (, b) R 1

Leia mais

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a)

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a) A integrl definid Prof. Méricles Thdeu Moretti MTM/CFM/UFSC. - INTEGRAL DEFINIDA - CÁLCULO DE ÁREA Já vimos como clculr áre de um tipo em específico de região pr lgums funções no intervlo [, t]. O Segundo

Leia mais

Potencial Elétrico. Evandro Bastos dos Santos. 14 de Março de 2017

Potencial Elétrico. Evandro Bastos dos Santos. 14 de Março de 2017 Potencil Elétrico Evndro Bstos dos Sntos 14 de Mrço de 2017 1 Energi Potencil Elétric Vmos começr fzendo um nlogi mecânic. Pr um corpo cindo em um cmpo grvitcionl g, prtir de um ltur h i té um ltur h f,

Leia mais

(B) (A) e o valor desta integral é 9. gabarito: Propriedades da integral Represente geometricamente as integrais para acompanhar o cálculo.

(B) (A) e o valor desta integral é 9. gabarito: Propriedades da integral Represente geometricamente as integrais para acompanhar o cálculo. Cálculo Univrido List numero integrl trcisio@sorlmtemtic.org T. Prcino-Pereir Sorl Mtemátic lun@: 7 de setemro de 7 Cálculo Produzido com L A TEX sis. op. Dein/GNU/Linux www.clculo.sorlmtemtic.org/ Os

Leia mais

y m =, ou seja, x = Não existe m que satisfaça a inclinação.

y m =, ou seja, x = Não existe m que satisfaça a inclinação. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA Professores: Luis Mzzei e Mrin Duro Acdêmicos: Mrcos Vinícius e Diego

Leia mais

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são:

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são: MATEMÁTIA Sej M um mtriz rel x. Defin um função f n qul cd elemento d mtriz se desloc pr posição b seguinte no sentido horário, ou sej, se M =, c d c implic que f (M) =. Encontre tods s mtrizes d b simétrics

Leia mais

Matemática para Economia Les 201. Aulas 28_29 Integrais Luiz Fernando Satolo

Matemática para Economia Les 201. Aulas 28_29 Integrais Luiz Fernando Satolo Mtemátic pr Economi Les 0 Auls 8_9 Integris Luiz Fernndo Stolo Integris As operções inverss n mtemátic: dição e sutrção multiplicção e divisão potencição e rdicição A operção invers d diferencição é integrção

Leia mais

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento

Leia mais

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x. 6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 10º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 5. Grupo I

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 10º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 5. Grupo I ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA 10º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolh múltipl. Pr cd um dels são indicds qutro lterntivs,

Leia mais

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução:

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução: IME MATEMÁTICA A mtemátic é o lfbeto com que Deus escreveu o mundo Glileu Glilei Questão Clcule o número nturl n que torn o determinnte bixo igul 5. log (n ) log (n + ) log (n ) log (n ) Adicionndo s três

Leia mais

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8 TÓPICO Gil d Cost Mrques Fundmentos d Mtemátic II 8.1 Diferencil totl de um função esclr 8.2 Derivd num Direção e Máxim Derivd Direcionl 8.3 Perpendiculr um superfície

Leia mais

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004 Integrção Numéric Prof. Doherty Andrde- DMA/UEM DMA-UEM-4 Preliminres Nests nots o nosso interesse é clculr numericmente integris f(x)dx. A idéi d integrção numéric reside n proximção d função integrnd

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A

Leia mais

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques EFETUANDO INTEGRAIS 7 Gil d Cost Mrques Fundmentos de Mtemátic I 7. Introdução 7. Algums Proprieddes d Integrl Definid Propriedde Propriedde Propriedde Propriedde 4 7. Um primeir técnic de Integrção 7..

Leia mais

A Lei das Malhas na Presença de Campos Magnéticos.

A Lei das Malhas na Presença de Campos Magnéticos. A Lei ds Mlhs n Presenç de mpos Mgnéticos. ) Revisão d lei de Ohm, de forç eletromotriz e de cpcitores Num condutor ôhmico n presenç de um cmpo elétrico e sem outrs forçs tundo sore os portdores de crg

Leia mais

< 9 0 < f(2) 1 < 18 1 < f(2) < 19

< 9 0 < f(2) 1 < 18 1 < f(2) < 19 Resolução do Eme Mtemátic A código 6 ª fse 08.. (B) 0 P = C 6 ( )6 ( ).. (B) Como f é contínu em [0; ] e diferenciável em ]0; [, pelo teorem de Lgrnge, eiste c ]0; [tl que f() f(0) = f (c). 0 Como 0

Leia mais

Trigonometria FÓRMULAS PARA AJUDÁ-LO EM TRIGONOMETRIA

Trigonometria FÓRMULAS PARA AJUDÁ-LO EM TRIGONOMETRIA Trigonometri é o estudo dos triângulos, que contêm ângulos, clro. Conheç lgums regrs especiis pr ângulos e váris outrs funções, definições e trnslções importntes. Senos e cossenos são dus funções trigonométrics

Leia mais

1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < <

1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < < MATEMÁTICA Assinle lterntiv verddeir: ) 6 < 7 6 < 6 b) 7 6 < 6 < 6 c) 7 6 < 6 < 6 d) 6 < 6 < 7 6 e) 6 < 7 6 < 6 Pr * {} temos: ) *, * + e + * + ) + > + + > ) Ds equções (I) e (II) result 7 6 < ( 6 )

Leia mais

6 Conversão Digital/Analógica

6 Conversão Digital/Analógica 6 Conversão Digitl/Anlógic n Em muits plicções de processmento digitl de sinl (Digitl Signl Processing DSP), é necessário reconstruir o sinl nlógico pós o estágio de processmento digitl. Est tref é relizd

Leia mais

Um disco rígido de 300Gb foi dividido em quatro partições. O conselho directivo ficou. 24, os alunos ficaram com 3 8

Um disco rígido de 300Gb foi dividido em quatro partições. O conselho directivo ficou. 24, os alunos ficaram com 3 8 GUIÃO REVISÕES Simplificção de expressões Um disco rígido de 00Gb foi dividido em qutro prtições. O conselho directivo ficou com 1 4, os docentes ficrm com 1 4, os lunos ficrm com 8 e o restnte ficou pr

Leia mais

Problemas e Algoritmos

Problemas e Algoritmos Problems e Algoritmos Em muitos domínios, há problems que pedem síd com proprieddes específics qundo são fornecids entrds válids. O primeiro psso é definir o problem usndo estruturs dequds (modelo), seguir

Leia mais

NÃO existe raiz real de um número negativo se o índice do radical for par.

NÃO existe raiz real de um número negativo se o índice do radical for par. 1 RADICIAÇÃO A rdicição é operção invers d potencição. Sbemos que: ) b) Sendo e b números reis positivos e n um número inteiro mior que 1, temos, por definição: sinl do rdicl n índice Qundo o índice é,

Leia mais

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade Cpítulo IV Funções Contínus 4 Noção de Continuidde Um idei muito básic de função contínu é de que o seu gráfico pode ser trçdo sem levntr o lápis do ppel; se houver necessidde de interromper o trço do

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje

Leia mais

6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2]

6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2] 6 Cálculo Integrl. (Eercício VI. de []) Considere função f definid no intervlo [, ] por se [, [ f () = se = 3 se ], ] () Mostre que pr tod decomposição do intervlo [, ], s soms superior S d ( f ) e inferior

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais MTDI I - 2007/08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 63 Introdução o estudo de equções diferenciis Existe um grnde vriedde de situções ns quis se desej determinr um quntidde vriável prtir de um

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 6 FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA QUESTÃO O gráfico bio eibe o lucro líquido (em milhres de reis) de três pequens empress A, B e

Leia mais

Nota de aula_2 2- FUNÇÃO POLINOMIAL

Nota de aula_2 2- FUNÇÃO POLINOMIAL Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curiti Prof. Lucine Deprtmento Acdêmico de Mtemátic Not de ul_ - FUNÇÃO POLINOMIAL Definição 8: Função polinomil com um vriável ou simplesmente função polinomil

Leia mais

b a f(x) dx a f(x)dx = 0 f(x)dx a f(x)dx = - b f(x)dx b f(x)dx = c f(x)dx + b f(x)dx ou - f(x)dx ou - f(x)dx f (x) y f (x) 1 DEFINIÇÃO DE INTEGRAL

b a f(x) dx a f(x)dx = 0 f(x)dx a f(x)dx = - b f(x)dx b f(x)dx = c f(x)dx + b f(x)dx ou - f(x)dx ou - f(x)dx f (x) y f (x) 1 DEFINIÇÃO DE INTEGRAL DEFINIÇÃO DE INTEGRAL Dentro do conceito do cálculo, temos que integrl foi crid pr delimitr áre A loclizd sob um curv f() em um plno crtesino. A f () b A notção mtemátic d integrl cim é: A = b f() d 2

Leia mais

Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão. Análise Matemática I Frequência

Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão. Análise Matemática I Frequência Instituto Politécnico de Brgnç Escol Superior de Tecnologi e Gestão Análise Mtemátic I Frequênci Durção d prov: h min Dt: // Tolerânci: 5 min Cursos: EQ, IG, GEI Resolução Grupo I g π. ) Considere função

Leia mais

RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração

RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração RESUMO DE INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A rte de encontrr ntiderivds é chmd de integrção. Desse modo, o plicr integrl dos dois ldos d equção, encontrmos tl d ntiderivd: f (x) = d dx [F (x)] f (x)dx = F

Leia mais