Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

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1 EFETUANDO INTEGRAIS 7 Gil d Cost Mrques Fundmentos de Mtemátic I 7. Introdução 7. Algums Proprieddes d Integrl Definid Propriedde Propriedde Propriedde Propriedde 4 7. Um primeir técnic de Integrção 7.. Mudnç de Vriável 7.. Primitivção por sustituição Licencitur em Ciêncis USP/ Univesp

2 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Introdução Pr clculr integris ds funções simples, st fzer uso do conceito de ntiderivd. Nesse cso o procedimento é simples e direto. Tudo que devemos ser é ntiderivd do integrndo. Considere o eemplo io: Eemplos Eemplo : Determine integrl definid d função de epoente rel f() = / no intervlo [,4]. Sendo-se que su ntiderivd é função f ( )= ( 5 ), encontrmos: 5 ( )= ( ) () d = ( ) = ( ) ( ) 5 6 ( )= 5 7. E isso, como pontdo ntes, porque 5 d C 5 ( ) = ( )+ 7. Eemplo : Anlogmente, podemos escrever que integrl indefinid d função eponencil é dd por: ( e ) d= e + C 7. e, portnto, integrl definid io pode ser determind fcilmente: ln ln e ln ( ) d= e = e = 7.4 Entretnto, determinr s primitivs de lgums funções nem sempre é tão simples. Eige que utilizemos certs proprieddes e técnics. Fundmentos de Mtemátic I

3 76 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo 7. Algums Proprieddes d Integrl Definid Pr integrl definid,vlem s seguintes proprieddes: Propriedde Se f e g são funções integráveis no intervlo [,], então função f + g é integrável em [,] e ( )+ ( ) = ( ) + ( ) f g d f d g d 7.5 Ou sej, integrl d som é som ds integris. Eemplo : ( + ) d = d+ d = 4 = = = + = Propriedde Se k é um constnte e f é um função integrável no intervlo [,], então função k f é integrável em [,] e k f k f ( )= ( ) 7.7 Assim, integrl do produto de um número por um função é igul o produto desse número pel integrl d função. 7 Efetundo Integris

4 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo 77 Eemplo 4: 4d= 4 d = = 4 = = = = 7.8 Propriedde Se f é um função integrável no intervlo [,] e c é um ponto qulquer do intervlo [,], então c f( ) d = f( ) d + f( ) d c 7.9 Eemplo 5: Clculemos I = d de dus forms:. primeirmente de modo direto: 7 d= = = gor, usndo propriedde: I = d = d+ d = = + = + 6 = = 7. Gráfico 7.: I = d = d+ d Fundmentos de Mtemátic I

5 78 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo A propriedde 7.9 se revel especilmente útil qundo função for descontínu. Assim, se c for um ponto de descontinuidde d função, áre d região compreendid entre seu gráfico e o eio horizontl será dd pel som definid em 7.9. Gráfico 7.: A função f é descontínu no ponto c e c f( ) d = f( ) d + f( ) d c Propriedde 4 Se f é um função integrável no intervlo [,] então é válid seguinte propriedde d integrl definid Bst oservr que f( ) d =, de onde f( ) d + f( ) d =. ( ) = ( ) f d f d 7. Eemplo 6: I I 9 4 = d = = = = 5 = d = = = 5 7. Portnto, I = I, isto é: d= d Efetundo Integris

6 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Um primeir técnic de Integrção 7.. Mudnç de Vriável Muits vezes o cálculo de integris pode ser efetudo de um form simples medinte um mudnç de vriável. Pr efeito de ilustrção, consideremos o cso de um integrl de quociente de funções simples. Eemplo 7: Efetue integrl, io, n dependênci dos prâmetros e. I = cos sen d 7.5 Lemrndo que: dsen = cos d 7.6 A integrl cim pode ser escrit como: d I = sen sen 7.7 Colocndo y = sen 7.8 Oservmos que primitiv do integrndo de 7.7, é d ( sen ) dy = = + C = + C sen y y sen 7.9 Portnto, I = = sen sen sen 7. Fundmentos de Mtemátic I

7 8 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Pr verificrmos vlidde de 7.9, devemos derivr o ldo direito de 7.9, e verificr que ess derivd é igul o integrndo de 7.5. De fto, otemos d d + C d = sen d sen sen = ( ) dsen = d cos ( sen ) 7. Consideremos um integrl definid, ritrári, d form: I = ( ) g d 7. e mudnç de vriável definid por: = h( u) 7. Temos que dh( u) d = du = h ( u) du = h( u) = hu ( ) du 7.4 Assim, podemos efetur integrl por meio do uso d vriável u. Nesse cso, integrl 7. se escreve: I g d g hu h u du u ( ) = ( ) = ( ) ( ) u 7.5 onde os limites u e u são definidos em 7.. Eemplo 8: Os csos mis simples de integris são queles envolvendo funções simples. Consideremos gor o cso em que o rgumento d função é k, k constnte. Ou sej, consideremos integrl indefinid de um função d form: I = g( k) d Efetundo Integris

8 Efetundo sustituição u= k du = kd du k Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo = d 8 isto é, u= k d = du k 7.7 Podemos escrever integrl 7.6, so form: g kd k ( ) = ( ) g u du 7.8 Portnto, se y for ntiderivd de g, segue de 7.8, que: g kd yk ( ) k ( ) = +C 7.9 Eemplo 9: Determine integrl I π cos = ( ) kd 7. Pelo que foi visto cim, otemos pr integrl indefinid d função g() = cos(k) ( ) + sen k cos( k) d = k C 7. e, portnto, integrl definid em 7. é: π ( ) ( ) = ( ) π sen sen kπ k sen. sen kπ k cos( k) d = = k k k k 7. Fundmentos de Mtemátic I

9 8 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Eemplo : Considere um função dependente do tempo, que é dd pel integrl: t () t ( ) = t t v dv + ( v) 7. Em primeiro lugr, eminemos integrl indefinid: v + ( v) dv u du u C u C = v C = + + = + + = + ( ) onde fizemos mudnç de vriável u = (v) du = v dv e, portnto, [/()]du = v dv. Logo, t t () t ( ) = + ( v) = + ( t) + ( t) t ( ) 7.5 Eemplo : Determine integrl definid no intervlo [, t], cuj epressão é: yt ()= t dv + 4v 7.6 Oservmos que integrl dd pode ser escrit d seguinte mneir: yt () = t d( v) + ( v) 7.7 e, fzendo sustituição v= senh w dv = cosh wdw d( v) = cosh wdw 7.8 otemos pr integrl indefinid correspondente d( v) cosh wdw 5 = = dw w C v C = + = rcsenh + + ( v) + senh w Efetundo Integris

10 ou sej Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo 8 yt () = t 5 d( v) + ( v) t = 5rcsenhv = 5rcsenh t 5rcsenh. = 5rcsenh t 7.4 Um lemrete! As funções hiperólics são definids pels epressões: e senh = e cosh = e + e É possível verificr que d e (senh ) = d + e = cosh 7.4 e que d e (cosh ) = d e = senh 7.44 Mis ind, cosh senh e + + e e + e = 4 4 de onde, cosh = + senh fto esse que foi usdo n integrl nterior. 4 = = Algums primitivs imedits ou quse imedits: Fundmentos de Mtemátic I

11 84 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Eemplo : sec d 7.46 É um primitiv imedit pois d ( tg )= sec, logo d sec d= tg + C 7.47 Eemplo : tg d 7.48 Um vez que sec = + tg, temos que ( ) = + tg d= sec d tg C 7.49 Eemplo 4: Neste eemplo é preciso um cuiddo especil. A função integrndo está definid pr todo número rel não nulo. d Se > então d = ln + C pois ( ln ) = d Se < então d = d = ln ( ) + C pois d ( ln ( ) ) = pel Regr d Cdei. d (Lemre que só eiste logritmo de número estritmente positivo e que, se <, então >.) Logo, reunindo os dois csos, d d = ln + C 7.5i 7.5i 7.5i 7.5i 7 Efetundo Integris

12 Eemplo 5: Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo 85 5 d Como = + + = (fç divisão de polinômios pr chegr esse resultdo) temos: d = + + d = + ln + + C (verifique com cuiddo.) Eemplo 6: d Como + = +, então d C 7.58 = rctg + + pois d ( rctg )= d + Eemplo 7:. e d e d= e d = e + C (verifique.) Fundmentos de Mtemátic I

13 86 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo 7.. Primitivção por sustituição ( ( )) ( ) = ( ) Lemrmos, utilizndo o conceito de função compost, que: f g. g d f u du. É importnte oservr que, pr utilizr est técnic, é importnte que no integrndo estej presente derivd ou quse, menos de constnte multiplicndo de um função u = g(), sendo u vriável de um outr função que se quer integrr. Alguns eemplos resolvidos: Eemplo 8: ( ) sen + 5 d Como é quse derivd de, fzemos: e dí u= + 5 du = d ou (/)du = d ( ) = ( ). Por quê?) (Lemre que kf. d k. f d Eemplo 9: sen( + 5) d = senudu cosu C cos 5 C = + = ( + )+ sen cos d Bst notr que d ( sen)= cos ; logo fzemos: d u= sen du = cos d e dí sencos d = udu= u + C = ( sen ) + C 7 Efetundo Integris

14 Eemplo : Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo 87 + d Tendo em vist que d ( + )= 6 d fzemos: e dí u= + du = 6d 4 4 d udu u du u C C = = = + = ( + ) + = C Eemplo : ( ) + d 9 Considerndo que d ( 9 )= 7 d fzemos: e dí u= 9 du = 7d d du u du u C C 9 7 u 7 7 = = = + = Fundmentos de Mtemátic I

15 88 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Eemplo : e d Um vez que d d e e ( )=, fzemos: logo, u e = du = e d u e d du C e = C = + = + Eemplo : Um vez que e d d d e e ( )= d fzemos: logo, u e = du = e d u e d du C e = C = + = + 7 Efetundo Integris

16 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Mis dois eemplos, envolvendo est técnic, no cso de integris definids: 89 Eemplo 4: ln d É preciso oservr que vriável vri no intervlo [, ]. Há dus mneirs de proceder: Clculmos primeiro integrl indefinid (Note sustituição u = ln du = (/)d) Agor, pois ln =. Outr mneir de clculr de integrção, colocndo gor vrição de u. Assim, fzendo temos: logo como ntes. ln d e depois integrl definid. Assim, ln ln d udu u C = = + = ( ) + ln ln ln d = = ln d é, o fzer mudnç de vriável, mudr tmém os limites u = ln du = d = u= = u= ln ln ln ln ln d udu u = = = C Fundmentos de Mtemátic I

17 9 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Eemplo 5: d Temos: d = + C ln (Lemre que ln ln = e = e e, portnto, d d d d e ln e ln ln ln ) ( )= ( )= = Assim, d = = = ln ln ln ln. 7 Efetundo Integris