Aula 1 - POTI = Produtos Notáveis

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Aula 1 - POTI = Produtos Notáveis"

Transcrição

1 Aul 1 - POTI = Produtos Notáveis O que temos seguir são s demonstrções lgébrics dos sete principis produtos notáveis e tmbém prov geométric dos três primeiros. 1) Qudrdo d Som ( + b) = ( + b) * ( + b) = + b+ b+ b = + b + b ) Qudrdo d Diferenç ( b) = ( b) * ( b)= b b+ b = b + b Como observção segue que: (b ) = [( 1) * ( b)] = ( 1) ( b) = ( b) 3) Produto d Som pel Diferenç ( b) * ( + b) = + b b b = b 4) Cubo d Som ( + b) 3 = ( + b) * ( + b) * ( + b) = ( + b) * ( + b + b ) = = 3 + b + b + b + b + b 3 = b + 3b + b 3 = 3 + 3b( + b) + b 3 5) Cubo d Diferenç ( - b) 3 = ( - b) * ( - b) * ( - b) = ( - b) * ( - b + b ) = = 3 - b + b - b + b - b 3 = 3-3 b + 3b - b 3 = 3-3b( - b) - b 3 6) Som de dois Cubos ( + b).( b + b ) = 3 + b 3 Prov: Considerndo temos: ( + b).( b + b ) = 3 b + b + b b + b 3 = 3 + b 3 Exemplo: 7) Diferenç de Cubos ( - b).( + b + b ) = 3 - b 3 Prov: Considerndo temos: Provs Geométrics 1) Qudrdo de Ldo + b e o Qudrdo d Som Observe figur 1 em que temos um qudrdo de ldo + b dividido de form conveniente em qutro retângulos de áres A 1, A, A 3 e A 4 : Figur 1: Qudrdo de ldo + b dividido em qutro retângulos. Repre que áre A do qudrdo é igul som A1 + A + A3 + A4. Ou sej: A= A1 + A + A3 + A4 Vemos d própri figur que: A= ( + b) ; A1 = * b ; A = b ; A3 = ; A4 = * b

2 Substituindo teremos: A= * b + b + + * b ( + b) = + * * b + b ) Qudrdo de Ldo e o Qudrdo d Diferenç Observe figur em que temos um qudrdo de ldo dividido de form conveniente em qutro retângulos de áres A 1, A, A 3 e A 4 : Repre que áre A do qudrdo é igul som A 1 + A + A 3 + A 4. Ou sej: A = A 1 + A + A 3 + A 4 Vemos d própri figur que: A = ; A 1 = ( b) * b ; A = b ; A 3 = ( b) ; A 4 = ( b) * b Figur : Qudrdo de ldo dividido em qutro retângulos. Substituindo teremos: A = ( b) * b+b +( b) +( b) * b = * b b +b +( b) + * b b De onde vem que: = b + ( b) b ( b) = b + b 3) Um Retângulo e o Produto d Som Pel Diferenç Considere figur 3 em que temos um retângulo de ldos e + b e áre A. Figur 3: Retângulo dividido em qutro retângulos. Vemos d figur que s áres A 1, A, A 3 e A 4 são: A = * ( + b); A 1 = * ( b); A = b * ( b); A 3 = * b; A 4 = b Assim: A = A 1 + A + A 3 + A 4 Logo: * ( + b) = * ( b) + b * ( b) + * b + b ; Dí: + * b = ( + b) * ( b) + * b + b <=> = ( + b) * ( b) + b <=> b = ( + b) * ( b) Testes de Vestibulres, pr esquentr...: 01. (CPM 010). Efetundo s operções indicds, simplifique frção ( b) +(+b). (+b) Qul frção você obterá? ( b) (+b) b b ) b) c) d) e) ( b)+1+ b +b +b b 1 (+b)

3 0. (CEFET 008). Se x + y = 5 e x y = 3, o vlor numérico d expressão (x + xy + y )+(x y )+ (x xy + y ), será: A) 15 B) 34 C) 49 D) 60 E) (CEFET) Assinle firmtiv INCORRETA: ) ( b) = ( + b) ; b) ( + b) = ( b) ; c) ( b) + 4b = ( + b) ; d) ( + b) 4b = ( b) + b; e) Ds nteriores, um está errd. Treinmento OBMEP 014 A professor Loren ensinou seus lunos o seguinte produto notável: Pr quisquer números reis e b, - b = ( + b) * ( - b) Por exemplo, 4-3 = 16-9 = 7. Por outro ldo, (4+3) * (4-3) = 7 * 1 = 7. Usndo este ensinmento d professor Loren, clcule: ) : b) Encontre dois números inteiros miores do que 1 cujo produto é Treinmento OBMEP 009. Quis são os números? Descubr quis números inteiros positivos x e y stisfzem equção x 4 = y Prove o Teorem de Brm Gupt que diz: Se e A e B são nturis e cd um deles é som de dois qudrdos perfeitos, então A * B tmbém é um som de dois qudrdos perfeitos! Solução: Considere A = + b e B = c + d ; então: A * B = ( + b )*(c + d ) = c + d + b c + b d ; dí podemos somr e subtrir * * b * c * d, onde teremos: A * B = c +bcd+ b d + b c - bcd + d = (c + bd) + (bc d) Ftorção de Expressões Algébrics: Ftorr signific trnsformr um som lgébric em um produto de pelo menos dois ftores. 1º cso: Ftor Comum em Evidênci Qundo todos os termos d som (polinômio) tem um ftor comum, coloc-se em evidênci este ftor (ele fic pr for de um prênteses) e o multiplicmos pel som dos ftores restntes: Exemplo: 36 3 b 5 8 b b 10 = 4 * 9 * * * b 5 4 * * *b 5 *b + 4 * 3 * * 3 *b 5 *b 5 = 4 b 5 *(9 - b b 5 ) OBMEP 015 (Nível 1ª fse): Os números nturis x e y são tis que x x * y = 3. Qul é o vlor de x + y? A) 4 B) 30 C) 34 D) 35 E) 45 Solução: Ao ftorr expressão x x y = x (x y) (I) = 3 = 3.1 (II) Perceb que (I) é um produto de números inteiros, e como 3 é número primo ele somente pode ser escrito como o produto de dois ftores como 3*1, como está em (II). Como (I) = (II), então s únics lterntivs possíveis pr produto de inteiros são: x = 3 { x y = 1 ; { x = 1 x y = 3 ; { x = 1 x y = 3 ou { x = 3 x y = 1 Apens o 1º sistem de equções dá soluções Nturis (x = 3 e y = ), os demis sistems dão soluções com inteiros negtivos, fugindo do enuncido do problem. Logo x + y = 3 + = 45. Alterntiv E. º cso: Agrupmento Aplicmos os polinômios d form: x + bx + y + by

4 Devemos proceder d seguinte mneir: 1º) Em cd grupo, colocmos o ftor comum em evidênci; º) Todos os grupos presentrão de novo um ftor comum, que deve ser posto em evidênci pr completr ftorção. Resumindo: x + bx + y + by = x ( + b) + y ( + b) = ( + b) (x + y) Exemplo: 15x + 10y 1bx 8by = x y b. x 4.. b. y = 5 (3x + y) 4b (3x + y) = (3x + y) (5 4b). 3º cso: Diferenç de dois Qudrdos e outros inversos dos produtos notáveis Aplicmos os polinômios d form: b Devemos proceder d seguinte mneir: 1º) Verificmos riz qudrd de cd termo; º) Escrevemos o produto d som pel diferenç desss rízes. Resumindo: b = ( + b) ( b) Exemplo: 5x 16b. 1º) 5x = 5x ; 16b = 4b º) Escrevemos o produto: 5x 16b = (5x + 4b) (5x 4b) Perceb que volt dos demis Produtos Notáveis tmbém trnsformm um Som em um Produto: Qudrdo d Som ou d Diferenç: ± b + b = ( ± b) = ( ± b) * ( ± b) Som ou Diferenç de dois Cubos: 3 ± b 3 = ( ± b) * ( b + b ) 4º cso: Expressões do tipo: 4 + 4b 4 Este tipo de expressão é bem comum em Olimpíds, e nos vlemos de um rtifício de somr e subtrir um mesmo vlor pr completr um qudrdo perfeito e depois temos um diferenç de qudrdos, vej o exemplo bixo: 4 + 4b 4 = ( ) + (b ) = ( ) + b + (b ) b = ( + b ) 4 b = ( + b ) (b) = ( + b + b) ( + b b) 5º cso: Expressões do tipo: b + + b + 1 ; ou b b + 1 Repre que: * b + + b + 1 = ( + 1) * (b + 1) e que * b b + 1 = ( 1) * (b 1) Problem Resolvido. Determine o número de pres ordendos (m, n) de números inteiros positivos que são soluções d equção: 4 m + n = 1 Solução: A equção 4 m + n = 1 é equivlente m *n m 4n+8 = 8 (m 4)(n ) = 8. Or, como m e n são inteiros positivos, então (m - 4) e (n - ) tmbém deverão ser inteiros. As possibiliddes são: { m 4 = 1 n = 8 ; {m 4 = n = 4 ; {m 4 = 4 n = pres ordendos (m, n) são (5, 10); (6, 6); (8, 4); (1, 3). Testes de Vestibulres, pr esquentr...: 04. (UTFPR) Simplificndo expressão 6x4 y 3 4x 3 y 4 1x 4 y 8x y 3, obtém-se: 4 = 8 ou {m, ou sej, os n = 1

5 A) x y B) C) 0 D) 3x y E) x y 05. (UTFPR) Simplificndo expressão x 1 x+, obtém-se: A) x 1 B) x 1 C) x D) x (UTFPR) Simplificndo expressão ( +b b A) +b 1 B) b +1 E) x+y x ( ), obtém-se: 1) (+b) 1 1 C) D) 1 +1 Problems Olímpicos e de pegr fogo! Treinmento: Sbendo que x + 1 = 3, clcule: x ) x + 1 x b) x3 + 1 x 3 c) x4 + 1 x 4 d) x5 + 1 x 5... e) x9 + 1 x 9 1. (OBM 011 1ª fse) O número n tem 011 lgrismos e todos iguis 9. Quntos lgrismos 9 tem o número n? A) nenhum B) 11 C) 010 D) 011 E) 40. (OBM 004 1ª Fse Nível ). Se x + y = 8 e x * y= 15, qul é o vlor de x + 6xy + y? A) 64 B) 109 C) 10 D) 14 E) (OBM 00 1ª Fse Nível ) Se x*y = e x + y = 5, então : x y + y x + vle: A) 5 B) 5 4 C) 5 4 D) 1 E) 1 4. (OBM Nível ) Qul é o vlor d expressão: * A) * B) * C) * D) * E) * (OIM ª Fse) Qul o lgrismo ds dezens de 1² +² + 3² + 4² ² +013²? Dic: Nos próximos dois exercícios, vmos utilizr um fto útil de pensr que um número com todos os dígitos 1 s, como , pode ser escrito n form Se o número possuir pens o dígito 4, por exemplo, como , então o escrevemos n form 4 * A vntgem desss lterções é sber que = 10 n -1 (verifique esse fto pr quntiddes pequens de 9s). n vezes 6. (OBM 00-1ª Fse Nível ). O resto d divisão por 9 de é: A) 0 B) 1 C) 3 D) 6 E) 8 7. (IME) Mostre que os números 49, 4489, , ,..., obtidos colocndo-se 48 no meio do número nterior, são qudrdos de números inteiros. 8. (OBM 001-1ª Fse Nível ) Quntos dígitos tem o menor qudrdo perfeito cujos qutro últimos dígitos são 001? A) 9 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 9. (OBM 005 1ª Fse Nível ). Os inteiros positivos x e y stisfzem equção x + y - x y = 1. Qul ds lterntivs present um possível vlor de y? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) (OBM 005 1ª Fse Nível ).

6 Quntos são os pres (x, y) de inteiros positivos tis que x y = 010? A) 1000 B) 1001 C) 100 D) 1003 E) (OBM 006 1ª Fse Nível ) Simplificndo expressão: , obtemos: A) B) 3 C)1 D) + E) (OBM 01 1ª Fse Nível ) Se x e y são números reis tis que x y 5 x y x y 4 e x y 0, determine o vlor de xy. A) 4 B) 3 C) 1 D) 0 E) (OBM 013 1ª Fse Nível ) Determine x + y, onde x e y são reis, sbendo que xy x y 6. x 3 3, y 9 e A) 1 B) C) 3 D) 4 E) (OBM 014 1ª Fse Nível ) Se x, y, e b são reis positivos tis que x y e x y b, determine o vlor de xy. 4 4 b A) 4b b B) C) b b 15. (OBM 014 ª Fse Nível ) Determine o número de soluções com x e y inteiros positivos d equção: x y (OBM ª Fse - Nível ) Qul é som dos lgrismos do número ? 17. (OBM ª Fse - Nível ) () Ftore expressão: x 9xy + 8y. (b) Determine todos os pres de inteiros (x; y) tis que: 9xy x 8y = (Treinmento OBMEP Nível ) Diferenç de Qudrdos () De qunts forms é possível escrever o número 105 como diferenç de dois qudrdos perfeitos? (b) Mostre que não é possível escrever o número 106 como diferenç de dois qudrdos perfeitos. 19. (Treinmento OBMEP Nível ) As medids em centímetros dos ldos de cd um dos dois qudrdos são números inteiros. Se o menor qudrdo tivesse 001 cm mis de áre, os dois qudrdos serim iguis. Qunto pode medir o ldo do mior qudrdo? D) b 1 E) 0. (Treinmento OBMEP Nível ) Primos Não! () Prove que o número não é primo. (b) Prove que o número não é primo. 1. (EUA) Determine som dos dígitos n bse 10 de (10 4n ), sendo n um inteiro positivo.

7 . (EUA) Clcule ( ) ( 4 +34) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 3. Um qudrdo é cortdo em 49 qudrdos menores. Todos esses qudrdos têm s medids de seus ldos, em centímetros, expresss por números inteiros positivos. Há extmente 48 qudrdos com áre igul 1cm. Determine o número de resultdos possíveis pr expressr, em cm, medid d áre do qudrdo originl. 4. (Semn Olímpic 016) Clcule: ( 1+ 5 ) 10 + ( 1 5 ) Determine todos os números inteiros tis que som e o produto são iguis. 6. (Leningrdo) Prove que: (3 1) (3 3 1) (4 3 1) ( ) ( 3 +1) (3 3 +1) (4 3 +1) ( ) =

é: y y x y 31 2 d) 18 e) O algarismo das unidades de é igual a: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

é: y y x y 31 2 d) 18 e) O algarismo das unidades de é igual a: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 0. Dentre s firmtivs bio, ssinle quel que NÃO é verddeir pr todo nturl n: - n = b - n- = - n+ n n c d - n = -- n e - n- = -- n 07. O lgrismo ds uniddes de 00. 7 00. 00 é igul : b c d 7 e 0. O vlor de 6

Leia mais

é: 31 2 d) 18 e) 512 y y x y

é: 31 2 d) 18 e) 512 y y x y 0. Dentre s firmtivs bio, ssinle quel que NÃO é verddeir pr todo nturl n: ) -) n = b) -) n- = -) n+ n n c) ) ) d) -) n = --) n e) -) n- = --) n 07. O lgrismo ds uniddes de 00. 7 00. 00 é igul : ) b) c)

Leia mais

Exercícios. . a r. 2º Caso: Agrupamento. É uma aplicação do 1º caso, só que o termo comum aparece em grupos. 3º Caso: Diferença de dois quadrados

Exercícios. . a r. 2º Caso: Agrupamento. É uma aplicação do 1º caso, só que o termo comum aparece em grupos. 3º Caso: Diferença de dois quadrados Mtemátic Básic Ftorção Aul. Definição Ftorr um epressão lgéric consiste em trnsformá-l num produto. É um prolem de grnde interesse n Álger, nálogo o d decomposição de um número em ftores primos. º Cso:

Leia mais

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c.

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c. EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 =

Leia mais

Um disco rígido de 300Gb foi dividido em quatro partições. O conselho directivo ficou. 24, os alunos ficaram com 3 8

Um disco rígido de 300Gb foi dividido em quatro partições. O conselho directivo ficou. 24, os alunos ficaram com 3 8 GUIÃO REVISÕES Simplificção de expressões Um disco rígido de 00Gb foi dividido em qutro prtições. O conselho directivo ficou com 1 4, os docentes ficrm com 1 4, os lunos ficrm com 8 e o restnte ficou pr

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

QUESTÃO 01. O lado x do retângulo que se vê na figura, excede em 3cm o lado y. O valor de y, em centímetros é igual a: 01) 1 02) 1,5 03) 2

QUESTÃO 01. O lado x do retângulo que se vê na figura, excede em 3cm o lado y. O valor de y, em centímetros é igual a: 01) 1 02) 1,5 03) 2 PROV ELBORD PR SER PLICD ÀS TURMS DO O NO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO NCHIET-B EM MIO DE. ELBORÇÃO: PROFESSORES OCTMR MRQUES E DRINO CRIBÉ. PROFESSOR MRI NTÔNI C. GOUVEI QUESTÃO. O ldo x do retângulo que

Leia mais

Recordando produtos notáveis

Recordando produtos notáveis Recordndo produtos notáveis A UUL AL A Desde ul 3 estmos usndo letrs pr representr números desconhecidos. Hoje você sbe, por exemplo, que solução d equção 2x + 3 = 19 é x = 8, ou sej, o número 8 é o único

Leia mais

Progressões Aritméticas

Progressões Aritméticas Segund Etp Progressões Aritmétics Definição São sequêncis numérics onde cd elemento, prtir do segundo, é obtido trvés d som de seu ntecessor com um constnte (rzão).,,,,,, 1 3 4 n 1 n 1 1º termo º termo

Leia mais

Fatoração e Produtos Notáveis

Fatoração e Produtos Notáveis Ftorção e Produtos Notáveis 1. (G1 - cftmg 014) Simplificndo epressão 1 4 6 4 5 4 16 48 obtém-se ). b) 4 +. c). d) 4 +.. (G1 - ifce 014) O vlor d epressão: b b ) b. b) b. c) b. d) 4b. e) 6b. é. (Upf 014)

Leia mais

a) 3 ( 2) = d) 4 + ( 3) = g) = b) 4 5 = e) 2 5 = h) = c) = f) = i) =

a) 3 ( 2) = d) 4 + ( 3) = g) = b) 4 5 = e) 2 5 = h) = c) = f) = i) = List Mtemátic -) Efetue s dições e subtrções: ) ( ) = d) + ( ) = g) + 7 = b) = e) = h) + = c) 7 + = f) + = i) 7 = ) Efetue s multiplicções e divisões: ).( ) = d).( ) = g) ( ) = b).( 7) = e).( 6) = h) (

Leia mais

Desigualdades - Parte II. n (a1 b 1 +a 2 b a n b n ) 2.

Desigualdades - Parte II. n (a1 b 1 +a 2 b a n b n ) 2. Polos Olímpicos de Treinmento Curso de Álgebr - Nível Prof. Mrcelo Mendes Aul 9 Desigulddes - Prte II A Desiguldde de Cuchy-Schwrz Sejm,,..., n,b,b,...,b n números reis. Então: + +...+ ) n b +b +...+b

Leia mais

LISTA PREPARATÓRIA PARA RECUPERAÇÃO FINAL MATEMÁTICA (9º ano)

LISTA PREPARATÓRIA PARA RECUPERAÇÃO FINAL MATEMÁTICA (9º ano) PARTE I ) Determine s potêncis: ) 4 = b) - = ) Escrev usndo potênci de bse 0: ) 7 bilhões: b) um milionésimo: ) Trnsforme os números ddos em potencições e simplifique epressão: 0000000 00000 5 = 4) Escrev

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação

Matemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Equções Polinomiis p. 86 (PUC-SP) No universo C, equção 0 0 0 dmite: ) três rízes rcionis c) dus rízes irrcionis e) um únic riz positiv b) dus rízes não reis

Leia mais

1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < <

1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < < MATEMÁTICA Assinle lterntiv verddeir: ) 6 < 7 6 < 6 b) 7 6 < 6 < 6 c) 7 6 < 6 < 6 d) 6 < 6 < 7 6 e) 6 < 7 6 < 6 Pr * {} temos: ) *, * + e + * + ) + > + + > ) Ds equções (I) e (II) result 7 6 < ( 6 )

Leia mais

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução:

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução: IME MATEMÁTICA A mtemátic é o lfbeto com que Deus escreveu o mundo Glileu Glilei Questão Clcule o número nturl n que torn o determinnte bixo igul 5. log (n ) log (n + ) log (n ) log (n ) Adicionndo s três

Leia mais

Solução da prova da 1 fase OBMEP 2013 Nível 1

Solução da prova da 1 fase OBMEP 2013 Nível 1 Solução d prov d fse OBMEP 0 Nível QUESTÃO Qundo brir fit métric, Don Céli verá o trecho d fit representdo n figur; mnch cinzent corresponde à porção d fit que estv em volt d cintur de Mrt. A medid d cintur

Leia mais

Área entre curvas e a Integral definida

Área entre curvas e a Integral definida Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções

Leia mais

d) xy 2 h) x c a b c) d) e) 20

d) xy 2 h) x c a b c) d) e) 20 AS RESPOSTAS ESTÃO NO FINAL DOS EXERCÍCIOS. Rdicis ) Escrev em form de potênci com epoente frcionário ) Escrev em form de rdicl ) Dividindo o índice do rdicl e os epoentes de todos os ftores do rdicndo

Leia mais

3n 3 3 3n. R = k(1,1) t. Pessoa Anos de Formação (t) Fator de Carreira (k) A B C

3n 3 3 3n. R = k(1,1) t. Pessoa Anos de Formação (t) Fator de Carreira (k) A B C Aul 0 Potencição 0) (PUC-SP) Simplificndo epressão ) n 9 ) n + n d) 6 7 6 9 n n n, otém-se 0) (Insper) Um nlist de recursos humnos desenvolveu o seguinte modelo mtemático pr relcionr os nos de formção

Leia mais

Os números racionais. Capítulo 3

Os números racionais. Capítulo 3 Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente,

Leia mais

NÃO existe raiz real de um número negativo se o índice do radical for par.

NÃO existe raiz real de um número negativo se o índice do radical for par. 1 RADICIAÇÃO A rdicição é operção invers d potencição. Sbemos que: ) b) Sendo e b números reis positivos e n um número inteiro mior que 1, temos, por definição: sinl do rdicl n índice Qundo o índice é,

Leia mais

CONCURSO DE SELEÇÃO 2003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

CONCURSO DE SELEÇÃO 2003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CONCURSO DE SELEÇÃO 003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 41100 0$7(0É7,&$ RESOLUÇÃO PELA PROFESSORA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA $ LOXVWUDomR TXH VXEVWLWXL D RULJLQDO GD TXHVWmR H DV GDV UHVROXo}HV

Leia mais

Ângulo completo (360 ) Agora, tente responder: que ângulos são iguais quando os palitos estão na posição da figura abaixo?

Ângulo completo (360 ) Agora, tente responder: que ângulos são iguais quando os palitos estão na posição da figura abaixo? N Aul 30, você já viu que dus rets concorrentes formm qutro ângulos. Você tmbém viu que, qundo os qutro ângulos são iguis, s rets são perpendiculres e cd ângulo é um ângulo reto, ou sej, mede 90 (90 grus),

Leia mais

Colegio Naval ) O algoritmo acima foi utilizado para o cálculo do máximo divisor comum entre os números A e B. Logo A + B + C vale

Colegio Naval ) O algoritmo acima foi utilizado para o cálculo do máximo divisor comum entre os números A e B. Logo A + B + C vale Colegio Nvl 005 01) O lgoritmo cim foi utilizdo pr o cálculo do máximo divisor comum entre os números A e B. Logo A + B + C vle (A) 400 (B) 300 (C) 00 (D) 180 (E) 160 Resolvendo: Temos que E 40 C E C 40

Leia mais

QUESTÃO 01. QUESTÃO 02.

QUESTÃO 01. QUESTÃO 02. PROVA DE MATEMÁTICA DO O ANO _ EM DO COLÉGIO ANCHIETA BA. ANO 6 UNIDADE III PRIMEIRA AVALIAÇÃO. ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. QUESTÃO. Quntos inteiros são soluções

Leia mais

Simulado OBMEP 2017 Nível 3 Ensino Médio

Simulado OBMEP 2017 Nível 3 Ensino Médio Simuldo OBMEP 2017 Nível 3 Ensino Médio 1. ALTERNATIVA D O comprimento d mes é 8 22 = 176 centímetros; logo, o plmo de Crolin mede 176 11 = 16 centímetros. 2. ALTERNATIVA C Como o multiplicr qulquer número

Leia mais

81,9(56,'$'( )('(5$/ '2 5,2 '( -$1(,52 &21&8562 '( 6(/(d 2 0$7(0É7,&$

81,9(56,'$'( )('(5$/ '2 5,2 '( -$1(,52 &21&8562 '( 6(/(d 2 0$7(0É7,&$ 81,9(56,'$'( )('(5$/ ' 5, '( -$1(,5 &1&856 '( 6(/(d 0$7(0É7,&$ -867,),48( 7'$6 $6 68$6 5(667$6 De um retângulo de 18 cm de lrgur e 48 cm de comprimento form retirdos dois qudrdos de ldos iguis 7 cm, como

Leia mais

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem.

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem. EFOMM 2010 1. Anlise s firmtivs bixo. I - Sej K o conjunto dos qudriláteros plnos, seus subconjuntos são: P = {x K / x possui ldos opostos prlelos}; L = {x K / x possui 4 ldos congruentes}; R = {x K /

Leia mais

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 6 FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA. O gráfico de brrs bixo exibe distribuição d idde de um grupo de pessos. ) Mostre que, nesse grupo,

Leia mais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais POTÊNCIAS A potênci de epoente n ( n nturl mior que ) do número, representd por n, é o produto de n ftores iguis. n =...... ( n ftores) é chmdo de bse n é chmdo de epoente Eemplos =... = 8 =... = PROPRIEDADES

Leia mais

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes E. E. E. M. ÁREA DE CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROFESSORA ALEXANDRA MARIA º TRIMESTRE/ SÉRIE º ANO NOME: Nº TURMA: Mteril envolvendo estudo de mtrizes e determinntes INSTRUÇÕES:. Este

Leia mais

cpv especializado na espm

cpv especializado na espm 0 espm 05/07/009 cpv especilizdo n espm Mtemátic. O vlor d epressão. + pr = 0 é igul : ), b) c) d) 0 e). + = + = +. ( + ) = =. = ( + ). + Substituindo = 0 = 0,, temos: + 0, +, = = = 0, 0, = +. Sobre o

Leia mais

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0 Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,

Leia mais

Professora: Profª Roberta Nara Sodré de Souza

Professora: Profª Roberta Nara Sodré de Souza MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICAS INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA-CAMPUS ITAJAÍ Professor: Profª Robert Nr Sodré de Souz Função

Leia mais

As fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno

As fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno ul 3 s fórmuls ditivs e s leis do MÓDULO 2 - UL 3 utor: elso ost seno e do cosseno Objetivos 1) ompreender importânci d lei do seno e do cosseno pr o cálculo d distânci entre dois pontos sem necessidde

Leia mais

CPV 82% de aprovação na ESPM em 2011

CPV 82% de aprovação na ESPM em 2011 CPV 8% de provção n ESPM em 0 Prov Resolvid ESPM Prov E 0/julho/0 MATEMÁTICA. Considerndo-se que x = 97, y = 907 e z =. xy, o vlor d expressão x + y z é: ) 679 b) 58 c) 7 d) 98 e) 77. Se três empds mis

Leia mais

Gabarito CN Solução: 1ª Solução: 2ª Solução:

Gabarito CN Solução: 1ª Solução: 2ª Solução: ) Sejm P e 5 9 Q 5 9 Qul é o resto de (A) (B) (C) 5 (D) (E) 5 P? Q GABARITO: B 6 8 0 5 9 P 5 9 6 8 0 5 9 Q 5 9 P Q P Q Dí, ) Sbendo que ABC é um triângulo retângulo de hipotenus BC =, qul é o vlor máximo

Leia mais

Quando o polinômio divisor é da forma x + a, devemos substituir no polinômio P(x), x por a, visto que: x + a = x ( a).

Quando o polinômio divisor é da forma x + a, devemos substituir no polinômio P(x), x por a, visto que: x + a = x ( a). POLINÔMIOS II. TEOREMA DE D ALEMBERT O resto d divisão de um poliômio P(x) por x é igul P(). m m Sej, com efeito, P x x x..., um poliômio de x, ordedo segudo s potecis m m decrescetes de x. Desigemos o

Leia mais

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática Vestibulr UFRG 0 Resolução d Prov de Mtemátic 6. Alterntiv (C) 00 bilhões 00. ( 000 000 000) 00 000 000 000 0 7. Alterntiv (B) Qundo multiplicmos dois números com o lgrismo ds uniddes igul 4, o lgrismo

Leia mais

POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou

POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou POLINÔMIOS Definição: Um polinômio de gru n é um função que pode ser escrit n form P() n n i 0... n i em que cd i é um número compleo (ou i 0 rel) tl que n é um número nturl e n 0. Os números i são denomindos

Leia mais

1. Conceito de logaritmo

1. Conceito de logaritmo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Logritmos Prof.: Rogério

Leia mais

MÓDULO IV. EP.02) Determine o valor de: a) 5 3 = b) 3 4 = c) ( 4) 2 = d) 4 2 = EP.03) Determine o valor de: a) 2 3 = b) 5 2 = c) ( 3) 4 = d) 3 4 =

MÓDULO IV. EP.02) Determine o valor de: a) 5 3 = b) 3 4 = c) ( 4) 2 = d) 4 2 = EP.03) Determine o valor de: a) 2 3 = b) 5 2 = c) ( 3) 4 = d) 3 4 = MÓDULO IV. Defiição POTENCIACÃO Qudo um úmero é multiplicdo por ele mesmo, dizemos que ele está elevdo o qudrdo, e escrevemos:. Se um úmero é multiplicdo por ele mesmo váris vezes, temos um potêci:.. (

Leia mais

TEORIA DOS LIMITES LIMITES. Professor: Alexandre 2. DEFINIÇÃO DE LIMITE

TEORIA DOS LIMITES LIMITES. Professor: Alexandre 2. DEFINIÇÃO DE LIMITE TEORIA DOS LIMITES Professor: Alendre LIMITES. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Vmos nlisr o comportmento gráfico d função f ( ) qundo tende pr. ) Primeirmente vmos tender vriável por vlores inferiores, ou sej,

Leia mais

Há uma equivalência entre grau e radiano: π radianos equivalem a 180 graus (π é uma constante numérica equivalente a 3,14159...).

Há uma equivalência entre grau e radiano: π radianos equivalem a 180 graus (π é uma constante numérica equivalente a 3,14159...). 9. TRIGONOMETRIA 9.1. MEDIDAS DE ÂNGULOS O gru é um medid de ângulo. Um gru, notdo por 1 o, equivle 1/180 de um ângulo rso ou 1/360 de um ângulo correspondente um volt complet em torno de um eixo. Outr

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Progressões Geométricas

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Progressões Geométricas Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Progressões Geométrics p. 7 Qul é o o termo d PG (...)? q q? ( ) Qul é rzão d PG (...)? q ( )? ( ) 8 q 8 q 8 8 Três números reis formm um PG de som e produto

Leia mais

Integrais Imprópias Aula 35

Integrais Imprópias Aula 35 Frções Prciis - Continução e Integris Imprópis Aul 35 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 05 de Junho de 203 Primeiro Semestre de 203 Turm 20304 - Engenhri de Computção

Leia mais

x n NOTA Tipo de Avaliação: Material de Apoio Disciplina: Matemática Turma: Aulão + Professor (a): Jefferson Cruz Data: 24/05/2014 DICAS do Jeff

x n NOTA Tipo de Avaliação: Material de Apoio Disciplina: Matemática Turma: Aulão + Professor (a): Jefferson Cruz Data: 24/05/2014 DICAS do Jeff NOTA Tipo de Avlição: Mteril de Apoio Disciplin: Mtemátic Turm: Aulão + Professor (): Jefferson Cruz Dt: 24/05/2014 DICAS do Jeff Olhr s lterntivs ntes de resolver s questões, principlmente em questões

Leia mais

Seu pé direito nas melhores faculdades

Seu pé direito nas melhores faculdades MTMÁTI Seu pé direito ns melhores fculddes 0. João entrou n lnchonete OG e pediu hmbúrgueres, suco de lrnj e cocds, gstndo $,0. N mes o ldo, lgums pessos pedirm 8 hmbúrgueres, sucos de lrnj e cocds, gstndo

Leia mais

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução (9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se

Leia mais

o Seu pé direito na medicina

o Seu pé direito na medicina o Seu pé direito n medicin UNIFESP //006 MATEMÁTIA 0 Entre os primeiros mil números inteiros positivos, quntos são divisíveis pelos números,, 4 e 5? 60 b) 0 c) 0 d) 6 e) 5 Se o número é divisível por,,

Leia mais

1 ÁLGEBRA MATRICIAL 1.1 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES. Teorema. Sejam A uma matriz k x m e B uma matriz m x n. Então (AB) T = B T A T

1 ÁLGEBRA MATRICIAL 1.1 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES. Teorema. Sejam A uma matriz k x m e B uma matriz m x n. Então (AB) T = B T A T ÁLGEBRA MATRICIAL Teorem Sejm A um mtriz k x m e B um mtriz m x n Então (AB) T = B T A T Demonstrção Pr isso precismos d definição de mtriz trnspost Definição Mtriz trnspost (AB) T = (AB) ji i j = A jh

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Produtos Notáveis. Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de Produção

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Produtos Notáveis. Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de Produção CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Produtos Notáveis Isbelle d Silv Arujo - Engenhri de Produção Proprieddes d multiplicção Algums proprieddes d multiplicção são: Comuttiv: b = b;

Leia mais

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento

Leia mais

Calculando volumes. Para pensar. Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a, de quantos cubos de aresta a precisaremos?

Calculando volumes. Para pensar. Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a, de quantos cubos de aresta a precisaremos? A UA UL LA 58 Clculndo volumes Pr pensr l Considere um cubo de rest : Pr construir um cubo cuj rest sej o dobro de, de quntos cubos de rest precisremos? l Pegue um cix de fósforos e um cix de sptos. Considerndo

Leia mais

Dessa forma o eixo ox é uma assíntota da função exponencial e assim valores de y < 0 não se relacionam com nenhum x do domínio, portanto Im = R +.

Dessa forma o eixo ox é uma assíntota da função exponencial e assim valores de y < 0 não se relacionam com nenhum x do domínio, portanto Im = R +. 6 4. Função Eponencil É todo função que pode ser escrit n form: f: R R + = Em que é um número rel tl que 0

Leia mais

1 C) 1 D) 2 E) 8. A) 300 kg B) 325 kg C) 350 kg D) 375 kg E) 400 kg

1 C) 1 D) 2 E) 8. A) 300 kg B) 325 kg C) 350 kg D) 375 kg E) 400 kg XXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeir Fse Nível - A durção d prov é de 3 hors. - Não é permitido o uso de clculdors nem consults nots ou livros. - Você pode solicitr ppel pr rscunho. - Entregue

Leia mais

Eletrotécnica TEXTO Nº 7

Eletrotécnica TEXTO Nº 7 Eletrotécnic TEXTO Nº 7 CIRCUITOS TRIFÁSICOS. CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS E SIMÉTRICOS.. Introdução A quse totlidde d energi elétric no mundo é gerd e trnsmitid por meio de sistems elétricos trifásicos

Leia mais

CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV

CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV CPV O Cursinho que Mis Aprov n GV FGV ADM 04/dezembro/016 MATEMÁTICA APLICADA 01. ) Represente grficmente no plno crtesino função: P(t) = t 4t + 10 se t 4 1 t se t > 4 Se função P(t), em centens de reis,

Leia mais

Exercícios. setor Aula 25. f(2) = 3. f(3) = 0. f(11) = 12. g(3) = 14. Temos: 2x 1 = 5 x = 3 Logo, f(5) = 3 2 = 9

Exercícios. setor Aula 25. f(2) = 3. f(3) = 0. f(11) = 12. g(3) = 14. Temos: 2x 1 = 5 x = 3 Logo, f(5) = 3 2 = 9 setor 07 070409 070409-SP Aul 5 FUNÇÃO (COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES) FUNÇÃO COMPOSTA Sej f um função de A em B e sej g um função de B em C. Chm-se função compost de g com f função h definid de A em C, tl que

Leia mais

CPV conquista 70% das vagas do ibmec (junho/2007)

CPV conquista 70% das vagas do ibmec (junho/2007) conquist 70% ds vgs do ibmec (junho/007) IBME 08/Junho /008 NÁLISE QUNTITTIV E LÓGI DISURSIV 0. Num lv-rápido de crros trblhm três funcionários. tbel bio mostr qunto tempo cd um deles lev sozinho pr lvr

Leia mais

Equação do 2º grau. Sabemos, de aulas anteriores, que podemos

Equação do 2º grau. Sabemos, de aulas anteriores, que podemos A UA UL LA Equção do 2º gru Introdução Sbemos, de us nteriores, que podemos resover probems usndo equções. A resoução de probems peo método gébrico consiste em gums etps que vmos recordr: Representr o

Leia mais

Matemática I. Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Colaboração Prof. Walter Paulette. Elaborado por. Seção 2.

Matemática I. Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Colaboração Prof. Walter Paulette. Elaborado por. Seção 2. Mtemátic I Elordo por Prof. Gerson Lchtermcher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Seção Colorção Prof. Wlter Pulette Versão 009-1 ADM 01004 Mtemátic I Prof. d Disciplin Luiz Gonzg Dmsceno, M. Sc. Seção

Leia mais

Conjuntos Numéricos e Operações I

Conjuntos Numéricos e Operações I Conjuntos Numéricos e Operções I Ao estudr o livro, o luno está sendo conduzido pel mão do utor. Os exercícios lhe fornecem o ensejo de cminhr mis solto e, ssim, ir gnhndo independênci. Pr quem está convencido

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje

Leia mais

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério d Educção Universidde Federl do Rio Grnde Universidde Abert do Brsil Administrção Bchreldo Mtemátic pr Ciêncis Sociis Aplicds I Rodrigo Brbos Sores . Mtrizes:.. Introdução:

Leia mais

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são:

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são: MATEMÁTIA Sej M um mtriz rel x. Defin um função f n qul cd elemento d mtriz se desloc pr posição b seguinte no sentido horário, ou sej, se M =, c d c implic que f (M) =. Encontre tods s mtrizes d b simétrics

Leia mais

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM MATRIZES Definição e Notção... 11 21 m1 12... 22 m2............ 1n.. 2n. mn Chmmos de Mtriz todo conjunto de vlores, dispostos

Leia mais

Equação do 2º grau. Sabemos, de aulas anteriores, que podemos

Equação do 2º grau. Sabemos, de aulas anteriores, que podemos A UA UL LA Acesse: http://fuvestibur.com.br/ Equção do 2º gru Introdução Sbemos, de us nteriores, que podemos resover probems usndo equções. A resoução de probems peo método gébrico consiste em gums etps

Leia mais

Nº de infrações de 1 a 3 de 4 a 6 de 7 a 9 de 10 a 12 de 13 a 15 maior ou igual a 16

Nº de infrações de 1 a 3 de 4 a 6 de 7 a 9 de 10 a 12 de 13 a 15 maior ou igual a 16 MATEMÁTICA 77 Num bolão, sete migos gnhrm vinte e um milhões, sessent e três mil e qurent e dois reis. O prêmio foi dividido em sete prtes iguis. Logo, o que cd um recebeu, em reis, foi: ) 3.009.006,00

Leia mais

Nível 7ªe 8ªséries (8º e 9º anos) do Ensino Fundamental

Nível 7ªe 8ªséries (8º e 9º anos) do Ensino Fundamental Nível 7ªe 8ªséries (8º e 9º nos) do Ensino Fundmentl 2ªFASE 20 de outubro de 2007 2 Prbéns pelo seu desempenho n 1ª Fse d OBMEP. É com grnde stisfção que contmos gor com su prticipção n 2ª Fse. Desejmos

Leia mais

Semelhança e áreas 1,5

Semelhança e áreas 1,5 A UA UL LA Semelhnç e áres Introdução N Aul 17, estudmos o Teorem de Tles e semelhnç de triângulos. Nest ul, vmos tornr mis gerl o conceito de semelhnç e ver como se comportm s áres de figurs semelhntes.

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

Congruências de grau 2 e reciprocidade quadrática. Seja p > 2 um número primo e a,b,c Z com a não divisívelpor p. Resolver

Congruências de grau 2 e reciprocidade quadrática. Seja p > 2 um número primo e a,b,c Z com a não divisívelpor p. Resolver Polos Olímicos de Treinmento Curso de Teori dos Números - Nível 3 Crlos Gustvo Moreir Aul 9 Congruêncis de gru e recirocidde qudrátic 1 Congruêncis de Gru Sej > um número rimo e,b,c Z com não divisívelor.

Leia mais

MATEMÁTICA PARA REFLETIR! EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES OPERAÇÕES COM MATRIZES PARA REFLETIR!...437

MATEMÁTICA PARA REFLETIR! EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES OPERAÇÕES COM MATRIZES PARA REFLETIR!...437 ÍNICE MATEMÁTICA... PARA REFLETIR!... EXERCÍCIOS... EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES... OPERAÇÕES COM MATRIZES... PARA REFLETIR!...7 EXERCÍCIOS E APLICAÇÃO...8 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES...8...9 PARA REFLETIR!...

Leia mais

Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 03 de Maio de 2015

Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 03 de Maio de 2015 Rumo Curso Pré Vestibulr Assistencil - RCPVA Disciplin: Mtemátic Professor: Vinícius Nicolu 03 de Mio de 015 Qundo chel cubo con le cose ppresso Se qqugli á qulche numero discreto 1 Troun duo ltri differenti

Leia mais

Tópicos Especiais de Álgebra Linear Tema # 2. Resolução de problema que conduzem a s.e.l. com única solução. Introdução à Resolução de Problemas

Tópicos Especiais de Álgebra Linear Tema # 2. Resolução de problema que conduzem a s.e.l. com única solução. Introdução à Resolução de Problemas Tópicos Especiis de Álgebr Liner Tem # 2. Resolução de problem que conduzem s.e.l. com únic solução Assunto: Resolução de problems que conduzem Sistem de Equções Lineres utilizndo invers d mtriz. Introdução

Leia mais

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito

Leia mais

Questão 01. Questão 02. Calcule o determinante abaixo, no qual. cis e i 3. 1 i. Resolução: z a bi z a bi. Soma das raízes:

Questão 01. Questão 02. Calcule o determinante abaixo, no qual. cis e i 3. 1 i. Resolução: z a bi z a bi. Soma das raízes: Questão 01 O polinômio P ( ) 10 0 81 possui rízes comples simétrics e um riz com vlor igul o módulo ds rízes comples. Determine tods s rízes do polinômio. p ( ) 10 0 81 z bi z bi 1 z bi z ( ) bi z rel

Leia mais

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo Mtemátic ásic II - Trigonometri Not 0 - Trigonometri no Triângulo Retângulo Márcio Nscimento d Silv Universidde Estdul Vle do crú - UV urso de Licencitur em Mtemátic mrcio@mtemticuv.org 18 de mrço de 014

Leia mais

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA [Digite teto] CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA BELO HORIZONTE MG [Digite teto] CONJUNTOS NÚMERICOS. Conjunto dos números nturis Ν é o conjunto de todos os números contáveis. N { 0,,,,,, K}. Conjunto dos números

Leia mais

NOTA DE AULA. Tópicos em Matemática

NOTA DE AULA. Tópicos em Matemática Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curitib Prof. Lucine Deprtmento Acdêmico de Mtemátic NOTA DE AULA Tópicos em Mtemátic Fonte: http://eclculo.if.usp.br/ 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: 1.1 Números Nturis

Leia mais

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA UNVERSDDE DE SÃO PULO ESOL POLTÉN Deprtmento de Engenhri de Estruturs e Geotécnic URSO ÁSO DE RESSTÊN DOS TERS FSÍULO Nº 5 Flexão oblíqu H. ritto.010 1 FLEXÃO OLÍU 1) udro gerl d flexão F LEXÃO FLEXÃO

Leia mais

étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Prof. Erivelton Gerldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE

Leia mais

DETERMINANTES. Notação: det A = a 11. Exemplos: 1) Sendo A =, então det A = DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 2

DETERMINANTES. Notação: det A = a 11. Exemplos: 1) Sendo A =, então det A = DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 2 DETERMINANTES A tod mtriz qudrd ssoci-se um número, denomindo determinnte d mtriz, que é obtido por meio de operções entre os elementos d mtriz. Su plicção pode ser verificd, por exemplo, no cálculo d

Leia mais

CONJUNTOS NUMÉRICOS NOTAÇÕES BÁSICAS. : Variáveis e parâmetros. : Conjuntos. : Pertence. : Não pertence. : Está contido. : Não está contido.

CONJUNTOS NUMÉRICOS NOTAÇÕES BÁSICAS. : Variáveis e parâmetros. : Conjuntos. : Pertence. : Não pertence. : Está contido. : Não está contido. CONJUNTOS NUMÉRICOS NOTAÇÕES BÁSICAS,,... A, B,... ~ > < : Vriáveis e prâmetros : Conjuntos : Pertence : Não pertence : Está contido : Não está contido : Contém : Não contém : Existe : Não existe : Existe

Leia mais

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 7 _ Função Modular, Exponencial e Logarítmica Professor Luciano Nóbrega

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 7 _ Função Modular, Exponencial e Logarítmica Professor Luciano Nóbrega 1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL Aul 7 _ Função Modulr, Eponencil e Logrítmic Professor Lucino Nóbreg FUNÇÃO MODULAR 2 Módulo (ou vlor bsolutode um número) O módulo (ou vlor bsoluto) de um número rel, que

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Determinantes. 1 (Unifor-CE) Sejam os determinantes A 5. 2 (UFRJ) Dada a matriz A 5 (a ij

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Determinantes. 1 (Unifor-CE) Sejam os determinantes A 5. 2 (UFRJ) Dada a matriz A 5 (a ij Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Determinntes p. (Unifor-CE) Sejm os determinntes A, B e C. Nests condições, é verdde que AB C é igul : ) c) e) b) d) A?? A B?? B C?? C AB C ()? AB C, se i,

Leia mais

Aos pais e professores

Aos pais e professores MAT3_015_F01_5PCImg.indd 9 9/09/16 10:03 prcels ou termos som ou totl Pr dicionres mentlmente, podes decompor os números e dicioná-los por ordens. 136 + 5 = (100 + 30 + 6) + (00 + 50 + ) 300 + 80 + 8 MAT3_015_F0.indd

Leia mais

Vamos supor um quadrado com este, divididos em 9 quadradinhos iguais.

Vamos supor um quadrado com este, divididos em 9 quadradinhos iguais. Rdicição O que é, fil, riz qudrd de um úmero? Vmos supor um qudrdo com este, divididos em 9 qudrdihos iguis. Pegdo cd qudrdiho como uidde de áre, podemos dizer que áre do qudrdo é 9 qudrdihos, ou sej,

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Volume. Objetivos da Aula. Aula n o 25: Volume por Casca Cilíndrica e Volume por Discos

CÁLCULO I. 1 Volume. Objetivos da Aula. Aula n o 25: Volume por Casca Cilíndrica e Volume por Discos CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o 25: Volume por Csc Cilíndric e Volume por Discos Objetivos d Aul Clculr o volume de sólidos de revolução utilizndo técnic do volume por csc

Leia mais

EQUAÇÃO DO 2 GRAU ( ) Matemática. a, b são os coeficientes respectivamente de e x ; c é o termo independente. Exemplo: x é uma equação do 2 grau = 9

EQUAÇÃO DO 2 GRAU ( ) Matemática. a, b são os coeficientes respectivamente de e x ; c é o termo independente. Exemplo: x é uma equação do 2 grau = 9 EQUAÇÃO DO GRAU DEFINIÇÃO Ddos, b, c R com 0, chmmos equção do gru tod equção que pode ser colocd n form + bx + c, onde :, b são os coeficientes respectivmente de e x ; c é o termo independente x x x é

Leia mais

36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 2 (8º e 9º anos do Ensino Fundamental) GABARITO

36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 2 (8º e 9º anos do Ensino Fundamental) GABARITO 6ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL (8º e 9º nos do Ensino Fundmentl) GABARITO GABARITO NÍVEL 1) C 6) C 11) D 16) B 1) C ) E 7) A 1) A 17) B ) Anuld ) A 8) E 1) B 18) E ) A ) A 9)

Leia mais

6. ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES

6. ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES MATRIZES. ÁLGEBRA LINEAR Definição Digonl Principl Mtriz Unidde Mtriz Trnspost Iguldde entre Mtrizes Mtriz Nul Um mtriz m n um tbel de números reis dispostos em m linhs e n coluns. Sempre que m for igul

Leia mais

1 Distribuições Contínuas de Probabilidade

1 Distribuições Contínuas de Probabilidade Distribuições Contínus de Probbilidde São distribuições de vriáveis letóris contínus. Um vriável letóri contínu tom um numero infinito não numerável de vlores (intervlos de números reis), os quis podem

Leia mais

2. Prisma de base hexagonal: formado 8 faces, 2 hexágonos (bases), 6 retângulos (faces laterais).

2. Prisma de base hexagonal: formado 8 faces, 2 hexágonos (bases), 6 retângulos (faces laterais). unifmu Nome: Professor: Ricrdo Luís de Souz Curso de Design Mtemátic Aplicd Atividde Explortóri V Turm: Dt: SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: CÁLCULO DE ÁREA SUPERFICIAL E DE VOLUME Objetivo: Conecer e nomer os principis

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES MATRIZES

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES MATRIZES Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl - CAPES MATRIZES Prof. Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA. a c ad bc. b d bd EXERCÍCIOS DE AULA. 01) Calcule o valor de x em: FRAÇÕES

MATEMÁTICA BÁSICA. a c ad bc. b d bd EXERCÍCIOS DE AULA. 01) Calcule o valor de x em: FRAÇÕES MATEMÁTICA BÁSICA FRAÇÕES EXERCÍCIOS DE AULA ) Clcule o vlor de x em: A som e sutrção de frções são efetuds prtir d oteção do míimo múltiplo comum dos deomidores. É difícil respoder de imedito o resultdo

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA 8 EQUAÇÃO DO 2º GRAU

MATEMÁTICA BÁSICA 8 EQUAÇÃO DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA 8 EQUAÇÃO DO 2º GRAU Sbemos, de uls nteriores, que podemos resolver problems usndo equções. A resolução de problems pelo médtodo lgébrico consiste em lgums etps que vmso recordr. - Representr

Leia mais