CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Produtos Notáveis. Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de Produção
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- Aurélio Azevedo Galvão
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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Produtos Notáveis Isbelle d Silv Arujo - Engenhri de Produção
2 Proprieddes d multiplicção Algums proprieddes d multiplicção são: Comuttiv: b = b; Associtiv: (bc) = (b)c; Nest ul que nos interess é... PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA (b+c) = b + c ( + b).(c + d) = c + d + bc + bd
3 Propriedde Distributiv ( + b).( + b) = ² + b + b + b² = ² + 2b + b² ( - b).( - b) = ² - b b + b² = ² - 2b + b² ( + b + c).( + b + c) = ² + b + c + b + b² + bc + c + bc + c² = ² + b² + c² + 2b + 2bc + 2c
4 Produtos Notáveis Afim de economizr tempo e não ter de multiplicr termo termo, utilizmos os produtos notáveis.
5 Qudrdo d som Indicdo por: mis b o qudrdo é igul o qudrdo do primeiro mis dus vezes o primeiro vezes o segundo, mis o qudrdo do segundo: ( + b)² ou ( + b)( + b) Form expndid: ( + b)² = ( + b)( + b) =. +.b + b. + b.b = ² + 2b + b² Então: ( + b)² = ² + 2b + b²
6 Qudrdo d som O produto notável ( + b)², segundo Geometri. Qundo e b são positivos, podemos representr o qudrdo d som de dois termos desconhecidos geometricmente. Observe que áre do qudrdo de ldo ( + b) é igul áre do qudrdo mior, ², mis dus vezes áre do retângulo, ou sej, 2b, mis áre do qudrdo menor, b². b ² b b b b² ( + b)( + b) = ( + b)² ( + b)² = ² + 2b + b²
7 Qudrdo d som Exemplo: (3x + 5)² = (3x)² + 2 (3x)(5) + 5² = 9x² + 30x + 25 (y + 6)² = y² + 2 (y)(6) + 6² = y² + 12y +36
8 Qudrdo d som Prticndo: ( x 3 y ) 2 x ² 6 xy 9 y ² ( 6 34 x ²)² 6 68 x ² x 4 ( 3 6 y 1 2 )² y y
9 Qudrdo d diferenç Indicdo por: menos b o qudrdo é igul o qudrdo do primeiro menos dus vezes o primeiro vezes o segundo, mis o qudrdo do segundo: ( - b)² ou ( - b)( - b) Form expndid: ( - b)² = ( - b)( - b) =..b b. + b.b = ² - 2b + b² Então: ( - b)² = ² - 2b + b²
10 Qudrdo d diferenç O produto notável ( - b)², segundo Geometri. Observe que áre do qudrdo de ldo ( - b) vermelho pode ser obtid subtrindo áre dos dois retângulos zuis e áre do qudrdo mrelo. Ou sej: ( b) b ( b) ( b)² b( b) b b( b) b² ² - b. ( - b) - b. ( - b) - b² = ( b)²
11 Qudrdo d diferenç Exemplo: (x - 4)² = x² - 2 (x)(4) + 4² = x² - 8x +16 (3x - y)² = (3x)² - 2 (3x)(y) + y² = 9x² - 6xy +y²
12 Qudrdo d diferenç Prticndo: ( 8 y 3 4 ) y y 8 ( ) 2 16 ( 9 x 7 z )² 3 ³ x ² 18 7 xz z ² 3 1 3
13 Produto d som pel diferenç Indicd por: qudrdo do primeiro termo () menos o qudrdo do segundo termo (b): ( + b)( b) = ² - b² Form expndid: ( + b)( - b) = ² - b + b b² = ² - b +b - b² = ² - b² Então: ( + b)( b) = ² - b²
14 Produto d som pel diferenç E qundo é necessário utilizr outros expoentes? Utiliz-se seguinte fórmul: n n b n ( b ) ( n k. b k 1 ) k 1
15 Produto d som pel diferenç O produto notável ( + b). ( - b) segundo Geometri Considere um retângulo de ldos com medid ( + b) e ( b). ( + b) b ( - b) b A áre do retângulo lrnj é ( + b). ( b) b b A áre d figur obtid pode ser express por ² - b²
16 Produto d som pel diferenç Exemplo: (5x + y)(5x y) = 25x² - 5xy + 5xy y² = 25x² - y² (x² + x)(x² - x) = x⁴ - x³ + x³ - x² = x⁴ - x²
17 Produto d som pel diferenç Prticndo: ) ² ² ).( ² ² ( x x x x ) 3 6 ).( 3 6 ( y y ) 5 3 ³ ).( 5 3 ³ ( c b c b x x y 3 2 ² c b
18 Cubo d som Indicdo por: mis b o cubo é igul o cubo do primeiro mis três vezes o qudrdo do primeiro vezes o segundo, mis três vezes o primeiro vezes o qudrdo do segundo, mis o cubo do segundo: ( + b)³ = ( + b)( + b)² Form expndid: ( + b)³ = ( + b)( + b)² = ( + b)(² + 2b + b²) = = ³ + 2²b +b² + b² + 2b² + b³ = = ³ + 3²b + 3b² + b³ Então: ( + b)³ = ³ + 3²b + 3b² + b³
19 Cubo d som Exemplo: (x + 3)³ = x³ + 3(x²)(3) + 3(x)(3²) + 3³ = = x³ + 9x² + 27x + 27 (2 + b)³ = (2)³ + 3(2)²(b) + 3(2)(b²) + b³ = = 8³ + 12²b + 6b² + b³
20 Cubo d som Prticndo: ( 2 y ³)³ 8 ³ 12 ² y ³ 6 y y 6 9 ( b y ²)³ ³ b ³ 3 ² b ² y ² 3 by y 4 6 ( x ²)³ x ² 3 6 x x 6
21 Cubo d diferenç Indicdo por: menos b o cubo é igul o cubo do primeiro menos três vezes o qudrdo do primeiro vezes o segundo, mis três vezes o primeiro vezes o qudrdo do segundo, menos o cubo do segundo: ( - b)³ = ( - b)( - b)² Form expndid: ( - b)³ = ( - b)( - b)² = ( - b)(² - 2b + b²) = = ³ - 2²b + b² - b² + 2b² - b³ = = ³ - 3²b + 3b² - b³ Então: ( - b)³ = ³ - 3²b + 3b² - b³
22 Cubo d diferenç Exemplo: (x - 4)³ = x³ - 3(x²)(4) + 3(x)(4²) - 4³ = = x³ - 12x² + 48x - 64 (3 + b)³ = (3)³ + 3(3)²(b) + 3(3)(b²) + b³ = = 27³ + 27²b + 9b² + b³
23 Cubo d diferenç Prticndo: ( 2 y ³)³ 8 ³ 12 ² y ³ 6 y y ( b 8 )³ b 15 8 ² b ² ³ b ³ ( 5 7 ²)³ ²
24 Produto de Stevin Definição: É o produto de qulquer número de binômios do 1º gru, d form (x+ ), onde é um número rel ou complexo. Pr dois binômios, teremos: (x + )(x + b) = x 2 + ( + b) x + b Pr três binômios, teremos: (x + )(x + b)(x + c) = x 3 + ( + b + c)x 2 + (b + c + bc)x + bc
25 Produto de Stevin Exemplo: (x+10)(x-90) = x 2-80x 900 (x+2)(x-15)(x+6) = x 3-7x 2-108x - 180
26 Produto de Stevin Prticndo: ( x 2 )( x 5 ) x ² 7 x 10 ( x 2 )( x 3)( x 4 ) x ³ 9 x ² 26 x 24
27 Obrigd pel tenção!
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CPV 82% de aprovação na ESPM em 2011
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Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }
Pricípios Aritméticos O cojuto dos úmeros Iteiros (Z) Em Z estão defiids operções + e. tis que Z = {, 3,, 1,0,1,,3, } A) + y = y + (propriedde comuttiv d dição) B) ( + y) + z = + (y + z) (propriedde ssocitiv
Interpretação Geométrica. Área de um figura plana
Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric
RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP 2016 FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA
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{ 2 3k > 0. Num triângulo, a medida de um lado é diminuída de 15% e a medida da altura relativa a esse lado é aumentada
MATEMÁTICA b Sbe-se que o qudrdo de um número nturl k é mior do que o seu triplo e que o quíntuplo desse número k é mior do que o seu qudrdo. Dess form, k k vle: ) 0 b) c) 6 d) 0 e) 8 k k k < 0 ou k >
Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes
E. E. E. M. ÁREA DE CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROFESSORA ALEXANDRA MARIA º TRIMESTRE/ SÉRIE º ANO NOME: Nº TURMA: Mteril envolvendo estudo de mtrizes e determinntes INSTRUÇÕES:. Este
Grandezas escalares e grandezas vetoriais. São grandezas que ficam completamente definidas por um valor numérico, com ou sem unidades.
Sumário Unidde I MECÂNICA 1- Mecânic d prtícul Cinemátic e dinâmic d prtícul em movimentos mis do que um dimensão Operções com vetores. Grndezs esclres e grndezs vetoriis Grndezs Esclres: São grndezs que
Conjuntos Numéricos. Conjuntos Numéricos
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009 www.cursoglo.com.br Treimeto pr Olimpíds de Mtemátic N Í V E L AULAS 7 A 9 MÉDIAS Coceitos Relciodos Pr úmeros reis positivos ddos,,...,, temos s seguites defiições: Médi Aritmétic é eésim prte d som
Marcus Vinícius Dionísio da Silva (Angra dos Reis) 9ª série Grupo 1
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2. Prisma de base hexagonal: formado 8 faces, 2 hexágonos (bases), 6 retângulos (faces laterais).
unifmu Nome: Professor: Ricrdo Luís de Souz Curso de Design Mtemátic Aplicd Atividde Explortóri V Turm: Dt: SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: CÁLCULO DE ÁREA SUPERFICIAL E DE VOLUME Objetivo: Conecer e nomer os principis
Equação e Fatoração MATEMÁTICA 8 ANO D PROF.: ISRAEL AVEIRO
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Estatística e Matrizes
Esttístic e Mtrizes Introdução à Análise Multivrid Análise multivrid: De um modo gerl, refere-se todos os métodos esttísticos que simultnemente nlism múltipls medids sobre cd indivíduo ou objeto sob investigção.
se vai Devagar Devagar se vai longe longe...
Compelm M et e tn át os de M ic Devgr Devgr se se vi vi o o longe... longe 130 ) Describe the pttern by telling how ech ttribute chnges. A c) Respost possível: b B B B A b b... A b) Drw or describe the
MATRIZES E DETERMINANTES
Professor: Cssio Kiechloski Mello Disciplin: Mtemátic luno: N Turm: Dt: MTRIZES E DETERMINNTES MTRIZES: Em quse todos os jornis e revists é possível encontrr tbels informtivs. N Mtemátic chmremos ests
1 ÁLGEBRA MATRICIAL 1.1 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES. Teorema. Sejam A uma matriz k x m e B uma matriz m x n. Então (AB) T = B T A T
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Matemática para CG. Soraia Raupp Musse
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OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
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Os números racionais. Capítulo 3
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Unidade 2 Geometria: ângulos
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B ) 2 = ( x + y ) 2 ( 31 + 8 15 + 31 8 ( 31 + 8 15 ) 2 + 2( 31 + 8 15 )( 31 8 MÓDULO 17. Radiciações e Equações
Ciêncis d Nturez, Mtemátic e sus Tecnologis MATEMÁTICA. Mostre que Rdicições e Equções + 8 5 + 8 + 8 5 + 8 ( + 8 5 + 8 5 é múltiplo de 4. 5 = x, com x > 0 5 ) = x ( + 8 5 ) + ( + 8 5 )( 8 + ( 8 5 ) = x
INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois
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