1.2. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA EXPANSÃO DE PRODUTOS

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1 1.2. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA EXPANSÃO DE PRODUTOS Em álgebra, é frequente termos de expandir produtos cujos fatores são expressões algébricas (polinômios, por exemplo). Para isso, aplicamos a propriedade distributiva da álgebra. Para recordar, a propriedade se verifica na multiplicação de um fator por uma soma ou subtração de termos. Sendo a, b e c números reais, variáveis ou expressões algébricas, a propriedade distributiva da álgebra nos diz que a(b + c) = ab + ac a(b c) = ab ac (a + b)c = ac + bc (a b)c = ac bc Em outras palavras, a multiplicação de um fator é distribuída pelos termos da soma ou da subtração do outro fator. a) (2 + x)y = 2y + xy b) (z 5)w = zw 5w c) (9 + 3)7 = = = 84 d) (4y 3)t = 4yt 3t Lembramos que na distribuição do produto pelos termos é preciso efetuar corretamente as regras de sinais. Exercício resolvido: Expanda as formas abaixo empregando a propriedade distributiva da álgebra: a) (x 2)y b) (x + 3y)(5 z) c) (x + 3y 4)(x 8) d) (a + b)(a c)(b + c) Resolução: a) (x 2)y = xy 2y b) Para expandir este produto, aplicamos a distribuição da multiplicação de um dos fatores para os termos do outro fator, e depois expandimos os termos obtidos:

2 (x + 3y)(5 z) = = x(5 z) + 3y(5 z) = = 5x xz +15y 3yz Note que 3y.5 = 3.5y = 15y. c) Semelhante ao caso anterior: (x + 3y 4)(x 8) = = x(x 8) + 3y(x 8) 4(x 8) = = x 2 8x + 3yx 24y 4x + 32 = = x 2 12x + 3yx 24y + 32 Note que 3y( 8) = 24y, ( 4)( 8) = 32 e 8x 4x = 12x. d) Para efetuar esta multiplicação com três fatores é conveniente fazer por partes, obtendo primeiramente a multiplicação de dois fatores por exemplo, os dois primeiros e em seguida substituir o resultado na expressão original para multiplicar com o fator restante: (a + b)(a c) = a(a c) + b(a c) = a 2 ac + ba bc Assim, temos (a + b)(a c)(b + c) = = (a 2 ac + ba bc)(b + c) = = a 2 (b + c) ac(b + c) + ba(b + c) bc(b + c) = = a 2 b + a 2 c abc ac 2 + ab 2 + abc b 2 c bc 2 = = a 2 b + a 2 c ac 2 + ab 2 b 2 c bc 2 Note que o termos abc e +abc se cancelam PRODUTOS NOTÁVEIS Produtos notáveis são produtos comuns e frequentemente empregados na álgebra. A memorização de suas formas expandidas, tais quais fórmulas matemáticas, é conveniente para o seu cálculo, já que isso exige menos esforço do que empregar diretamente a propriedade distributiva da álgebra. Sendo x e y números reais, variáveis ou expressões algébricas, os principais produtos notáveis são: a) Produto da soma pela diferença: (x + y)(x y) = x 2 y 2

3 Isto é, o produto da soma pela de diferença de dois números ou expressões equivale à diferença de seus quadrados. Essa identidade, assim como em qualquer produto notável, pode ser facilmente verificada expandindo o produto diretamente por meio da propriedade distributiva: (x + y)(x y) = = x(x y) + y(x y) = = x 2 xy + yx y = = x 2 y 2 a) (2 3)(2 + 3) = (2) 2 (3) 2 = 4 9 = 5 b) (x + 4)(x 4) = (x) 2 (4) 2 = x 2 16 c) (7 y)(7 + y) = (7) 2 (y) 2 = 49 y 2 d) (3x + 5y)(3x 5y) = (3x) 2 (5y) 2 = 3 2 x y 2 = 9x 2 25y 2 b) Quadrado de uma soma: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 a) (5 + 2) 2 = = (5) 2 + 2(5)(2) + (2) 2 = = = = 49 De fato, (5 + 2) 2 = 7 2 = 49 b) (x + 1) 2 = = (x) 2 + 2(x)(1) + (1) 2 = = x 2 + 2x + 1 c) (3y + 4z) 2 = = (3y) 2 + 2(3y)(4z) + (4z) 2 = = 3 2 y yz z 2 = = 9y yz + 16z 2 c) Quadrado de uma diferença: (x y) 2 = x 2 2xy + y 2 a) (5 2) 2 = = (5) 2 2(5)(2) + (2) 2 =

4 = = = 9 De fato, (5 2) 2 = 3 2 = 9 b) (x 1) 2 = = (x) 2 2(x)(1) + (1) 2 = = x 2 2x + 1 Atenção: na aplicação das fórmulas, não devemos carregar o sinal negativo do termo 1 para dentro dos parênteses. Isto é, não devemos escrever (x) 2 2(x)( 1) + ( 1) 2, mas (x) 2 2(x)(1) + (1) 2, como está acima. A regra de sinal já está contemplada na fórmula. c) (3y 4z) 2 = = (3y) 2 2(3y)(4z) + (4z) 2 = = 3 2 y 2 24yz z 2 = = 9y 2 24yz + 16z 2 d) Cubo de uma soma: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 Exemplo: (x + 1) 3 = = (x) 3 + 3(x) 2 (1) + 3(x)(1) 2 + (1) 3 = = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 e) Cubo de uma diferença: (x y) 3 = x 3 3x 2 y + 3xy 2 y 3 Exemplo: (2x 3) 3 = = (2x) 3 3(2x) 2 (3) + 3(2x)(3) 2 (3) 3 = = 2 3 x x x = = 8 x x x.9 27 = = 8 x 3 72x x 27 f) Outros produtos notáveis: (x + y)(x 2 xy + y 2 ) = x 3 + y 3 (este resulta numa soma de cubos) (x y)(x 2 + xy + y 2 ) = x 3 y 3 (este resulta numa difrença de cubos) 4xy = (x + y) 2 (x y) 2 Há uma infinidade de outros produtos de interesse.

5 FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS A fatoração de um polinômio consiste em colocar um polinômio na forma de um produto de dois ou mais fatores. Um polinômio em x é qualquer expressão da forma a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 em que a são constantes reais. Se n é o maior expoente em x, dizemos que o polinômio possui grau n. Nem todo polinômio pode ser fatorado. Um polinômio que não pode ser fatorado é chamado polinômio irredutível ou polinômio primo. Podemos fatorar polinômios com a ajuda de produtos notáveis. Este é o caso dos polinômios que correspondem à forma expandida de produtos notáveis. a) fatoração da diferença de dois quadrados: 36x 2 4 = (6x) 2 (2) 2 = (6x + 2)(6x 2) Note que a diferença de dois quadrados corresponde ao produto notável de uma soma por uma diferença. b) fatoração de trinômios quadrados perfeitos 4x 2 + 2x + 1 = (2x) 2 + 2(x)(1) + (1) 2 = (2x + 1) 2 9x 2 12x + 4 = (3x) 2 2(3x)(2) + (2) 2 = (3x 2) 2 Nota: trinômios são polinômios com três termos. c) fatoração de soma e diferença de cubos 27x = (3x) = (3x + 2)((3x) 2 (3x)(2) + (2) 2 ) = (3x + 2)(9x 6x + 4) x 3 64 = x = (x 4)(x 2 + 4x ) = (x 4)(x 2 + 4x + 16) Outros polinômios podem ser fatorados por colocação de fatores em comum em evidência. x 3 y + xy 3 = (xy)x 2 + (xy)y 2 = (xy)(x 2 + y 2 ) 8x 3 + 4x 2 12x = (4x)2x 2 + (4x)x (4x)3 = (4x)(2x 2 + x 3) Imagens: acesso em agosto de 2010