Capítulo 1: Fração e Potenciação

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1 1 Capítulo 1: Fração e Potenciação 1.1. Fração Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um número m dessas partes. A fração é representada por m em que n indica em quantas partes o n todo foi dividido e m indica quantas são as partes de interesse. Exemplo: 1 = 0,25 Neste caso, temos 1 parte de interesse nas partes disponíveis, o que equivale a 0,25. Tipos de fração: Fração própria: É a fração cujo numerador é menor que o denominador. 2, 7, 9 11 Fração imprópria: É a fração em que o numerador é maior que o denominador. 2, 9, 7 Fração equivalente: São frações que representam a mesma quantidade. 1 2, 2, 8, 8 16 Operações com frações: Soma e subtração: Frações que têm os mesmos denominadores, basta somar ou subtrair os numeradores. 1) 1 + = = 1 2) = 7 8

2 2 Frações em que os denominadores são diferentes reduzem-se as frações a um mesmo denominador, utilizando mínimo múltiplo comum (M.M.C.). Produto: 1) = ( 5)+(2 ) 20 2) 8 + = ( )+( 8) 2 = 2 20 = = 0 2 Na multiplicação de frações, o numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. 1) 5 = ) 7 2 = 1 9 Divisão: Já na divisão de duas frações, obtém-se outra fração multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda. 1) 1.2. Potenciação 2) = 2 5 = = 5 8 = 10 Potenciação significa multiplicar fatores iguais (números envolvidos em uma multiplicação). Ou seja, elevar um número ou expressão a um expoente. Como exemplo: Expoente a n = a.a.a.a... a. Potência Base Em que a será multiplicado n vezes. O expoente (n) é a quantidade de vezes que a base (a) se repete e a potência é o resultado do produto.

3 1) =.. = 6 2) (5) 2 = -25 ) 5 2 = 25 ) 1 = = 1 5) = 1 Propriedades da potenciação: 1. a m + a n = a m+n 2. am a n = am n = = = = 2 = = 2 = = 210 = 108.(a m ) n = a m n 1. ( x ) 7 = 7 x 2. ( ) 2 = 2 = 6. (2 2 ) 2 = 2 = 16

4 m. a n = a n m 2 1. x = x = 6 = 2 = 9 = 2 6 = = 2 5. ( m n )a = ma n a 1. ( 2 )2 = 22 2 = 9 2. ( 1 2 )10 = = ( 9 ) = = (m n) a = m a n a 7. a 1 = 1 a com a 0 1. (2 5) 2 = = 25 = ( 7) = 7 = 27 = (25 16) 1 2 = = 5 = = = 1 2. = 1 = = = 1 108

5 5 Capítulo 2: Radiciação e Fatoração 2.1. Radiciação Radiciação é o processo inverso da potenciação, uma vez que elevar um número a um expoente, e o resultado dessa operação for elevado ao inverso do mesmo expoente, voltará ao número inicial, como mostrado no exemplo abaixo. Exemplo: 2 = 8 8 n Na raiz a = x, tem-se: = 2 O número n chamado de índice; O número a chamado radicando; O número x chamado de raiz; O símbolo chamado de radical Propriedades da radiciação: n 1. a m = a m n (Obs.: já foi vista em Potenciação) n 2. a n = a n n = a 1 = 1 1) = = 2) y = y = y x ) x = x x =

6 6 n. a b n = a n b 1) x y = x y 2 2) 9 2 = 2 = 2 9 ) = 81 = 16 2 n. ( a) m = (an) 1 m = a 1 n.m 1 = a m n n = a m 2 1) ( 2) 2 = 2 2) ( 7) = 7 2 ) ( ) 6 = 6 = 2 m n 5. a m. n = a 2 1) 6 6 = 6 = 2 2) x 12 = x

7 7 2 2 ) 81 = 81 = Operação com radicais Adição e subtração: Quando há radicais iguais, pode-se reduzir os radicais a um único radical somando, ou subtraindo, os fatores externos dos mesmos, pode-se dizer que estamos colocando em evidencia os radicais que aparecem em todos os termos da soma. 1) = ( + ) 2 = 7 2 2) x y + z y = (x + z) y ) 1 2 = (1 2) = 11 ) = (1 7) 5 = 7 5 Multiplicação: A multiplicação de radicais envolve casos básicos, abaixo será mostrado cada um deles: 1º caso: Radicais tem raízes exatas. Quando isso ocorrer, basta extrair as raízes e multiplicar os resultados. 1) 25 6 = 5 = 20 2) 81 8 = 2 = 6

8 8 2º caso: Raiz tem o mesmo índice. Deve-se conservar o índice e multiplicar os radicais. 1) 2 7 = 1 2) 20 = 20 = 20 º caso: Radicais tem índices diferentes. Nesse caso, o melhor a se fazer é transformar os radicais em potencias fracionarias. Feito isso transformar os expoentes. 2 1) a b = a 1 2 b 1 = a 6 b = a 6 b 2 6 = a b 2 2) 10 = = = Divisão: Assim como a multiplicação, a divisão de radicais envolve casos básicos. 1º caso: Radicais tem raízes exatas. Do mesmo jeito da multiplicação, basta extrair a raiz e dividimos os resultados. 1) 81 = ) 27 = 16 2

9 9 2º caso: Radicais tem o mesmo índice. Deve-se conservar os indicies e dividir os radicais. 1) 12 = 12 = 2) x y x = x y x = yx = x y º caso: Radicais com índices diferentes O modo mais fácil de resolver, assim como em multiplicação é transformar em potencias fracionarias, efetuar as operações com fração e volta para forma radical. 1) 2 2 = = = = 2 2) x x 5 = x x 1 5 = x 1 5 = x = x Racionalização de denominadores Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para realizar está operação, basta multiplicar os dois termos da fração por um número conveniente. Há três casos para realização dessa operação. 1º caso: Denominador com índice quadrático 1) = = = ( ) 2 2) 5 = 5 x = 5 x = 5 x x x x ( x) 2 x

10 10 2º caso: Denominador com índice maior que dois. 1) y = y x x x2 x 2 = y x2 = x 1 x 2 y x2 = x y x2 x 2) = = 2 = 2 = = 2 2 º caso: Tem-se no denominador soma ou subtração de radicais. 1) = + 5 = ( + 5) = ( + 5) = ( + 5) ( ) 2 ( 5) ) Fatoração 8 = 8 6 = ( 6 ) ( 6) 2 ( ) 2 = 8( 6 ) = 8( 6 ) 6 Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Em outras palavras, isto significa escrevê-las na forma de um produto de expressões mais simples. Exemplo: ax + ay = a(x + y) Tipos de fatoração: 1. Fator Comum: Quando o termo apresenta fatores em comum. Exemplo: 1) x + xy + x = x( + y + ) 2) ax + bx = x(a + b) 2. Agrupamento: Consiste em aplicar duas vezes o fator comum em alguns polinômio. Exemplo: 1) ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) Posteriormente, aplicar fator comum novamente, logo:

11 11 x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b) 2) x + y 2 + yx + y = x( + y) + y( + y) x( + y) + y( + y) = (x + y) ( + y). Diferença de quadrados: transformam-se as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado. Exemplo: 1) x 2 y 2 = (x + y) (x y) 2) 2 a 2 = ( a) ( + a). Trinômio quadrado perfeito: Se diz trinômio quadrado perfeito quando: Dois dos seus termos são quadrados perfeitos e o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos. Exemplo: que é igual ao segundo termo da equação inicial. 5. Trinômio do 2º grau: Acha-se as raízes do trinômio para poder fatorar. Exemplo: Suponha-se que a e b são raízes do trinômio x 2 + cx + d; logo a forma fatorada se da por (x + a) (x + b) 6. Soma e diferença de Cubos: A soma de dois cubos é igual ao produto do fator a + b pelo fator a 2 ab + b 2. Exemplo: a + b = (a + b) (a 2 ab + b 2 ) A diferença entre dois cubos é igual ao produto do fator a b pelo fator a 2 + ab + b 2. Exemplo: a b = (a b) (a 2 ab + b 2 )

12 12 Capítulo : Produtos notáveis e Frações Algébricas.1. Produtos notáveis.1.1. Quadrado da soma de dois termos: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. Exemplo: (a + b) 2 = (a + b) (a + b) (a + b) 2 = a 2 + ab + ab + b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b Quadrado da diferença de dois termos: O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. (a b) 2 = (a b) (a b) (a b) 2 = a 2 ab ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b Produto da soma pela diferença de dois termos: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo. Exemplo: (a b) (a + b) = a 2 b Cubo da soma de dois termos: O cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo. (a + b) = a + a 2 b + ab 2 + b.1.5. Cubo da diferença de dois termos: O cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo. (a b) = a a 2 b + ab 2 b

13 1.2. Frações Algébricas O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo-se que no denominador haja, pelo menos, uma incógnita e sempre o denominador seja diferente de zero. Para realizar a adição e subtração, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre os denominadores. Mas para realizar a multiplicação e a divisão de frações algébricas, o processo é mais simples. 1) a 1 + b a 2 = a a2 +b a 2 = a +b a 2 2) a + 2a = a x+2a = ax+2a = a(x+2) x x 2 x 2 x 2 x

14 1 Lista de Exercícios - Frações 1. Efetue as seguintes operações com frações: a) b) 2 c) d) e) g) e) h) + 1 i) j) k) 15 l) m) 2 7 n)

15 15 Lista de Exercícios - Exponenciação 1. Resolva os exercícios seguintes com base nas propriedades da exponenciação. a) 6 2 j) 2 2 b) 2 k) c) (7 ) l) ( ) 2 d) 66 m) e) 5 5 n) 1 66 f) o) 1 17 g) 0 17 p) ( ) h) 88 0 q) 5 1/ i) r) Simplifique as expressões abaixo: a) b) c) d) x.x 16.y x 12.y (..5 2 ) 2. 2 a 10.b 5 a 9.b

16 16. Se x = ( 2)2 16 ( +7) 0 2 qual o valor de x 1?. Qual a metade de ? 5. Qual o resultado de ? 6. Qual o resultado do quociente de por 25 25? 7. Simplifique as expressões abaixo: a) b) c) (2 n.) 8.2 n+1 n. 2 n 1 n+1 25 n n +1

17 17 Lista de Exercícios - Fatoração 1. Fatore: a) x 2 + 9x + 15x b) x 2 + 2x 2 x c) 1x + 26x d) 1x a 2 c + 7a c 2 e) 2a + b 2 + a 2 + 2b f) 5a + ca + 5c + ac g) x 2 16 h) x 2 81 i) 9x 2 9 j) 1 6x 2 h) 16x 9x 2 k) x 2 10x + 25 l) 16x 2 + 2x + 9xy 2 m) 1000x 1500x x 125 n) k 6 tk + k 2 t 2 t o) a 2 + b 2 + a + b p) a 2 ab + b 2 + a 6b 2. Se x + y = 8 e x y = 15, qual é o valor de x 2 + 6xy + y 2?. Fatore as expressões algébricas: a) a a a + a 2 c) a x b) a 8 b 8 d) x 2 + 8x 2 y 2 + 9y

18 18. Fatore as expressões algébricas abaixo: a) (x2 x) (x+1) (x 2 2x) (x+2) b) x2 8x+16 x 2 16 c) d) a +2x x+2 e) (a + b) 2 (a b) 2 f) x 6 y 6 x 2 +xy+y 2 g) ( 2 + )

19 19 Lista de Exercícios Radiciação 1. Resolva os seguintes exercícios com base nas propriedades da radiciação: a) 6 j) b) 10 k) c) l) 15 2 d) m) 9b 2 5 e) 0,01 n) 102 b 5 a 10 f) 0,81 06 o) 1 9 g) t 6 h) 8 p) 2x8 y z 12 q) 25x z i) 20 o) Simplifique as expressões abaixo: a) b) c) d) e)

20 20. Considerando a = 9m, b = 100m e c = 8 6m, determine: a) a + b + c = b) a (b + c) = c) a b + c = d) (a + b) c =. Calcule: 6 a) k) a 6 a b) 1 9 l) ( a) a 2 c) d) m) a n) a 5 a 5 a 6 a e) a b + ab 2 + a a 5 a f) 6b a + 1 b 2 a 6a a 2 a g) x x o) x2 8 a 6 h) x x p) x2 y xy i) x 7 x 8 q) (6 125) j) xx 7 r) 1 x 5 25

21 21 Lista de Exercícios Produtos Notáveis 1. Desenvolva o seguintes produtos notáveis: a) (x + 1 )2 b) ( a + b 2 2 )2 c) (a 5 m ) d) (p + ) (p ) e) (5x 2 + 1) 2 f) (a 5 + b ) 2 g) (2 x ) 2 h) (x ) i) (2a a) j) (2a + 12) k) (6a 8). Desenvolva os seguintes produtos notáveis: a) m b) ax 10ax ax c) 2m 18m d) a 2 + b 2. Simplifique as expressões abaixo: a) b) c) (x+y)2 xy (x y) 2 +xy

22 22 d) a 2 b 2 a 2 +2ab+b 2 e) (x y) 2 (x + y) 2 f) (x + y) (x 2 + y 2 ) (x y) h) x2 +5x+6 x 2 +7x+10 i) (x + ) 2 (x) 2 j) [(x) 2 x (x 2) 1] 2

23 2 Lista de Exercícios Frações algébricas 1.Simplifique as expressões abaixo: a) 12a a 2 b) 20x5 y 6 10x 10 y c) 6x 0 12b d) a+b 6xa+6xb e) 9a2 +2ab+b 2 9a 2 +16b 2 f) x2 +2x 15 x 2 2x+ g) m 1 m 6 1 h) a m + 7a m i) 1 a a 1 j) x 5y x+y + 5y2 xy+y 2 k) 5 a 2 + a l) (x + ) 5 x m) x 2 x +y + 1 x 2 +y 2 2 x 2 y 2 n) 2x 15y y2 10x o) 6a2 b 2 mp 2 p) (a 1)(a 2) a 2 m 2a p 9b 2 q) 28x y 5x2 y 2 5a 2 b 0ab 2 r) x x2 x 2 1 ( a a+1 a) a2 +a 2 (a 1)(a 2)

24 2 s) x x2 ax a x x 2 a 2 t) a 2 9 b 2 5b+6 + b b2 2b 2 6b+ 2. Sabendo que x + y = 1 e xy = 1 2, qual o resultado da adição y x + x y?. Simplifique as expressões abaixo: a) 2ab+a2 +b 2 c 2 2bc b 2 c 2 +a 2 b) a2x+2 1 a x+1 1 c) x+ y x 1+xy 1 xy x2 1+y e) a + b + c (a b) (a c) (b c) (b a) (c b) (c a) f) a+b ab+b2 a b a 2 b 2 g) x 2 y 2 y2 x 2 1 x 2+ 2 xy + 1 y 2