Uma fração é algébrica se seu numerador e seu denominador forem expressões algébricas.

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1 FRAÇÕES ALGÉBRICAS DEFINIÇÃO: Uma fração é algébrica se seu numerador e seu denominador forem epressões algébricas. a Como eemplos de tais frações podemos ter onde o numerador é a e o denominador é b 1 b+1, 7 onde o numerador é -7 e o denominador é 4m+, onde o numerador é 4m 4 e o denominador é 4. Você deve ter percebido que a última fração, que é numérica, também é algébrica. Isto significa que todas as frações que conhecemos são realmente algébricas. Como você já sabe, nunca podemos dividir alguma coisa por zero, e, por este motivo, é p necessário que o denominador de qualquer fração seja diferente de zero. Logo, na fração p 4 o denominador p - 4 não pode ser igual a zero: p 4 0, então p 4. Do mesmo modo, para que a fração eista devemos ter 0, e isto implica que. A estas eigências para as variáveis, sejam elas representadas por,, p ou qualquer outra letra, damos o nome de Condições de Eistência. SIMPLIFICAÇÃO: Simplificar uma fração é o mesmo que obter uma nova fração que seja equivalente à fração dada, mas que possua menor quantidade de símbolos. Para que possamos simplificar uma fração, devemos inicialmente fatorar os seus componentes (numerador e denominador), e, em seguida, cancelar os fatores que sejam comuns a eles. Assim, se simplificarmos a fração 6 7, teremos: A fração, com a fatoração dos seus componentes e posterior simplificação dos fatores 60 comuns se torna: (Naturalmente, devemos ter 0 ) Simplifiquemos agora a fração. Devemos inicialmente fatorar seus elementos, e tal 4 6 ( ) fatoração é algébrica:, onde 0, e 0, ou seja, 4 ( ) ( ) e. 1

2 EXERCÍCIOS: Simplifique e dê as condições de eistência das frações: ) ) 4) 6) 7) 8) 9) ab 4 ab ab 15 z 4 ab 15 50a a a b a b p pq q p q a a b b a a 9 a a b b 10) m n m mn m n RESPOSTAS: 50a 9b com aeb 0 11z ) 7 onde b 0 ) 1 5ab onde aeb 0 4) 15 onde a a b, com a b

3 6) 4 1, com 1 7) p q p q, onde p q 8) 9) a b, com a 0e a ab, com a b e 10) m 1, onde m 1em n. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Para efetuarmos estas operações entre frações algébricas, devemos fatorar seus elementos, inverter as frações que estiverem logo após os sinais de divisão, multiplicá-las e, em seguida simplificar as epressões que estiverem no numerador e no denominador, do mesmo modo que fazíamos quando multiplicávamos frações numéricas. Efetuemos as operações indicadas nos seguintes eemplos: ab 4a 7b b : 8a a,b, e não nulos. ab a b a.b 4 = a. ab = a b 8a 7b = = 8 8, com 4 4 abc a z ab z abc bc ab z a. b c z b c ) :..., com todas as letras não nulas. 4 4 z bc c z a z c a c z z a ab b ap a bp b a b ( a b) ( p ( a b) m ). :.., mp m 4a 4b 8 m m( p ( a b)( a b) a b 1 onde m 0, p 1, a b EXERCÍCIOS: Efetuar as operações indicadas: 4 18a 75b. 5b 1a 49m p 14m p ) : 4 50nq 15n q

4 4 m 9 ). m 6 1 ab ac b c bc 4) :. 14a b 49a c b c m 5 4 m : m. m m m : m m p p p RESPOSTAS: 5 ab 4 com a,b e não nulos ) 5mnq com m,n,p,q não nulos ) ( )( m ), m, 6 4) 1ac 4( b c ), com a, b, c 0 e b c m( m )( p, com p 5,, m 0, m. 5( p ( m 4)( ) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Como você já aprendeu adicionar e subtrair frações numéricas, você verá que o procedimento agora será praticamente o mesmo. Vejamos as duas possibilidades de cálculo: A - As frações envolvidas possuem denominadores iguais. Neste caso devemos apenas somar e subtrair os numeradores e repetir o denominador. Observemos os eemplos: p 5p 4p p 5p 4p 4 p, com m 0. m m m m m ( 4 ) (7 ) , 0 4

5 B As frações envolvidas possuem denominadores diferentes. Neste caso, a soma ou a subtração terão um único denominador, que será igual ao Mínimo Múltiplo Comum dos denominadores das frações. Em seguida, dividiremos o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplicaremos o resultado pelo seu numerador. Para terminar, efetuaremos as adições e subtrações que estiverem indicadas na epressão, e, caso seja possível, devemos simplificar a fração final. Acompanhe os seguintes eemplos: a 5b a. a b. 5b 9a 10b [ note que MMC(b,a)=6ab], a e b 0. b a 6ab 6ab ) = , com 0. Veja que [MMC(5,10,4) = 0 ], e que a fração final foi simplificada por ) ( )( ) ( ) ( ) ( )4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ MMC((+),(-),(+)(-))=(+)(-) ], com. EXERCÍCIOS : Efetuar as operações indicadas: a 5 a a b 6b b ) a 5 a a b 6b b ) p q p q 4pq p q p q p q 4) 5

6 RESPOSTAS: 5 a b 4ab a b ) ) 4) zero OBSERVAÇÃO: Se uma epressão apresentar multiplicações, divisões, adições e subtrações onde não haja sinais de pontuação, devemos resolver antes as multiplicações e divisões, que são as operações mais fortes, e, em seguida, as adições e subtrações. EXEMPLO: Efetuar as operações indicadas: 5 ( ).5 5 a b : a ab b. a b a 5b 9 5 ( a b) 5( a b) , onde e 0 e a b a b ( a b) ( a b) ( a b) Caso a epressão possua sinais de pontuação, como parênteses, colchetes ou chaves, devemos iniciar operações por aquelas internas aos parênteses, em seguida devemos passar a resolver as internas aos colchetes, após nos dedicamos às entre as chaves, e, no fim, às operações que estejam fora de qualquer sinal de pontuação. ) z :.. :. z. z... z. z z z z z z z z z z 6 z z z 1 1 z z, com, e z 0 z z EXERCÍCIOS: Efetue as operações indicadas, supondo a eistência das epressões: 6

7 ) :. 6 : ( ) a b a b a b a b a b a b ) a. b : 6 9b : 1 : b 4b 8a 5a 8a a 4a RESPOSTAS: 1 6 ) -1 ) 0 a 64 7