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1 1 1.1 Conjuntos Numéricos Neste capítulo, serão apresentados conjuntos cujos elementos são números e, por isso, são denominados conjuntos numéricos Números Naturais (N) O conjunto dos números naturais é constituído por números inteiros positivos, inclusive o zero Números Inteiros (Z) N = {0,1,2,3, } Os números inteiros são formados por números naturais e seus opostos (negativos). Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, } Números Racionais(Q) Números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma razão(ou fração) de dois números inteiros. Eles se dividem em inteiros ou fracionários. Os números 1 3, 7 6, 4, 0, e -3 5 são alguns exemplos de números racionais. No caso dos números fracionários, é possível que tenham infinitas casas decimais, desde que a parte fracionária seja repetida indefinidamente. Exemplos: 1 3 = 0,333 = 0, = 0,4343 = 0, = 1,0222 = 1,02 Números com essa característica de repetição são denominados dízimas periódicas Números Irracionais (I) O conjunto dos números irracionais é formado por números que não podem ser escritos na forma de fração. Exemplos: 2 = 1, π = 3,14159 Números com essa característica são denominados dízimas nãoperiódicas Números Reais (R) É o conjunto que engloba os conjuntos já citados nessa apostila: N,Z,Q e I Valor absoluto ou módulo (R) O módulo, ou valor absoluto (representado matematicamente como x ) de um número real x é o valor numérico de x desconsiderando seu sinal. 1

2 Do mesmo modo, o módulo de -1 é 1: 1 = Operações Fundamentais Adição Adição é a operação que representa uma junção de quantidades, e para representá-la será utilizado o sinal + (mais). 5+4 = 9 Figura 1: Diagrama com os conjuntos numéricos estudados O valor do módulo está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude. Tomando como exemplo o número 1 e seu oposto -1. Percebe-se que a distância entre 1 e 0 é 1 unidade. E a distância entre -1 e 0 também é 1 unidade (ver figura 2). Os números 5 e 4 são chamados de parcelas e o número 9 é a soma. Importante: As operações de adição que envolvem números com casas decimais devem ser feitas com vírgula sobre vírgula. 1. Exemplos: Figura 2: Módulo Nessecaso, sedizqueomódulo(ouvalorabsoluto)de1é1: 1 = 1. (a) 2,3+4,6+7,9+3,5 = 18,3 (b) = 5 3 2

3 1.2.2 Subtração A subtração é a operação contrária a adição, e para representá-la será utilizado o sinal - (menos). 7 5 = 2 Na operação 7 5 = 2 o número 7 é chamado minuendo, o 5 é subtraendo e o número 2 é a diferença. Importante: As regras para subtração são iguais as de adição. Portanto, quando a operação envolve números com casas decimais, todo o procedimento também deve ser feito com vírgula sobre vírgula. 1. Exemplos: (a) +9+2 = +11 (b) 7 5 = 12 (c) +4+6 = +10 (d) 7 8 = 15 (e) 9 10 = 19 Segundo Caso: Quando os sinais são diferentes, deve-se subtrair os números mantendo o sinal do número de maior módulo. 2. Exemplos: (a) 10+5 = 5 (b) 1+3 = +2 (c) = +16 (d) = +20 (e) 21+5 = Adição e Subtração de números inteiros A adição e a subtração de números inteiros envolvem algumas regras básicas, essenciais para a obtenção do resultado correto. Para uma melhor fixação dessas regras e como utilizá-las, vamos demonstrar os cálculos seguidos da respectiva regra matemática. Primeiro Caso: se os sinais dos números são iguais, a operação deve ser feita adicionando os números e mantendo o sinal. Terceiro Caso: Quando na expressão houver a presença de parênteses, colchetes ou chaves deve-se resolver primeiro as operações que estão dentro deles. Deve-se eliminar primeiro os parênteses ( ), seguidos pelos colchetes [ ] e por último as chaves { }. O último passo é realizar o jogo de sinais para então efetuar as demais operações. 3

4 Importante: Nessa apostila utilizaremos o sinal para indicar a multiplicação = 20 ou 5 4 = 20 Figura 3: Jogo de sinais utilizado nas operações que envolvem parênteses, colchetes e chaves. Na multiplicação 5 4 = 20 os números 5 e 4 são chamados fatores e o 20 é denominado produto. 3. Exemplos: (a) (+81)+( 12) (+7) = +62 (b) { [(2+3) (7 8)+( 6 4)]} { [(5) ( 1)+( 10)]} { [5+1 10]} { [ 4]} = Multiplicação É a operação que determina a soma de parcelas iguais. Para indicar a multiplicação é possível utilizar o sinal x, ou *. Importante: Quando a multiplicação envolve números com casas decimais, soma-se a quantidade de casas após a vírgula. 1. Exemplos: 4

5 (a) = = 24 (b) 5,37 11,2 = 60,144 (c) = = 2 21 Atenção: Quando na expressão não houver sinal antes dos parênteses, colchetes ou chaves, deve-se assumir que é uma operação de multiplicação. 1. Exemplos: (a) 3(4+5) 7 3(9) (b) 4[6 : 3 2(4 5 15)]+3 4[6 : 3 2(20 15)] 4[2 2(5)] 4[2 10] 4[ 8] Divisão É a operação inversa da multiplicação, e está ligada ao ato de repartir em partes iguais. 100 : 4 = 25 Nessa operação, o número 100 é o dividendo, 4 é o divisor e 25 é o quociente. Uma fração é simplesmente uma divisão entre dois números. 1 2 = 1 : 2 = 0,5 Quando a divisão de um número inteiro por outro é exata, dizemos que o primeiro é múltiplo do segundo ou que um número é divisível pelo outro. Caso a divisão entre números inteiros não seja exata, irá sobrar um determinado valor denominado resto da divisão Casos Particulares da Multipicação e Divisão Multiplicação N 1 = N N 0 = 0 Divisão N/1 = N N/N = 1 0/N = 0 (N 0) N/0 Não existe! 5

6 1.2.7 Os sinais na multiplicação e divisão Sinais iguais sinal positivo Sinais diferentes sinal negativo Máximo Divisor Comum (m.d.c) O máximo divisor comum (m.d.c) a vários números é o maior número que os divide. 1. Exemplo: Calcular o m.d.c. (12, 18, 36) Figura 4: Comportamento dos sinais na multiplicação e divisão Decomposição de um número A decomposição de um número é feita com o objetivo de reescrevêlo por meio de uma multiplicação de números primos. Decompondo cada um dos números em fatores primos: 12 = = = A multiplicação das menores potências dos fatores em comum entre os números 12, 18 e 36 é o m.d.c. m.d.c.(12,18,36) = 2 3 = Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c) Omínimomúltiplocomumentreumconjuntodenúmeroséomenor número divisível por todos eles. Para o cálculo do m.m.c. utiliza-se o processo de decomposição simultânea, como pode ser visto no exemplo a seguir: 1. Exemplo: Calcular o m.m.c. (12, 16, 45) Importante: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo número 1. 6

7 (j) 35 : 7 = (k) 26 : 5 = (l) 120 : 32 = (m) [ (6) ( 17)] = (n) [ (2+4) ( 4 13)] = (o) {2 [3 4 : 2 2(3 1)]}+1 = (p) 2,5+3{3,8 4 : 2 [3+5,1(3+2,3 8)] 1} = 2. Substitua o? pelos números adequados: Exercícios 1. Calcule o valor das expressões: (a) (24+3)+8+(2+6) = (b) = (c) 61+9+(4+1) = (d) 9,3+(4,25+1,7) = (e) (10,6+7,35)+2,2+1,3 = (f) (140+20)+(53 12) 63 = (g) (320,7 70,35)+17,3+11,3 = (h) = (i) = (a) 9+? = 11 (b) 7+? = 12 (c)?+10 = 19 (d) 26? = 1 (e)? 5 = 2 3. Cálcule o m.m.c e o m.d.c entre os seguintes números: (a) (4,3) (b) (3,5,8) (c) (60, 15, 20, 12) (d) (18, 20, 30) (e) (12, 18, 32) 4. A oferta abaixo estava em uma loja. Qual é a diferença entre os preços do plano à vista e do plano a prazo? PROMOÇÃO: R$ 703,00 à vista ou 5 prestações de R$ 259,00 7

8 1.3 Frações Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro. frações são denominadas frações equivalentes. Para obtermos uma fração equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero). Numa fração o numerador indica em quantas partes são tomadas do inteiro (partes coloridas), enquanto o denominador indica em quantas partes o inteiro foi dividido Frações Equivalentes Para efetuarmos operações com frações é mais cômodo deixar os números que representam a fração(numerador e denominador) primos entre si, isto é, simplificá-los até torná-los irredutíveis. Para fazer a simplificação (em algumas frações, isto não é possível), devemos, primeiramente, procurar um número que divida ao mesmo tempo o numerador e o denominador. Observe a figura: As frações 2 3, 2 3, e 8 12 representam o mesmo valor, porém seus termos são números diferentes. Por causa dessa característica, estas Frações Próprias Quando o numerador da fração é menor do que o denominador ela é denominada própria Frações Impróprias 5 6, 1 2, 3 5, 23 31, etc A fração é imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representá-la por um número misto. 1. Exemplos: 8

9 (a) 4 3 = = (b) 5 2 = = (c) 11 3 = = (d) 11 4 = = (e) = = (f) = = = 5 3 = Exemplo: (a) = (b) = 10+3 (c) = (d) = = 4 2 = 2 1 = 2 = = = = Multiplicação de frações A multiplicação entre frações tem como resultado uma outra fração, cujo numerador é o produto entre os numeradores das frações envolvidas. De forma semelhante o denominador da fração resultante é o produto dos denominadores dos fatores. Em algumas situações é possível simplificar o cálculo da multiplicação entre frações realizando a simplificação dos fatores: Adição e Subtração de Frações Se as frações possuírem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores e repetir o denominador comum entre as frações. Caso as frações não tenham o mesmo denominador, é preciso encontrar o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os denominadores, para então encontrar as frações equivalentes Divisão de frações Para fazer a divisão entre frações deve-se fazer a multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda. 9

10 (e) 2 5 : 5 9 = Comparação de Frações Para comparar as frações devemos reduzi-las ao mesmo denominador e comparar os numeradores. A fração que tiver o maior numerador maior será a maior fração. (f) : 2 7 = 2. Você encheu o tanque do seu carro. Gastou 2/5 da gasolina para trabalhar e 1/5 para passear no final de semana. Quanto sobrou de gasolina no tanque? 1. Exemplo: Comparar 2 3 e 5 7 mmc(3,7) = = = Logo: < 15 21, e portanto 2 3 < Exercícios 1. Efetue as operações e simplifique o resultado quando possível. (a) = (b) = (c) = (d) = 10

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