Aula 01 Raciocínio Lógico-Matemático p/ TRF-4 - Todos os Cargos - Com Videoaulas

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1 Aula 01 Raciocínio Lógico-Matemático p/ TRF-4 - Todos os Cargos - Com Videoaulas Professor: Arthur Lima

2 ! # %& AULA 01: Tópicos de matemática básica SUMÁRIO PÁGINA 1. Teoria Resolução de questões Questões apresentadas na aula Gabarito 135 Caro aluno, em nossa primeira aula trabalharemos os seguintes tópicos de matemática básica do seu edital: Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e operações com frações. Porcentagem e problemas. Tenha uma boa aula! 1. TEORIA 1.1 Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação) Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos números conhecidos. Apesar do seu edital só ter cobrado 2 conjuntos numéricos (Racionais e Inteiros) de maneira explícita, será preciso conhecer os demais conjuntos numéricos para que você efetivamente entenda os conceitos aqui abordados. Assim, não estranhe ao se deparar com os conjuntos dos números naturais e irracionais na aula de hoje. NÚMEROS NATURAIS Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de contagem natural. Isto é, são aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O!

3 ! # %& símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre chaves: As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais. Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois não é um número de contagem natural ). Por isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4 } Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número n é o número n+1. b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número n é o número n-1. Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto. c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números consecutivos. d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1. Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: - a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: = 18; 12 6 = 6.!

4 ! # %& - a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: = 18; 13 5 = 8. - a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.: = 17; 12 5 = 7. - a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 = 6. NÚMEROS INTEIROS Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto é, Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre N e Z: Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos: a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais. b) Números Inteiros não positivos = { -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo.!

5 ! # %& c) Números inteiros negativos = { -3, -2, -1}. O zero não faz parte. d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte. NÚMEROS RACIONAIS Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos: é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4. é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, ou a divisão de 15 por e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo número 1. Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma (A dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido para você: O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma, concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma, o!

6 ! # %& denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número por zero é impossível (exceto 0, cujo valor é indeterminado). 0 No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números: a) Frações. Ex.:,, etc. b) Números decimais. Ex.: 1,25 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na forma. Neste caso, poderíamos representá-lo como, ou mesmo simplificá-lo para. c) Dízimas periódicas. Ex.: 0, ou simplesmente (a barra indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente). As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também podem ser escritas na forma. O número deste exemplo poderia ser escrito na forma. Existem métodos que nos permitem encontrar qual fração é equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima periódica: 1, ou. Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão origem a dízimas periódicas. Por exemplo, ao dividir 1 por 3 você obterá 0,333..., ou simplesmente 0,3. Assim, dizemos que a fração geratriz da dízima 0,3 é igual a 1. Existem métodos que nos permitem, a partir de uma dízima periódica, chegar até 3 a fração que deu origem a ela. o caso em: Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a vírgula. Isto é 0, , , !

7 ! # %& Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 0, , , Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição. Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: Vamos trabalhar com a dízima 0, Chamemos de X a fração que dá origem a esta dízima. Ou seja, X = 0, Como a repetição é formada por um único número (3), se multiplicarmos esta dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número da repetição: 10X = 10 x 0, = 3, Observe que 10X = 3 + 0, Veja ainda a seguinte subtração: 10X X = 3, , Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas casas decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é: 9X = X = = 9 3 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0, é 1 X =. 3 Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima 0, Repare que temos a repetição de 216, e não há nenhuma casa!

8 ! # %& separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração geratriz da dízima, temos: X = 0, Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula, precisamos multiplicar X por 1000: 1000X = 216, Efetuando a subtração 1000X X podemos obter a fração geratriz: 1000X X = 216, , X = X = = Assim, a geratriz de 0,216 é a fração Casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição: Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1, Veja que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e o início da repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de X a fração geratriz, temos: X = 1, Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, apenas os termos que se repetem: 1000X = 1327, E multiplicando X por conseguimos passar a primeira repetição 215 para o lado esquerdo da vírgula: X = , Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: X 1000X = , , !

9 ! # %& X = X = X = Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1, Poderíamos ainda simplificá-la, se quiséssemos. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas. a) Adição: A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a adição de 15 e 6 é: = 21 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma Primeiramente, você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades): A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma: Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: !

10 74! # %& Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição. - propriedade comutativa: dizemos que a adição de números inteiros ou racionais possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, é igual a propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.: = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: = 2; = propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números racionais SEMPRE gera outro número racional, e a soma de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. Ex: a soma dos números inteiros e racionais 2 e 5 gera o número inteiro e racional 7 (2 + 5 = 7). b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades: 9 5 = 4!

11 ! # %& Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de números. Vamos efetuar a operação : Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 7. Devemos, portanto, pegar uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 7 = 8, e anotar este resultado: Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 9, e não 6 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente pegar uma unidade da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 9 = 6. Vamos anotar este resultado: Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o resultado: E se quiséssemos efetuar a subtração ? Neste caso, como 97 é menor que 365, devemos:!

12 ! # %& - subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação ; - colocar o sinal negativo (-) no resultado. Desta forma, = Vejamos as principais propriedades da operação de subtração. - propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, = 268, já = propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A B) C pode ser diferente de (C B) A - elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 0 = 2. - propriedade do fechamento: a subtração de números inteiros ou racionais possui essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro número racional, e a subtração de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. - elemento oposto: para todo número A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0 c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes ( ), ou à soma do número 3 quinze vezes ( ). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 57 x 13!

13 ! # %& Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação: 2 57 x 13 1 Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3) pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: = 17. Assim, temos: 57 x Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). Veja: 57 x A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos: 57 x Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 57!

14 x ! # %& Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante. É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. Você deve se lembrar que: - a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25. Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13), deveríamos obter E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 741. Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: - propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15). - propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5.!

15 ! # %& - propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional, e a multiplicação de números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro (ex.: 5 x 7 = 35). - propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) Exemplificando: 5x(3+7) = 5x(10) = 50 ou, usando a propriedade: 5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = = 50 d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 = 5. Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18: Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos: Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração: !

16 ! # %& Agora devemos pegar o próximo algarismo do dividendo (5): Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtração: Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto. Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 715 = 18 x Como regra, podemos dizer que: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto As regras de sinais na divisão são as mesmas da multiplicação: - a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. - a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5. Vejamos as principais propriedades da operação de divisão:!

17 ! # %& - propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. - propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2. - elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5. - propriedade do fechamento: aqui está a grande diferença entre números inteiros e números racionais. A divisão de números racionais possui a propriedade do fechamento, pois ela SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que é racional). Já a divisão de números inteiros NÃO POSSUI essa propriedade, pois ao dividir números inteiros podemos obter resultados fracionários ou decimais (como no exemplo 2 / 100 = 0,02), que não pertencem ao conjunto dos números inteiros. OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão nãoexata de dois números inteiros. São os números que possuem casas após a vírgula. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. a) Adição de números decimais: A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é: - os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra - as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda. - à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda).!

18 ! # %& Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 13,47 + 2,9 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso, temos: 13,47 + 2,9 16,37 b) Subtração de números decimais: Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos: 13,47-2,9 10,57 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e transformá-la em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 2, tivemos que subtrair 2 2 pois uma unidade do 3 já havia sido utilizada. c) Multiplicação de números decimais:!

19 ! # %& Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas observações: - devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. - o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula. Vejamos o nosso exemplo: 13,47 x 2, ,063 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se E, lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que leva ao número 39,063. d) Divisão de números decimais: Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas decimais: 3,5 x 100 = 350 0,25 x 100 = 25!

20 ! # %& Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo como resultado o número 14. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida. a) 2,25 + 1,7 b) 2,25 1,7 c) 2,25 x 1,7 d) 2,25 / 1,5 e) 0, ,12 f) 0,898 1,12 g) 0,898 x 1,12 h) 0,898 / 0,01 Respostas: a) 3,95 b) 0,55 c) 3,825 d) 1,5 e) 2,018 f) -0,222 g) 1,00576 h) 89, Números primos e fatoração Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer número, ele pode ser dividido por um, tendo como resultado 7 e não deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto novamente. Portanto, 7 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, como os listados abaixo: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...}!

21 ! # %& A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os demais são ímpares. Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de transformar um número qualquer em um produto de números primos é chamado de fatoração. Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2, que é o menor número primo (muitos autores não consideram que o 1 seja um número primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 2 3 x 3. Visualize este processo abaixo: Número Fator primo Logo, 24 = 2 3 x 3 Para praticar, vejamos a fatoração do número 450: Número Fator primo Logo, 450 = 2 x 3 2 x 5 2 Vejamos ainda a fatoração do número Observe que ele não é divisível (ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo:!

22 ! # %& Número Fator primo Logo, 1001 = 7 x 11 x 13 A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum entre dois números, como veremos a seguir Múltiplos e divisores de números naturais Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum entre dois números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível por outro (critérios de divisibilidade). Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12: Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O menor deles, neste caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O cálculo do MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante. Um método simples de se calcular o MMC entre 2 números é dado pelos seguintes passos: 1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos; 2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns dos dois números, de maior expoente.!

23 ! # %& Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 2 3. E decompondo 12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 2 2 x3. Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns (3) de maior expoente (isto é, MMC = 2 3 x 3 = 24). A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 15 = 3x5, e 9 = 3 2. Portanto, MMC = 3 2 x5 = 45. Para você entender como o MMC pode ser útil na resolução de questões, imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. João costuma realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos coincidirão novamente? Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. Observe que os dias em que ambos darão festas devem ser um múltiplos de 9 e também de 15, isto é, múltiplos comuns de 9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9, 15) = 45. Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45 dias. Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número é divisível por outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.: 25 5 = 5, portanto 25 é divisível por 5. O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o número é divisível por 5. Efetuar esta divisão à mão consome muito tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de divisibilidade. Os principais deles encontram-se na tabela abaixo:!

24 ! # %& Principais critérios de divisibilidade Divisor* Critério Exemplos 1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Números pares (isto é, terminados em um algarismo par) Números cuja soma dos algarismos é divisível por 3 Se o número formado pelos 2 últimos dígitos for divisível por 4 0, 2,4, 28, 490, 522 etc. 0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), 27 (2+7=9), 51 (5+1=6), 915 (9+1+5=15) etc. 0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc. 5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc. 6 Números divisíveis por 2 e por 3 9 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 9 0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) etc. 0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 9), 7155 ( =18) etc. 10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc. *7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, motivo pelo qual praticamente não são cobrados. Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A e B o maior número pelo qual tanto A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto é, sem deixar resto. Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números listando os divisores de cada um deles. Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40: - 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40. Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada número (como fizemos acima), basta seguir 2 passos: 1. Decompor cada um dos números em fatores primos (ex.: 32 = 2 5 ; 40 = 2 3 5)!

25 ! # %& 2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de menor expoente (neste caso, apenas o 2 é comum, e seu menor expoente é 3. Logo, MDC = 2 3 = 8); Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, imagine o seguinte caso: temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor número de grupos possível? Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 20 e 30 pelo maior número possível. Este maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem deixar resto, é justamente o MDC entre 20 e 30. Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 2 2 x5. Temos também que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com 10 gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é 5. Podemos ainda calcular o MMC e o MDC mais rapidamente, fatorando os números simultaneamente. Vejamos como fazer isso com exemplos: a) Cálculo do MMC entre 30 e 40: Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na terceira coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os números. Devemos começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), em ordem crescente. Nosso objetivo é dividir os números até ambos ficarem iguais a 1. Veja: Fator primo 30/2 = 15 40/2 = (não dá p/ dividir por 2) 20 / 2 = (não dá p/ dividir por 2) 10 / 2 = / 3 = 5 5 (não dá p/ dividir por 3) 3 5 / 5 = 1 5 / 5 = 1 5 MMC = 2 3 x 3 x 5 = 120!

26 b) Cálculo do MDC entre 30 e 40:! # %& Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na terceira coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os números. Devemos começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), em ordem crescente. Aqui o nosso objetivo é dividir os números apenas pelos fatores que sejam capazes de dividir ambos os números simultaneamente: Fator primo MDC = 2 x 5 = Frações e operações com frações Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever 2 5 é equivalente a escrever 2 5. As frações estão constantemente presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão. a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o exemplo abaixo: Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24). Para trocar o denominador da fração 1 para 24, é preciso multiplicar o 6 denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, 1 = !

27 ! # %& Já para trocar o denominador da fração 3 para 24, é preciso multiplicar o 8 denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 3 = Agora sim podemos efetuar a soma: = + = = b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo: = = c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso exemplo: = = = *** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente podemos substituir a expressão de pela multiplicação. Veja como: - quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente ! - e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente 1 ( ) por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é dada pela expressão 5 ( X Y ). 9 exercícios! Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos!

28 ! # %& Potenciação Já tivemos que trabalhar com potências nesta aula, ao abordar a fatoração, mas nesta seção veremos mais detalhes sobre esta operação matemática. Observe o exemplo abaixo: 3 5 = = 125 (lê-se: cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes cinco ) Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a uma determinada potência n é simplesmente multiplicar X por ele mesmo, n vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida: 4 2 = = 16 ( dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 vezes ) Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base (número X) elevada a um expoente ( n ). Entendido o conceito básico, podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam potências: a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. que: Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer = = 0 ( 25) 1 = 0 0,3 1 b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. Isso é bem lógico, pois zero elevado a n significa zero multiplicado por ele mesmo, n vezes. Ex.: 3 0 = = 0 c) Multiplicação de potências de mesma base (X): A questão aqui é como multiplicar Normalmente você faria assim: = (4 4) (4 4 4) = 1024 Veja que basta somar os expoentes ( n ), uma vez que as duas potências têm a mesma base 4: = = = !

29 ! # %& d) Divisão de potências de mesma base (X): Como você faria a divisão ? Provavelmente seria assim: = = 4 4 = 16 Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes ( n ), pois o numerador e denominador da divisão tem a base 4. Veja: Analogamente, observe que = = = = 4. Isto porque: = = 4 = O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador para o denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão Temos duas formas: Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, somando os expoentes: 3 5 ( 3) = 4 = 4 = 16 Usar a propriedade que acabamos de ver, levando a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma base: = = 4 = 4 = para o denominador e, e) Potência de potência: A questão agora é resolver 2 3 (2 ). Você poderia inicialmente elevar 2 à segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à terceira potência (ao cubo): (2 ) = (4) = 64 Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da multiplicação entre os dois expoentes: (2 ) = 2 = 2 = 64!

30 ! # %& f) Raiz de potência: Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que trata-se de uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz quadrada de um número é equivalente a elevá-lo a 1 2, obter a raiz cúbica é equivalente a elevá-lo a 1 3, e assim por diante. Visto isso, vamos obter o valor de: simplesmente assim: 6 2. Veja que poderíamos fazer 6 2 = = 64 = 8 Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 1, podemos fazer: ( ) 2 = 2 = 2 = 2 = 8 Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) para resolver este caso. g) Potência de produto: Se tivermos que resolver uma expressão como 2 (2 3), podemos fazer de algumas formas: 2 2 (2 3) = (6) = 36 2 (2 3) = (2 3) (2 3) = (2 3) = 2 3 = 4 9 = 36 Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B elevado à uma potência n é igual ao produto das potências n A e n B. h) Potência de base 10: Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número natural n, fica bem fácil resolver. O resultado será formado pelo número 1 seguido de n zeros: 3 10 = = !

31 ! # %& Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos: i) Potência de base negativa: = = = = = = 0, , Quando a base da potência é um número negativo, devemos analisar qual será o sinal do resultado. Por ex.: 3 (-2) = 8 ou -8? Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, como 3 é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas: 3 (-2) = (-2) (-2) (-2) = (4) (-2) = 8 Veja um exemplo com expoente par: j) Fração elevada a um expoente: 4 (-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) = (4) (4) = 16 Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde numerador e denominador estão elevados àquele expoente. Veja: = 3 3 Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: = = = = Radiciação Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à potenciação. Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa que 3 elevado ao quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o símbolo n ou elevando o número em questão ao expoente 1. Veja alguns n exemplos: = 27 = 3, pois 3 3 = 27!

32 = 16 = 4, pois! # %& 2 4 = 16 Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o símbolo 2 ou simplesmente. As principais propriedades da radiciação são: em zero. a) Qualquer raiz de zero é igual a zero: n Isto é, 0 = 0. Isto porque zero elevado a qualquer número também resulta b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1: 1. n Ou seja, 1 = 1. Isto porque 1 elevado a qualquer número também resulta em c) a b a b x = x Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando, = 4 = 4 = 16. d) Raiz n de produto é igual ao produto das raízes n : Isto é, a raiz n de A x B é igual a raiz n de A x raiz n de B: n n n A B = A B Veja que essa propriedade só vale se ambas as raízes tiverem o mesmo radical n. Ilustrando, temos que: = = 5 4 = 20 e) Raiz da divisão é igual à divisão das raízes: A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B: n A B = n n A B Veja esse exemplo:!

33 = = ! # %& f) Raiz de raiz: Por essa propriedade, temos que n m A n = m A. Exemplificando: 2 = 2 = Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência: = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 2 passos: Vamos estudar um método para extrair a raiz de um número. Ele consiste em 1. Decomposição do número em fatores primos 2. Aplicação da propriedade a b a b x = x A título de exemplo, vamos calcular Lembre-se que os números primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por si mesmos, ou seja: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc. Assim, iremos começar dividindo 216 pelo menor número primo (2) e, quando não mais for possível, passamos para o número primo seguinte (3), e assim sucessivamente. Teremos: Número Fator primo (pois não é mais possível usar o 2) Logo, 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 2 3 x 3 3 Feito isso, podemos aplicar a propriedade da radiciação da seguinte forma: = (2 3 ) = (2 3 ) = 2 3 = 2 3 = 6!

34 ! # %& Se você ficou em dúvida, talvez precise voltar na seção de Potenciação e revisar as propriedades que estudamos. Vamos resolver mais um caso: primos, temos: Número Fator primo Decompondo 7056 em fatores 1 Logo, = Portanto: = = = = 84 Várias vezes você irá se deparar com números que não possuem raiz exata. Apesar disso, é possível simplificar o resultado. Vamos calcular, por exemplo, a raiz quadrada de 32. Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que: Assim, 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = = 2 Podemos simplificar esta expressão lembrando-se que = 2 2 : = 2 = 2 2 = 2 2 = 4 2 ou, simplesmente, 4 2 Finalizando, é bom lembrar que no conjunto dos números racionais não existe raiz par de números negativos (ex.: não existe 2 16 ( = 3, pois ( 3) = 27 ). ), mas existe raiz ímpar!

35 ! # %& 1.2 Expressões numéricas Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um exemplo: { } ( ) (9 3) 7 4 = A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se lembre das seguintes regras: 1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração. Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operações que encontram-se entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a primeira a ser resolvida: {[ ] } (5 + 2) (9 3) 7 4 = A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo: {[ ] } = Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: { 42 7} 4 = Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 35 4 = Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo: 35 4 = 8, 75 Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão numérica, basta resolvêla no momento que você resolveria aquela operação de divisão. 1.3 Porcentagem e problemas A porcentagem nada mais é do que uma divisão onde o denominador é o número 100. Você certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas!

36 ! # %& notícias da imprensa. Dizer que 12% (leia cinco por cento ) dos brasileiros são desempregados é igual a dizer que 12 a cada grupo de 100 brasileiros não tem emprego. Veja outros exemplos: - 11% do seu salário deve ser pago a título de contribuição previdenciária : de cada 100 reais que você recebe como salário, 11 devem ser pagos para a previdência. - a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil é de 20% : de cada 100 adultos no Brasil, 20 são analfabetos. - o número de adolescentes grávidas cresceu 10% em 2011, em relação ao ano anterior : para cada 100 adolescentes grávidas que existiam em 2010, passaram a existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes grávidas. - o número de fumantes hoje é 5%menor que aquele do início da década : para cada 100 fumantes existentes no início da década, hoje temos 100 5, isto é, 95 fumantes. Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo, basta efetuar a seguinte divisão: quantia de interesse Porcentagem = 100% total Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianças representam em um total de 4 crianças, temos: quantia de interesse 3 Porcentagem = 100% = 100% = 0,75 100% = 75% total 4 Podemos transformar um número porcentual (ex.: 75%) em um número decimal (ex.: 0,75), e vice-versa, lembrando que o símbolo % significa dividido por 100. Isto é, 75% é igual a 75 dividido por 100, que é igual a 0,75:!

37 ! # %& 75 75% = = 0, Da mesma forma, se temos um número decimal (ex.: 0,025) e queremos saber o valor percentual correspondente, basta multiplicá-lo por 100%: 100 0,025 = 0,025 = 0, % = 2,5% 100 Por fim, se podemos dizer que: quantia de interesse Porcentagem = 100%, então também total quantia de interesse = porcentagem total (Obs.: veja que omiti o 100% desta última fórmula, afinal % = = 1) 100 Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber quanto é 20% de 300, basta multiplicar 20% por 300: 20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60 Isto é, 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas. Portanto, grave isso: em matemática, o de equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 20% x 300, e assim por diante. Ainda no tema porcentagens, se queremos reduzir um preço de 100 reais em 12% devemos subtrair 12% de 100, ou seja: Preço final = % x 100 Preço final = Preço final = 88 reais!

38 ! # %& Assim, observe que uma redução de 12% corresponde a multiplicar o valor inicial por 0,88, ou seja, por 88%. Da mesma forma, um aumento de 25% levaria os 100 reais a: Preço final = % x 100 = 125 reais Ou seja, aumentar em 25% corresponde a multiplicar o valor inicial por 1,25. termos gerais: - para aumentar um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 + x%); - para reduzir um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 x%). Em Exemplificando, imagine uma blusa que custa 250 reais. Se na semana anterior à Black Friday elevarmos o preço em 25%, o novo preço será: 250 x (1 + 25%) = 250 x 1,25 = 312,50 reais Se na Black Friday dermos um mega desconto de 30%, chegamos a: 312,50 x (1 30%) = 312,50 x 0,70 = 218,75 reais (veja que podemos anunciar: de R$312,50 por R$218,75!!) Veja que poderíamos ter feito as duas operações de uma vez, para chegar diretamente no preço final, assim: 250 x (1,25) x (0,70) = 250 x 0,875 = 218,75 reais Repare que, no fim das contas, vendemos por 0,875 vezes o preço inicial, ou 87,5% do preço inicial. Assim, o desconto real foi de apenas 12,5%. Vamos exercitar um pouco?!

39 2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES! # %& 1. FCC MPE/RS 2010) Devido a uma promoção, um televisor está sendo vendido com 12% de desconto sobre o preço normal. Cláudio, funcionário da loja, está interessado em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionário da loja, ele tem direito a 25% de desconto sobre o preço promocional, o desconto que Cláudio terá sobre o preço normal do televisor, caso decida adquiri-lo, será de a) 37% b) 36% c) 35% d) 34% e) 33% Se o preço normal do televisor é T, com o desconto de 12% ela está sendo vendida pelo preço promocional abaixo: Preço Promocional = T 12%T = T 0,12T = 0,88T pagar: Como Cláudio tem desconto de 25% sobre o preço promocional, ele deve Preço para Cláudio = Preço Promocional 25% do Preço Promocional Preço para Cláudio = 0,88T 25% x 0,88T Preço para Cláudio = 0,88T 0,25 x 0,88T = 0,66T Isto é, Cláudio pagará apenas 66% do preço normal da televisão, tendo um desconto de 100% - 66% = 34%. Resposta: D 2. FGV CAERN 2010) Analise as afirmativas a seguir: I 6 é maior do que 5 2 II 0, é um número racional III Todo número inteiro tem um antecessor Assinale:!

40 ! # %& a) Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas b) Se somente a afirmativa II estiver correta c) Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas d) Se somente a afirmativa I estiver correta e) Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas Vamos comentar cada alternativa: I 6 é maior do que Vamos assumir que essa afirmativa é verdadeira e testá-la. Se 6 >, 2 então, elevando os dois lados ao quadrado: ( 6 ) > > > > 25 Veja que 24 > 25 é um absurdo. Portanto, só se pode concluir uma coisa: 5 6 <, ou seja, a alternativa I é falsa. 2 2 II 0, é um número racional 0, ou 0,5 é uma dízima periódica. Como vimos, as dízimas periódicas também são números racionais, pois podem ser escritos na forma A B, onde A e B são números inteiros. Essa alternativa está correta. III Todo número inteiro tem um antecessor De fato, todo número inteiro tem um antecessor. Basta visualizar a reta numérica, e veremos que para cada número inteiro n, existe um número inteiro n-1, que é o seu antecessor:!