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1 FRAÇÕES

2 Podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um inteiro, mas se comermos um pedaço, qual seria a representação numérica que esse pedaço e o resto do bolo representaria? Foi a necessidade de criar uma representação numérica para as partes de um inteiro que proporcionou o surgimento dos números fracionários.

3 Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim, podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

4 Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1. Por ser uma forma diferente de representação numérica, a fração irá possui uma nomenclatura específica e poderá ser escrita em forma de porcentagem, números decimais (números com vírgula) e números mistos.

5 NOMENCLATURA As frações possuem dois tipos de representação, uma geométrica (desenho) e outra na forma de expressão matemática. É importante lembrar que fração é uma representação da parte de um todo. Para termos uma representação fracionária devemos primeiramente constituir todo o inteiro. Sabendo que uma fração deve ser representada por um numerador e um denominador, fica fácil compreendermos a sua nomenclatura. A leitura de uma fração irá depender do seu denominador.

6 A nomenclatura de uma fração pode ser dividida em dois grupos: o primeiro compreende os denominadores iguais a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, o segundo compreende os denominadores que não pertencem ao primeiro grupo, como 12, 20, 51. Para denominadores iguais a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000, a leitura das frações fica da seguinte forma:

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8 Segundo grupo: considerando que o denominador seja qualquer outro número, acrescentamos na sua leitura a palavra avos.

9 Fração própria Tipos de Fração Toda fração que for considerada própria deverá ser menor que um inteiro, ou seja, seu numerador é menor que seu denominador. Ex: 5 8 Fração imprópria As frações impróprias são maiores que um inteiro, ou seja, o seu numerador é maior que o denominador. Ex: 11 8

10 Fração aparente Fração aparente é um tipo de fração imprópria, sendo que os numeradores são múltiplos dos denominadores, ou seja, ao dividirmos o numerador pelo denominador iremos obter valor inteiro como resposta. Ex: 16 8 Fração misto Toda fração imprópria pode ser escrita na forma de número misto. Esse tipo de número é formado por uma ou mais partes inteiras mais uma parte fracionária. Ex: 19 8 = 2 3 8

11 Fração irredutível Fração irredutível é a fração onde o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex: 7 3 Fração Unitária É a fração cujo numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex: 1 3 Fração Composta É a fração cujo numerador e o denominador são frações. Ex: 1 3 / 2 5

12 Fração Algébrica É a fração onde no denominador há uma incógnita. Ex: 3 x 1 Fração Equivalentes Dizemos que uma fração é uma parte de um inteiro que pode ser representada geometricamente ou numericamente. Podemos dividir o inteiro em diversas partes, as quais representarão quantidades diferentes e outras que representarão uma mesma quantidade.

13 No caso de frações diferentes que representam a mesma quantidade, damos o nome de frações equivalentes. A única condição para que existam frações equivalentes é que elas pertençam ao mesmo inteiro. Ex:

14 Para identificarmos se duas ou mais frações são equivalentes, basta aplicarmos os princípios de simplificação conhecidos, isto é, dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número, reduzindo a fração à forma irredutível. Se as formas irredutíveis forem idênticas, dizemos que as frações são equivalentes.

15 SIMPLIFICAÇÃO Simplificar uma fração consiste em reduzir o numerador e o denominador através da divisão pelo máximo divisor comum aos dois números. Uma fração está totalmente simplificada quando verificamos que seus termos estão totalmente reduzidos a números que não possuem termos divisíveis entre si. Uma fração simplificada sofre alteração do numerador e do denominador, mas seu valor matemático não é alterado, pois a fração quando tem seus termos reduzidos se torna uma fração equivalente.

16 Exemplos: Ou você pode simplificar a fração uma única vez. Para isso, você deve identificar o máximo divisor comum aos dois termos. Portanto, para que uma fração se torne irredutível, devemos dividir o numerador e o denominador pelo maior divisor comum ou realizar a simplificação por partes. Lembre-se de que toda fração irredutível possui inúmeras frações equivalentes.

17 REDUÇÃO DE FRAÇÃO AO MESMO DENOMINADOR Podemos transformar duas frações que representam quantidades diferentes de um mesmo inteiro, por exemplo, 1 e 2 em frações com 2 5 denominadores iguais. Esse processo é conhecido como redução de fração ao mesmo denominador. Para reduzir as frações 1 2 e 2 5 ao mesmo denominador devemos encontrar as frações equivalentes a cada uma delas, ou seja, frações diferentes, mas que representam a mesma quantidade.

18 Para 1 2 temos: 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 = 5 10 Para 2 5 temos: 2 5 = 4 10 = 6 15 Como as frações equivalentes a 1 2 e 2 5 foram encontradas levando em consideração o mesmo inteiro, podemos dizer que as frações 1 e 2 transformadas em um mesmo 2 5 denominador ficariam respectivamente iguais a 5 10 e 4 10.

19 Uma maneira mais prática de reduzir as frações ao mesmo denominador é encontrar o mínimo múltiplo comum (menor múltiplo comum) dos números que representam os denominadores, por exemplo: As frações 3 e 5 possuem os números e 6 como denominadores e o menor múltiplo comum (mmc) entre eles é 60. Assim, o denominador comum das frações 3 e 5 será Depois de encontrar o novo denominador temos que dividi-lo pelo antigo e multiplicar o resultado pelo numerador, devemos fazer sempre esse processo, pois se mudamos o denominador temos que encontrar um numerador proporcional.

20 Depois de encontrar o novo denominador temos que dividi-lo pelo antigo e multiplicar o resultado pelo numerador, devemos fazer sempre esse processo, pois se mudamos o denominador temos que encontrar um numerador proporcional.

21 Comparação de frações Podemos comparar frações utilizando a representação numérica através de algumas técnicas e propriedades. Comparar significa analisar qual representa a maior (>) ou menor (<) quantidade ou se elas são iguais (=). 1ª Situação Quando os denominadores são iguais, basta compararmos somente o valor dos numeradores. 1 2 < 3 2 ou 3 5 > 2 5

22 2ª Situação Quando os denominadores são diferentes, devemos realizar operações no intuito dos denominadores se tornarem iguais. Quando eles se tornam iguais aplicamos as definições da 1ª situação. O processo que irá transformar os denominadores em valores iguais é o de redução, visto anteriormente. Por exemplo: 5 6 e 8 3

23 As frações dadas possuem denominador 6 e 3, respectivamente. Vamos multiplicar os membros da 1ª equação por 3 e multiplicar os membros da 2ª equação por 6. Veja: = e 8 6 3:6 = Note que: > ou seja, 8 3 > 5 6 Observe que multiplicamos os membros da 1ª equação pelo denominador da 2ª equação e os membros da 2ª equação pelo denominador da 1ª equação.

24 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO As operações de adição e subtração com fração dependem unicamente do denominador, ou seja, dependem da quantidade de partes que um inteiro foi dividido. Podendo ser iguais ou diferentes, assim diferenciando a resolução. Quando os denominadores forem iguais devemos somar ou subtrair as partes consideradas dos numeradores e conservar as partes dos denominadores = 4 5 ou = 1 4

25 Quando os denominadores forem diferentes é preciso torná-los iguais antes de resolver a operação de adição ou subtração, utilizando as técnicas que a redução de uma fração ao mesmo denominador. É preciso que encontremos o mmc de 5 e 7 que é o 35. logo encontraremos as respectivas frações equivalentes com as quais efetuamos a soma: = 35: : = = Na operação de subtração o processo é o mesmo, só irá diferenciar-se ao operar.

26 MULTIPLICAÇÃO A multiplicação é uma operação básica que surge para simplificar a soma de parcelas iguais. A operação da multiplicação é aplicada a qualquer conjunto numérico, dos Naturais aos Reais. No caso dos racionais, principalmente os números fracionários, a multiplicação deve ser utilizada respeitando algumas regras básicas: multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador.

27 Na multiplicação de números fracionários, é valido o jogo de sinal entre os fatores. Observe tabela de jogo de sinais: (+). (+) ou (-). (-) resulta em valor (+) (+). (-) ou (-). (-) resulta em valor (-) Observe que multiplicação de sinais iguais dá positivo e multiplicação de sinais diferentes dá negativo! Você também pode simplificar a fração antes de iniciar as contas ou mesmo após terminá-las.

28 Exemplos: = 2.3 = 6 = ( 1) = ( 1).4 = = = 4.11 = = 7.4 = ( 2) = ( 2).8 = 16 = ( 3) 15.( 3) 45 45

29 DIVISÃO A resolução da operação de divisão envolvendo frações pode ser resolvida de forma simples. Basta lembrar que o quociente de duas frações é o produto da primeira pelo inverso da segunda. Exemplos: 1. 2 : 11 = 2. 5 = 2.5 = 10 = ( 3) : 7 = ( 3). 2 = = 6 = ( 12) 3 : ( 5) = ( 12) = ( 5) 3.( 5) = = = 44 5

30 POTENCIAÇÃO A potenciação de frações algébricas utiliza o mesmo processo das frações numéricas, o expoente precisa ser aplicado ao numerador e ao denominador, considerando o valor do denominador diferente de zero. Após o desenvolvimento da potenciação, se for o caso, simplifique a fração. Ex: ( 2 3 )2 = = = 4 9

31 O exemplo anterior trata-se de uma fração numérica. No entanto para frações algébricas o raciocínio é o mesmo. Ex: 1. ( 2a 5b )2 = 2a 2 = 22.a a.a 5b b2 = = 4a b.b 25b 2 2. ( a+b 3a ) 2 = ( 3a a+b )2 = 3a 2 a+b 2 = 3 2.a 2 a+b. a+b = 9a 2 a 2 +2.a.b+b 2

32 FRAÇÃO E PORCENTAGEM A palavra porcentagem apresenta ligações estreitas com a ideia de fração, uma vez que significa partes de 100. Ora, se é parte de um todo então é uma fração. Vamos compreender melhor a relação entre porcentagem e as frações. Definição de porcentagem: Se x é um número real, então x% representa a fração x 100.

33 Ou seja: 5% = ; 32% = ; 78% = e assim por diante. Como a porcentagem pode ser escrita na forma de fração, podemos realizar facilmente cálculos que envolvam essas ideias. Veremos alguns exemplos de como isso pode ser feito.

34 Exemplo 1: Sabe-se que 55% dos estudantes de uma sala são do sexo feminino. Como na classe há 40 estudantes, quantas meninas há nessa sala? Solução: 55% = = = = 22 Logo, há 22 meninas na sala.

35

36 Além disso, podemos escrever a porcentagem na forma decimal, também a fim de facilitar os cálculos na resolução de problemas. Exemplos: E assim por diante. 25% = 0,25 30% = 0,3 16% = 0,16 217% = 2, % = 11,54

37 PROBLEMAS ENVOLVENDO NÚMEROS FRACIONÁRIOS A maneira como resolvemos uma situação problema é sempre a mesma, o que pode ser diferente é a estratégia de resolução, pois cada uma delas envolve um conteúdo diferente. Levando em consideração os problemas matemáticos que envolvem números fracionários, podemos utilizar como estratégia na sua resolução a construção de figuras que representem os inteiros ou partes deles (fração).

38 Veja o exemplo de situação problema envolvendo números fracionários. Uma piscina retangular ocupa 2 15 de uma área de lazer de 300m 2. A parte restante da área de lazer equivale a quantos metros quadrados? Resolução: Considere o retângulo abaixo como sendo a área de lazer completa.

39 Para representarmos 2/15 (área ocupada pela piscina) na região retangular que está representando a área de lazer, basta dividir esse retângulo em 15 partes iguais e considerar apenas duas como sendo ocupadas pela piscina.

40 Observando a figura acima percebemos que a fração que irá corresponder à parte restante da área de lazer é 13/15, dessa forma: = = = 260 Logo, a área de lazer restante é de 260m 2.

41 E UM ÓTIMO DOMINGO!

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