Aula Inaugural Curso Alcance 2017

Transcrição

1 Aula Inaugural Curso Alcance 2017 Revisão de Matemática Básica Professores: Me Carlos Eurico Galvão Rosa e Me. Márcia Mikuska Universidade Federal do Paraná Campus Jandaia do Sul cegalvao@ufpr.br 06 de maio de /26

2 Sumário 1 Números Primos 2/26

3 Números Primos Você sabe o que é número primo???? São números que são divisíveis apenas por dois números: o numero 1 e por ele mesmo. Os números primos são infinitos e ainda não é conhecida uma regra de formação. Os primos menores do que 100 estão destacados no Crivo de Eratóstenes: 3/26

4 Números Primos Você sabe o que é número primo???? São números que são divisíveis apenas por dois números: o numero 1 e por ele mesmo. Os números primos são infinitos e ainda não é conhecida uma regra de formação. Os primos menores do que 100 estão destacados no Crivo de Eratóstenes: 3/26

5 Números Primos Para construir o Crivo, começamos pelo 2. Destaque ele e retire todos os seus múltiplos. 3/26

6 Números Primos Para construir o Crivo, começamos pelo 2. Destaque ele e retire todos os seus múltiplos. 3/26

7 Números Primos O próximo valor a ser destacado será o 3. Repita o processo. 3/26

8 Números Primos O próximo valor a ser destacado será o 3. Repita o processo. 3/26

9 Números Primos O 4 foi retirado por ser múltiplo de 2. O 5 será destacado. 3/26

10 Números Primos O 4 foi retirado por ser múltiplo de 2. O 5 será destacado. 3/26

11 Números Primos 3/26

12 Números Primos Continuando o processo, todos os números que não forem retirados, serão números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, /26

13 MMC- Mínimo múltiplo comum Para instigar: Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é? Dicas: mmc entre qualquer número e 1 e o próprio numero. Mmc entre números primos o resultado é o produto entre eles. 4/26

14 Fatoração e radiciação Você sabia que através da fatoração é possível saber a raiz quadrada ou de qualquer índice? Você sabe qual é a raiz quadrada de ? e a raiz cúbica de 5832? E 2646 possui raiz quadrada exata? 5/26

15 Potenciação x n = } x x {{ x x}. Ex: 2 5 = = 32; (n fatores) 1 10 = = 1 Propriedades: x a x b = x a+b Ex. (x a ) b = x ab. Ex.: = = 3 5 ( 4 2) 3 = = 4 6 x a x b = xa b. Ex.: = 55 3 = 5 2. Ex.2: = 52 3 = 5 1, mas = = 1 5. Logo, 5 1 = 1 5 x m n n = x m. Ex.: x 1 2 = 2 3 x; x 4 = x 4 3 = x = x x 3 = x 3 x Com estas propriedades podemos resolver algumas situações normalmente decoradas. Ex.: x 0 = 1 para qualquer x 0. Por quê? x 0 = x a a = xa x a = 1 6/26

16 Fração Soma de frações de mesmo denominador: Mantém o denominador, soma os numeradores. Ex.: = = Soma de frações de denominador diferente: Tirar o MMC do denominador Ex.: O mmc de 4 e 6 é 12. Para reescrever as duas frações com 6 mesmo denominador, divide o mmc pelo denominador e multiplica pelo numerador. Assim, = = = /26

17 Método Borboleta (usar com cuidado): O novo numerador será o produto cruzado. O novo denominador será o produto dos denominadores: = = = 38. Veja que desta segunda forma o resultado não sai irredutível: É preciso simplificar Produto de frações: Produto de numerador com numerador e denominador e denominador: para chegar em Divisão de frações: Faz o produto da primeira fração pelo inverso da segunda: = = = = = = /26

18 PROBLEMAS: 1) Se A = x y xy, x = 2 5 e y = 1, então determine o valor de A. 2 2) Determine 2 ( ) ( ) 9/26

19 Equação do primeiro grau São caracterizadas da forma ax + b = 0. O objetivo é encontrar o valor da incógnita x. (a) 18x 43 = 65 (b) 23x 16 = 14 17x (c) 10y 5(1 + y) = 3(2y 2) 20(e) x x 5 (d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x = 3 x 4 10/26

20 Polinômios A adição ou subtração algébrica de monômios é denominada polinômio, exemplo: 7ab 2 ; 3x 3 y + 2xy 2. O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é o grau do seu termo de maior grau. O polinômio 5x x 5 y 2 7x 3 y 2 é do grau 7, pois o seu termo de maior grau é o segundo, que é do grau 7. O polinômio 4a 2 b 3 + 5a 5 é do grau 5, pois ambos os termos do polinômio são deste grau. 11/26

21 Redução de polinômios em termos semelhantes: Veja abaixo alguns exemplos de redução de polinômios através da soma ou subtração de termos semelhantes: 5a 2 + 3a 2 = (5 + 3)a 2 = 8a 2 7xy 2 2x 2 y + xy 2 = (7 + 1)xy 2 2x 2 y = 8xy 2 2x 2 y = 2xy(4y x) 4x 2 + 3y 3 5y 3 + 6y 2 = (4 + 6)x 2 + 3( 5)y 3 = 10x 2 2y 3 Multiplicação por um monômio: Considere o exemplo: 7xy 2 (2x 2 + y) = (7xy 2 2x 2 ) + (7xy 2 y) = 14x 3 y 2 + 7xy 3 Repare que multiplicamos 7xy 2 por ambos os termos do polinômio, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação. 2a (7b + 3c) = (2a 7b) + (2a 3c) = 14ab + 6ac 12/26

22 Multiplicação de um Polinômio por um Polinômio: No caso da multiplicação de polinômio por polinômio efetuamos a multiplicação de cada um dos termos do primeiro polinômio, por cada um dos termos do segundo polinômio e depois realizamos a redução do polinômio resultante. Vamos analisar a multiplicação abaixo a qual separamos em três linhas para podermos observá-la mais facilmente: (3a 2 b 5ab 2 )(2a + 7a 2 b 3 ) = (3a 2 b 2a) + (3a 2 b 7a 2 b 3 ) (5ab 2 2a) (5ab 2 7a 2 b 3 ) = 6a 3 b + 21a 4 b 4 10a 2 b 2 35a 3 b 5 13/26

23 PROBLEMAS: Resolva com calma os exercícios propostos a seguir. Pede-se para efetuar as operações e não determinar variáveis: (a) 7(x 2y) (b) 2x(x + y) (c) 4x(a + b (d) 2x(x 2 2x + 5) (e) (x + 5)(x + 2) (f) (3x + 2)(2x + 1) (g) (x + 7)(x 4) (h) (3x + 4)(2x 1) (o) (x 2 x 1)(x 3) (i) (x 4y)(x y) (p) (x 1)(x 2)(x 3) (j) (5x 2)(2x 1) (k) (3x + 1)(3x 1) (q) (x + 2)(x 1)(x + 3) (l) (2x + 5)(2x 5) (m) (6x 2 4)(6x 2 (r) (x 3 2)(x 3 + 8) + 4) (n) (3x 2 4x 3)(x + 1) (s) (x 2 + 2)(x 2 + 6) 14/26

24 Produtos Notáveis: Existe um tipo especial de multiplicação de polinômios: Quadrado da soma: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2 Quadrado da diferença: (a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 2ab + b 2 Quadrado da soma pela diferença: (a + b)(a b) = a 2 b 2 Cubo da soma: (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Cubo da diferença: (a b) 3 = (a b)(a b)(a b) = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 15/26

25 Divisão de Polinômios: Para explicar o procedimento da divisão de polinômios pelo método das chaves, vamos dividir 8a 2 2ab 15b 2 por 2a 3b. A primeira coisa a verificar é se o grau do dividendo é maior ou igual ao grau do divisor. Se for menor o quociente será zero e o resto será o próprio dividendo. Repare que ambos os polinômios estão ordenados de forma decrescente em relação à incógnita a: 8a 2 2ab 15b 2 2a 3b 16/26

26 A divisão de polinômios é muito semelhante à divisão de números naturais. Vamos começar dividindo o monômio 8a 2 pelo monômio 2a e colocar o quociente 4a abaixo da chave: 8a 2 2ab 15b 2 2a 3b 4a 17/26

27 Agora vamos multiplicar por 4a cada um dos monômios do divisor 2a 3b e colocar o resultado embaixo do dividendo para subtrair os polinômios: 8a 2 2ab 15b 2 2a 3b ( 8a 2 12ab) 4a 18/26

28 Executamos então a subtração dos monômios: 8a 2 2ab 15b 2 2a 3b ( 8a 2 12ab) 4a 10ab 15b 2 4a 19/26

29 Agora dividimos 10ab por 2a, que vai dar 5b, e também o colocamos abaixo da chave: 8a 2 2ab 15b 2 2a 3b ( 8a 2 12ab) 4a + 5b 10ab 15b 2 20/26

30 Multiplicamos por 5b cada um dos monômios do divisor 2a 3b e colocamos o resultado embaixo do primeiro resto parcial: 8a 2 2ab 15b 2 2a 3b ( 8a 2 12ab) 4a + 5b 10ab 15b 2 (10ab 15b 2 ) 21/26

31 Por fim executamos a subtração que resultará em zero, indicando uma divisão exata: 8a 2 2ab 15b 2 2a 3b ( 8a 2 12ab) 4a + 5b 10ab 15b 2 (10ab 15b 2 ) 0 22/26

32 Equação do segundo grau: É definida pela forma. Existem alguns métodos para resolver esse tipo de equação, mas o mais comum é conhecido no Brasil pela resolução através da fórmula quadrática 1, onde temos: x = b ± b 2 4ac ou ainda x = b ± com = b 2 4ac. 2a 2a Existência e Quantidade de Raízes reais: > 0 2 raízes = 0 1 raiz < 0 Não há raiz real 1 No Brasil, chamada fórmula de Bháskara 23/26

33 Exemplos: (a) 4x 2 + 8x + 6 = 0. Os coeficientes da equação são: a = 4, b = 8, c = 6. Substituindo esses valores na fórmula quadrática, temos: x = b ±, = b 2 4ac 2a = = = 32 Como < 0, a equação não possui raiz real. (b) x 2 4x 5 = 0 Os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = 4, c = 5. Agora basta aplicar esses valores na fórmula quadrática: x = b ±, = b 2 4ac 2a 24/26

34 Racionalização de fração: Em muitos exercícios a resposta está sempre simplificada, e dessa maneira não se apresenta raízes no denominador. Então 30 como proceder em casos onde a resposta gerou um número da forma:, ou ? 3 E se ainda tivermos uma expressão maior no denominador como 6 ou, por exemplo? E ainda se a raiz não for quadrada como em 3, o que fazer? 3 6 Lembre-se que multiplicar numerador e denominador de uma fração por um a mesmo valor não nulo mantém inalterada a fração: c = a b c b = ab cb. Escolha um fator que ajude a eliminar as raízes do denominador. 25/26

35 A matemática possui abstrações própria dos conteúdos abordados, mas com persistência e dedicação, todos podem alcançar resultados positivos. 26/26