Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Simplificação por divisões sucessivas. Divisores. Aula 4 Divisores e múltiplos. MDC. Operações com frações
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- Augusto Aníbal Fraga Regueira
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1 Roteiro da aula MA091 Matemática básica Aula Divisores e múltiplos. MDC. Operações com frações 1 Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Março de 016 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de 016 / Simplificação por divisões sucessivas Podemos dividir o numerador e o denominador de uma fração por um número natural para obter uma fração equivalente com denominador menor / / / 156/ 7 / 7/ 1 9 Divisores Divisor Um número natural c é divisor de um número natural a se o resto da divisão de a por c é zero (ou seja, se a é divisível por c). Divisores de 6: 1,, e Divisores de 165: 1,, 5,, 15,, 55 e / 9/ 7 1 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de 016 / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de 016 /
2 Múltiplos Números primos Múltiplo Um número natural c é múltiplo de outro número natural a se existe um número natural b tal que c a b. Múltiplos de :,, 6,, 10, 1, 1, 16, 1, 0,,... Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 50, 55,... Múltiplos de 1: 1,,, 56, 70,, 9,, 16, 10,... Número primo Um número natural maior que 1 é dito primo se só tem como divisores naturais ele mesmo e o número 1. Para descobrir se um número natural a é primo: Calcule o resto da divisão de a pelos primos menores que ele. Se alguma dessas divisões tiver resto zero, a não é primo. Caso contrário, o número é primo. Primeiros números primos:,, 5, 7,, 1, 17, 19,, 9, 1, 7, 1,, 7, 5, 59, 61, 67,... Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / Máximo divisor comum Fatoração MDC O máximo divisor comum (MDC) entre dois números naturais a e b é o maior número natural c que é divisor de a e de b. MDC entre 5 e 60: Divisores de 5: 1,, 5, 9, 15 e 5. Divisores de 60: 1,,,, 5, 6, 10, 1, 15, 0, 0 e 60. O máximo divisor comum a 5 e 60 é 15. Fatoração A fatoração de um número natural é a decomposição desse número no produto de números primos, chamados fatores. Fatoração de 90: 90 é o menor divisor primo de / 5. é o menor divisor primo de 5. 5/ é o menor divisor primo de / é o menor divisor primo de 5. 5/ Chegamos a 1. Não há como prosseguir. A forma fatorada de 90 é 5. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de 016 /
3 MDC por fatoração Fatoração simultânea Definição prática do MDC O MDC entre dois números naturais a e b é o produto dos fatores comuns de a e b. MDC entre 95 e 69: Assim, e mdc(95, 69) 7 6. Cálculo prático do MDC Podemos determinar o mdc entre dois números decompondo-os simultaneamente. Nesse caso, 1 a cada passo, dividimos os dois números pelo menor número primo que é divisor de ambos; paramos quando não existirem divisores comuns. MDC entre 95 e , 69 é o menor primo que divide, ao mesmo tempo, 95 e , 1 é o menor divisor de 15 e , é o menor divisor de 105 e , 15 e são primos entre si. Não há como prosseguir. mdc(95, 69) 7 6. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / usando o MDC durante o cálculo do produto Simplificação pelo MDC Podemos encontrar a forma irredutível de uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mdc dos dois números. Simplificando : Como o mdc entre 95 e 69 é 6, temos Simplificando ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 : 1 ( ) 1 ( ) Aplicando a regra do produto. Isolando o termo /6 69/ Eliminando o termo que vale 1. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de 016 / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de /
4 durante o cálculo do produto Simplificação do quociente de frações ( ) 6 5 ( ) (6/) 0 5 (9/) 0 5 (0/5) (5/5) 1 6 e 9 são divisíveis por. Divisão por. 0 e 5 são divisíveis por 5. Divisão por 5. Não há mais como simplificar. Fração final. a) 7 b) c) d) e) 7 7 / 7 / (Aqui não há simplificação) /5 5/5 1/ / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / Erros relacionados à simplificação de frações Simplificação de expressões Expressão Errado Correto Simplificando 10x + 5 : 15 x 6 (/)x 6 (/) x 6 (x ) x 10x x Separando o fator 5. x x 5x y 6 (/)x x (/) x x 0 9x x x (5/5)x + (1/6) (10/5)y (6/6) x + y 1 5x y 6 5 (x + 7) x + 7 Pondo o fator 5 em evidência no numerador. Isolando o termo 5 5. x + 7. Eliminando o termo que vale 1. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de /
5 Simplificação de expressões Exercício 1 Simplificando 1x + 16y + : 1x + 16y + x + y + (x + y + ) Separando o fator. Pondo o fator em evidência. Simplificação por divisões sucessivas Usando o método das divisões sucessivas, simplifique a fração 1 x + y + Isolando o termo. /7 x + y +. Eliminando o termo que vale 1. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / Exercício Exercício Múltiplos de Para saber se um número é divisível por, basta verificar se a soma de seus algarismos é divisível por. Dos números abaixo, quais são divisíveis por? A) B) 0 C) 91 D) Simplificação com o MDC Usando o mdc, simplifique a fração / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de /
6 Exercício Exercício 5 Simplificação com o MDC Simplifique a fração ( 0) ( ). Simplificação do produto e do quociente Simplifique as expressões: / 1 / 55/ Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de 016 / Exercício 6 Exercício 7 MDC Calcule o máximo divisor comum entre 1, 0 e 5 e simplifique a expressão 1x Propriedade distributiva Aplique a propriedade distributiva e simplifique a expressão abaixo. ( x + y 9 15 ) MDC: 6 Expressão: x x + y 9 5 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de 016 / Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de 016 /
7 Exercício Problema Três quartos dos moradores de Chopotó da Serra bebem café. Desses, dois quintos preferem o café Serrano. Que fração dos moradores da cidade prefere o café Serrano? Que fração dos moradores bebe regularmente café de alguma outra marca? Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março de /
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