2. Números Inteiros. A representação gráfica dos números Inteiros Os números podem ser representados numa reta horizontal, a reta numérica:

Transcrição

1 . Números Inteiros Sempre que estamos no inverno as temperaturas caem. Algumas cidades do Sul do Brasil chegam até mesmo a nevar. Quando isso acontece, a temperatura está menor do que zero. Em Urupema, cidade de Santa Catarina, a temperatura já chegou a atingir -6 C (seis graus negativo) no ano de 013. É claro que esse número não pertence ao conjunto dos Números Naturais (N). Os números naturais não nos permitem representar certas situações importantes, como as que envolvem perdas e prejuízos. Mais ainda, há situações nas quais sentimos a necessidade de estender os números naturais a um conjunto, digamos assim, mais completo. O número -6 é um exemplo de número negativo. Os números negativos são escritos com o sinal de menos (-) na frente. Por exemplo: números negativos: -5; -1,5; -3 Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Já os indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. Na Grécia, Diofanto (Século III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika". O número negativo é uma invenção do homem para resolver alguns problemas práticos. Exemplo 1 Uma pessoa pode ter, no banco, um saldo positivo ou negativo. O saldo está positivo quando a pessoa tem dinheiro disponível em sua conta corrente. O saldo está negativo quando a pessoa gastou mais do que podia, ou seja, quando está devendo dinheiro ao banco. a) depósito de 45 reais: 45 b) retirada de 1 reais: -1 Os números negativos que citamos, assim como todos os outros existentes, pertencem a um conjunto numérico muito especial chamado Conjunto dos Números Inteiros, simbolizado por Z, pois a palavra para números em alemão é Zahlen. Os números inteiros são formados pelos números naturais (positivos) e também pelos números (inteiros) negativos, além do zero, que não possui sinal. Podemos representar esse conjunto numérico da seguinte forma: Z = {, 3,, 1, 0, 1,, 3, } A representação gráfica dos números Inteiros Os números podem ser representados numa reta horizontal, a reta numérica: Observe que, à direita, estão os números maiores que zero e, à esquerda, os menores que zero. Ou seja, quanto mais à direita estiver um número, maior ele será; e, quanto mais à esquerda, menor. Em Matemática, costumamos usar o símbolo> para indicar maior que, e o símbolo < para indicar menor que. Veja: 4 > 3, isto é, 4 é maior que 3 < 5, isto é, é menor que 5 5 < 1, isto é, -5 é menor que-1 Adição e subtração de números Inteiros Provavelmente você consegue responder rapidamente qual é o resultado de + 3, mas e a adição e a subtração de números negativos? Será que você sabe como calcular ( ) + ( 3)? Se você não sabe ou mesmo se tem alguma dúvida, daremos o passo a passo para resolver esses e outros exemplos. Exemplo Num jogo, os pontos são marcados em uma tabela. Os pontos ganhos, com números positivos, e os pontos perdidos, com números negativos. Observe que o saldo é obtido somando-se os pontos ganhos com os pontos perdidos. Assim: Equipe A: 45 + ( 44) = = 1 (saldo positivo) EQUIPE PONTOS PONTOS SALDO GANHOS PERDIDOS A B

2 Equipe B: 4 + ( 48) = 4 48 = 6 (saldo negativo) Na verdade, toda vez que vamos somar uma quantidade negativa a uma quantidade positiva, o que fazemos é uma subtração. Exemplo 3 Num dia desses as 6:00 da manhã a temperatura era -5 C. As 11:00 da manhã a temperatura era C. Qual será sua variação? Através da reta numérica concluímos que a variação é ( 5) = 7. Então, observe o seguinte: ( 5) = 7 e + 5 = 7 Comparando essas igualdades, observamos que o resultado não se modifica se substituirmos ( 5) por 5. Podemos concluir que: ( 5) = 5 De maneira geral: Subtrair uma quantidade negativa é o mesmo que somar o oposto dessa quantidade, que é positiva. Números opostos Dois números são chamados opostos ou simétricos quando, localizados na reta numérica, estão a uma mesma distância do zero, um à esquerda e outro à direita. Outra forma de definir um número opostos ao outro é quando resultam em zero quando somados. Por exemplo: -3 e 3 são números opostos, pois 3 + ( 3) = 0. e - são números opostos, pois + ( ) = 0. Note que a operação de subtração de dois números inteiros distintos é na verdade a soma do primeiro número com o oposto ao segundo número. Exemplo 4 Sabemos que 5 = 3 e + ( 5) = 3, logo 5 = + ( 5). Propriedades da adição de números Inteiros A adição de números Inteiros é comutativa, ou seja, resultado da soma independe da ordem das parcelas. Exemplo 5 Sabemos que ( 5) = 7 e ( 5) + = 5 + = 7, logo ( 5) = ( 5) +. Exemplo 6 Sabemos que ( ) + ( 3) = 5 e ( 3) + ( ) = 3 = 5, logo ( ) + ( 3) = ( 3) + ( ). A adição de números Inteiros é associativa, ou seja, resultado da soma de três números Inteiros é independe da ordem da soma dos números. Exemplo 7 Sabemos que (4-3) + = 1 + = 3 e 4 + (-3 + ) = 4-1 = 3, logo (4-3) + = 4 + (-3 + ). A multiplicação de números Inteiros é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores não altera o produto. Exemplo 8 Sabemos que 4 ( 6) = 4 e ( 6) 4 = 4, então, que 4 ( 6) = ( 6) 4. A multiplicação de números Inteiros é associativa, ou seja, resultado da multiplicação de três números Inteiros independe da ordem da multiplicação dos números. Exemplo 9 Sabemos que (5 ) ( 3) = 10 ( 3) = 30 e 5 [ ( 3)] = 5 [ 6] = 30, logo (5 ) ( 3) = 5 [ ( 3)]

3 Regras de sinal Para explicar a regras de sinal para a multiplicação podemos fazer a seguinte analogia: 1) o amigo do meu amigo é meu amigo, ou seja, (+)(+) = +; ) o amigo do meu inimigo é meu inimigo, isto é, (+)( ) = ; 3) o inimigo do meu amigo é meu inimigo, quer dizer, ( )(+) = ; 4) o inimigo do meu inimigo é meu amigo, o que significa ( )( ) = + Exemplo 10 Joãozinho estava devendo reais numa determinada loja. Ele acaba comprando fiado nessa loja, uma caneta que custava 3 reais. Quantos reais Joãozinho está devendo para essa loja? Sabemos que ( 1) = e 3 ( 1) = 3 logo ( ) + ( 3) = ( 1) + 3 ( 1) = ( + 3) ( 1) = 5 ( 1) = 5 A primeira é evidente, já a segunda e a terceira regra podem ser entendidas pelos seguintes exemplos. Exemplo 11 Calcule ( 1) = Sabemos que é oposto ao número então = 0 logo ( 1) = 0 + ( 1) = ( + ) + ( 1) = + ( + ( 1)) = + ( 1 + ( 1)) = = + (1 1) = + 0 = + 0 = Aqui utilizamos o fato de que todo número multiplicado por zero é zero. Mas por que isso acontece? Isso é conseqüęncia da propriedade da distributividade da multiplicação. Exemplo 1 Calcule 0 = Sabemos que é oposto ao número então = 0 logo 0 = = ( + ) + 0 = + ( + 0) = + ( 1 + 0) = = + (1 + 0) = + 1 = + = 0 Do exemplo 11 observamos que multiplicado por ( 1) é significa trocar o sinal e, evidentemente, trocar o sinal duas vezes equivale a deixar como está, ou seja, ( 1)( 1) = 1. Portanto este fato pode ilustrar a quarta regra de sinal. Múltiplos e divisores Observando a tabuada do, podemos notar que os resultados vão crescendo de em. Exemplo, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18,0,, 4, 6,... Os números múltiplos de são chamados números pares. Todo número múltiplo de termina em, 4, 6, 8 ou 0. Exemplo 13 O número 758 termina em 8. Portanto, 758 é múltiplo de. Assim sabemos, mesmo sem fazer a conta, que 758 pode ser dividido exatamente em duas partes iguais. Vamos agora observar a tabuada do 3 podemos notar que começamos com o 3 e vamos aumentando de 3 em 3. 3, 6, 9, 1, 15, 18, 1, 4, 7, 30, 33, 36, 39, 4,... Um número é múltiplo de 3 quando a soma de seus algarismos é um número múltiplo de 3. Exemplo 14 O número 505 é múltiplo de 3? Para responder, sem fazer a divisão, faça assim: = 1. Como 1 é múltiplo de 3 (1 dividido por 3 deixa resto zero), então 505 também é múltiplo de 3.

4 Exemplo 15 O número 874 é múltiplo de 3? Vamos aplicar a regra: = 19. Como 19 não é múltiplo de 3 (19 dividido por 3 deixa resto diferente de zero), 874 também não é múltiplo de 3. Pela tabuada do 5 temos 5, 10, 15,0, 5, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60,... Observando essa lista, você consegue descobrir quando um número é múltiplo de 5, quando termina em 0 ou 5. Já pela tabuada do 10 temos: 10, 0, 30, 40, 50, 60, 70,... Todo múltiplo de 10 termina em 0. Exemplo 16 Calcule 3 8 = 4, então: 4 é múltiplo de 3, 4 é divisível por 3, 3 é divisor de 4 e A divisão de 4 por 3 dá resto 0 (zero). Exemplo 17 Como 315 é divisível por 5 e também por 3, então = 63 e 63 3 = 1. Observe que 1 ainda pode ser dividido por 3, ou seja, 1 3 = 7. Portanto 315 pode ser o resultado da multiplicação de quatro números primos: 315 = Todo número é divisível por 1e por ele próprio. Por exemplo, 15 é divisível por 1 e também por 15 pois: 15 1 = 15 e = 1 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo 18 O número 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos 19 O número é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo 0 O número 871 é divisível por 9, pois =18 que 18 é divisível por 9. Um número é divisível por 11 quando a diferença entre o último algarismo e o formado pelos demais algarismos é divisível por 11. Exemplo 1 O número 11 é divisível por 11, pois 1-1=11 que é divisível por 11 Números primos Número primo é aquele que só é divisível por 1 e por ele mesmo. Exemplo 18 Sabemos que 5 é um número primo porque só é divisível por 1 e por 5. Já o número 6 não é primo, porque é divisível por 1, por e também por 3. Agora vamos mostrar os números primos até 30. Escrevemos todos os números de até 30. Destacamos o número e depois tiramos todos os múltiplos de. Em seguida, destacamos o número 3 e tiramos todos os múltiplos de 3. Continuamos assim, destacando o menor número que não foi cortado e,

5 em seguida, eliminando todos os seus múltiplos, até que não seja possível tirar mais nada. O resultado é o seguinte:, 3, 5, 7, , 17, 19, 3, 9. Portanto os números Inteiros se dividem em duas categorias: primos e compostos. Deste modo podemos afirmar que todos os números Inteiros podem fatorados (escritos como produto de números primos) por meios de números primos. Assim: 6 = 3, 30 = 3 5 e 47 = 47 pois 47 é um número primo. Você sabe o que é o crivo de Erastóstenes? Agora vamos aprender a fatorar números Exemplo 19 Fatore o número. Escreva o número que se vai fatorar e faça um traço vertical à sua direita. Verifique se é divisível por. Coloque o à direita do traço, faça a divisão e ponha o resultado embaixo do. Chegamos ao 75, que não é divisível por. Vamos tentar agora a divisão por Continue dividindo por enquanto for possível não é divisível por 3. Mas é divisível por 5. Continuamos, então, até obter o quociente 1. Logo: = Observe que podemos fazer uma lista de divisores do número : 1,, 3, = 4, 5, 3 = 6, = 8, 5 = 10, 3 = 1, 3 5 = 15, 5 = 0, 3 = 4, 5 5 = 5, 3 5 = 30, 5 = 40, 5 5 = 50, 3 5 = 60, = 75, 5 5 = 100, 3 5 = 10, = 150, 5 5 = 00, = 300, = O maior divisor comum e menor múltiplo comum entre dois números Através da fatoração em números primos podemos chegar a dois importantes conceitos associados a dois números dados, mínimo múltiplo comum, (MMC), e o maior divisor comum (MDC). Exemplo 0 Calcule o MDC dos números 18 e 4. Já sabemos encontrar todos os seus divisores: os divisores de 18 são 1,, 3, 6, 9, 18. Já os divisores de 4 são 1,, 3, 4, 6, 8, 1, 4. Observe que os divisores comuns a 18 e 4 são 1,, 3 e 6. Concluímos, então, que 6 é o maior número que divide exatamente 18 e 4. Escrevemos: MDC(18; 4) = 6. Se sabemos a fatoração em números primos é muito fácil encontrar o MDC, basta tomar os primos que aparecem simultaneamente nos dois números. Exemplo 1 Qual é o maior número que divide exatamente os números 168 e 108? Inicialmente, fatoramos os dois números usando só números primos: 168 = 3 7 e 108 = Separamos, então, a maior quantidade de fatores primos comuns aos dois números: MDC(168; 108) = 3 = 1. Podemos ver que 1 é o maior número que divide 168 e, também, 108. Observe ainda que: 168 = 1 7 = 1 14 e 108 = = 1 9 Agora se sabemos a fatoração em números primos é muito fácil encontrar o MMC, basta tomar os fatores primos que comparecem em pelo menos um dos dois números. Agora, vamos ver um algoritmo para o cálculo do MMC. Exemplo Calcule o MMC(13; 14)

6 MMC (13, 16) = = 77 Você pode usar essa t técnica para calcular o MMC de mais do que dois números. Só para ter certeza, você não gostaria de calcular mmc(97, 140, 90)? Exercícios 1) Complete com os sinais> ou < de modo a tornar as sentenças verdadeiras: a) b) c) -... d) ) Calcule a) = b)0 5 = c) 0 0 = d) 5 0 = e) = f) 3 7 = g) = h) = 3) Efetue: a) 7 4 = b) 4 7 = c) 4 7 = d) 4 ( 7) = e) 50 ( 0) = f) 4 9 = g) 13 ( 13) = h)1 ( 11) = 4) Indique o oposto de: a) b) - 6 c) - 4 5) Uma pessoa nasceu em 1853 e faleceu em 190. Com que idade morreu? 6) Resolva: a) ( 0) = b) ( 5) + ( 18) ( 30) = c) 4 ( 8) + ( 1) = 7) Faça os exercícios abaixo a) Escreva todos os múltiplos de até chegar ao 30. b) Escreva todos os múltiplos de 3 até chegar ao 30. c) Escreva, numa nova lista, os números que são múltiplos de e também múltiplos de 3. Depois, complete: Os números múltiplos de e de 3 são os números múltiplos de _ 8) Todo número múltiplo de 4 é também múltiplo de. Essa afirmação está certa ou errada? 9) Escreva três números diferentes que sejam, ao mesmo tempo, múltiplos de 3 e de 5. 10) Fatore os números usando apenas fatores primos: a) 80 b) 360 c) 1000 d) 140 e) 165 f) 56 g) 43 11) Faça os exercícios abaixo a) Encontre todos os divisares de 48. b) Encontre todos os divisares comuns entre 84 e 48, isto é, todos os números que dividem tanto 84 quanto 48. 1) Explique de maneira convincente o porquê dos números 1134 e 5317 serem divisíveis por 9. 13) Qual é o MDC entre 60 e 80? E entre 60, 80 e 150?