a) Falsa. Por exemplo, para n = 2, temos 3n = 3 2 = 6, ou seja, um número par.

Transcrição

1 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 01 a) Falsa. Por exemplo, para n =, temos 3n = 3 = 6, ou seja, um número par. b) Verdadeira. Por exemplo, para n = 1, temos n = 1 =, ou seja, um número par. c) Falsa. Por exemplo, para n =, temos 3n + 1 = = 7, que não é múltiplo de 4. d) Falsa. Por exemplo, para n =, temos n = = 4, que não é primo. e) Falsa. Por exemplo, para n = 5, temos n n + n + 5 = = 5 (5 4 + ), que não é primo, pois é divisível por 5 (5 4 + ) e também por 1 e por 5. Resposta: B 1

2 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 0 Sejam x, r e n : x 3 r n x = 3n + r; com r Se r = 0, x = 3n é múltiplo de 3. Se r = 1, x = 3n + 1 não é múltiplo de 3. Se r =, x = 3n + não é múltiplo de 3. Se r = 1, x = 3n 1 = 3n 3 + = 3 (n 1) + não é múltiplo de 3. Se r =, x = 3n = 3n 3 + 1= 3 (n 1) + 1 não é múltiplo de 3. Dessa análise, observe que todo inteiro não múltiplo de 3 pode ser representado por 3n ou 3n 1 ou 3n + 1 ou 3n +. Resposta: C

3 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 03 I. Verdadeira. Todo número da forma k, com k, é par. Assim, para m, n, com m, n, temos: m + n = m + n, que é par. ( ) II. Verdadeira. Todo número da forma k + 1, com k, é ímpar. Assim, para m, n, com m, n, temos: m + 1+ n + 1 = m + n + 1, que é par. ( ) III. Verdadeira. Das afirmações (I) e (II), concluímos que (III) é verdadeira. IV e V. Verdadeiras. Resposta: E Para k, repare que ( ) k = 4k = k é par, ou seja, o quadrado de um número par é par. Repare, também, que ( k + 1) = 4k + 4k + 1 = ( k + k) + 1 é ímpar, ou seja, o quadrado de um número ímpar é ímpar. 3

4 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 04 I. Verdadeira. k, a = k + 1 a = k + 1 = 4k + 4k + 1 = k + k + 1 é ímpar. ( ) ( ) II. Falsa. Observe o contraexemplo. a = 3 a = 3 = 3 é ímpar. Portanto, a não precisa ser inteiro e ímpar para que a seja ímpar. III. Verdadeira. Como a é inteiro, então a é par ou a é ímpar. O quadrado de um par é par, e o quadrado de um ímpar é ímpar; logo, se a é ímpar e a é inteiro, então a é ímpar. Resposta: V F V 4

5 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 05 a b = 5 a) ( a+ b) ( a b) = 5 Repare que, nas condições do enunciado, temos: 5= 51 ou 5= 15 ou 5 = ( 1) ( 5) ou 5 = ( 5) ( 1) Daí, vem: a+ b = 5 a+ b = 1 a+ b = 1 a+ b = 5 ou ou ou a b = 1 a b = 5 a b = 5 a b = 1 a+ b = 5 Do sistema, somando as equações, temos: a b = 1 a+ b+ a b = 5+ 1 a = 6 a = 3 Substituindo a = 3na equação a+ b = 5 b =. a+ b = 1 Do sistema, somando as equações, temos: a b = 5 a+ b+ a b = 1+ 5 a = 6 a = 3 Substituindo a = 3 na equação a+ b = 1 b =. a+ b = 1 Do sistema, somando as equações, temos: a b = 5 a+ b+ a b = 1+ ( 5) a = 6 a = 3 Substituindo a = 3 na equação a+ b = 1 b =. a+ b = 5 Do sistema, somando as equações, temos: a b = 1 a+ b+ a b = 5+ ( 1) a = 6 a = 3 Substituindo a = 3na equação a+ b = 5 b =. a, b de números inteiros que são solução Assim, os pares ordenados ( ) da equação a b = 5são: (3, ), (3, ), ( 3, ) e ( 3, ) b) a = ab + 13 a ab = 13 ( ) a a b = 13 5

6 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números Repare que, nas condições do enunciado, temos: 13 = 13 1 ou = 1 13 = ou = ( ) ( ) ou ( ) ( ) Daí, temos: a = 13 a = 1 a = 13 a = 1 ou ou ou a b = 1 a b = 13 a b = 1 a b = 13 a = 13 Do sistema, substituindo a = 13 na equação a b = 1, vem a b = 1 b = 1. a = 1 Do sistema, substituindo a = 1 na equação a b = 13, vem a b = 13 b = 14. a = 13 Do sistema, substituindo a = 13 na equação a b = 1, a b = 1 vem b = 1. a = 1 Do sistema, substituindo a = 1 na equação a b = 13, a b = 13 vem b = 1. Assim, os pares ordenados ( a, b) de números inteiros que são solução da equação a = ab + 13 são: (13, 1), (1, 1), ( 13, 1) e ( 1, 1) c) a ab 4 + = a ( a+ b) = 4 Repare que, nas condições do enunciado, temos: 4= 41 ou = 1 4 ou 4 = ou 4 = ( ) ( ) Daí, temos: a = 4 a = 1 ou a + b = 1 a + b = 4 a = ou a + b = a = 4 Do sistema a + b = 1 b = 3. Do sistema b = 3. Do sistema b = 3. = ou = ( ) ( ) ou ( ) ( ) ou a = 4 a + b = 1 ou a = 1 a + b = 4 ou a = a + b =, substituindo a = 4 na equação a+ b = 1, vem a = 1, substituindo a = 1 na equação a+ b = 4, vem a + b = 4 a = 4, substituindo a = 4na equação a+ b = 1, vem a + b = 1 6

7 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números Do sistema vem b = 3. Do sistema b = 0. Do sistema a = 1 a + b = 4, substituindo a = 1 na equação a+ b = 4, a =, substituindo a = na equação a+ b =, vem a + b = a = a + b =, substituindo a = na equação a+ b =, vem b = 0. Assim, os pares ordenados ( a, b) de números inteiros que são solução da equação a + ab = 4 são: (1, 3), (, 0), (4, 3), ( 1, 3), (, 0) e ( 4, 3) d) a + b = ab a+ b ab = 0 a ( 1 b) = b b a = 1 b b+ 1 1 a = 1 b b+ 1 1 a = 1 b 1 b 1 a = 1 1 b Como a, 1 b é divisor de 1, ou seja, 1 b = 1 ou 1 b = 1. De 1 b = 1, vem b = 0. De 1 b = 1, vem b =. 1 Se b = 0, então a = 1 = Se b =, então a = 1 =. 1 Assim, os pares ordenados ( a, b) de números inteiros que são solução da equação a + b = ab são: (0, 0) e (, ) Respostas: a) (3, ), (3, ), ( 3, ) e ( 3, ) b) (13, 1), (1, 1), ( 13, 1) e ( 1, 1) c) (1, 3), (, 0), (4, 3), ( 1, 3), (, 0) e ( 4, 3) d) (0, 0) e (, ). 7

8 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 06 a) O maior inteiro de 4algarismos é = = = Assim, 9996 é o maior inteiro de 4 algarismos que é múltiplo de 1. b) O menor inteiro de 4 algarismos é = = = = = 84 1 Assim, é o menor inteiro de 4 algarismos que é múltiplo de 1. c) Dos itens a e b, os múltiplos de 1 compreendidos entre e 9999 são { 1 008, 1 00, 1 03,..., 9996 }. Repare que essa sequência é uma PA com a1 = 1 008, r = 1 e an = Daí, temos: 9996 = n 1 1 ( ) 8988 = n 1 1 ( ) 749 = n 1 n = 750 Assim, há 750 múltiplos de 1 compreendidos entre e Respostas: a) b) c) 750 8

9 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números = = = = = = = = Daí, os múltiplos de 18 entre 100 e são { 108, 16, 144,...,990}. Repare que essa sequência é uma PA com a1 = 108, r = 18 e an = 990. Dessa forma, temos: 990 = n 1 18 ( ) ( ) 88 = n = n 1 n = 50 Assim, há 50 múltiplos de 18 entre 100 e Resposta: 50 9

10 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 08 a) Da expressão a 7a + 10, temos a equação a 7a + 10 = 0. Resolvendo essa equação, obtemos a = ou a = 5. Daí, a expressão a 7a 10 1 a a 5, ou +, na forma fatorada, é ( ) ( ) seja, a 7a + 10 = ( a ) ( a 5). b) Para que a 7a 10 a a 5, seja um número primo, são condições necessárias: a = 1 ou a = 1 ou a 5 = 1 ou a 5 = 1 Da equação a = 1, vem a = 3. Da equação a = 1, vem a = 1. Da equação a 5 = 1, vem a = 6. Da equação a 5 = 1, vem a = 4. Agora, vamos verificar o valor da expressão a 7a + 10 para cada um dos valores obtidos para a. Se a = 3, a 7a + 10 = =, ou seja, primo. Se a = 1, a 7a + 10 = = 4, ou seja, não é primo. Se a = 6, a 7a + 10 = = 4, ou seja, não é primo. Se a = 4, a 7a + 10 = =, ou seja, primo. Dessa forma, a 7a + 10 é primo para a = 3 e para a = 4. Respostas: a) (a ) (a 5) b) 3 e 4 +, ou ainda ( ) ( ) 10

11 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 09 Da expressão a 6a + 5, temos a equação a 6a + 5 = 0. Resolvendo essa equação, obtemos a = 1 ou a = 5. Daí, a expressão a 6a 5 1 a 1 a 5, ou seja, + na forma fatorada é ( ) ( ) ( ) ( ) +, ou ainda ( a 1) ( a 5) a 6a 5 1 a 1 a 5 + =. Para que a 6a 5, seja um número primo, são condições necessárias: a 1= 1 ou a 1= 1 ou a 5 = 1 ou a 5 = 1 Da equação a 1= 1, vem a =. Da equação a 1= 1, vem a = 0. Da equação a 5 = 1, vem a = 6. Da equação a 5 = 1, vem a = 4. Agora, vamos verificar o valor da expressão a 6a + 5 para cada um dos valores obtidos para a. Se a =, a 6a + 5 = = 3, ou seja, primo. Se a = 0, a 6a+ 5 = = 5, ou seja, primo. Se a = 6, a 6a+ 5 = = 5, ou seja, primo. Se a = 4, a 6a+ 5 = = 3, ou seja, primo. Dessa forma, o único primo positivo da forma a 6a + 5 é o 5. Resposta: 5 11

12 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 10 a) 4 a + 4 Repare que ( ) 4 a a 4a 4 4 ( a + ) 4a = a a + 4 = ( a + ) ( a) 4 a + 4 = ( a + ) + ( a) ( a + ) ( a) 4 a + 4 = ( a + a + ) ( a a + ) + = + +. Daí, vem: b) Para que a 4 4 a + a + a a +, seja um número primo, são condições necessárias: a + a + = 1 ou a + a + = 1 ou a a + = 1 ou a a + = 1 Da equação a + a + = 1, vem a = 1. A equação a + a + = 1 não admite solução real. Da equação a a + = 1, vem a = 1. A equação a a + = 1 não admite solução real. 4 Agora, vamos verificar o valor da expressão a + 4para cada um dos valores obtidos para a. 4 Se a = 1, a + 4 = ( 1) = 5, ou seja, é primo. 4 4 Se a = 1, a + 4 = = 5, ou seja, é primo. 4 Dessa forma, o único primo da forma a + 4 é o 5. Respostas: a) (a + a + ) (a a + ) b) 5 +, ou ainda ( ) ( ) 1

13 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 11 Observe o algarismo das unidades nestas potências: 1 7 = 7 7 = = = = = = = = Usando a tabela, nota-se que o algarismo das unidades de e x 1 pode ser somente 7, 9, 3 ou 1. a) Da tabela, o algarismo das unidades de b) Da tabela, o algarismo das unidades de c) Da tabela, o algarismo das unidades de d) Da tabela, o algarismo das unidades de 007 é é é é 7. x 7, com x e) Repare que: Dessa divisão, o algarismo das unidades de algarismo das unidades de 007, ou seja, é o mesmo Respostas: a) 9 b) 3 c) 1 d) 7 e) 9 13

14 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 1 a) Usando a tabela dada no enunciado, nota-se que o algarismo das x unidades de 3, com x e x 1 pode ser somente 3, 9, 7 ou 1. No caso da base 7, as possibilidades são: 7, 9, 3 e 1. Repare que: Dessa divisão, o algarismo das unidades de 1 das unidades de 3, ou seja, é o mesmo algarismo 43 b) Analogamente ao item a, o algarismo das unidades de 3 é o mesmo 3 algarismo das unidades de 3, ou seja, 7, e o algarismo das unidades de 7 é o mesmo algarismo das unidades de 7, ou seja, 3. Observe os algarismos das unidades das potências x, com x e x 1. 1 = = 4 3 = 8 4 = 16 5 = = 51 = 64 7 = 18 8 = Dessa divisão, o algarismo das unidades de 58 é o mesmo algarismo das unidades de, ou seja, Dessa forma, o algarismo das unidades de é = 6. Resposta: a) 3 b) 6 14

15 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 13 Do enunciado: = A igualdade 3000 = significa que se passaram 48 semanas e 4 dias. Como 0 de julho de 008 foi um domingo, temos: segunda terça quarta quinta sexta sábado domingo segunda terça quarta quinta sexta sábado domingo segunda terça quarta Dessa forma, os 4 dias que sobraram significa que 0 de julho de 008 caiu numa quinta-feira. Resposta: A 15

16 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 14 Primeiro modo: Do enunciado, temos: n 1 7 q n = 1q + 7 n= 4 3q n = 4 ( 3q + 1) + 3 Da equação n = 4 ( 3q + 1) + 3, o resto da divisão de n por 4 é 3. Segundo modo: Como o resto da divisão do número n por 1 é 7, sem perda de generalidade, podemos tomar n= 7, pois: Repare que: Dessa forma, o resto da divisão de n por 4 é 3. Resposta: D 16

17 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 15 Do enunciado, temos: N q N = 1994 q Daí, vem: N = q N = q N = q N = q ( ) Assim, a divisão de N por 1994 deixa resto 154. Resposta:

18 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 16 Do enunciado, devemos ter: k + 13 k k k = = = + = 1+ k 4 k 4 k 4 k 4 k 4 k 4 Para que k 4 seja um divisor de k + 13, basta que k 4 seja um divisor (k 4) 1, 17, 1, 17. de 17, ou seja, { } Assim, temos: k 4 = 1 k = 5 ou k 4 = 17 k = 1 ou k 4 = 1 k = 3 ou k 4 = 17 k = 13 Resposta: { 13, 3, 5, 1} 18

19 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 17 Dizer que k 4 é múltiplo de k + 13 é o mesmo que dizer que k + 13 é divisor de k 4. Daí, temos: k 4 k k k = = = = 1 k + 13 k + 13 k + 13 k + 13 k + 13 k + 13 Com (k + 13) { 1, 17, 1, 17}. Assim: k + 13 = 1 k = 1 ou k + 13 = 17 k = 4 ou k + 13 = 1 k = 14 ou k + 13 = 17 k = 30 Resposta: { 30, 14, 1, 4} 19

20 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 18 Do enunciado, devemos ter: k + 13 k + k + 13 k + k k 4 k = = = + + = + k 4 k 4 k 4 k 4 k 4 k 4 k 4 Com (k 4) { 1, 3, 7, 1, 1, 3, 7, 1}. Assim: k 4 = 1 k = 5 ou k 4 = 3 k = 7 ou k 4 = 7 k = 11 ou k 4 = 1 k = 5 ou k 4 = 1 k = 3 ou k 4 = 3 k = 1 ou k 4 = 7 k = 3 ou k 4 = 1 k = 17 Resposta: { 17, 3, 1, 3, 5, 7, 11, 5} 0

21 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 19 Verificação da primalidade do 187 Pelo crivo de Eratóstenes, temos: / é divisível por 11, logo, não é primo. Verificação da primalidade do 191 Pelo crivo de Eratóstenes, temos: / é primo. Resposta: 187 não é primo; 191 é primo. 1

22 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 0 Observe que 131 é primo, ou seja: 131= = = = ( ) ( ) ( ) ( ) Assim, são quatro pares ordenados (x, y): ( 1, 131 ), ( 131, 1 ), ( 1, 131) ( 131, 1). Resposta: 4 e

23 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 1 mmc( x, y) mdc( x, y) = x y mmc ( x, y) 1 = mmc( x, y) = 1 mmc x, y = ( ) Resposta:

24 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números Cálculo do mmc ( 010, 018 ) : 010, , , , , , mmc ( 010, 018) = Cálculo do mdc ( 010, 018 ) : 010, , mdc ( 010,018) =. Resposta: mmc = ; mdc = 4

25 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 3 Capacidade de cada recipiente: x litros Total de recipientes com gasolina: m Total de recipientes com álcool: n 13 m x = 13 m = x 96 n x = 96 n = x Para que m+ n seja mínimo, devemos ter m mínimo e n mínimo, o que quer dizer que x deve ser máximo. Como x é divisor de 96 e 13 e é máximo, x = mdc ( 96,13). 96, 13 48, 66 4, , 11 3 x = 3 = 1 13 m = = 11 e 1 96 n= = 8 1 Assim, a capacidade de cada recipiente é 1 litros, sendo necessário um total de = 19 recipientes. Resposta: Capacidade de 1 litros, com 19 recipientes 5

26 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 4 Piloto A: 3min40s = 0s 0, 440, 660,... { } a a a 1 volta volta 3 volta Piloto B: 3min50s = 30s 30, 460, 690,... { } a a a 1 volta volta 3 volta Para que os pilotos A e B se encontrem, basta que exista o mesmo número em cada uma das sequências acima. Observe que a sequência do piloto A é formada pelos múltiplos de 0, enquanto a sequência de B, pelos múltiplos de 30. Dessa forma, eles se encontrarão nos múltiplos comum de 0 e 30. 0, , , , , 3 3 1, mmc ( 0,30) = = 5060 O menor intervalo de tempo para que eles se encontrem no ponto em questão é s, ou seja, 1h 4min 0s Resposta: 1h 4min 0s 6

27 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 5 Observe a figura: Do enunciado, x é divisor de 960 e Se x = mdc ( 960,1 80), o número de placas necessário para cobrir a superfície será mínimo. 960, , , 30 10, , 80 30, 40 15, , x = 5 = 30 Nessas condições, o número de placas é: = Resposta: 1 placas 7

28 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 6 a) mmc( a,b) mdc( a,b) = a b = 35 b = 35 b 15 = b b = 15 b) = a b a b = Possibilidades: a = 5,b = = 105 a = 3 5 = 15,b = 5 7 = 35 a = 5 7 = 35,b = 3 5 = 15 a = = 105,b = 5 Respostas: a) 15 b) (5, 105), (15, 35), (35, 15) e (105, 5). 8

29 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 7 Observe a figura: Seja x (em centímetros) a medida do lado do piso, então x deve ser divisor de 00 e de 500 ; logo, x deve ser divisor do mdc ( 00,500 ). 00, , 50 50, , 5 5, 5 5 Como x é divisor de 5 α, x é do tipo 5 β { 0, 1, }. Assim: 0 0 β= 0 x = 5 = α= 0 β= 1 x = 5 = 5 0 β= x = 5 = β= 0 x = 5 = 1 1 α= 1 β= 1 x = 5 = 10 1 β= x = 5 = 50 0 β= 0 x = 5 = 4 1 α= β= 1 x = 5 = 0 β= x = 5 = 100 β, em que { 0, 1, } α e Resposta: 1,, 4, 5, 10, 0, 5, 50 e 100 (são os divisores positivos comuns de 00 e 500). 9

30 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 8 n 4 q 1 n= 4 q + 1 n = 4 q 1 n 6 q n= 6 q + n = 6 q Repare quen é múltiplo de 4 e de 6, ou seja, n é múltiplo do mmc 4, 6. ( ) 4, 6, 3 1, 3 3 1, 1 3 = 1 Como147 < n < 167, temos: 145 < n < 165 O único múltiplo de 1 entre 145 e 165 é 156. Daí: n = 156 n = 158 Resposta:

31 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 9 Como p é primo positivo, p = ou p é um número ímpar. Se p mdc 6, 4. 6, 4 3, =, queremos calcular ( ) mdc ( 6, 4) = Se p for ímpar, p + será ímpar, o que significa que não pode ser mdc p +,4 = 1. divisível por nem por 4, ou seja, ( ) Resposta: Se p =, então mdc = ; se p >, então mdc = 1. 31

32 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 30 n 8 3 q 1 n= 8 q n 3 = 8 q 1 n 6 3 q n= 6 q + 3 n 3 = 6 q Repare que n 3 é múltiplo de 8 e 6, ou seja, n 3 é múltiplo do mmc 8, 6. ( ) 8, 6 4, 3, 3 1, , 1 3 = 4 Como 30 < n < 70, temos: 7 < n 3 < 67 O único múltiplo de 4 entre 7 e 67 é 48. n 3 = 48 n = 51 Resposta: 51 3

33 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números = Do enunciado e da fatoração acima, vem: p = 67 Como n é o menor inteiro maior que 010 que também é divisível por 67, temos: n = p n = n = n = ( ) Resposta: C 33

34 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 3 Os números que são divisíveis por, 3, 4 e 5 são os múltiplos do mmc (, 3, 4, 5 )., 3, 4, 5 1, 3,, 5 1, 3, 1, 5 3 1, 1, 1, 5 5 1, 1, 1, = 60 Assim, queremos saber quantos números há na sequência { 60, 10, 180,..., 960 } que é uma PG com a1 = 60, an = 960 e r = 60. ( ) ( ) ( ) 960 = 60 + n = n = n = n 1 n = 16 Resposta: D 34

35 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 33 O número n pode ser escrito na forma abc, sendo a o algarismo das centenas, b o algarismo das dezenas e c o algarismo das unidades. Daí: n = 100a + 10b + c, com a 0, b 0, c 0 p = 300a + 0b + c Como p = n + 40, temos: 300a + 0b + c = 100a + 10b + c a + 10b = 40 0a + b = 4 Repare que a, b, c { 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Assim, obtemos: a= 1eb= 4 Já podemos escrever n na forma n = 14c. Como c 1, c 4 e c { 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, então c = ou c = 3 ou c = 5 ou c = 6 ou c = 7 ou c = 8 ou c = 9, ou seja, há 7 possíveis valores de n. Resposta: C 35

36 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números < 987 < < 987 < 3 Sendo n o menor inteiro positivo que adicionado a 987 o transforma em um quadrado perfeito, temos: n = 104 n = 37 Resposta: A 36

37 Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 35 O número r pode ser escrito na forma r = a 1 a,a 3, sendo a 1 o algarismo das dezenas, a o algarismo das unidades e a 3 o algarismo dos décimos. Do enunciado, temos: ( ) ( ) 10a1+ a = 4a 3 I a = a1+ a 3 II Da equação ( ) II, vem a3 = a a1. Substituindo a3 = a a1 na equação( I ), temos: ( ) 10a + a = 4 a a 10a1+ a = 8a 4a1 14a1 = 7a a = a Como a é divisível por 3, então a = 0 ou a = 3 ou a = 6 ou a = 9. Se a = 0, então a1 = 0 (não convém). 3 Se a = 3, então a 1 = (não convém). Se a = 6, então a1 = 3. 9 Se a = 9, então a 1 = (não convém). Substituindo a = 6 e a 1=3 na equação( II ), vem: 6 = 3+ a a = Resposta: E 37