18 18 = Da igualdade acima, temos: k = k+ 4 Não apresenta solução. ou. Assim: k! = 7! = Resposta: D
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- Matheus Miranda Marreiro
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1 = k k+ 4 Da igualdade acima, temos: k = k+ 4 Não apresenta solução. ou k + k + 4 = 18 k = 7 Assim: k! = 7! = 5040 Resposta: D 1
2 = k k 4 Da igualdade acima, temos: k = k 4 não apresenta solução. ou k + k 4 = 14 k = 9 Resposta: D
3 = x 1 x + 1 Da igualdade acima, temos: x 1= x + 1 x = ou x 1+ x+ 1= 1 x = 4 S = {, 4} Resposta: C 3
4 04 Como os binomiais k+ 3 e k+ 5 são complementares, temos: 3+ 5 = k+ k = 6 Resposta: A 4
5
6 06 Pela Relação de Stifel: = = Resposta: B 6
7 07 n 1 n+ 1 = 4 Da igualdade acima, temos: ( n 1! ) ( n+ 1! ) =! ( n 3! ) 4! ( n 3! ) ( ) ( + ) ( ) n 1! n 1 n n 1! = = n + n n + n 1 = 0 Daí: n= 3 ou n= 4 (não convém) S = { 3} Resposta: {3} 7
8 08 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n= n= n= 5 3 n= 5 3 n= 8 Assim: 8 8! ! = = = ! 5! 3 1 5! 3 3 Resposta: D 8
9 09 a) Verdadeira. C7,3 = C7,4, pois 7 3 e 7 4 são binomiais complementares. b) Falsa. C + C = C + C, 5,3 4, 6, = = 1 (Absurdo!) c) Verdadeira. C6, + C6,3 = C7,3, pois ela satisfaz a Relação de Stifel. Observe: = = d) Verdadeira. C C C 6 6,0 + 6, ,6 = (propriedade observada no Triângulo de Pascal) e) Verdadeira. C0,0 + C1,0 + C,0 + + Cn,0 = n+ 1. Observe que essa soma é equivalente a: ( n + ) 1 vezes Resposta: B 9
10 10 Seja 56 a soma dos elementos da linha n do Triângulo de Pascal. n = 56 = n 8 n= 8 Resposta: A 10
11 11 m 1 Repare que e p 1 m 1 m 1 = = 10 p 1 m p m Repare, ainda, que e p m 1 são complementares, logo: m p m também são complementares, logo: m p m = 55 p Pela Relação de Stifel: Assim: m = 55 p m 1 = 45 p m 1 m 1 m + = p 1 p p Resposta: B 11
12 1 I. Verdadeira. 0 0 =, pois e 0 8 são complementares. II. Verdadeira = observada no Triângulo de Pascal) 0 (propriedade III. Verdadeira. + = = = (pela Relação de Stifel). Observe: Resposta: E 1
13 = a) ( x 3y) x ( 3y) x ( 3y) x ( 3y) ( ) ( ) x 3y + x 3y 3 4 ( ) ( ) x + 3y = 1 x 1+ 4 x 3y + 6 x 9y + 4 x 7y 1 81y x + 3y = x + 1x y + 54x y + 108xy + 81y = + = b) ( x ) x ( ) x ( ) x ( ) ( ) ( ) 3 3 ( x ) = 1 x 1+ 3 x ( ) + 3 x ( 8) ( ) x + x x = x 6x + 1x Respostas: a) b) x + 1x y + 54x y + 108xy + 81y 3 x 6x + 1x 8 13
14 14 A soma dos coeficientes do desenvolvimento de ( ) 5 tomando x = 1 e y = 1. Daí: x + y é obtida ( ) = 3 = 43 Resposta: C 14
15 15 A soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio ( x+ y) n é obtida tomando x = 1 e y = 1. Daí: ( ) n n 1+ 1 = Resposta: D 15
16 16 Como a soma dos coeficientes do desenvolvimento de ( x+ a) p é 51, temos x = 1 e a = 1, assim: ( ) p 1+ 1 = 51 = p 9 p = 9 Resposta: C 16
17 17 A soma dos coeficientes do desenvolvimento de ( ) 37 tomando x = 1 e y = 1. Daí: 14x 13y é obtida ( ) 37 = 1 Resposta: B 17
18 18 Pelo Triângulo de Pascal, o número de termos do desenvolvimento do binômio ( x+ a) n é dado pelo número de termos da linha n do triângulo, ou seja, n n n n n,,,,, n. Essa linha apresenta n+ 1 termos. Resposta: A 18
19 A soma dos coeficientes do desenvolvimento de ( x y) ( x y) obtida tomando x = 1 e y = 1. Daí: + é ( ) ( ) = 1 3 = 43 Resposta: E 19
20 0 A soma dos coeficientes do polinômio ( ) 50 x = 1. Daí: x + 3x 3 é obtida tomando ( ) = 1 = 1 Resposta: B 0
21 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( ) ( 10 ) Resposta: D 1
22 Para obter a soma dos coeficientes de ( x+ y) m, basta tomar x = 1 e y = 1. Daí: ( ) m 1+ 1 = 104 = m 10 m = 10 Assim: 10! ! A10, = = = 90 8! 8! Resposta: B
23 3 De x + 4x y + 6x y + 4xy + y = 16, temos: ( x + y) 4 = 16 Como x e y são positivos, x+ y =. Observe este sistema: x y = 1 x + y = Somando as equações membro a membro, temos: x = 3 3 x = Resposta: E 3
24 A soma é equivalente a: ( 1) + 1 ( 1) + 1 ( 1) ( ) + + ( ) = ( + ( )) = Resposta: C 4
25 5 10 k= 0 10 k= k k = k = ( 3+ ) = 5 k 10 k k Resposta: B 5
26 6 ( a+ ) 15 Observe que um termo qualquer desse binômio é dado por: a = a p p 15 p p p 15 p Como queremos o coeficiente de 15 p = 13 p = 13 a, temos: Daí, o coeficiente pedido é: Resposta: D 6
27 7 x + ( x ) 5 Observe que um termo qualquer desse binômio é dado por: 5 p 5 x ( x ) = x ( ) x p p 5 p 5 p 5 5+ p p x ( x ) = x ( ) p p 5 p 5 p 5 p 5+ p x ( x ) = ( ) x p p 5 p 5 p p p Como queremos o coeficiente de 5+ p = 8 p = 3 8 x, temos: Daí, o coeficiente pedido é: 5 ( ) 3 = 80 3 Resposta: A 7
28 8 ( x+ a) 5 Observe que um termo qualquer desse binômio é dado por: 5 5 x a = a x p p 5 p p p 5 p Como o coeficiente de 5 p = p = 3 x é 80, temos: 5 a 3 80 = a 80 = 3 a 8 a = = Resposta: E 8
29 9 O terceiro termo do desenvolvimento de ( a+ b) n, segundo potências decrescentes é dado por Do enunciado, vem: n = 5 n= 7 n a b n. O sexto termo é dado por: n a b 5 n 5 5 Como n= 7, temos: 7 a b = 1a b Resposta: C 9
30 30 + x x 8 Observe que um termo qualquer desse binômio é dado por: 8 p x 8 p p 8 p 8 p p x 8 p 8 p 8 p x 8 8 x p = x p x 8 8 x = x p x p p 8 p p 8+ p 8 8 x = x p x p p 8 p p 8 p O termo independente de x é obtido fazendo p 8 = 0, ou seja, p = 4. Daí: = = 4 A soma dos algarismos do número 110 é = 4. Resposta: B 30
31 31 ( α x+β y) 5 Observe que um termo qualquer desse binômio é dado por: 5 5 ( αx) ( β y) = α β x y p p 5 p p 5 p p 5 p p. Fazendo p = 1: 4 5α β= 40 4 α β= 48 Fazendo p = : 5 α β x y = 70x y αβ = 70 3 αβ = 7 Daí: 4 α β 3 = αβ α = β Resposta: E 31
32 3 O quarto termo do binômio ( ) 8 decrescente, é dado por: 8 8 = 3 3 ( ) kx y k x y kx + y, segundo as potências de expoente Daí: 8 k = k k = 3 k = = Resposta: A 3
33 33 O terceiro termo do binômio ( ) 1 expoentes decrescentes, é dado por: x + k, segundo as potências de ( x) k = ( ) x k = k x Daí: 1 10 k 66 = k 66 k = 1 = 10 Como k > 0, temos: 1 k = 5 1 k = 3 Resposta: E 33
34 34 O binômio ( ) 6 x+ 3 apresenta sete termos; logo, o termo central é o quarto. Organizando os termos segundo potências de expoentes decrescentes, temos: 6 3 x ( 3 ) = 0 x ( 7 ) = 540x Resposta: A 34
35 35 Um termo qualquer do binômio x + ( ) 5 5 ( x ) ( ) = ( ) x p p 5 p p p 10 p Tomando p = 1: 5 ( ) 1 = m 1 m = 10 Tomando p = 5: 5 ( ) 5 = n 5 n = 3 5 é dado por: Assim: m + n = 10 + ( 3) = 4 Resposta: D 35
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