setor 1102 Aula 20 PRINCÍPIOS BÁSICOS DA CONTAGEM 2 REVISÃO

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1 setor Aula 20 PRINCÍPIOS BÁSICOS DA CONTAGEM 1 PRINCÍPIOS BÁSICOS DA CONTAGEM Seja, por exemplo, uma lanchonete que vende três tipos de refrigerantes e dois tipos de cerveja. Pergunta-se: a) Quantas são as opções para quem escolher uma bebida? b) Quantas são as opções para quem quer tomar um refrigerante e depois uma cerveja? Vamos então indicar o conjunto dos tipos de refrigerantes por R = {r 1, r 2, r } e dos tipos de cervejas por C = {c 1, c 2 } Então: a) Escolher uma bebida significa tomar um elemento de R de C; logo existem opções. b) As duas bebidas estarão escolhidas citando um par de elementos, sendo o primeiro do conjunto R e o segundo do conjunto C. Assim: C R c 1 c 2 r 1 (r 1, c 1 ) (r 1, c 2 ) r 2 (r 2, c 1 ) (r 2, c 2 ) r (r, c 1 ) (r, c 2 ) Logo, existem 6 opções. Generalizando: Sendo A um conjunto com n elementos e B um conjunto com k elementos, com A e B disjuntos, valem os seguintes princípios: Aditivos: Para a escolha de um elemento de A de um elemento de B existem m + k possibilidades. Multiplicativo: Para a escolha de um elemento de A e um elemento de B numa certa ordem, existem m k possibilidades. 2 REVISÃO SISTEMA DECIMAL a) O sistema de numeração decimal utiliza os algarismos: 0, 1, 2,, 4,, 6, 7, 8, 9. b) Os algarismos pares são: 0, 2, 4, 6, 8 c) Os algarismos ímpares são: 1,,, 7, 9 d) Considerando, por exemplo, o número 74682, temos: unidade dezenas centenas unidades de milhar dezenas de milhar centenas de milhar unidades de milhão Observação: O número 482 tem algarismos, enquanto o número 08 tem 2 algarismos. DIVISIBILIDADE Um número é divisível por a) 2 quando é par, seja quando termina com algarismo par. Exemplos: 74 e 90 b) quando a soma dos seus algarismos é divisível por. Exemplo: 28, pois: = 1 (1 é divisível por ) c) 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplos: 100 e 24 divisível por 4 d) quando termina com zero. Exemplos: 70 e 84 e) 6 quando é divisível por 2 e. Exemplo: 28 f) por 10 quando termina com zero. Exemplo: 280 ALFA ANGLO VESTIBULARES

2 NÚMERO PRIMO Um número natural p é primo se, e somente se, ele possui dois, e apenas dois divisores distintos: 1 e p. Exemplos: 2,,, 7, 11 e 1 Nota: o número 1 não é primo. 1. Se uma sala tem portas, qual o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair dela por uma porta diferente? entrar e sair 4 = 20 modos 4. Quantos são os números naturais de três algarismos distintos que existem no nosso sistema de numeração? a) 648 b) 900 c) 720 d) 729 e) = Uma placa de automóvel é formada por letras e 4 algarismos. Quantas placas podem ser formadas com as letras A, B e C, de modo que tenham as letras distintas? a) b) c) 4000 d) e) = Quantos são os números naturais de três algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2,, 4,, 6, 7, 8 e 9? a) 729 b) 04 c) 12 d) 6 e) = 04 Leia os itens 1 a 4, cap. 9. Leia os exemplos 1 a 7, cap. 9. Resolva os exercícios 1 a 4, série 7. Resolva os exercícios a 7, série 7. ALFA ANGLO VESTIBULARES

3 Aula 21 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM 1. Quantos números naturais se pode escrever com os algarismos ímpares sem os repetir, que estejam compreendidos entre 200 e 100? a) 48 b) 60 c) 4 d) 26 e) 42 Algarismos ímpares: 1,,, 7 e 9 Devemos ter: números de algarismos distintos maiores que 200. números de 4 algarismos distintos menores que 100. Assim: = Quantos números naturais maiores que 000, pares e de 4 algarismos distintos, podem ser formados com os algarismos 1, 2,, 4 e? a) 1 b) 18 c) 0 d) 2 e) 6 Temos restrição na 1ª- e na 4ª- casa. Fixando na 4ª-, temos: 4 Assim, = = = = 6 Assim, = 4. Resolva os exercícios 8 a 11, série 7. Resolva os exercícios 12 a 14, série 7. ALFA ANGLO VESTIBULARES

4 Aula 22 FATORIAL FÓRMULA DOS ARRANJOS SIMPLES 1. FATORIAL DEFINIÇÕES D 1 ) Sendo n IN, n 2: n! = n (n 1) (n 2) (lê-se ene fatorial) D 2 ) 1! = 1 D ) 0! = 1 Exemplos:! = 2 1 = 6 4! = = Sendo n 1 e inteiro, assinale verdadeiro (V) falso (F): a) ( F ) n! + n! = (2n)! b) ( V ) n! + n! = 2n! c) ( V ) n! = n (n 1)! d) ( V ) (n + 1)! = (n + 1) n! e) ( V ) (n + 1)! = (n + 1) n (n 1)! Entre a e b, temos: n! + n! = n! (1 + 1) = 2 n! Conseqüência: n! = n (n 1)!, n 1 Assim: 4! = 4! 2. ARRANJOS SIMPLES DEFINIÇÃO Seja I = {a 1, a 2, a,..., a n } um conjunto com n elementos (n IN). Chama-se arranjo simples dos n elementos de I, tomados p a p, a qualquer seqüência de p elementos distintos escolhidos entre os elementos de I. Indica-se o nº desses arranjos por A n, p. Exemplo: Sendo I = {1, 2, }, temos os seguintes arranjos dos elementos de I, também 2 a 2: (1, 2), (2, 1), (1, ), (, 1), (2, ), (, 2) seis arranjos Assim temos: A, 2 = 6 Como os agrupamentos são seqüências eles diferem entre si: pela ordem dentro do agrupamento: (1, 2) (2, 1) pelos elementos componentes: (1, 2) (1, ) A quantidade de arranjos simples é: A n! n, p= ( n p)! 0! + 1! 2. Simplificando E =, obtemos: 0! a) 0 b) 1 c) 2 d) 1 e) 2 E = 0! + 1 0! 0! 0! (1 + 1) E = 0! E = 2. O produto é igual a: a) 20 10! 20! b) 2 c) ! 20! d) 10 e) 20! 10! P = (2 1) (2 2) (2 )... (2 10) P = 2 10 ( ) P = ! ALFA ANGLO VESTIBULARES

5 4. Resolver a equação A x, = A x, 2. x! (x )! (x 2)! (x )! = x! (x 2)! = (x 2) (x )! (x )! = x = S = {} Outro modo: x (x 1)(x 2) = x (x 1) x = (convém) S = {} Leia os itens 1, 2 e, cap. 10. Leia os exemplos 1 a 4, cap. 10. Resolva os exercícios 1 a, série 8. Resolva os exercícios 6 a 10, série 8. ALFA ANGLO VESTIBULARES