Sistemas Numéricos - Aritmética. Conversão de Bases. Prof. Celso Candido ADS / REDES / ENGENHARIA

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1 Conversão de Bases 1

2 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Desde os primórdios da civilização o homem adota formas e métodos específicos para representar números, para contar objetos e efetuar operações aritméticas. Sistemas de numeração Egípcio 2

3 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Os Sistema de Numeração representam os números de uma forma consistente, dando a cada número uma representação única, refletindo suas estruturas algébricas e aritméticas. O ábaco é uma moldura retangular com fileiras de arame, cada fileira representa uma classe decimal diferente, nas quais correm pequenas bolas. 3

4 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL O SISTEMA DE NUMERAÇÃO É FORMADO POR UM CONJUNTO DE SÍMBOLOS UTILIZADOS PARA REPRESENTAR QUANTIDADES E AS REGRAS QUE DEFINEM A FORMA DE SUAS REPRESENTAÇÕES. 4

5 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL A formação dos números e as operações efetuadas com eles dependem, nos sistemas posicionais e da quantidade de algarismos diferentes disponíveis no referido sistema. Na cultura ocidental é usado um sistema de numeração que possui dez diferentes algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, chamado de Sistema Decimal, conhecido em informática como base 10 ou b 10, onde cada número é representado pela letra N ou n e possui um valor dependendo de sua posição. Para encontramos esses valores, usamos a fórmula N = n x b n. Para uma determinada base b, usamos n dígitos, representado por b n (b elevado a n) para combinações distintas ou b n (b base n) para números distintos. Dessa forma para uma base decimal contendo três dígitos podemos representar até 1000 números distintos, sempre incluindo o zero (0) como ponto de contagem inicial. 5

6 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL - Definição A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base: Sistema Decimal ou 10 Algarismos chamamos de base 10 ou b 10 ; Sistema Binário ou 2 Algarismos chamamos de base 2 ou b 2 ; Sistema Octal ou 8 Algarismos chamamos de base 8 ou b 8, e assim por diante. 6

7 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Exemplo de cálculo com o decimal 2459, onde: No sentido da direita para esquerda temos nosso digito inicial, 9, representando a quantidade de unidades, e se encontra na posição decimal zero (0) ou 10 0 ; O próximo digito, 5, representa as dezenas, e se encontra na posição decimal um (1) ou 10 1 ; O dígito, 4, representa as centenas, e se encontra na posição decimal dois (2) ou 10 2 ; O dígito,2, representando os milhares, e se encontra na posição decimal três (3) ou

8 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Então temos: 2459 = 2 x x x x 10 0 Vejamos um exemplo de cálculo usando a fórmula N = n x b n, seguindo o sentido de cálculo da esquerda para direita, para o número N = 5 x x x x x 10 0 = N = 5 x x x x x 1 = N = = N =

9 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Para entendermos melhor o que é um Sistema Posicional, vamos considerar um exemplo um pouco mais detalhado com número Vejamos algumas de suas propriedades importantes: A base 10 ou b 10, apenas indica que se trata de um decimal; O valor do primeiro algarismo 4 é diferente do último algarismo que também é 4; O primeiro nos indica 4 mil e o último indica 4 unidades; O mesmo acontece com o algarismo 6; O primeiro indica 6 centenas, enquanto o segundo indica 6 dezenas. 9

10 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Pelo que já vimos, podemos afirmar que em um Sistema Posicional um mesmo símbolo pode assumir valores diferentes dependendo de sua posição. Então, para sabermos o valor de qualquer número que esteja usando o Sistema Posicional, precisamos conhecer o valor da posição ou posicional de cada símbolo. 10

11 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL - Exemplo Em um sistema qualquer de numeração posicional, teremos um número N onde poderá ser expresso da seguinte forma: N = (d n 1 d n 2 d n 3... d 1 d 0 ) b Onde: N a resultante do cálculo; d indica cada algarismo do número; n 1, n 2, n 3,...,1, 0 (índice) indicam a posição de cada algarismo; b indica a base; n indica o número de dígitos inteiros, para nosso exemplo serão 4 dígitos. 11

12 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Exemplo O valor posicional de pode ser obtido da seguinte somatória: N = d n-1 x b n-1 + d n-2 x b n d 1 x b 1 + d 0 x b 0 A LEITURA É FEITA DA ESQUERDA PARA DIREITA Desse modo em base 10, podemos representar o decimal da seguinte forma: N = , onde: n = 4 (quantidade de dígitos inteiros). Substituindo n na equação d n-1 da fórmula acima teremos: d n-1 = 4 1 = 3 ou d 3 Quarto dígito ou número 4. d n-2 = 4 2 = 2 ou d 2 Terceiro dígito ou número 6. d n-3 = 4 3 = 1 ou d 1 Segundo dígito ou número 6. d n-4 = 4 4 = 0 ou d 0 Primeiro dígito ou número d 3 d2 d 1 d0 12

13 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Exemplo Substituindo n na equação b n-1 da fórmula do slide anterior teremos: b n-1 = 4 1 = 3 ou b b n-2 = 4 2 = 2 ou b b n-3 = 4 3 = 1 ou b b n-1 = 4 4 = 0 ou b Aplicando-se a fórmula N = d n-1 x b n-1 + d n-2 x b n d 1 x b 1 + d 0 x b 0, teremos: N = 4 x x x x 10 0 = = = = => Lê se Quatro mil, seiscentos e sessenta e quatro na base dez. Resultado Sistema Decimal 13

14 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL - Fórmula do Professor Para calcular o valor de um determinado símbolo que esteja representado através do Sistema Posicional, iremos aplicar a fórmula de Valor Posicional V = S * b n-1, onde: V = Valor posicional do símbolo. Exemplo: o valor posicional do símbolo 4 no número decimal 345 é 40. S = Valor absoluto do símbolo. Exemplo: o valor do símbolo 4 no sistema posional é o número decimal é 4 ou b = Base do sistema numérico. É a quantidade de símbolos que dispomos para escrever os números. Exemplos: o No sistema decimal temos 10 símbolos (de zero a nove), portanto a base 10. o No sistema binário temos 2 símbolos (zero e um), portanto a base 2. n-1 = É a posição em que o símbolo se encontra. Seu resultado indicará qual potência será elevado o número. Esta posição é definida da direita para esquerda e inicia em zero. 14

15 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Exemplos para o cálculo n-1 no decimal (345) 10 : o Ordem de leitura, da direita para a esquerda. o A posição n do símbolo 5 no número 345 é 1, assim temos: n-1 = 1 1 = 0 ou potência 0. o A posição n do símbolo 4 no número 345 é 2 com potência 1, assim temos: n-1 = 2 1 = 1 ou potência 1. o A posição do símbolo 3 no número 345 é 2 com potência 2, assim temos: n-1 = 3 1 = 2 ou potência 2. FÓRMULA V = S * b n-1 Posição b n Símbolos S

16 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Conhecendo a fórmula basta calcular o valor posicional de cada símbolo do número dado e então somar os valores encontrados. Exemplo, vamos considerar novamente o número decimal (5613) 10. Posição b n Símbolos S Valor Posicional V V= 5 * (10 3 ) V= 5 * 1000 V= 5000 V= 6 * (10 2 ) V= 6 * 100 V= 600 V= 1 * (10 1 ) V= 1 * 10 V= 10 Somando os valores encontrados temos: = (5613) 10. V= 3 * (10 0 ) V= 3 * 1 V= 3 Acredito que nunca precisaremos fazer todos estes cálculos para concluir que o número decimal (5613) 10 vale (5613) 10. Mas este é apenas um exemplo didático para demonstrar a aplicação da fórmula do Valor Posicional. 16

17 BASE BINÁRIA Sistemas Numéricos - Aritmética Base binária ou base 2 é a forma mais comum para representar números e caracteres nos computadores, formadas apenas por 0s e 1s, que correspondem aos sinais elétricos de ligado e desligado. Em base 2, os algarismos com representação numérica binária recebem o nome de bit, da abreviatura Binary Digit. Outras denominações usadas com frequência são: byte = conjunto de 8 bits; nibble = conjunto de quatro bits ou meio byte. O Sistema Binário resolve o problema de leitura dos computadores, e para os humanos o Sistema Decimal continua sendo o preferido. Para que um entenda o outro precisamos saber como converter números decimais para binários e vice-versa. 17

18 BASE BINÁRIA CONVERÇÃO Exemplos De binário para decimal: (10011) 2 = = 1 x x x x x 2 0 = = 1 x x x x x 1 = = = =

19 BASE BINÁRIA CONVERÇÃO Exemplos Para a conversão de binário para decimal precisamos calcular o valor posicional de cada símbolo do número fornecido, usaremos a fórmula de valor posicional: V = S * b n-1, onde: V = Valor posicional do símbolo; S = Valor absoluto do símbolo; b = Base do sistema numérico. Base 2 para nosso exemplo; n-1 = É a posição em que o símbolo se encontra. Para nosso exemplo, usaremos do número (100101) 2 = (37) 10 : Posição b n Símbolos S Valor Posicional V V= 1 * (2 5 ) V= 1 * 32 V= 32 V= 0 * (2 4 ) V= 0 * 16 V= 0 V= 0 * (2 3 ) V= 0 * 8 V= 0 V= 1 * (2 2 ) V= 1 * 4 V= 4 V= 0 * (2 1 ) V= 0 * 2 V= 0 V= 1 * (2 0 ) V= 1 * 1 V= 1 Somando os valores dos dígitos ( ) teremos o total 37, ou seja, a representação decimal do binário

20 BASE BINÁRIA CONVERÇÃO Exemplos Passos para converter o decimal (37) 10 em binário: Estes passos são, na verdade, divisões sucessivas do número a ser calculado por 2 (base do sistema binário), até que tenhamos um quociente zero. Vejamos o exemplo abaixo: Dividendo Divisor Quociente Resto Como ler: A leitura do binário é feita de baixo para cima Para obtermos a representação binária, tomamos os restos das divisões na ordem inversa. Para o caso anterior temos (100101) 2, que é a representação binária do número (37)

21 BASES Sistema de numeração com representação em base 8, utiliza 8 símbolos decimais para a sua representação: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Forma compacta de representar valores binários no sistema decimal para números de base 2 muito extensos. Utilizando-se a equação da Notação Posicional exemplificado no slide 12, 13 e 14, "N = (d n 1 d n 2 d n 3... d 1 d 0 ) b " e "N = d n-1 x b n-1 + d n-2 x b n d 1 x b 1 + d 0 x b 0 ", representaremos os números dos exemplos abaixo com suas respectivas bases: Exemplo 01 na base 2: (1011) 2 Exemplo 02 na base: (1043) 5 Exemplo 03 na base (257) 8 21

22 BASE DOIS - Exemplo Sistemas Numéricos - Aritmética Para o número na base 2: (1011) 2, usaremos a fórmula "N = (d n-1 x b n-1 + d n-2 x b n d 1 x b 1 + d 0 x b 0 ) b ", onde teríamos: N = 1 x x x x 2 0 = N = = (11) 10 N = (11) 10, onde o valor 11 está expresso na base 10 e não na base 2. 22

23 BASE CINCO Exemplo Sistemas Numéricos - Aritmética Para o número na base 5: (1043) 5, teríamos: N = 1 x x x x 5 0 = N = = (148) 10, onde N = (148) 10 23

24 BASE OCTAL Exemplo Sistemas Numéricos - Aritmética Para o número na base 8: (257) 8, teríamos: N = 2 x x x 8 0 = N = = (175) 10, onde N = (175) 10 24

25 BASE HEXADECIMAL 25

26 BASE HEXADECIMAL Já em bases com valores superiores a 10 dígitos, usamos letras do alfabeto para sua representação, chamada de base 16 ou hexadecimal. 0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Nessa base, os algarismos A, B, C, D, E, F representam o valore, onde: A = 10, B = 11, C =12, D =13, E = 14, F =15. Exemplo: (10AC) 16, onde A = 10 e C = 12 N = 1 * * * * 16 0 = N = 1 * * * * 1 = N = = N =

27 BASE HEXADECIMAL Tabela de Representação Usando a tabela ao lado, podemos fazer comparações ao observarmos que os dígitos octais (base 8) e hexadecimais (base 16) para 2 e 3 em vermelho correspondem a combinações em 0010 e 0011 em bits, base 2 ou Binários. OBS.: Zeros a esquerda do último bit, deverá ser desprezado, para efeito de cálculo. Base 2 Base 5 Base 8 Base 10 Base A B C D E F 27

28 BASE HEXADECIMAL Exemplo Usando Tabela Por exemplo, o número (3037) 10 é igual a ( ) 2, possui 12 bits, mas pode ser representado com quatro (4) algarismos octais ou com apenas três (3) algarismos hexadecimais. 1) Octal de 000 (0) até 111 (7): ( ) 2 = (5735) 8, porque ao dividirmos o binário em 4 partes, temos: 101 = 5; 111 = 7; 011 = 3; 101 = 5, onde teremos um octal de valor (5735) Hexadecimal de 0000 (0) até 1111 (F): ( ) 2 = (BDD) 16, porque ao dividirmos o binário em 3 partes, temos: 1011 = B; 1101 = D; 1101 = D, onde teremos um hexa de valor (BDD)

29 BASE HEXADECIMAL Exemplo Sem usar Tabela Para a conversão de números decimais em hexadecimal, precisamos saber que o sistema hexadecimal dispõe de 16 símbolos, de 0 (zero) até F. Vamos aplicar a mesma técnica para a conversão hexadecimal que utilizamos na conversão decimal / binário. A única diferença é que estaremos dividindo por 16 em vez de 2. Exemplo: Conversão de (23870) 10 para hexadecimal: Dividendo Divisor Quociente Resto Como ler: A leitura é feita de baixo para cima. Tomando-se os restos na ordem inversa e seus respectivos símbolos, temos: Resto Símbolo 5 D 3 E Assim concluímos que o número (23870) 10 convertido para hexadecimal é: (5D3E)

30 Sistema Hexadecimal Conversão para Decimal sem Tabela O sistema hexadecimal também é considerado como posicional, então só precisamos aplicar a fórmula do valor posicional a cada símbolo e somar os resultados obtidos. No exemplo abaixo converteremos o número hexadecimal (5C3FA) 16 para decimal: Posição b n Símbolos S Em Hexadecimal 5 C 3 F A Símbolos S Em Decimal Valor Posicional V V= 5 * (16 4 ) V= 5 * V= V= 12 * (16 3 ) V= 12 * 4096 V= Somando-se os valores posicionais encontrados, temos: V= 3 * (16 2 ) V= 3 * 256 V= = (377850) 10 V= 15 * (16 1 ) V= 15 * 16 V= 240 Portanto o número hexadecimal (5C3FA) 16 convertido para decimal é: (377850) 10. V= 10 * (16 0 ) V= 10 * 1 V= 10 30

31 Sistema Hexadecimal Conversão de Octal com a Tabela Para o processo de conversão de base 8 para base 16, levamos em conta que qualquer processo de transformação de base usa como referência a base 2 (binária), então: Etapa 01: transformamos a base 8 para base 2 usando a tabela de conversão apresentada; Etapa 02: transformamos o resultada da base 2 (binária) para base 16 Hexadecimal. Exemplo de transformação do octal (37421) 8 em base 16: Etapa 01 Na transformação para binário a leitura é feita da esquerda para direita usando a tabela, então: 3 = 011 ( ) 2 = 15 algarismo - INCORRETO 7 = = = = 001 ( ) 2 Não podemos trabalhar usando a tabela para transformação em HEXA com soma de algarismos ímpares, então completamos com zeros (0) a esquerda até termos soma de algarismos pares, onde teremos o binário: ( ) 2 Zero acrescentado a esquerda do algarismo. 31

32 Sistema Hexadecimal Convertendo de Octal para Hexa Etapa 02 Resultado obtido na etapa 01 foi ( ) 2, onde faremos: 1. Dividimos o binário em um total de 4 partes, pois temos 16 algarismos e a transformação para hexadecimal pede que trabalhemos com quatro algarismos por vez, de 0000 até 1111, onde teremos: Consultando a tabela de transformação obtemos os seguintes valores: a) 0011 = 3 b) 1111 = F c) 0001 = 1 d) 0001 = 1 Portanto, fazendo a leitura de a para d nosso número hexadecimal será: (3F11) 16 32

33 Aulas de Apoio Sistemas Numéricos - Aritmética Estarão disponibilizadas nos descritos a baixo para downloads os arquivos nos formatos: PowerPoints ou Word das aulas. Alguns estarão disponíveis para impressão, outros, somente para leitura, mas não para edição. Em alguns casos em que se fizer necessário a impressão, o professor estará liberando para um melhor desenvolvimento dos trabalhos a ser solicitados. Sites do professor: Contato: celso.candido@estacio.br 33

34 FIM 34

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