Um sistema de numeração posicional utiliza um conjunto de símbolos. O valor que cada

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1 APÊNDICE B Sistema de Numeração Posicional Um sistema de numeração posicional utiliza um conjunto de símbolos O valor que cada símbolo representa, no entanto, depende do seu valor nominal e do valor posicional, o valor associado com a posição que o símbolo ocupa no número Em outras palavras, temos o seguinte: Valor do símbolo = Valor nominal Valor posicional Valor numérico = Soma dos valores dos símbolos Neste apêndice, discutimos apenas números inteiros, números sem parte fracionária; a discussão sobre números reais, números que têm parte fracionária, é similar B1 DIFERENTES SISTEMAS Primeiro mostramos como números inteiros podem ser representados em quatro diferentes sistemas: base 10, base 2, base 16 e base 256 B11 Base 10: decimal O primeiro sistema posicional que discutimos é o chamado sistema decimal O termo decimal é derivado da raiz latina decem (que significa dez) O sistema decimal usa 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) com os mesmos valores nominais dos símbolos Os valores posicionais no sistema de numeração decimal são potências de 10 A Figura B1 mostra os valores posicionais e os valores dos símbolos no número inteiro Valores dos símbolos Valor numérico Figura B1 Um exemplo de um número decimal O sistema decimal usa 10 símbolos cujos valores posicionais são potências de 10 B12 Base 2: binária O segundo sistema posicional que discutimos é o chamado sistema binário O termo binário é derivado da raiz latina bi (que significa dois a dois) O sistema binário usa dois símbolos (0 e 1) 1

2 2 Apêndice B Sistema de numeração posicional com os mesmos valores nominais dos símbolos Os valores posicionais no sistema de numeração binário são potências de 2 A Figura B2 mostra os valores posicionais e os valores dos símbolos no número binário (1101) 2 Perceba que colocamos um 2 em subscrito para mostrar que o número encontra-se em binário Valores dos símbolos (em decimal) Valor numérico (em decimal) Figura B2 Um exemplo de um número binário O sistema binário usa dois símbolos cujos valores posicionais são potências de 2 B13 Base 16: hexadecimal O terceiro sistema posicional discutido é o chamado sistema hexadecimal O termo hexadecimal é derivado da raiz grega hex (que significa 6) e da raiz latina decem (que significa 10) O sistema hexadecimal usa 16 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F) O valor nominal dos primeiros dez símbolos equivale aos próprios símbolos, enquanto os valores nominais dos símbolos A a F equivalem a 10 a 15, respectivamente Os valores posicionais no sistema de numeração hexadecimal são potências de 16 A Figura B3 mostra os valores posicionais e os valores dos símbolos no número hexadecimal (A20E) 16 Perceba que colocamos um 16 em subscrito para mostrar que o número encontra-se em hexadecimal A 2 0 E Valores dos símbolos (em decimal) Valor numérico (em decimal) Figura B3 Um exemplo de um número hexadecimal O sistema hexadecimal usa 16 símbolos cujos valores posicionais são potências de 16 B14 Base 256: notação decimal com pontos O quarto sistema posicional que discutimos é o base 256, que é denominado notação decimal com pontos Esse sistema é usado para representar endereços IPv4 Os valores posicionais nele são potências de 256 Entretanto, como usar 256 símbolos é praticamente impossível, os símbolos nesse sistema são números decimais entre 0 e 255, que apresentam o mesmo valor nominal que os símbolos Para separar os números uns dos outros, o sistema utiliza um caractere de ponto, conforme discutido no Capítulo 4 A Figura B4 mostra os valores posicionais e os valores dos símbolos do endereço ( ) Perceba que nunca usamos mais de quatro símbolos em um endereço IPv4

3 Apêndice B Sistema de numeração posicional Valores dos símbolos (em decimal) Valor numérico (em decimal) Figura B4 Um exemplo de um número em notação decimal com pontos A notação decimal com pontos usa números decimais (0 a 255) como símbolos, mas insere um ponto entre cada símbolo B15 Comparação A Tabela B1 mostra como três sistemas diferentes representam os números decimais de 0 a 15 Por exemplo, o número 13 em decimal é equivalente ao binário (1101) 2, que é equivalente ao hexadecimal D Tabela B1 Comparação dos três sistemas de numeração Decimal Binário Hexadecimal Decimal Binário Hexadecimal A B C D E F B2 CONVERSÃO Precisamos saber como converter um número em um sistema para o número equivalente em outro sistema B21 Conversão de qualquer base para decimal As Figuras B2 a B4, na verdade, mostram como podemos converter manualmente um número em qualquer base para decimal No entanto, é mais fácil utilizar o algoritmo mostrado na Figura B5 O algoritmo usa o fato de que o próximo valor posicional é o valor anterior multiplicado pela base (2, 16 ou 256) O algoritmo é genérico, podendo ser usado para converter uma cadeia de símbolos em uma certa base para um número decimal A única parte do algoritmo que é diferente para cada base refere-se a extrair o próximo símbolo da cadeia e determinar seu valor

4 4 Apêndice B Sistema de numeração posicional Cadeia de símbolos e base fornecidas VP: Valor Posicional VN: Valor Nominal VS: Valor do Símbolo Decimal = 0 VP = 1 VP = VP base Decimal = Decimal + VS VS = VN VP Extrair valor nominal do próximo símbolo [Sim] [Não] Mais símbolos na cadeia Responde com o valor decimal Figura B5 Algoritmo para conversão de qualquer base para decimal nominal No caso da base 2, isto é simples; o valor nominal pode ser determinado transformando o símbolo em um valor numérico No caso da base 16, precisamos considerar o fato de que o valor nominal do símbolo A é 10, que o valor nominal do símbolo B é 11, e assim por diante No caso da base 256, precisamos extrair cada cadeia de caracteres delimitada por pontos e transformá-la em seu valor numérico A execução manual do algoritmo anterior para números pequenos pode ser mostrada em alguns exemplos: Exemplo B1 Mostre o equivalente decimal ao número binário ( ) 2 Executamos o algoritmo conforme mostrado a seguir Valores nominais Valores dos símbolos Decimal = 0 O valor decimal é inicializado em 0 Quando o laço termina, o valor decimal é 231 Exemplo B2 Mostrar o equivalente decimal ao endereço IPv Executamos o algoritmo conforme mostrado a seguir

5 Apêndice B Sistema de numeração posicional Valores nominais Valores dos símbolos Decimal = 0 O valor decimal é inicializado em 0 Quando o laço termina, o valor decimal é B22 Conversão de decimal para uma base qualquer A conversão de um valor decimal para qualquer base pode ser feita se dividirmos repetidamente o número decimal pela base para determinar o resto e o quociente O resto corresponde ao valor nominal do próximo símbolo; o quociente é o valor decimal a ser usado na iteração seguinte Assim como no caso da conversão inversa, precisamos de um algoritmo separado para transformar o valor nominal de um símbolo, da base correspondente, no símbolo de fato e inseri-lo na cadeia de símbolos que representa o número convertido (Figura B6) VN: Valor nacional do símbolo %: Operador de resto /: Operador de quociente Cria uma cadeia vazia Valor decimal e base fornecidos Converte VN no símbolo e o insere na cadeia decimal = decimal / base VN = decimal % base [Não] [Sim] Decimal é zero? Responde com a cadeia Figura B6 Conversão de decimal para uma base qualquer Podemos mostrar como executar manualmente o algoritmo em alguns exemplos: Exemplo B3 Converta o número decimal 25 em seu equivalente binário Dividimos repetidamente o valor decimal por 2 (a base do sistema binário), até que o quociente torne-se 0 Em cada divisão, interpretamos o valor do resto como o próximo símbolo a ser inserido na cadeia binária A seta para baixo mostra o resto; a seta para a esquerda mostra o quociente Quando o valor decimal chega a 0, paramos a execução O resultado é a cadeia binária (11001) Decimal Binário

6 6 Apêndice B Sistema de numeração posicional Exemplo B4 Converta o número decimal em seu equivalente hexadecimal Dividimos repetidamente o valor decimal por 16 (a base do sistema hexadecimal), até que o quociente torne-se 0 Em cada divisão, interpretamos o valor do resto como o próximo símbolo a ser inserido na cadeia hexadecimal O resultado é a cadeia hexadecimal (53B8) Decimal 5 3 B 8 Hexadecimal Exemplo B5 Converta o número decimal em seu equivalente na base 256 (endereço IPv4) Dividimos repetidamente o valor decimal por 256 (a base), até que o quociente torne-se 0 Em cada divisão, interpretamos o valor do resto como o próximo símbolo a ser inserido na cadeia hexadecimal Também inserimos pontos conforme necessário na notação decimal com pontos O resultado é o endereço IPv Decimal Endereço IPv4 B23 Outras conversões A conversão de um sistema não decimal para outro sistema não decimal é frequentemente mais fácil Podemos converter facilmente um número em binário para hexadecimal por meio da conversão de um grupo de 4 bits em um dígito hexadecimal Podemos também fazer o contrário: converter um dígito hexadecimal em um grupo de 4 bits Fornecemos alguns exemplos para mostrar o processo Exemplo B6 Converta o número binário ( ) 2 para seu equivalente em hexadecimal Criamos grupos de 4 bits a partir da direita Em seguida, substituímos cada grupo por seu dígito hexadecimal equivalente Perceba que precisamos adicionar dois 0s extra no último grupo

7 Apêndice B Sistema de numeração posicional Binário 2 7 D Hexadecimal O resultado é (27D) 16 Exemplo B7 Converta o número hexadecimal (3A2B) 16 em seu equivalente em binário Transformamos cada dígito hexadecimal em seu equivalente binário de 4 bits 3 A 2 B Hexadecimal Binário O resultado é ( ) 2 Exemplo B8 Converta o endereço IPv em seu formato binário Substituímos cada símbolo em seu equivalente binário de 8 bits Endereço IPv Binário O resultado é ( ) 2