Arquitetura e Organização de Computadores. Sistemas Numéricos

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1 Arquitetura e Organização de Computadores Sistemas Numéricos 1

2 A Notação Posicional Todos os sistemas numéricos usados são posicionais. Exemplo 1 (sistema decimal): 1999 = 1 x x x x = 1 x x x x 10 0 Exemplo 2 (também sistema decimal): = 1 x x x x

3 Sistema Decimal O formato genérico de um número no sistema decimal é: Parte inteira Ponto decimal Parte fracionária D = d m-1 d m-2...d 2 d 1 d 0. d -1 d -2 d -n = d m-1 10 m-1 + d m-2 10 m d d d d d d -n 10 -n = m-1 i=-n di 10 i Onde 10 é a base do sistema 3

4 Sistema Posicional Genérico (base = r) Parte inteira Ponto Parte fracionária D = d m-1 d m-2...d 2 d 1 d 0. d -1 d -2 d -n = d m-1 r m-1 + d m-2 r m d 2 r 2 + d 1 r 1 + d 0 r 0 + d -1 r -1 + d -2 r d -n r -n = m-1 di r i i=-n 4

5 Sistema Binário (base r=2) Parte inteira Ponto binário Parte fracionária D = b m-1 b m-2 b 2 b 1 b 0. b -1 b -2 b -n = b m-1 x 2 m-1 + b m-2 x 2 m b 2 x b 1 x b 0 x b -1 x b -2 x b -n x 2 -n = m-1 i=-n di 2 i 5

6 Números Octais e Hexadecimais Além dos sistemas decimal e binário, dois sistemas são de grande relevância: octal -base 8 hexadecimal - base 16 6

7 Números em Binário,, Octal, Decimal e Hexa Binário Octal Decimal Hexa A B C D E F 7

8 Codificação Binária de Octal, Decimal e Hexa Binário Octal codificado em binário Decimal codificado em binário Hexadecimal codificado em binário

9 Conversão Binário,, Octal e Hexa Conversão (direta) de binário para octal e hexadecimal = = = = 29C 16 Conversão (direta) de octal e hexadecimal para binário = FED 16 =

10 Conversão de Base r para Decimal D = m-1 di r i i=-n 12EF 16 = = =

11 Conversão de Decimal para Base =? / 2 = 89 resto 1 (dígito menos significativo) 89 / 2 = 44 resto 1 44 / 2 = 22 resto 0 22 / 2 = 11 resto 0 11 / 2 = 5 resto 1 5 / 2 = 2 resto 1 2 / 2 = 1 resto 0 1 / 2 = 0 resto 1 (dígito mais significativo) =

12 Soma de Números Binários Soma de números binários é semelhante a soma de números decimais Tabela da Soma: Vem um (carry in) x i + y i + c i s i c i Resultado da soma de x e y Vai um (carry out) 12

13 Exemplo de Soma Binária Exemplo: =? Aritmética decimal 11 vai-um Aritmética binária c x y x + y S 9 S 8 S 7 S 6 S 5 S 4 S 3 S 2 S 1 S 0 13

14 Subtração de Números Binários A subtração de números binários também é semelhante a subtração de números decimais Tabela da Subtração: x i - y i - b i d i b i

15 Exemplo de Subtração Binária Exemplo: =? Aritmética decimal Aritmética binária x y Borrows x - y D 9 D 8 D 7 D 6 D 5 D 4 D 3 D 2 D 1 d 0 15

16 Representação em sinal-magnitude Exemplos: +9 e -9 representados com 8 bits sinal magnitude +9 = = o sinal é representado pelo dígito mais significativo (i.e., o mais da esquerda):

17 Representação em complementos Criada para simplificar a operação de subtração e as manipulações lógicas Existem 2 tipos de complementos para um sistema de base r: complemento de r complemento de r-1 17

18 Complemento de r-1 Seja um número N na base r, representado com n dígitos o complemento de (r-1) de N é dado por: (r n -1) -N 18

19 Complemento de r-1 Para números binários: r = 2 (r-1) = 1 logo, o complemento de 1 de N será (2 n -1) -N Exemplos: encontrar o complemento de 1 dos seguintes números binários (=23 10 ) (2 5-1) - 23 = (32-1) - 23 = 8 10 =

20 Exemplos de representação em complemento de 1 (r-1) +9 e -9 representados com 8 bits complementa-se cada um dos bits do número positivo (incluindo o bit de sinal) sinal magnitude +9 = = o sinal é representado pelo dígito mais significativo (i.e., o mais da esquerda):

21 Complemento de r Seja um número N na base r, representado com n dígitos o complemento de r de N é dado por: r n - N se N 0 0 se N = 0 ou seja, o complemento de r é obtido somando-se 1 ao complemento de (r -1) 21

22 Complemento de r Para números binários: r = 2 e o complemento de 2 de N será 2 n -N Exemplos: encontrar o complemento de 2 dos seguintes números binários (=23 10 ) = = 9 10 =

23 Exemplos de representação em complemento de 2 (r) +9 e -9 representados com 8 bits complementa-se cada um dos bits do número positivo (incluindo o bit de sinal) soma-se 1 sinal magnitude +9 = = o sinal é representado pelo dígito mais significativo (i.e., o mais da esquerda):

24 Adição de números binários em complemento de 2 Exemplo 1: 2 números positivos transporte ( carry ) (+2) (+4) (+6) resultado Resultado correto 24

25 Adição de números binários em complemento de 2 Exemplo 2: 2 números negativos transporte ( carry ) (-2) (-4) (-6) resultado Resultado correto 25

26 Adição de números binários em complemento de 2 Exemplo 3: 1 número positivo e 1 número negativo transporte ( carry ) (-7) (+1) (-6) resultado Resultado correto 26

27 Adição de números binários em complemento de 2 Exemplo 4: 2 números positivos ocorre overflow quando esses 2 bits são diferentes transporte ( carry ) (+4) (+5) (-7) Resultado errado o resultado excede o intervalo de representação = overflow 27

28 Adição de números binários em complemento de 2 Exemplo 5: 2 números negativos ocorre overflow quando esses 2 bits são diferentes transporte ( carry ) (-4) (-5) (+7) Resultado errado o resultado excede o intervalo de representação = overflow 28

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