Alex Maycon da Silva

Transcrição

1

2 Sistemas de Numeração Definição Define-se como sistema de numeração o conjunto de símbolos utilizados para a representação de quantidades e as regras que definem a forma de representação. Um sistema de numeração é determinado fundamentalmente pela base, que é o número de símbolos utilizado. A base é o coeficiente que determina qual o valor de cada símbolo de acordo com sua posição. Os sistemas de numeração atuais são sistemas posicionais, em que o valor relativo de cada símbolo ou algarismo representa depende do seu valor absoluto e da sua posição em relação a vírgula decimal. O valor relativo está diretamente ligado ao valor da base do sistema de numeração. Sistemas de numeração 1. O sistema decimal A base do sistema decimal é o número 10, com a utilização dos seguintes símbolos: Teorema Fundamental da Numeração (TFN): teorema que relaciona uma quantidade expressa em qualquer sistema de numeração com a mesma quantidade expressa no sistema decimal. É dado pela fórmula a seguir: onde B é a base do sistema de numeração, Xi é cada um dos dígitos da quantidade e o índice i indica a posição relativa a vírgula. 1) Suponhamos a quantidade 201,1 expressa no sistema de numeração de base 3. Qual a representação desta quantidade no sistema de numeração decimal? Resp.: Pelo TFN, teremos: 2 x x x x 3-1 = ,333 = 19,333. Portanto, (201,1) 3 = (19,333) 10 OBS.: O teorema aplicado no sentido inverso (divisões sucessivas) serve para obter a representação de uma quantidade decimal em qualquer outra base.

3 2. O sistema binário A base do sistema binário é o número 2, com a utilização dos seguintes símbolos: 0 e 1 (BInary digit). É o sistema de numeração utilizado pelos computadores devido sua fácil representação os circuitos eletrônicos: 0 - ausência de corrente elétrica e 1 - presença de corrente (está convenção é chamada de lógica positiva, se a convenção for invertida, ou seja, 0 - presença de corrente e 1 - ausência, então temos a chamada lógica negativa). Determinados conjuntos de dígitos binários (bits) possuem um nome especial: 1. Quarteto = 4 bits 2. Octeto ou Byte = 8bits 3. Kilobyte = 1024 bytes 4. Megabyte = 1024 Kbytes 5. Gigabyte = 1024 Mbytes 6. Terabyte = 1024 Gbytes 3. O sistema octal A base do sistema octal é o número 8, com a utilização dos seguintes símbolos: O sistema hexadecimal A base deste sistema é o número 16, com a utilização dos seguintes símbolos: A B C D E F. Os valores absolutos de A, B, C, D, E e F são, respectivamente, 10, 11, 12, 13, 14 e 15. Conversão de bases Principais Conversões A transformação de uma determinada quantidade num sistema de numeração para sua representação equivalente num outro sistema recebe o nome de conversão. A partir dos sistemas vistos na nota de aula sobre sistemas de numeração (decimal, binário, octal e hexadecimal), veremos a seguir as seguintes conversões entre estes sistemas: 1. Decimal -> Outro sistema 2. Outro sistema -> Decimal 3. Hexadecimal -> Binário 4. Octal -> Binário 5. Binário -> Hexadecimal 6. Binário -> Octal 7. Hexadecimal -> Octal 8. Octal > Hexadecimal

4 1. Decimal» Outro sistema Para se obter a representação de uma quantidade no sistema decimal em qualquer outro sistema, basta utilizarmos o TFN na sua forma inversa, ou seja, através de divisões sucessivas do número decimal pela base do sistema desejado. O resultado será os restos das divisões dispostos na ordem inversa. Um método simples para converter uma fração decimal para qualquer outro sistema consiste em multiplicações sucessivas da parte fracionária pela base do sistema desejado, obtendo como resultado as partes inteiras das multiplicações. O processo termina quando a parte fracionária é zero ou menor do que o erro indicado. Exemplos: a) Decimal -> Binário (10) 10 = (1010) 2 b) Decimal -> Octal (500) 10 = (764) 8 c) Decimal -> Hexadecimal (1000) 10 = (3E8) 16, pois o valor absoluto de E é 14.

5 2. Outro sistema» Decimal Esta conversão consiste da aplicação direta do TFN (Teorema Fundamental de Numeração), ou seja, Exemplos: a) Binário > Decimal = 1 x x x x x x 2 0 = = 43, logo: (101011) 2 = (43) 10 b) Octal > Decimal 764 = 7 x x x 8 0 = = 500 logo: (764) 8 = (500) 10 c) Hexadecimal > Decimal 3E8 = 3 x x x 16 0 = = 1000 logo: (3E8) 16 = (1000) Hexadecimal» Binário

6 Para converter um número hexadecimal em binário, substitui-se cada dígito hexadecimal por sua representação binária com quatro dígitos (tabela 1). A tabela a seguir mostra a equivalência entre os sistemas de numeração decimal, binário, octal e hexadecimal. (2BC) 16 = (?) 2 2 = 0010, B = 1011, C = 1100 (pela tabela 1), logo: (2BC) 16 = ( ) 2 = ( ) 2 4. Octal» Binário De modo muito semelhante a conversão hexadecimal» binário, esta conversão substitui cada dígito octal por sua representação binária com três dígitos (tabela 1).

7 (1274) 8 = (?) 2 1 = 001, 2 = 010, 7 = 111,4 = 100 (pela tabela 1), logo: (1274) 8 = ( ) 2 = ( ) 2 5. Binário» Hexadecimal Para se converter de binário para hexadecimal, utiliza-se um procedimento inverso a conversão hexadecimal -> binário, ou seja, agrupa-se o número binário de 4 em 4 dígitos, da direita para a esquerda na parte inteira e da esquerda para a direita na parte fracionária, e o substitui por seu equivalente hexadecimal (tabela 1). * ( ) 2 = (?) 16 Da direita para a esquerda: 1100 = C, 0010 = 2, 0001 = 1 (pela tabela 1), logo: ( ) 2 = (12C)1 6 * ( , ) 2 = (?) = 9, 0100 = 4, 1000 = 8, 1011 = B, 0110 = 6 (pela tabela 1), logo: ( , ) 2 = (948,B6) Binário» Octal Muito semelhante ao método binário» hexadecimal, contudo, neste caso, agrupa-se o número binário de 3 em 3 dígitos, da direita para a esquerda na parte inteira e da esquerda para a direita na parte fracionária, e o substitui por seu equivalente octal (tabela 1). * ( ) 2 = (?) 8 Da direita para a esquerda: 100 = 4, 111 = 7, 010 = 2, 001 = 1 (pela tabela 1), logo: ( ) 2 = (1274) 8 * ( ,1011) 2 = (?) = 1, 100 = 4, 101 = 5, 000 = 0, 101 = 5, 100 = 4 (pela tabela 1), logo: ( ,1011) 2 =(1450,54) 8 7. Hexadecimal» Octal

8 Neste caso é necessário um passo intermediário: primeiro transforma-se o número hexadecimal em binário e então este é convertido em octal. Obtemos assim a seguinte equivalência para esta conversão: Hexadecimal» Binário» Octal (1F4) 16 = (?) 8 1 = 0001, F = 1111, 4 = 0100 (pela tabela 1), logo: (1F4) 16 = ( ) 2 Da direita para a esquerda: 100 = 4, 110 = 6, 111 = 7 (pela tabela 1), logo: ( ) 2 = (764) 8 Assim: (1F4) 16 = (764) 8 8. Octal» Hexadecimal O mesmo acontece neste caso. Assim temos: Octal» Binário» Hexadecimal (144) 8 = (?) 16 1 = 001, 4 = 100, 4 = 100 (pela tabela 1), logo: (144) 8 = ( ) 2 Da direita para a esquerda: 0100 = 4, 0110 = 6 (pela tabela 1), logo: ( ) 2 = (64) 16 Assim: (144) 8 = (64) 16